人教版初中数学九年级下册课件28.2.1 解直角三角形

人教版初中数学九年级下册课件28.2.1 解直角三角形

导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 28.2 解直角三角形及其应用 第二十八章 锐角三角函数 28.2.1 解直角三角形 学习目标 1. 了解并掌握解直角三角形的概念； 2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系. (重点) 3. 学会解直角三角形. (难点) 导入新课 A C B c b a(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____； (2) 锐角之间的关系： ∠A+∠B=_____； (3) 边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____， tanA=_____. 如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三 个角）， 其中∠C=90°. c2 90° b c 复习引入 a ca b 讲授新课 已知两边解直角三角形一 在图中的Rt△ABC中， (1) 根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直 角三角形的其他元素吗？ sin sin 6 sin 75BCA BC AB AAB       cos cos 6 cos75ACA AC AB AAB       90 90 90 75 15 .A B B A                A B C 6 合作探究 75° (2) 根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三 角形的其他元素吗？ 2 2 2 2 2 2 26 2.4 5.5AB AC BC BC AB AC        2.4cos cos 0.4 666 ACA A AAB         90 90 90 66 24A B B A            A B C 6 2.4 在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条 边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有 1个是边），就可以求出其余的3个未知元素. 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元 素的过程，叫作解直角三角形. 60A  ， 90 90 60 30B A         ， 2 2 2.AB AC  A BC 2 6 解： 6tan 3 2 BCA AC    ， 典例精析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = ， ，解这个直角三角形.6BC 2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a = 30，b = 20，根据条 件解直角三角形. 解：根据勾股定理 2 2 2 230 20 10 13c a b     ， 30 3tan 1.520 2 aA b     ， 56.3 .A  ∴ 90 90 56.3 33.7 .B A         ∴ A B Cb=20 a=30c 练一练 已知一边及一锐角解直角三角形二 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°， b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位). A BC b 20 c a 35° tan ,bB a  解： 90 =90 35 =55 .A B     ∠ ∠ 20 28.6.tan tan35 ba B     sin ,bB c  20 34.9.sin sin35 bc B     1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝72°，c = 14. 根据条件解直角三角形. A B C b a c=14 解：sin ,bB c  sin 14 sin 72 13.3.b c B    90 72 18 .A      cos ,aB c  cos 14 cos72 4.33.a c B    练一练 2. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长． 提示：作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义，在 Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出 CD，AD，BD 的长，从而求解． 在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB－∠ACD=45°， D 解：如图，作CD⊥AB于点D， 在Rt△ACD中，∵∠A=30°， ∴∠ACD=90°-∠A=60°， 1 2,2CD AC ∴ = 3cos 4 2 3.2AD AC A   = ∴BD=CD=2. 2 2 2.cosBC DCB  ∠ 2 2 3.AB AD BD   ∴ 已知一锐角三角函数值解直角三角形三 例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ， BC = 5， 试求AB的长. 1 3 AC B 解： 190 cos 3C A   ， ， 1.3 AC AB   设 1, 3AB x AC x  ， 2 2 2AB AC BC  ， 2 2 21 5 .3x x      AC B1 2 15 2 15 2, .4 4x x    （舍去） ∴ AB的长为15 2 .4 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = ，BC=6，则 AB的值为 ( ) A．4 B．6 C．8 D．10 3 5 D 2. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4， sinB＝ ，则菱形的周长是 ( ) A．10 B．20 C．40 D．28 4 5 C 练一练 2. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4， sinB＝ ，则菱形的周长是 ( ) A．10 B．20 C．40 D．28 4 5 C 图① 提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论. 例4 在△ABC中，AB= ，AC=13，cos∠B= ， 求BC的长. 12 2 2 2 解：∵cos∠B = ，∴∠B=45°，2 2 当△ABC为钝角三角形时，如图①， =12 2 =45AB B ∵ ，∠ ， = = cos 12.AD BD AB B ∴ ∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5 ∴BC=BD-CD=12-5=7； 图② 当△ABC为锐角三角形时，如图②， BC=BD+CD=12+5=17. ∴ BC的长为7或17. 当堂练习 C 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， AB=8，则BC的长是 ( ) 4 3A. 4 B.4 C.8 3 D.4 3 D 1. 在RT△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A， ∠B，∠C的对边，则下列各式正确的是 ( ) A. b=a·tanA B. b=c·sinA C. b=c·cosA D. a=c·cosA 3. 在RT△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32， 则 AC = (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75). 4. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3， cosB = ，则 AC 的长为 . 4 5 24 3.75 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 ，解这个直角三角形.4 3AD  解： 6 3cos 24 3 ACCAD AD     ， 30CAD  ， ∵ AD平分∠BAC， 60 30CAB B     ， ， 12 6 3.AB BC  ， D A BC 6 4 3 解：过点 A作 AD⊥BC于D. 在△ACD中，∠C=45°，AC=2， ∴CD=AD=sinC · AC= 2sin45°= . 在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= ∴BC=CD+BD= 6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2， 求BC. D A B C 2 2 6. 32 6.tan 3 AD B    解直角三角形 依据 解法：只要知道五个元素中的两 个元素（至少有一个是边），就 可以求出余下的三个未知元素 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 课堂小结