2010年甘肃省兰州市中考数学试卷

2010年甘肃省兰州市中考数学试卷

一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）‎ ‎1、（2010•兰州）观察下列银行标志，从图案看是中心对称图形的有（　　）个．‎ ‎ A、1个 B、2个 ‎ C、3个 D、4个 考点：中心对称图形；生活中的旋转现象。‎ 分析：根据中心对称图形的概念求解．‎ 解答：解：根据中心对称图形的概念，观察可知，只有第四个不是中心对称图形，其它三个都是中心对称图形．‎ 故选C．‎ 点评：掌握好中心对称与轴对称的概念．‎ 判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；‎ 判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．‎ ‎2、（2010•兰州）函数y=‎2﹣x‎+‎‎1‎x﹣3‎中自变量x的取值范围是（　　）‎ ‎ A、x≤2 B、x=3‎ ‎ C、x＜2且x≠3 D、x≤2且x≠3‎ 考点：函数自变量的取值范围；分式的定义；二次根式有意义的条件。‎ 分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．‎ 解答：解：根据二次根式的意义，被开方数2﹣x≥0，解得x≤2；‎ 根据分式有意义的条件，x﹣3≠0，解得x≠3，‎ 因为小于或等于2的数中不包含3这个数，‎ 所以自变量的范围是x≤2．‎ 故选A．‎ 点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．‎ 要注意x=3不在x≤2的范围内，不需要强调x≠3．‎ ‎3、（2010•兰州）已知一个几何体的三种视图如图所示，则这个几何体是（　　）‎ ‎ A、圆柱 B、圆锥 ‎ C、球体 D、正方体 考点：由三视图判断几何体。‎ 分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．‎ 解答：解：俯视图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆锥，故选B．‎ 点评：本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．‎ ‎4、（2010•兰州）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（　　）‎ ‎ A、4个 B、3个 ‎ C、2个 D、1个 考点：三角形的外接圆与外心；圆的认识；确定圆的条件。‎ 分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．‎ 解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；‎ ‎②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；‎ ‎③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；‎ ‎④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．‎ 故选B．‎ 点评：此题考查了圆中的有关概念：弦、直径、等弧．注意：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．‎ ‎5、（2010•兰州）二次函数y=﹣3x2﹣6x+5的图象的顶点坐标是（　　）‎ ‎ A、（﹣1，8） B、（1，8）‎ ‎ C、（﹣1，2） D、（1，﹣4）‎ 考点：二次函数的性质。‎ 分析：利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣b‎2a，‎4ac﹣‎b‎2‎‎4a），可求函数的顶点坐标．‎ 解答：解：∵a=﹣3、b=﹣6、c=5，∴﹣b‎2a=﹣1，‎4ac﹣‎b‎2‎‎4a=8，即顶点坐标是（﹣1，8）．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了二次函数的顶点坐标．‎ ‎6、（2010•兰州）已知两圆的半径R、r分别为方程x2﹣5x+6=0的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（　　）‎ ‎ A、相交 B、外离 ‎ C、外切 D、内切 考点：相切两圆的性质；解一元二次方程-因式分解法。‎ 分析：本题可先求出方程的根即两圆的半径R、r之和，再根据由数量关系来判断两圆位置关系的方法，确定两圆的位置关系．设两圆圆心距为P，两圆半径分别为R和r，且R≥r，则有：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r．‎ 解答：解：∵两圆的半径分别是方程x2﹣5x+6=0的两根，‎ ‎∴两圆半径和为5，半径积为6，半径差为‎5‎‎2‎‎﹣4×6‎=1即圆心距等于半径差，‎ ‎∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了解一元二次方程和由数量关系来判断两圆位置关系的方法．注意此类题型可直接求出解判断，也可利用根与系数的关系找到两个根的差或和．‎ ‎7、（2010•兰州）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（　　）‎ ‎ A、15° B、28°‎ ‎ C、29° D、34°‎ 考点：圆周角定理。‎ 分析：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，从而可求得∠ACB的度数．‎ 解答：解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，即（86°﹣30°）÷2=28°．‎ 故选B．‎ 点评：此题考查了圆周角的度数和它所对的弧的度数之间的关系：圆周角等于它所对的弧的度数的一半．‎ ‎8、（2010•兰州）某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）‎ ‎ A、7，7 B、8，7.5‎ ‎ C、7，7.5 D、8，6.5‎ 考点：众数；条形统计图；中位数。‎ 专题：图表型。‎ 分析：中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出．‎ 解答：解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组，7环，故众数是7（环）；‎ 因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的环数是7（环）、8（环），故中位数是7.5（环）．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查的是众数和中位数的定义．要注意，当所给数据有单位时，所求得的众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．‎ ‎9、（2010•兰州）如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（　　）‎ ‎ A、4cm B、3cm ‎ C、2cm D、1cm 考点：弧长的计算。‎ 分析：本题考查了圆锥的有关计算，圆锥的表面是由一个曲面和一个圆面围成的，圆锥的侧面展开在平面上，是一个扇形，计算圆锥侧面积时，通过求侧面展开图面积求得，侧面积公式是底面周长与母线乘积的一半，先求扇形的弧长，再求圆锥底面圆的半径，弧长：‎90π×8‎‎180‎=4π，圆锥底面圆的半径：r=‎4π‎2π=2（cm）．‎ 解答：解：弧长：‎90π×8‎‎180‎=4π，‎ 圆锥底面圆的半径：r=‎4π‎2π=2（cm）．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：‎ ‎（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；‎ ‎（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．‎ ‎10、（2010•兰州）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（　　）‎ ‎ A、2 B、‎‎2‎‎3‎ ‎ C、‎3‎ D、3‎ 考点：三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义。‎ 分析：欲求三角形的边长，已知内切圆半径，可过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解．‎ 解答：解：过O点作OD⊥AB，则OD=1；‎ ‎∵O是△ABC的内心，‎ ‎∴∠OAD=30°；‎ Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=1，‎ ‎∴AD=OD•cot30°=‎3‎，‎ ‎∴AB=2AD=2‎3‎．‎ 故选B．‎ 点评：解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出相关的边长或角的度数．‎ ‎11、（2010•兰州）如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=‎3‎‎5‎，则下列结论正确的个数有（　　）‎ ‎①DE=3cm；②BE=1cm；③菱形的面积为15cm2；④BD=2‎10‎cm．‎ ‎ A、1个 B、2个 ‎ C、3个 D、4个 考点：菱形的性质；锐角三角函数的定义。‎ 分析：根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案．‎ 解答：解：∵菱形ABCD的周长为20cm ‎∴AD=5cm ‎∵sinA=DEAD=‎‎3‎‎5‎ ‎∴DE=3cm（①正确）‎ ‎∴AE=4cm ‎∵AB=5cm ‎∴BE=5﹣4=1cm（②正确）‎ ‎∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确）‎ ‎∵DE=3cm，BE=1cm ‎∴BD=‎10‎cm（④不正确）‎ 所以正确的有三个，故选C．‎ 点评：此题主要考查学生对菱形的性质的运用能力．‎ ‎12、（2010•兰州）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元．下列所列方程中正确的是（　　）‎ ‎ A、168（1+a）2=128 B、168（1﹣a%）2=128‎ ‎ C、168（1﹣2a%）=128 D、168（1﹣a2%）=128‎ 考点：由实际问题抽象出一元二次方程。‎ 专题：增长率问题。‎ 分析：本题可先用a表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程．‎ 解答：解：当商品第一次降价a%时，其售价为168﹣168a%=168（1﹣a%）；‎ 当商品第二次降价a%后，其售价为168（1﹣a%）﹣168（1﹣a%）a%=168（1﹣a%）2．‎ ‎∴168（1﹣a%）2=128．故选B．‎ 点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于128即可．‎ ‎13、（2010•兰州）抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣2x﹣3，则b、c的值为（　　）‎ ‎ A、b=2，c=2 B、b=2，c=0‎ ‎ C、b=﹣2，c=﹣1 D、b=﹣3，c=2‎ 考点：二次函数图象与几何变换。‎ 分析：易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值．‎ 解答：解：由题意得新抛物线的顶点为（1，﹣4），‎ ‎∴原抛物线的顶点为（﹣1，﹣1），‎ 设原抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k代入得：y=（x+1）2﹣1=x2+2x，‎ ‎∴b=2，c=0，‎ 故选A．‎ 点评：抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．‎ ‎14、（2010•兰州）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y=‎﹣k‎2‎﹣1‎x的图象上．下列结论中正确的是（　　）‎ ‎ A、y1＞y2＞y3 B、y1＞y3＞y2‎ ‎ C、y3＞y1＞y2 D、y2＞y3＞y1‎ 考点：反比例函数图象上点的坐标特征。‎ 分析：先判断出函数反比例函数y=‎﹣k‎2‎﹣1‎x的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特点进行判断即可．‎ 解答：解：∵k2≥0，∴﹣k2≤0，﹣k2﹣1＜0，‎ ‎∴反比例函数y=‎﹣k‎2‎﹣1‎x的图象在二、四象限，‎ ‎∵点（﹣1，y1）的横坐标为﹣1＜0，∴此点在第二象限，y1＞0；‎ ‎∵（2，y2），（3，y3）的横坐标3＞2＞0，∴两点均在第四象限y2＜0，y3＜0，‎ ‎∵在第四象限内y随x的增大而增大，‎ ‎∴0＞y3＞y2，‎ ‎∴y1＞y3＞y2．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．‎ ‎15、（2010•兰州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=a+b+cx在同一坐标系内的图象大致为（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象。‎ 分析：本题需要根据抛物线的位置，反馈数据的信息，即a+b+c，b，b2﹣4ac的符号，从而确定反比例函数、一次函数的图象位置．‎ 解答：解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c＜0；‎ ‎∴双曲线y=‎a+b+cx的图象在第二、四象限；‎ 由于抛物线开口向上，所以a＞0；‎ 对称轴x=‎﹣‎b‎2a＞0，所以b＜0；‎ 抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0；‎ ‎∴直线y=bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与各系数的关系，同学们要细心解答．‎ 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）‎ ‎16、（2010•兰州）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ．‎ 考点：根的判别式。‎ 分析：一元二次方程有实数根应注意两种情况：△≥0，二次项的系数不为0．‎ 解答：解：由题意得：1﹣4（m﹣1）≥0；m﹣1≠0，‎ 解得：m≤‎5‎‎4‎且m≠1．‎ 点评：一元二次方程有实数根应注意两种情况：△≥0，二次项的系数不为0．‎ ‎17、（2010•兰州）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为 ．‎ 考点：旋转的性质；直角梯形。‎ 分析：此题在旋转的基础上，巧妙作辅助线：作DG⊥BC于G，作EF⊥AD于F．构造全等三角形和矩形，根据全等三角形的性质和矩形的性质进行计算．‎ 解答：解：如图，作DG⊥BC于G，作EF⊥AD于F．得矩形ABGD，则BG=AD=2．‎ ‎∵△ADE的面积为3．‎ ‎∴EF=3．‎ 根据旋转的性质，可知DE=DC，DE⊥DC，∠CDG=∠EDF．‎ ‎∴△CDG≌△EDF．‎ ‎∴EF=GC=3，‎ ‎∴BC=BG+GC=2+3=5．‎ 点评：本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．‎ ‎18、（2010•兰州）如图，扇形OAB，∠AOB=90°，⊙P与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是 ．‎ 考点：扇形面积的计算；相切两圆的性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据题意，构造直角三角形求得扇形的半径与圆的半径的关系，进而根据面积的求法求得扇形OAB的面积与⊙P的面积比．‎ 解答：解：连接OC，PE．‎ 设PE为1，易得OP=‎2‎，那么OC=‎2‎+1．‎ ‎∴扇形OAB的面积=‎90×π‎（‎2‎+1）‎‎2‎‎360‎；‎ ‎⊙P的面积=π，‎ ‎∴扇形OAB的面积与⊙P的面积比是‎3+2‎‎2‎‎4‎．‎ 点评：连接圆心和切点是常用的辅助线做法，本题的关键是求得扇形半径与圆半径之间的关系．‎ ‎19、（2010•兰州）如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米．‎ 考点：相似三角形的应用。‎ 分析：根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答．‎ 解答：解：设甲的影长是x米，‎ ‎∵△ADE∽ACB，‎ ‎∴DEBC=ADAC，‎ ‎∴‎1.5‎‎1.8‎=x﹣1‎x，‎ 解得：x=6．‎ 所以则甲的影长是6米．‎ 点评：根据身高与影长的比例不变，得出三角形相似，运用相似比即可解答．‎ ‎20、（2010•兰州）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 ‎ 米．‎ 考点：二次函数的应用。‎ 分析：根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．‎ 解答：解：设函数解析式为y=ax2+bx+c 建立直角坐标系可得A（0，2.5），B（2，2.5），C（0.5，1）‎ 把A、B、C三点分别代入得出c=2.5‎ 同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1‎ 解之得a=2，b﹣4，c=﹣2.5．‎ ‎∴y=2x2﹣4x+2.5．‎ ‎∵2＞0‎ ‎∴当x=﹣1时，y=0.5米．‎ ‎∴填0.5米．‎ 点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．‎ 三、解答题（共8小题，满分70分）‎ ‎21、（2010•兰州）（1）|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+‎（﹣‎1‎‎2‎）‎‎﹣2‎+‎1‎‎2‎‎12‎；‎ ‎（2）已知：y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x=1时，y=3；x=﹣1时，y=1．求x=﹣‎1‎‎2‎时，y的值．‎ 考点：实数的运算；待定系数法求二次函数解析式。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；‎ ‎（2）根据题意，列出正反比例，把x=1，y=3，x=﹣1，y=1分别代入求得结果．‎ 解答：解：（1）原式=|2﹣‎3‎|﹣1+4+‎‎3‎ ‎=2﹣‎3‎+3+‎‎3‎ ‎=5；‎ ‎（2）y1与x2成正比例，y2与x成反比例 设y1=k1x2，y2=k‎2‎x，y=k1x2+‎k‎2‎x 把x=1，y=3，x=﹣1，y=1分别代入上式，得 ‎&3=k‎1‎+‎k‎2‎‎&1=k‎1‎﹣‎k‎2‎ ‎∴‎‎&k‎1‎=2‎‎&k‎2‎=1‎ ‎∴y=2x2+‎1‎x，‎ 当x=﹣‎1‎‎2‎时，y=2×（﹣‎1‎‎2‎）2+‎1‎‎﹣‎‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎﹣2=﹣‎3‎‎2‎．‎ 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．‎ ‎22、（2010•兰州）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．‎ ‎（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积．‎ 考点：作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心。‎ 分析：（1）想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．即分别作三边的垂直平分线的交点就是圆心的位置．‎ ‎（2）解直角三角形求出圆的半径，再根据圆的面积公式计算．‎ 解答：解：（1）‎ ‎⊙O即为所求做的花园的位置．（4分）‎ ‎（2）‎ 解：∵∠BAC=90°，∴BC是直径．‎ ‎∵AB=8米，AC=6米，‎ ‎∴BC=10米 ‎∴△ABC外接圆的半径为5米（5分）‎ ‎∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．（6分）‎ 点评：本题主要考查了三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，及90‎ 度的圆周角所对的弦是直径，然后利用勾股定理求半径，从而求圆的面积．‎ ‎23、（2010•兰州）小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看．可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小敏，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去．‎ ‎（1）请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率；‎ ‎（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．‎ 考点：游戏公平性；列表法与树状图法。‎ 分析：游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．‎ 解答：解：（1）根据题意，我们可以画出如下的树形图：‎ ‎（3分）‎ 或者：根据题意，我们也可以列出下表：‎ ‎（3分）‎ 从树形图（表）中可以看出，所有可能出现的结果共有16个，这些结果出现的可能性相等．而和为偶数的结果共有6个，所以小敏看比赛的概率P（和为偶数）=‎6‎‎16‎=‎3‎‎8‎．（6分）‎ ‎（2）哥哥去看比赛的概率P（和为奇数）=1﹣‎3‎‎8‎=‎5‎‎8‎，因为‎3‎‎8‎＜‎5‎‎8‎，所以哥哥设计的游戏规则不公平；（8分）‎ 如果规定点数之和小于等于10时则小敏（哥哥）去，点数之和大于等于11时则哥哥（小敏）去．则两人去看比赛的概率都为‎1‎‎2‎，那么游戏规则就是公平的．（10分）‎ 或者：如果将8张牌中的2、3、4、5四张牌给小敏，而余下的6、7、8、9‎ 四张牌给哥哥，则和为偶数或奇数的概率都为‎1‎‎2‎，那么游戏规则也是公平的．（只要满足两人手中点数为偶数（或奇数）的牌的张数相等即可．）（10分）‎ 点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎24、（2010•兰州）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．‎ ‎（1）求新传送带AC的长度；‎ ‎（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：‎2‎≈1.41，‎3‎≈1.73，‎5‎≈2.24，‎6‎≈2.45）‎ 考点：解直角三角形的应用。‎ 分析：（1）过A作BC的垂线AD．在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长．‎ ‎（2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC、PC的长．然后判断PC的值是否大于2米即可．‎ 解答：解：（1）如图，作AD⊥BC于点D． （1分）‎ Rt△ABD中，‎ AD=ABsin45°=4×‎2‎‎2‎=2‎2‎． （2分）‎ 在Rt△ACD中，‎ ‎∵∠ACD=30°，‎ ‎∴AC=2AD=4‎2‎≈5.6． （3分）‎ 即新传送带AC的长度约为5.6米；（4分）‎ ‎（2）结论：货物MNQP应挪走． （5分）‎ 解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4×‎2‎‎2‎=2‎2‎． （6分）‎ 在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2‎6‎．‎ ‎∴CB=CD﹣BD=2‎6‎﹣2‎2‎=2（‎6‎﹣‎2‎）≈2.1．‎ ‎∵PC=PB﹣CB≈4﹣2.1=1.9＜2，（7分）‎ ‎∴货物MNQP应挪走． （8分）‎ 点评：应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．‎ ‎25、（2010•兰州）如图，P1是反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限图象上的一点，点A1的坐标为（2，0）．‎ ‎（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？‎ ‎（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标．‎ 考点：反比例函数综合题。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）设P1（x，y），根据反比例函数的图象性质，可知y随x的增大而减小．又△P1OA1的面积=‎1‎‎2‎×0A1×y=y．故当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将逐渐减小．‎ ‎（2）由于△P1OA1为等边三角形，作P1C⊥OA1，垂足为C，由等边三角形的性质及勾股定理可求出点P1的坐标，根据点P1是反比例函数y=kx图象上的一点，利用待定系数法求出此反比例函数的解析式；作P2D⊥A1A2，垂足为D．设A1D=a，由于△P2A1A2为等边三角形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的代数式分别表示点P2的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出A2点的坐标．‎ 解答：解：（1）设P1（x，y），则△P1OA1的面积=‎1‎‎2‎×0A1×y=y．‎ 又∵当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小．‎ 故当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将逐渐减小．‎ ‎（2）作P1C⊥OA1，垂足为C，‎ 因为△P1OA1为等边三角形，‎ 所以OC=1，P1C=‎3‎，‎ 所以P1（1，‎3‎）．‎ 代入y=kx，得k=‎3‎，‎ 所以反比例函数的解析式为y=‎3‎x．‎ 作P2D⊥A1A2，垂足为D．‎ 设A1D=a，‎ 则OD=2+a，P2D=‎3‎a，‎ 所以P2（2+a，‎3‎a）．‎ 代入y=‎3‎x，得（2+a）•‎3‎a=‎3‎，‎ 化简得a2+2a﹣1=0‎ 解得：a=﹣1±‎2‎．‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴a=﹣1+‎2‎．‎ 所以点A2的坐标为（2‎2‎，0）．‎ 点评：此题综合考查了反比例函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，正三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．‎ ‎26、（2010•兰州）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．‎ ‎（1）求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：BC=‎1‎‎2‎AB；‎ ‎（3）点M是AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．‎ 考点：切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；‎ ‎（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；‎ ‎（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC；代入数据可得MN•MC=BM2=8．‎ 解答：解：（1）∵OA=OC，‎ ‎∴∠A=∠ACO．‎ 又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，‎ ‎∴∠A=∠ACO=∠PCB．‎ 又∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACO+∠OCB=90°．‎ ‎∴∠PCB+∠OCB=90°．‎ 即OC⊥CP，‎ ‎∵OC是⊙O的半径．‎ ‎∴PC是⊙O的切线．（3分）‎ ‎（2）∵AC=PC，‎ ‎∴∠A=∠P，‎ ‎∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．‎ 又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，‎ ‎∴∠COB=∠CBO，‎ ‎∴BC=OC．‎ ‎∴BC=‎1‎‎2‎AB．（6分）‎ ‎（3）连接MA，MB，‎ ‎∵点M是AB的中点，‎ ‎∴AM‎=‎BM，‎ ‎∴∠ACM=∠BCM．‎ ‎∵∠ACM=∠ABM，‎ ‎∴∠BCM=∠ABM．‎ ‎∵∠BMN=∠BMC，‎ ‎∴△MBN∽△MCB．‎ ‎∴BMMC‎=‎MNBM．‎ ‎∴BM2=MN•MC．‎ 又∵AB是⊙O的直径，AM‎=‎BM，‎ ‎∴∠AMB=90°，AM=BM．‎ ‎∵AB=4，‎ ‎∴BM=2‎2‎．‎ ‎∴MN•MC=BM2=8．（10分）‎ 点评：此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用．‎ ‎27、（2010•兰州）已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8．‎ ‎（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积；‎ ‎（2）若AC与BD的夹角∠AOD=60°，求四边形ABCD的面积；‎ ‎（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=θ，AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积（用含θ，a，b的代数式表示）．‎ 考点：平行四边形的性质；三角形的面积；解直角三角形。‎ 分析：（1）因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积等于对角线乘积的一半；‎ ‎（2）过点A分别作AE⊥BD，根据平行四边形对角线互相平分和正弦定理求出△AOD的面积，那么四边形ABCD的面积=4△AOD的面积；‎ ‎（3）作辅助线AE⊥BD，CF⊥BD，利用正弦定理求出△BCD、△ABD的高，那么四边形ABCD的面积=△BCD的面积+△ABD的面积．‎ 解答：解：（1）∵AC⊥BD，‎ ‎∴四边形ABCD的面积=‎1‎‎2‎AC•BD=40．‎ ‎（2）过点A分别作AE⊥BD，垂足为E． （3分）‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AO=CO=‎1‎‎2‎AC=5，BO=DO=‎1‎‎2‎BD=4．‎ 在Rt△AOE中，sin∠AOE=AEAO，‎ ‎∴AE=AO•sin∠AOE=AO×sin60°=5×‎3‎‎2‎=‎5‎‎3‎‎2‎． （4分）‎ ‎∴S△AOD=‎1‎‎2‎OD•AE=‎1‎‎2‎×4×‎3‎‎2‎×5=5‎3‎． （5分）‎ ‎∴四边形ABCD的面积S=4S△AOD=20‎3‎． （6分）‎ ‎（3）如图所示过点A，C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （7分）‎ 在Rt△AOE中，sin∠AOE=AEAO，‎ ‎∴AE=AO•sin∠AOE=AO•sinθ．‎ 同理可得 CF=CO•sin∠COF=CO×sinθ． （8分）‎ ‎∴四边形ABCD的面积 S=S△ABD+S△CBD=‎1‎‎2‎BD•AE+‎1‎‎2‎BD•CF ‎=‎1‎‎2‎BDsinθ（AO+CO）‎ ‎=‎1‎‎2‎BD•ACsinθ ‎=‎1‎‎2‎absinθ．‎ 点评：根据平行四边形的性质，结合直角三角形求解．‎ ‎28、（2010•兰州）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0）‎ ‎（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？‎ ‎（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动．设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．‎ ‎①当t=‎11‎‎4‎时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；‎ ‎②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：压轴题；分类讨论。‎ 分析：（1）根据O、E的坐标即可确定抛物线的解析式，进而求出其顶点坐标，即可得出所求的结论；‎ ‎（2）①当t=‎11‎‎4‎时，OA=AP=‎11‎‎4‎，由此可求出P点的坐标，将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；‎ ‎②此题要分成两种情况讨论：‎ 一、PN=0时，即t=0或t=3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是△PCD，以CD为底AD长为高即可求出其面积；‎ 二、PN≠0时，即0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是梯形PNCD ‎，根据抛物线的解析式可表示出N点的纵坐标，从而得出PN的长，根据梯形的面积公式即可求出此时S、t的函数关系式，令S=5，可得到关于t的方程，若方程有解，根据求得的t值即可确定N点的坐标，若方程无解，则说明以P、N、C、D为顶点的多边形的面积不可能为5．‎ 解答：解：（1）因抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点O（0，0）和点E（4，0），‎ 故可得c=0，b=4，‎ 所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x（1分），‎ 由y=﹣x2+4x，y=﹣（x﹣2）2+4，‎ 得当x=2时，该抛物线的最大值是4；（2分）‎ ‎（2）①点P不在直线ME上；‎ 已知M点的坐标为（2，4），E点的坐标为（4，0），‎ 设直线ME的关系式为y=kx+b；‎ 于是得‎&4k+b=0‎‎&2k+b=0‎，‎ 解得‎&k=﹣2‎‎&b=8‎ 所以直线ME的关系式为y=﹣2x+8；（3分）‎ 由已知条件易得，当t=‎11‎‎4‎时，OA=AP=‎11‎‎4‎，P（‎11‎‎4‎，‎11‎‎4‎）（4分）‎ ‎∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=﹣2x+8；‎ ‎∴当t=‎11‎‎4‎时，点P不在直线ME上；（5分）‎ ‎②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5‎ ‎∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，‎ ‎∴OA=AP=t；‎ ‎∴点P、N的坐标分别为（t，t）、（t，﹣t2+4t）（6分）‎ ‎∴AN=﹣t2+4t（0≤t≤3），‎ ‎∴AN﹣AP=（﹣t2+4t）﹣t=﹣t2+3t=t（3﹣t）≥0，‎ ‎∴PN=﹣t2+3t（7分）‎ ‎（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，‎ ‎∴S=‎1‎‎2‎DC•AD=×3×2=3；‎ ‎（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 ‎∵PN∥CD，AD⊥CD，‎ ‎∴S=‎1‎‎2‎（CD+PN）•AD=‎1‎‎2‎[3+（﹣t2+3t）]×2=﹣t2+3t+3（8分）‎ 当﹣t2+3t+3=5时，解得t=1、2（9分）‎ 而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5‎ 综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，‎ 当t=1时，此时N点的坐标（1，3）（10分）‎ 当t=2时，此时N点的坐标（2，4）．（11分）‎ 说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合，（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ ‎）也可以，不扣分）‎ 点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线的顶点坐标的求法、图形的面积求法以及二次函数的应用．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ zhjh；CJX；lanyan；csiya；fuaisu；lanyuemeng；py168；未来；MMCH；Linaliu；zhangbo；ln_86；lzhzkkxx；zhehe；HJJ；lanchong；xinruozai；bjy；haoyujun；kuaile；mmll852；huangling；wangcen；zcx；zhangCF。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日