扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题

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扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测 高三数学试题 ‎ 2013．01‎ 全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．‎ 注意事项：‎ 1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．‎ ‎2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．‎ ‎3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．‎ 第 一 部 分 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）‎ ‎1．若集合，，则M∩N= ▲ ． ‎ ‎2．将复数(是虚数单位)写成，则 ▲ ． ‎ ‎3．已知向量，若，则k等于 ▲ ． ‎ ‎4．已知函数，则 ▲ ． ‎ ‎5．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为，，则的概率为 ▲ ． ‎ ‎6．设满足约束条件，则的最大值是 ▲ ． ‎ ‎7．如图所示的流程图，若输出的结果是15，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为 ▲ ．‎ ‎8．已知圆的圆心为抛物线的焦点,又直线与圆相切，则圆的标准方程为 ▲ ．‎ ‎9．设是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题 ‎①若，则， ②若，则,‎ ‎③若 ④若，则,‎ 其中正确的命题序号是 ▲ ．‎ ‎10．在中，角所对边的长分别为，且，则 ▲ ． ‎ ‎11．已知函数（）在区间上取得最小值4，则 ▲ ． ‎ ‎12． 如图所示：矩形的一边在轴上，另两个顶点、在函数的图像上，若点的坐标为），矩形的周长记为，则 ▲ ．‎ ‎13．已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为、，则= ▲ ． ‎ ‎14．数列满足，，且 =2，则的最小值为 ▲ ． ‎ 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知向量，，函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最大值，并求取最大值时的取值集合；‎ ‎（Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边，且，，成等比数列，角为锐角，且，求的值．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，⊥平面， 于。‎ ‎（Ⅰ）证明：平面⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）设为线段上一点，若，求证：平面 ‎17．（本小题满分15分）‎ 已知数列的前项和为．‎ ‎（Ⅰ）若数列是等比数列，满足， 是，的等差中项，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在等差数列，使对任意都有？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．‎ ‎18．（本小题满分15分）‎ 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为‎1米的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：米．‎ ‎（Ⅰ）求助跑道所在的抛物线方程；‎ ‎（Ⅱ）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在‎4米到‎6米之间（包括‎4米和‎6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？‎ ‎（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 如图，已知椭圆方程为，圆方程为，过椭圆的左顶点A作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于B、C． ‎ ‎（Ⅰ）若时，恰好为线段AC的中点，试求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆的离心率=，为椭圆的右焦点，当时，求的值；‎ ‎（Ⅲ）设D为圆上不同于A的一点，直线AD的斜率为，当时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 记函数的导函数为，已知．‎ ‎（Ⅰ）求的值．‎ ‎（Ⅱ）设函数，试问：是否存在正整数使得函数有且只有一个零点？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（Ⅲ）若实数和（，且）满足：，试比较与的大小，并加以证明．‎ 第二部分（加试部分）‎ ‎21．B 选修4 - 2：矩阵与变换（本题满分10分）‎ 若矩阵有特征值,,它们所对应的特征向量分别为和,求矩阵.‎ ‎ …………………10分 ‎21．C． 选修4 - 4：坐标系与参数方程 （本题满分10分）‎ 已知椭圆：与正半轴、正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，求面积的最大值。‎ ‎22．（本题满分10分）‎ 在四棱锥中，侧面底面，，底面是直角梯形，，，，．设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为45°．‎ ‎23．（本题满分10分）‎ 已知数列是等差数列，且是展开式的前三项的系数.‎ ‎（Ⅰ）求展开式的中间项；‎ ‎（Ⅱ）当时，试比较与的大小.‎ 扬州市2012—2013学年度第一学期期末检测试题 高 三 数 学 参 考 答 案 ‎ 2013．01‎ 第 一 部 分 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）‎ ‎1．；2．；3．；4．；5．； 6．；7．49； 8．；‎ ‎9．③④；10．；11．；12． 216；13．；14．‎ 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎．……… 3分 故，此时，得，‎ ‎∴取最大值时的取值集合为． ………………… 7分 ‎（Ⅱ），，，‎ ‎，． …………………………… 10分 由及正弦定理得于是 ‎． ……………………………………14分 ‎16．（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证：因为平面，‎ 平面，…………………2分 又，是平面内的两条相交直线，‎ 平面， …………………4分 而平面，所以平面⊥平面 …………………6分 ‎（Ⅱ）证：，，和为平面内 两相交直线，平面， …………………8分 连接，平面，， …………………10分 ‎⊥平面，平面，，‎ 又共面，， …………………12分 又平面，平面，平面 …………………14分 ‎17．（本小题满分15分）‎ 解：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，‎ 依题意，有即……3分 由 得 ，解得或.‎ 当时，不合题意舍；‎ 当时，代入(2)得，所以， . …………………7分 ‎（Ⅱ）假设存在满足条件的数列，设此数列的公差为，则 方法1： ，得 对恒成立，‎ 则 …………………10分 解得或此时，或．‎ 故存在等差数列，使对任意都有．其中，‎ 或． …………………15分 方法2：令，，得，‎ 令，得， …………………9分 ‎①当时，得或，‎ 若，则，，，对任意都有；‎ 若，则，，，不满足．‎ ‎…………………12分 ‎②当时，得或，‎ 若，则，，，对任意都有；‎ 若，则，，，不满足．‎ 综上所述，存在等差数列，使对任意都有．其中，或． …………………15分 ‎18．（本小题满分15分）‎ 解：（Ⅰ）设助跑道所在的抛物线方程为，‎ 依题意： …………………3分 解得，，，，‎ ‎∴助跑道所在的抛物线方程为． …………………7分 ‎（Ⅱ）设飞行轨迹所在抛物线为（），‎ 依题意：得解得…………………9分 ‎∴，‎ 令得，，∵，∴，…11分 当时，有最大值为，‎ 则运动员的飞行距离， ………………13分 飞行过程中距离平台最大高度，‎ 依题意，，得，‎ 即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在‎2米到‎3米之间．………………15分 ‎19．（本小题满分16分）‎ 解：（Ⅰ）当时，点C在轴上，且，则，由点B在椭圆上，‎ 得， …………………2分 ‎∴，，∴． …………………4分 ‎（Ⅱ）设椭圆的左焦点为，由椭圆定义知，，‎ ‎∴，则点B在线段的中垂线上，∴，…………6分 又，∴，，∴，‎ 代入椭圆方程得=，∴=．…………9分 ‎（Ⅲ）法一：由得，‎ ‎∴，或，‎ ‎∵，∴，则．……11分 由得，‎ 得，或，同理，得，，……13分 当时，，，‎ ‎，∴ BD⊥AD，∵为圆，‎ ‎∴ ∠ADB所对圆的弦为直径，从而直线BD过定点（a,0）. ……………16分 法二：直线过定点， …………………10分 证明如下：‎ 设，，则：‎ ‎，‎ 所以，又 所以三点共线，即直线过定点。. …………………16分 ‎20．（本小题满分16分）‎ 解：（Ⅰ），由得． …………………3分 ‎（Ⅱ），，………………5分 ‎∵，令得，‎ 当时，，是增函数；‎ 当时，，是减函数．‎ ‎∴当时，有极小值，也是最小值，，……7分 当时，；‎ 当时（可取体验），．‎ 当时，，函数有两个零点；‎ 当时，，函数有两个零点；‎ 当时，，函数有且只有一个零点，‎ 综上所述，存在使得函数有且只有一个零点． …………………9分 ‎（Ⅲ），∵，∴，‎ 得， …………………11分 则，‎ 当时，，设，‎ 则（当且仅当时取等号），‎ ‎∴在上是减函数，‎ 又∵，∴，∴，∴．…………………14分 当时，，设，‎ 则（当且仅当时取等号），‎ ‎∴在上是增函数，‎ 又∵，∴，∴，∴．‎ 综上所述，当时 ，当时………………………………16分 第二部分（加试部分）‎ ‎21．B 选修4 - 2：矩阵与变换（本题满分10分）‎ 解.设,由 …………………3分 得,即，，‎ 所以 …………………10分 ‎21．C． 选修4 - 4：坐标系与参数方程 （本题满分10分）‎ 解：依题意，，，直线：，即 设点的坐标为，则点到直线的距离是 ‎， …………………4分 当时，， …………………6分 所以面积的最大值是 …………………10分 ‎22．（本题满分10分）‎ 解：因为侧面底面，平面平面，，‎ 所以平面，所以，即三直线两两互相垂直。‎ 如图，以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，‎ 则平面的一个法向量为， …………………2分 ‎，所以 ‎，设平面的一个法向量为，由，，‎ 得，‎ 所以 …………………6分 所以，即 注意到，解得． …………………10分 ‎23．（本题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）依题意，，，由可得（舍去），或 …………………2分 所以展开式的中间项是第五项为：；…………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,‎ 当时，‎ 当时，‎ 猜测：当时， …………………6分 以下用数学归纳法加以证明：‎ ‎①时，结论成立，‎ ‎②设当时，，‎ 则时，‎ 由可知，‎ 即 综合①②可得，当时， …………………10分