2020九年级数学下册 第1章 二次函数 专题训练（一）二次函数与几何小综合练习 （新版）湘教版

2020九年级数学下册 第1章 二次函数 专题训练（一）二次函数与几何小综合练习 （新版）湘教版

专题训练(一)　二次函数与几何小综合 一、二次函数与三角形的结合 ‎1．如图1－ZT－1，已知抛物线y＝x2－x－3与x轴的交点为A，D(点A在点D的右侧)，与y轴的交点为C.‎ ‎(1)直接写出A，D，C三点的坐标；‎ ‎(2)若点M(点M不与点C重合)在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标．‎ ‎ 图1－ZT－1‎ ‎2．如图1－ZT－2所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(－1，8)并与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为(3，0)．‎ 8‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式；‎ ‎(2)若抛物线与y轴交于点C，顶点为P，求△CPB的面积．‎ ‎ 图1－ZT－2‎ ‎3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝－x2＋(k－1)x＋4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S△OAB＝6.‎ ‎(1)求点A与点B的坐标；‎ ‎(2)求此二次函数的表达式；‎ ‎(3)如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．‎ 二、二次函数与平行四边形的结合 ‎4．如图1－ZT－3，四边形ABCD是平行四边形，过点A，C，D作抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且点A，B，D的坐标分别为(－2，0)，(3，0)，(0，4)．求抛物线的函数表达式．‎ ‎ 图1－ZT－3‎ 8‎ 三、二次函数与矩形、菱形、正方形的结合 ‎5．如图1－ZT－4所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B，C两点，D为抛物线的顶点，连接AC，BD，CD.‎ ‎(1)求此抛物线的函数表达式；‎ ‎(2)求此抛物线的顶点D的坐标和四边形ABDC的面积．‎ ‎ 图1－ZT－4‎ ‎6．2018·金华如图1－ZT－5，抛物线y＝ax2＋bx(a＜0)过点E(10，0)，矩形ABCD的AB边在线段OE上(点A在点B的左边)，点C，D在抛物线上．设A(t，0)，当t＝2时，AD＝4.‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式．‎ ‎(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？‎ ‎(3)保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有G，H两个交点，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．‎ ‎ 图1－ZT－5‎ 四、二次函数与平移的结合 ‎7．如图1－ZT－6①，在平面直角坐标系中有等腰直角三角形ABO，AB＝OB＝8，∠ABO＝90°，OC与y轴正半轴所夹的角为45°，射线OC以每秒2个单位的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动．设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.‎ ‎(1)求y与x之间的函数表达式．‎ ‎(2)当x＝3时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于点G，如图1－ZT－6②‎ 8‎ 所示，求经过G，O，B三点的抛物线的函数表达式．‎ ‎(3)现有一动点P在(2)中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在△POB的面积S＝8的情况？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 图1－ZT－6‎ 8‎ 教师详解详析 ‎1．解：(1)A(4，0)，D(－2，0)，C(0，－3)．‎ ‎(2)∵S△CAD＝AD·OC，S△MAD＝AD·|yM|，‎ ‎∴当S△CAD＝S△MAD时，‎ AD·OC＝AD·|yM|，‎ 即×6×3＝×6×|yM|，‎ 解得yM＝±3，即x2－x－3＝±3，‎ 解得x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)，x3＝1＋，x4＝1－，‎ ‎∴点M的坐标为(2，－3)或(1＋，3)或(1－，3)．‎ ‎2．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(－1，8)与点B(3，0)，∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3.‎ ‎(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴P(2，－1)．过点P作PH⊥y轴于点H，过点B作BM∥y轴交直线PH于点M，过点C作CN⊥y轴交直线BM于点N，如图所示．‎ S△CPB＝S矩形CHMN－S△CHP－S△PMB－S△CNB＝3×4－×2×4－×1×1－×3×3＝3，即△CPB的面积为3.‎ ‎3．解：(1)由表达式，可知点A的坐标为(0，4)．‎ ‎∵S△OAB＝OB·OA＝×4·OB＝6，‎ ‎∴OB＝3.∴点B的坐标为(－3，0)．‎ ‎(2)把B(－3，0)代入y＝－x2＋(k－1)x＋4，得－(－3)2＋(k－1)×(－3)＋4＝0.‎ 解得k－1＝－.‎ ‎∴所求二次函数的表达式为y＝－x2－x＋4.‎ ‎(3)∵△ABP是等腰三角形，∴有三种情况：‎ ‎①当AB＝AP时，点P的坐标为(3，0)；‎ ‎②当AB＝BP时，点P的坐标为(2，0)或(－8，0)；‎ ‎③当AP＝BP时，设点P的坐标为(x，0)．根据题意，得＝，‎ 8‎ 解得x＝，∴点P的坐标为(，0)．‎ 综上所述，点P的坐标为(3，0)，(2，0)，(－8，0)或(，0)．‎ ‎4．解：由已知，得点C(5，4)．‎ 把A(－2，0)，D(0，4)，C(5，4)代入抛物线的函数表达式y＝ax2＋bx＋c，‎ 得解得 所以抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋4.‎ ‎5．解：(1)由已知，得C(0，4)，B(4，4)，把点B与点C的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，得 ‎ 解得 ‎∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋4.‎ ‎(2)∵y＝－x2＋2x＋4＝－(x－2)2＋6，‎ ‎∴抛物线的顶点D的坐标为(2，6)，则S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝×4×4＋×4×2＝8＋4＝12.‎ ‎6．解：(1)设抛物线的函数表达式为y＝ax(x－10)．‎ ‎∵当t＝2时，AD＝4，‎ ‎∴点D的坐标是(2，4)．‎ ‎∴4＝a×2×(2－10)，解得a＝－.‎ ‎∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x.‎ ‎(2)由抛物线的对称性，得BE＝OA＝t，‎ ‎∴AB＝10－2t.当x＝t时，y＝－t2＋t.‎ ‎∴矩形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝2[(10－2t)＋(－t2＋t)]＝－t2＋t＋20＝－(t－1)2＋.‎ ‎∵－＜0，‎ ‎∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是.‎ 8‎ ‎(3)当t＝2时，点A，B，C，D的坐标分别为(2，0)，(8，0)，(8，4)，(2，4)．‎ ‎∴矩形ABCD的对角线交于点P(5，2)．当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为(4，4)，此时GH不能将矩形的面积平分；当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为(6，0)，此时GH也不能将矩形的面积平分．∴当G，H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不能将矩形的面积平分．∴当点G，H分别落在线段AB，DC上，且直线GH过点P时，能平分矩形ABCD的面积．∵AB∥CD，∴线段OD平移后得到线段GH.∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P.在△OBD中，PQ是中位线，∴PQ＝OB＝4.∴抛物线向右平移的距离是4个单位．‎ ‎7．解：(1)由题意，可知射线OC扫过Rt△ABO的部分为等腰直角三角形，斜边长为2x，‎ 则斜边上的高为×2x＝x，‎ ‎∴y＝×2x×x＝x2(0≤x≤4)．‎ ‎(2)过点G作GD⊥OB，垂足为D，则在等腰直角三角形OO′G中，GD也是斜边OO′上的中线．‎ ‎∵OO′＝3×2＝6，‎ ‎∴GD＝OD＝OO′＝3，‎ ‎∴点O′，G的坐标分别为(6，0)，(3，3)．‎ 由抛物线经过点O(0，0)，B(8，0)，可设其表达式为y＝ax(x－8)．‎ 把G(3，3)代入表达式，得a×3×(3－8)＝3，‎ 解得a＝－.‎ ‎∴抛物线的函数表达式为y＝－x(x－8)，‎ 即y＝－x2＋x.‎ ‎(3)存在．设符合条件的点P的坐标为(x，y)，则S＝×8·＝8，‎ 解得y＝±2.‎ 当y＝2时，由－x2＋x＝2，‎ 解得x＝4±；‎ 当y＝－2时，由－x2＋x＝－2，‎ 8‎ 解得x＝4±.‎ ‎∴符合条件的点P的坐标为(4＋，2)或(4－，2)或(4＋，－2)或(4－，－2)．‎ 8‎