扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷

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扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ 请把答案填写在答卷卡的相应位置上 ‎1. 在平面直角坐标系中，已知向量= (2，1)，向量= (3，5)，则向量的坐标为 ▲ ．‎ ‎ 【答案】（1，4）‎ ‎2. 设集合，则 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ ‎3. 设复数z满足| z | = | z－1 | = 1，则复数z的实部为 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ ‎4. 设f (x)是定义在R上的奇函数，当x < 0时，f (x)＝x + ex（e为自然对数的底数），则的值为 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ ‎5. 某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练 时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为 ▲ 分钟．‎ S←0‎ For  I  From 1 to 28 Step 3‎ ‎ S←S +I End For Print S ‎（第6题）‎ ‎6 4 5 7‎ ‎7 2 5 ‎ ‎8 0 1 ‎ ‎（第5题）‎ ‎【答案】72‎ ‎6. 根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为 ▲ ．‎ ‎ 【答案】145‎ ‎7. 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线共焦点，且经过点 ‎，则该椭圆的离心率 为 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎8. 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为‎2 cm的半圆，则该圆锥的高为 ▲ cm．‎ ‎【答案】‎ ‎9. 将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的 倍（纵坐标保持不变），得函数的图象，则的一个解析式为 ▲ ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎10.函数的所有零点之和为 ▲ ．‎ ‎ 【答案】 4‎ ‎11. 设，且．则的值为 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ ‎12. 设数列{an}满足：，则a1的值大于20的概率为 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎13.设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是 ‎ ▲ ．‎ ‎【答案】9‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中，设，B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，‎ 则△ABC的高为 ▲ ．‎ ‎ 【答案】2‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分. 请把答案写在答题卡相应的位置上. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为．‎ ‎（1）若AB，求△ABC的另外两条边长；‎ ‎（2）设O为△ABC的外心，当时，求的值．‎ ‎【解】（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，于是，所以bc=4． ………………………………………………………………3分 因为，所以.由余弦定理得． ………………………6分 ‎（2）由得，即，解得或4．……………………………8分 设BC的中点为D，则，‎ 因为O为△ABC的外心，所以，于是．…………………………………12分 所以当时，，；当时，，．………………………………………………………14分 ‎16.（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，平面平面，BC//平面PAD，,‎ A B C P ‎（第16题）‎ D ‎．求证：‎ ‎ （1）平面；‎ ‎（2）平面平面．‎ ‎【证】（1）因为BC//平面PAD，‎ 而BC平面ABCD，平面ABCD平面PAD = AD，‎ 所以BC//AD． …………………………………3分 因为AD平面PBC，BC平面PBC，所以平面．………………………………………………………………………………………6分 A B C P D H ‎（2）自P作PHAB于H，因为平面平面，且平面平面=AB，‎ 所以平面．………………………………………9分 因为BC平面ABCD，所以BCPH．‎ 因为,所以BCPB，‎ 而，于是点H与B不重合，即PBPH = H．‎ 因为PB，PH平面PAB，所以BC平面PAB．…………12分 因为BC平面PBC，故平面PBC平面AB．……………………………………………………… 14分 ‎17．（本小题满分14分）‎ 为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数) ．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元. ‎ ‎(每平方米平均综合费用＝)．‎ ‎ （1）求k的值；‎ ‎（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？‎ ‎【解】（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米，所有建筑费用为 ‎［(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)］×1 000×10，所以，…………………………3分 ‎1 270＝，解之得：k＝50．…………………………………………………………………………………………6分 ‎（2）设小区每幢为n(n∈N*)层时，每平方米平均综合费用为f (n)，由题设可知 f (n) ＝ ‎ ＝+25n+825≥2+825＝1225（元）.......................10分 ‎ 当且仅当＝25n，即n＝8时等号成立．……………………………………………………………12分 答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1 225元．……………………………14分 ‎18. （本小题满分16分）‎ 已知函数f (x)＝(m－3)x3 + 9x.‎ ‎（1）若函数f (x)在区间(－∞，+∞)上是单调函数，求m的取值范围；‎ ‎（2）若函数f (x)在区间［1，2］上的最大值为4，求m的值．‎ ‎【解】（1）因为(0)＝9 > 0，所以f (x)在区间上只能是单调增函数． ………………3分 由(x)＝3(m－3)x2 + 9≥0在区间(－∞，+∞)上恒成立，所以m≥3．‎ 故m的取值范围是［3，∞) ． ………………………………………………………6分 ‎（2）当m≥3时，f (x)在［1，2］上是增函数，所以[f (x)] max＝f (2)＝8(m－3)＋18＝4,‎ 解得m＝<3，不合题意，舍去． ……………………………………………………8分 当m＜3时，(x)＝3(m－3) x2 + 9=0，得．‎ 所以f (x)的单调区间为：单调减，单调增，单调减．‎ ‎……………………………………10分 ‎①当，即时，，所以f (x)在区间［1，2］上单调增，[f (x)] max ＝f(2)＝8(m－3)＋18＝4，m＝，不满足题设要求．‎ ‎②当，即0＜m＜时，[f (x)] max舍去．‎ ‎③当，即m≤0时，则，所以f (x)在区间［1，2］上单调减，[f (x)] max ＝f (1)＝m + 6＝4，m＝－2.‎ 综上所述：m＝－2．……………………………………………………………………16分 ‎19．（本小题满分16分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2＝r2和直线l：x＝a（其中r和a均为常数，且0 < r < a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．‎ ‎（1）若r＝2，M点的坐标为(4，2)，求直线PQ方程；‎ ‎（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．‎ ‎【解】（1）当r＝2，M(4，2)，则A1(－2，0)，A2(2，0).‎ 直线MA1的方程：x－3y+2=0，解得．……………………2分 直线MA2的方程：x－y－2=0，解得． ……………………4分 由两点式，得直线PQ方程为：2x－y－2=0． ………………………………………6分 ‎（2）证法一：由题设得A1(－r，0)，A2(r，0) .设M(a，t)，‎ 直线MA1的方程是：y = (x+r)，直线MA1的方程是：y = (x－r) ．………8分 解得．……………………10分 解得． ………………12分 于是直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程为． ………………………………14分 上式中令y = 0，得x＝，是一个与t无关的常数.故直线PQ过定点． …………………16分 证法二：由题设得A1(－r，0)，A2(r，0) .设M(a，t)，‎ 直线MA1的方程是：y=(x+r)，与圆C的交点P设为P(x1，y1) ．‎ 直线MA2的方程是：y=(x－r)；与圆C的交点Q设为Q(x2，y2) ．‎ 则点P(x1，y1) ，Q(x2，y2)在曲线［(a+r)y－t(x+r)］［(a－r)y－t(x－r)］=0上， …………………10分 化简得 (a2－r2)y2－2ty(ax－r2)+t2(x2－r2)＝0． ①‎ 又有P(x1，y1) ，Q(x2，y2)在圆C上，圆C：x2+y2－r2＝0．②‎ ‎－t2×②得 (a2－r2)y2－2ty(ax－r2)－t2(x2－r2) －t2( x2+y2－r2)＝0，‎ 化简得：(a2－r2)y－2t(ax－r2) －t2 y＝0．‎ 所以直线PQ的方程为(a2－r2)y－2t(ax－r2)-t2 y＝0． ③ ………………14分 在③中令y = 0得 x = ，故直线PQ过定点．………………………16分 ‎20．（本小题满分16分）‎ 设无穷数列满足：，，.记.‎ ‎（1）若，求证：=2，并求的值；‎ ‎（2）若是公差为1的等差数列，问是否为等差数列，证明你的结论．‎ ‎【解】（1）因为，所以若，则矛盾，‎ 若，可得矛盾，所以． …………………4分 于是，从而． …………………………7分 ‎（2）是公差为1的等差数列，证明如下： ………………………9分 时，，所以， ‎ ‎，……………………………13分 即，由题设，，又，‎ 所以，即是等差数列．………………………16分 数学II（附加题）‎ ‎21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ O A E B D F C A. 选修4－1：几何证明选讲 如图，是⊙的直径，是⊙上的两点，⊥，‎ 过点作⊙的切线FD交的延长线于点．连结交 于点.‎ ‎ 求证：.‎ ‎【证明】连结OF．‎ 因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．‎ 所以∠OFC+∠CFD=90°．‎ 因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC． ‎ 因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°． ………………………5分 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．‎ 因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA．所以DE2=DB·DA． ………………10分 B. 选修4－2：矩阵与变换 设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为，求矩阵M的逆矩阵．‎ ‎【解】设曲线上任一点在矩阵对应的变换下的像是,‎ 由,得 因为在圆上,所以，化简可得．…………………………3分 依题意可得，或而由可得．………6分 故,．………………………………………………10分 C. 选修4－4：坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标中,已知圆,圆．‎ ‎（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；‎ ‎（2）求圆的公共弦的参数方程．‎ ‎【解】（1）圆的极坐标方程为， 圆的极坐标方程为，‎ 由得，故圆交点坐标为圆．…………………5分 ‎（2）由（1）得，圆交点直角坐标为，‎ 故圆的公共弦的参数方程为 ……………………10分 注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣2分．‎ D．选修4－5：不等式选讲 ‎ 设正数a，b，c满足，求的最小值．‎ ‎【解】因为a，b，c均为正数，且，所以．‎ 于是 ‎ ‎ ，‎ 当且仅当时，等号成立． ………………………………8分 即，故的最小值为1．…………10分 ‎22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 如图，在三棱柱中，，，且．‎ ‎（1）求棱与BC所成的角的大小；‎ ‎（第22题）‎ B A C A1‎ B1‎ C1‎ ‎（2）在棱上确定一点P，使二面角的平面角的余弦值为．‎ ‎【解】（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，‎ 则 ，‎ ‎，．‎ ‎，‎ 故与棱BC所成的角是． ………………………4分 B A C A1‎ B1‎ C1‎ z x y P ‎（2）P为棱中点，‎ 设，则．‎ 设平面的法向量为n1，，‎ 则 故n1……………………………………………8分 而平面的法向量是n2=(1，0，0)，则，‎ 解得，即P为棱中点，其坐标为…………………10分 ‎23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 设b>0，函数，记（是函数的导函数），且当x = 1时，取得极小值2．‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）证明．‎ ‎【解】（1）由题．‎ 于是，若，则，与有极小值矛盾，所以．‎ 令，并考虑到，知仅当时，取得极小值．‎ 所以解得．………………………………………………4分 故，由，得，所以的单调增区间为．‎ ‎（2）因为，所以记 因为， ‎ 所以，故．………10分 数学Ⅰ讲评建议 第1题 考查向量的坐标运算及向量减法的几何意义. ＝－＝(1,4).‎ 第2题 考查集合的运算，一元二次不等式及不等式组的解法.本题评讲时着重运算的精准与快速.‎ x y O 第3题 考查复数的概念，数形结合等数学思想.评讲时对复数的有关概念进行适当地疏理，防止学生出现知识盲点.‎ ‎ 法一：设z＝a+bi，由|z|＝|z－1|=1得，两式相减得.2 a=1，.‎ 第3题 ‎ 法二：如图，圆x2+y2=1与圆(x－1)2+y2=1交点的横坐标为.‎ ‎ 法三：由z=1，(z－1) (－1)=1得z+=1，即‎2 a=1，.‎ ‎ 法四：|z|＝1则令z＝cosα+isinα，再有|z－1|=1得，(cosα－1)2+sin2α＝1，cosα＝.‎ 第,4题 本题考查函数的奇函数的性质评讲时重点构造奇偶函数，考虑奇偶函数对称，由部分区间的函数求出相应对称区间的函数. ‎ 法一：＝－＝－(-ln6) －e-ln6＝ln6-.‎ 法二：当x>0时，f(x)＝-f (- x)＝x –e-x.所以，＝ln6－e-ln6＝ln6-.‎ 第5题 本题考查茎叶图的概念，重在看懂所给的茎叶图.评讲时对统计的有关知识适当归纳总结一下，统计重在操作，记住解题的步骤，按照课本的要求步骤解题.计算本题时，适当讲一些算平均值的方法与技巧.‎ 第6题 本题考查算法的概念，算法主要考查流程图与伪代码，复习时要求能看懂流程图与伪代码就行，不宜过难过深.‎ 第7题 本题考查圆锥曲线的几何性质.研究圆锥曲线的性质常用二种方法，一是由方程研究曲线的几何性质，二是由曲线的几何性质求曲线的方程.另外，在解题时，适当利用圆锥曲线的定义可以取到“时半功倍”之效.‎ ‎ 法一：由题可得，椭圆两焦点F1(0,2)，F1(0,-2)，c=2，‎2a==4，‎ ‎ 即a＝2.所以，离心率e＝.‎ ‎ 法二：设椭圆方程为：，由题意得：，解之得，，c=2，‎ 离心率e＝.‎ 第8题 本题是由课本上的习题改编，主要圆锥的底面半径、高与母线之间关系，旋转体的侧面展开等知识.‎ ‎ 由题设，圆锥的母线l=2，底面半径r=1，故其高h＝=.‎ 第9题 本题考查三角函数图象变换. 将函数的图象上每一点向右平移1个单位得 ‎ ，将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），则，即.‎ 第10题 本题考查函数的零点，对称性质及数形结合等.原函数的零点可看作函数f(x)＝sinπx，g(x) ＝的交点的横坐标，因为f(x) 与g(x)均关于点(1,0)对称，故f(x)与g(x)在(-1,3)上的四个交点的横坐标之和为4. 第11题 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的恒等变换等.‎ ‎ 法一：由得，，，‎ 由，，所以.‎ ‎ =.‎ ‎ 法二：由得，，由法一可知，，.‎ ‎ .‎ ‎ 法三：由，得，，=‎ ‎ .‎ 第12题 本题考查数列、递推数列，概率及分类讨论. ‎ 法一：由得a2＝16，或a2＝6‎ 再由a2＝16，或a2＝6及，得a1=32，14，12，4‎ ‎.故概率为.‎ ‎ 法二：由，得a2=a1+2，或a2=a1，a3=a2+2，或a3=a2，‎ ‎ a3=a1+4，或a3=a1+4，或a3=a2，或a3=(a1+2) .由a3=8，得a1=32，14，12，4.(下略)‎ 第13题 本题考查不等式的有关知识与方法.‎ ‎ max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}≥max{x1x2，x3x4，x4x5}≥≥≥9.‎ ‎ 当x1= x3= x5=9，x2= x4＝1. ‎ 第14题 本题考查学生综合应用数学知识解决问题的能力.本题解法较多，但有些解法计算繁琐，下面介绍三个常规的简单的解法：‎ 法一：设正三角形ABC的边长为a，B(-1+acos(θ+30º)，1+ asin(θ+30º))，‎ C(-1+acos(θ－30º)，1+ asin(θ－30º)) ，由B、C在y=上，所以 ‎，‎ 两式相减得：a2cos2－asim－acos＝0，得a＝， ①‎ ‎ 两式相加得：，a2sin2θ=4 ②‎ ‎ 由①、② a＝.所以三角形的高为2.‎ ‎ 法二：将直角坐标系旋转45º，则A(0，)，双曲线方程为：.‎ 设BC的方程为：y=kx+b，联立，消去得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2=0.‎ ‎，BC中点D(，)，而直线AD的方程是：.‎ ‎ 所以，=，，AD＝，BC＝|x1－x2|‎ ‎ =，由△ABC为正三角形，所以AD＝BC.k2＝7.‎ ‎ 故AD＝=＝2.‎ ‎ 法三：提示，直接设BC直线方程为y=kx+b，与双曲线联立，仿照解法二可求得.‎ 第15题 第（1）问考查正弦定理、余弦定理的简单应用，第（2）问综合考查数量积，关键是将 转化，利用外心的性质，化为求，结合解三角题当时，，；当时，，，注意本题有两解。‎ 第16题 主要考查线面平行和面面垂直的处理，本题中当时结论不成立，为锐角，钝角均可。本题的辅助性的添加是解决立体几何的常用手段。‎ 第17题 考查实际问题建立数学模型的能力，理清综合费用的表示，求出平均费用后，由待定系数法求出常数。列式时注意单位要统一。本题还可以只计算一幢楼的平均成本。第（2）由数列知识求得每平方米平均综合费用为f (n)，再由利用基本不等式可得最低费用，提醒学生注意均值不等式求最值注意检验等号成立的条件一正、二定、三相等。最后作答。‎ 第18题 (1)函数f (x)单调，则(x)＝3(m－3)x2+9=0无解或有重根，m≥3 ，可总结推广函数在上不单调（或单调）的充要条件；（2）数形结合，问题转化为在闭区间的分类讨论，当m＜3时，(x)＝3(m－3) x2 + 9=0，得，然后对极值点的位置情形讨论，本题属于常规题，难度中等。‎ 第19题 本题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系，考察运算能力和推理论证能力.在解析几何运算中，为了化简运算，常采用“设而不求”，“虚算”等. ‎ ‎ (1) 当r＝2，M(4，2)，则A1(－2，0)，A2(2，0).直线MA1的方程：x－3y+2=0，‎ 直线MA2的方程：x+y－2=0，所以P、Q在曲线(x－3y+2)( x－y－2)+t(x2+y2－4)=0上，当t=－1时，‎ ‎2x－2y－2=0为直线PQ的方程. ‎ ‎(2)可利用平面几何知识，求直线PQ与x轴的交点N到原点的距离ON为定值.‎ 第20题 本题考查等差数列的基本性质，考查分析探究及逻辑推理的能力.第(2)小题也可用反证法证明.‎