2010年山东省日照市中考数学试卷(全解全析)

2010年山东省日照市中考数学试卷(全解全析)

一、填空题（共6小题，满分23分）‎ ‎1、（2010•广东）﹣2的绝对值是 ．‎ 考点：绝对值。‎ 分析：计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．‎ 解答：解：|﹣2|=2．‎ 故填2．‎ 点评：规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎2、（2010•日照）已知以下四个汽车标志图案：‎ 其中是轴对称图形的图案是 （只需填入图案代号）．‎ 考点：轴对称图形。‎ 分析：根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．‎ 解答：解：图1是轴对称图形，符合题意；‎ 图2不是轴对称图形，找不到任何这样的一条直线使一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，不符合题意；‎ 图3是轴对称图形，符合题意；‎ 图4不是轴对称图形，找不到任何这样的一条直线使一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，不符合题意．‎ 故是轴对称图形的图案是①，③．‎ 点评：掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．‎ ‎3、（2010•日照）上海世博会已于2010年5月1日举行，这是继北京奥运会之后我国举办的又一世界盛事，主办机构预计这届世博会将吸引世界各地约69 500 000人次参观，将69 500 000用科学记数法表示为 ．‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数，当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：解：69 500 000用科学记数法表示为6.95×107．‎ 点评：把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．‎ ‎（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；‎ ‎（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．‎ ‎4、（2010•日照）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于 度．‎ 考点：方向角；平行线的性质；三角形内角和定理。‎ 专题：应用题。‎ 分析：根据方位角的概念和平行线的性质，结合三角形的内角和定理求解．‎ 解答：解：∵C岛在A岛的北偏东50°方向，∴∠DAC=50°，‎ ‎∵C岛在B岛的北偏西40°方向，∴∠CBE=40°，‎ ‎∵DA∥EB，‎ ‎∴∠DAB+∠EBA=180°，‎ ‎∴∠CAB+∠CBA=90°，‎ ‎∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°．‎ 点评：解答此类题需要从运动的角度，结合平行线的性质和三角形的内角和定理求解．‎ ‎5、（2010•日照）如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ．‎ 考点：二次函数与不等式（组）。‎ 分析：由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为（﹣1，0），又y=ax2+bx+c＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．‎ 解答：解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）‎ 而对称轴x=1‎ ‎∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）‎ 当y=ax2+bx+c＞0时，图象在x轴上方 此时x＜﹣1或x＞3‎ 故填空答案：x＜﹣1或x＞3．‎ 点评：解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．‎ ‎6、（2010•日照）一次函数y=‎4‎‎3‎x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点，使△ABC为等腰三角形，则这样的的点C最多有 个．‎ 考点：反比例函数综合题。‎ 专题：综合题。‎ 分析：首先求出A，B的坐标，△ABC为等腰三角形，根据顶点C的确定方法即可求解．‎ 解答：解：在y=‎4‎‎3‎x+4中，令y=0，解得x=﹣3；令x=0，解得：y=4．则直线与x轴、y轴的交点A、B分别是（﹣3，0），（0，4）．‎ 当AB是底边时，顶点C是线段AB的垂直平分线与x轴的交点；‎ 当AB是腰时，分两种情况：‎ ‎（1）当A是顶角的顶点时，第三个顶点C，就是以A为圆心，以AB为半径的圆与x轴的交点，有2个．‎ ‎（2）当B是是顶角的顶点时，第三个顶点C，就是以B为圆心，以AB为半径的圆与x轴的交点，有1个．‎ 故这样的的点C最多有4个．‎ 故答案为：4．‎ 点评：解决本题的关键是要对三角形进行分类讨论，同学们要注意不能漏掉其中的任一解．‎ 二、选择题（共11小题，每小题3分，满分33分）‎ ‎7、（2010•日照）在平面直角坐标系内，把点P（﹣2，1）向右平移一个单位，则得到的对应点P′的坐标是（　　）‎ ‎ A、（﹣2，2） B、（﹣1，1）‎ ‎ C、（﹣3，1） D、（﹣2，0）‎ 考点：坐标与图形变化-平移。‎ 分析：根据平移时，点的坐标变化规律“上加下减，左减右加”进行计算．‎ 解答：解：根据题意，从点P到点P′，点P′的纵坐标不变，横坐标是﹣2+1=﹣1，‎ 故点P′的坐标是（﹣1，1）．‎ 故选B．‎ 点评：此题考查了点的坐标变化和平移之间的联系，平移时点的坐标变化规律是“上加下减，左减右加”．‎ ‎8、（2010•定西）两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（　　）‎ ‎ A、内切 B、相交 ‎ C、外切 D、外离 考点：圆与圆的位置关系。‎ 分析：本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．‎ 解答：解：根据题意，得 R+r=5+3=8，R﹣r=5﹣3=2，圆心距=7，‎ ‎∵2＜7＜8，‎ ‎∴两圆相交．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．‎ ‎9、（2010•日照）已知反比例函数y=‎2‎x，则下列点中在这个反比例函数图象的上的是（　　）‎ ‎ A、（﹣2，1） B、（1，﹣2）‎ ‎ C、（﹣2，﹣2） D、（1，2）‎ 考点：反比例函数图象上点的坐标特征。‎ 分析：根据y=‎2‎x得k=xy=2，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于2，就在函数图象上．‎ 解答：解：A、﹣2×1=﹣2≠2，故不在函数图象上；‎ B、1×（﹣2）=﹣2≠2，故不在函数图象上；‎ C、（﹣2）×（﹣2）=4≠2，故不在函数图象上；‎ D、1×2=2，故在函数图象上．‎ 故选D．‎ 点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．‎ ‎10、（2010•日照）已知等腰梯形的底角为45°，高为2，上底为2，则其面积为（　　）‎ ‎ A、2 B、6‎ ‎ C、8 D、12‎ 考点：等腰梯形的性质。‎ 分析：根据底角为45°，过上底顶点作高可以得到等腰直角三角形，求出下底边的长，再代入梯形的面积公式即可求出面积．‎ 解答：‎ 解：如图，分别过A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E、F，‎ 在等腰梯形ABCD中，‎ AB=CD，∠ABE=∠DCF=45°‎ ‎∴BE=FC=AE=2，‎ ‎∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，‎ ‎∴ADFE为矩形，‎ ‎∴EF=AD=2，‎ ‎∴BC=2BE+EF=4+2=6，‎ S梯形=‎1‎‎2‎×（2+6）×2=8．‎ 故选C．‎ 点评：考查梯形的面积公式的应用以及梯形的性质，过上底顶点作梯形的高是解决梯形问题常用的辅助线之一．‎ ‎11、（2010•日照）如果‎（2+‎‎2‎‎）‎‎2‎=a+b‎2‎（a，b为有理数），那么a+b等于（　　）‎ ‎ A、2 B、3‎ ‎ C、8 D、10‎ 考点：二次根式的乘除法。‎ 分析：首先根据完全平方公式将‎（2+‎‎2‎‎）‎‎2‎展开，然后与等号右边比较，得出a、b的值，从而求出a+b的值．‎ 解答：解：∵‎（2+‎‎2‎‎）‎‎2‎=6+4‎2‎，‎（2+‎‎2‎‎）‎‎2‎=a+b‎2‎，‎ ‎∴a=6，b=4，‎ ‎∴a+b=6+4=10．‎ 故选D．‎ 点评：本题主要考查了完全平方公式的计算，以及有理数等于有理数，无理数等于无理数的知识．‎ ‎12、（2010•日照）如图是一个三视图，则此三视图所对应的直观图是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：由三视图判断几何体。‎ 分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．‎ 解答：解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，且与下面的长方体的的高度相同．只有B满足这两点，故选B．‎ 点评：本题考查了三视图的概念．易错易混点：学生易忽略圆柱的高与长方体的高的大小关系，错选C．‎ ‎13、（2010•日照）如图，有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子．若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的机率为何（　　）‎ ‎ A、‎1‎‎2‎ B、‎‎1‎‎3‎ ‎ C、‎1‎‎6‎ D、‎‎1‎‎9‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 分析：列举出所有情况，让两人选到同一条绳子的情况数除以总情况数即为所求的概率．‎ 解答：解：将三条绳子记作1，2，3，则列表得：‎ 可得共有9种情况，两人选到同一条绳子的有3种情况，‎ ‎∴两人选到同一条绳子的机率为‎3‎‎9‎=‎1‎‎3‎．‎ 故选B．‎ 点评：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎14、（2010•日照）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（　　）‎ ‎ A、﹣3，2 B、3，﹣2‎ ‎ C、2，﹣3 D、2，3‎ 考点：根与系数的关系。‎ 分析：根据根与系数的关系，即可求得p、q的值．‎ 解答：解：由题意，得：x1+x2=﹣p，x1x2=q；‎ ‎∴p=﹣（x1+x2）=﹣3，q=x1x2=2；故选A．‎ 点评：此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则x1+x2=﹣ba，x1x2=ca．‎ ‎15、（2010•日照）由m（a+b+c）=ma+mb+mc，可得：（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3=a3+b3，即（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3…①‎ 我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．‎ 下列应用这个立方和公式进行的变形不正确的是（　　）‎ ‎ A、（x+4y）（x2﹣4xy+16y2）=x3+64y3 B、（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）=8x3+y3‎ ‎ C、（a+1）（a2+a+1）=a3+1 D、x3+27=（x+3）（x2﹣3x+9）‎ 考点：平方差公式。‎ 专题：新定义。‎ 分析：根据所给的立方和公式对各选项进行判断即可．‎ 解答：解：A、（x+4y）（x2﹣4xy+16y2）=x3+64y3，正确；‎ B、（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）=8x3+y3，正确；‎ C、（a+1）（a2﹣a+1）=a3+1；故本选项错误．‎ D、x3+27=（x+3）（x2﹣3x+9），正确．‎ 故选C．‎ 点评：此题考查的是立方和公式：两数的和，乘以它们的平方和与它们的积的差，等于它们的立方和．读懂题目信息，弄清公式的各项系数间的关系是解答此题的关键．‎ ‎16、（2010•日照）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=‎1‎‎5‎，则AD的长是（　　）‎ ‎ A、‎2‎ B、2‎ ‎ C、1 D、2‎‎2‎ 考点：解直角三角形。‎ 专题：计算题。‎ 分析：作DE⊥AB，构造直角三角形，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长．‎ 解答：解：作DE⊥AB于E点．‎ ‎∵tan∠DBA=‎1‎‎5‎=DEBE，‎ ‎∴BE=5DE，‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠A=45°，‎ ‎∴AE=DE．‎ ‎∴BE=5AE，‎ 又∵AC=6，‎ ‎∴AB=6‎2‎．‎ ‎∴AE+BE=5AE+AE=6‎2‎，‎ ‎∴AE=‎2‎，‎ AD=‎2‎AE=2．‎ 故选B．‎ 点评：此题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式然后求解．‎ ‎17、（2010•日照）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：‎ 他们研究过图1中的1，3，6，10，…‎ ‎，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（　　）‎ ‎ A、15 B、25‎ ‎ C、55 D、1225‎ 考点：规律型：图形的变化类。‎ 分析：图1中求出1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即n（n+1）‎‎2‎；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n2．然后把下列数分别代入，若解出的n是正整数，则说明符合条件就是所求．‎ 解答：解：根据题意得：三角形数的第n个图中点的个数为n（n+1）‎‎2‎；‎ 正方形数第n个图中点的个数为n2，‎ A、令n（n+1）‎‎2‎=15，解得n1=5，n2=﹣6（不合题意，舍去）；再令n2=15，n=±‎15‎（不合题意，都舍去）；不符合条件，错误；‎ B、令n（n+1）‎‎2‎=25，解得n1=‎﹣1±‎‎201‎‎2‎（都不合题意，舍去）；再令n2=25，n=±5；不符合条件，错误；‎ C、显然55不是平方数，不符合条件，错误；‎ D、令n（n+1）‎‎2‎=1225，解得n1=49，n2=﹣50（不合题意，舍去）；再令n2=1225，n1=35，n2=﹣35（不合题意，舍去），符合条件，正确．‎ 故选D．‎ 点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．‎ 三、解答题（共7小题，满分64分）‎ ‎18、（2010•日照）（1）计算：‎∣‎3‎﹣4∣﹣‎2‎‎2‎+‎‎12‎；‎ ‎（2）化简，求值：x﹣1‎x‎2‎‎﹣2x+1‎‎÷‎‎1‎x‎2‎‎﹣1‎，其中x=‎2‎﹣1．‎ 考点：二次根式的化简求值。‎ 分析：（1）题涉及的知识点有：绝对值、二次根式的化简，可针对各知识点分别计算，然后再按实数的运算规则进行计算．‎ ‎（2）先根据完全平方及平方差公式将所求代数式化简，然后再代值计算．‎ 解答：解：（1）原式=4﹣‎3‎﹣4+2‎3‎=‎3‎；‎ ‎（2）原式=‎x﹣1‎x‎2‎‎﹣2x+1‎‎•‎x‎2‎‎﹣1‎‎1‎ ‎=‎x﹣1‎‎（x﹣1）‎‎2‎‎（x﹣1）（x+1）‎ ‎=x+1，‎ 当x=‎2‎﹣1时，原式=‎2‎．‎ 点评：此题主要考查了二次根式和实数的运算．涉及到的知识点有：绝对值、二次根式的化简、平方差公式、完全平方公式等．‎ ‎19、（2010•日照）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变、不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：‎ 一般地，如果‎&a＞b‎&c＞d．那么a+c b+d．（用“＞”或“＜”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？‎ 考点：不等式的性质。‎ 专题：图表型。‎ 分析：根据有理数的运算法则完成表格的填写；‎ 根据不等式的性质进行证明．‎ 解答：解：＞，＞，＜，＞；‎ 证明：∵a＞b，‎ ‎∴a+c＞b+c，‎ 又∵c＞d，‎ ‎∴b+c＞b+d，‎ ‎∴a+c＞b+d．‎ 点评：本题考查了不等式的性质：‎ ‎（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；‎ ‎（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；‎ ‎（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．‎ ‎20、（2010•日照）（1）解方程组‎&x﹣2y=3‎‎&3x﹣8y=13‎；‎ ‎（2）列方程解应用题：‎ ‎2010年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务，求原计划每天生产多少吨纯净水？‎ 考点：分式方程的应用；解二元一次方程组。‎ 专题：应用题。‎ 分析：（1）x的系数为倍数关系，可考虑消去x求解；‎ ‎（2）有工作总量1800，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“结果比原计划提前3天完成了生产任务”．等量关系为：原计划用的时间﹣实际用的时间=3．‎ 解答：解：（1）‎‎&x+2y=3（1）‎‎&3x﹣8y=13（2）‎ 由（1）得：x=3+2y，（3）‎ 把（3）代入（2）得：3（3+2y）﹣8y=13，‎ 化简得：﹣2y=4，‎ ‎∴y=﹣2，‎ 把y=﹣2代入（3），得x=﹣1，‎ ‎∴方程组的解为‎&x=﹣1‎‎&y=﹣2‎；‎ ‎（2）设原计划每天生产x吨纯净水．‎ 则依据题意，得：‎1800‎x‎﹣‎1800‎‎1.5x=3‎，‎ 整理，得：4.5x=900，‎ 解之，得：x=200，‎ 把x代入原方程，成立，‎ ‎∴x=200是原方程的解．‎ 答：原计划每天生产200吨纯净水．‎ 点评：解二元一次方程组的基本思路是消元，当未知数的系数出现倍数故选时，可考虑消去这个未知数；分式应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．‎ ‎21、（2010•日照）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．‎ ‎（1）证明：∠BAE=∠FEC；‎ ‎（2）证明：△AGE≌△ECF；‎ ‎（3）求△AEF的面积．‎ 考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质。‎ 专题：证明题。‎ 分析：（1）由于∠AEF是直角，则∠BAE和∠FEC同为∠AEB的余角，由此得证；‎ ‎（2）根据正方形的性质，易证得AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°；再加上（1）得出的相等角，可由ASA判定两个三角形全等；‎ ‎（3）在Rt△ABE中，根据勾股定理易求得AE2；由（2）的全等三角形知：AE=EF，即△AEF是等腰Rt△，因此其面积为AE2的一半，由此得解．‎ 解答：（1）证明：∵∠AEF=90°，‎ ‎∴∠FEC+∠AEB=90°；（1分）‎ 在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90°，‎ ‎∴∠BAE=∠FEC；（3分）‎ ‎（2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，‎ ‎∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°﹣45°=135°；‎ 又∵CF是∠DCH的平分线，‎ ‎∠ECF=90°+45°=135°；（4分）‎ 在△AGE和△ECF中，‎&AG=EC‎&∠AGE=∠ECF=13‎‎5‎o‎&∠GAE=∠FEC；‎ ‎∴△AGE≌△ECF；（6分）‎ ‎（3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF；‎ 又∵∠AEF=90°，‎ ‎∴△AEF是等腰直角三角形；（7分）‎ 由AB=a，BE=‎1‎‎2‎a，知AE=‎5‎‎2‎a，‎ ‎∴S△AEF=‎5‎‎8‎a2．（9分）‎ 点评：此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等；综合性较强，难度适中．‎ ‎22、（2010•日照）为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时．为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中共调查了多少名学生？‎ ‎（2）求户外活动时间为1.5小时的人数，并补充频数分布直方图；‎ ‎（3）求表示户外活动时间1小时的扇形圆心角的度数；‎ ‎（4‎ ‎）本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？户外活动时间的众数和中位数是多少？‎ 考点：频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；众数。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）由总数=某组频数÷频率计算；‎ ‎（2）户外活动时间为1.5小时的人数=总数×24%；‎ ‎（3）扇形圆心角的度数=360×比例；‎ ‎（4）计算出平均时间后分析．‎ 解答：解：（1）调查人数=10÷20%=50（人）；‎ ‎（2）户外活动时间为1.5小时的人数=50×24%=12（人）；‎ 补全频数分布直方图；‎ ‎（3）表示户外活动时间1小时的扇形圆心角的度数=‎20‎‎50‎×360°=144°；‎ ‎（4）户外活动的平均时间=‎10×0.5+20×1+12×1.5+8×2‎‎50‎‎=1.18‎（小时），‎ ‎∵1.18＞1，‎ ‎∴平均活动时间符合上级要求；‎ 户外活动时间的众数和中位数均为1．‎ 点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎23、（2010•日照）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O、A两点相距8‎3‎米．‎ ‎（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；‎ ‎（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；‎ ‎（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点？‎ 考点：二次函数的应用。‎ 分析：（1）已知OA与水平方向OC的夹角为30°，OA=8‎3‎米，解直角三角形可求点A的坐标及直线OA的解析式；‎ ‎（2）分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式；‎ ‎（3）把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，看函数值与点A的纵坐标是否相符．‎ 解答：解：（1）在Rt△AOC中，‎ ‎∵∠AOC=30o，OA=8‎3‎，‎ ‎∴AC=OA•sin30o=8‎3‎×‎1‎‎2‎=‎4‎‎3‎，‎ OC=OA•cos30o=8‎3‎×‎3‎‎2‎=12．‎ ‎∴点A的坐标为（12，‎4‎‎3‎），‎ 设OA的解析式为y=kx，把点A（12，‎4‎‎3‎）的坐标代入得：‎ ‎4‎‎3‎‎=12k，‎ ‎∴k=‎3‎‎3‎，‎ ‎∴OA的解析式为y=‎3‎‎3‎x；‎ ‎（2）∵顶点B的坐标是（9，12），点O的坐标是（0，0）‎ ‎∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣9）2+12，‎ 把点O的坐标代入得：‎ ‎0=a（0﹣9）2+12，‎ 解得a=‎﹣‎‎4‎‎27‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=‎﹣‎‎4‎‎27‎（x﹣9）2+12‎ 及y=‎﹣‎‎4‎‎27‎x2+‎8‎‎3‎x；‎ ‎（3）∵当x=12时，y=‎32‎‎3‎≠‎4‎‎3‎，‎ ‎∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．‎ 点评：本题考查了点的坐标求法，一次函数、二次函数解析式的确定方法，及点的坐标与函数解析式的关系．‎ ‎24、（2010•日照）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．‎ 求证：‎ ‎（1）D是BC的中点；‎ ‎（2）△BEC∽△ADC；‎ ‎（3）BC2=2AB•CE．‎ 考点：圆周角定理；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：证明题；压轴题。‎ 分析：（1）要证D是BC的中点，已知AB=AC，即证AD⊥BC即可，根据圆周角定理，AB是直径，所以∠ADB=90°，即可得证．‎ ‎（2）欲证△BEC∽△ADC，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠AEB=∠ADC=90°，此时，再求另一角对应相等即可．‎ ‎（3）由△BEC∽△ADC可证CD•BC=AC•CE，又D是BC的中点，AB=AC，即可证BC2=2AB•CE．‎ 解答：证明：‎ ‎（1）∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ 即AD是底边BC上的高，（1分）‎ 又∵AB=AC，‎ ‎∴△ABC是等腰三角形，‎ ‎∴D是BC的中点；（3分）‎ ‎（2）∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，‎ ‎∴∠CBE=∠CAD，（5分）‎ 又∵∠BCE=∠ACD，‎ ‎∴△BEC∽△ADC；（6分）‎ ‎（3）由△BEC∽△ADC，知CDAC‎=‎CEBC，‎ 即CD•BC=AC•CE，（8分）‎ ‎∵D是BC的中点，‎ ‎∴CD=‎1‎‎2‎BC，‎ 又∵AB=AC，‎ ‎∴CD•BC=AC•CE=‎1‎‎2‎BC•BC=AB•CE，‎ 即BC2=2AB•CE．（10分）‎ 点评：本题考查相似三角形的判定和性质．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ MMCH；leikun；开心；Linaliu；lanchong；lihongfang；huangling；xinruozai；kuaile；张伟东；zhjh；zhangCF；zhehe；hnaylzhyk；zcx；HJJ；bjy；mama258；zhangchao；shenzigang；wangcen；智波。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日