数学冀教版九年级上册教案24-4一元二次方程的应用（2）

数学冀教版九年级上册教案24-4一元二次方程的应用（2）

- 1 - 24.4 一元二次方程的应用（2） 教学目标 【知识与能力】 1.会根据具体问题,找到增长率问题中的等量关系,列出一元二次方程并求解. 2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理. 3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键. 【过程与方法】 1.经历将实际问题抽象为方程问题的过程,探索问题中的数量关系,进一步体会数学中的建 模思想. 2.培养学生应用数学的意识,提高学生分析问题、解决问题的能力. 3.通过根据实际问题列方程,体会数学与生活息息相关. 【情感态度价值观】 1.通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识的应用价值,激发学生学习数学的兴 趣. 2.进一步培养学生合作的意识和自主探究的学习能力. 教学重难点 【教学重点】 列一元二次方程解增长率问题的应用题. 【教学难点】 在实际问题中找等量关系列方程. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课引入： 导入一: 复习提问: 1.解一元二次方程有哪些方法? 2.列一元一次方程解应用题有哪些步骤? 【师生活动】 学生回答,教师点评. ①审题;②设未知数;③找相等关系;④列方程;⑤解方程;⑥答. 导入二: 某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中可变成本逐年增长,已知该养殖户 第一年的可变成本为 2.6 万元,第二年的可变成本为 2.86 万元,则可变成本每年的增长率是 多少? 【师生活动】 学生独立完成后小组内交流答案,教师针对解应用题的步骤做出点评. [设计意图] 通过复习一元二次方程的有关解法,为本节课做好铺垫,同时以增长率有关的 一元一次方程引入新课,为本节课建立一元二次方程的数学模型解决增长率的实际问题打下 基础,降低了本节课知识的难度,学生易于理解和掌握. - 2 - 二、新知构建： [过渡语] 我们刚才用一元一次方程知识解决了简单的增长率问题,今天我们继续学习 和增长率有关的应用问题. 一起探究 一元二次方程解增长率问题 【课件展示】 随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高,汽车已越来越 多地进入普通家庭.据某市交通部门统计,2010 年底,该市汽车保有量为 15 万辆,截至 2012 年底,汽车保有量已达 21.6 万辆.若该市这两年汽车保有量增长率相同,求这个增长率. 思路一 教师引导分析回答以下问题: 设年增长率为 x,请你思考并解决下面的问题: (1)2011 年底比 2010 年底增加了 万辆汽车,达到了 万辆. (2)2012 年底比 2011 年底增加了 万辆汽车,达到了 万辆. (3)根据题意,列出的方程是 . (4)解方程,回答原问题,并与同学交流解题的思路和过程. 【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流,完成解答过程后交流答案,学生板书展示结果, 教师点评并规范答题格式. 解:设年增长率为 x,根据题意得: 15(1+x)2=21.6, 解方程得 x1=0.2,x2=-2.2(不合题意舍去). 答:这个增长率为 20%. 拓展提问: 如果增长率不变,2013 年底,该市汽车保有量达到多少万辆? 学生思考,独立完成,教师补充. 思路二 【思考】 (1)基数是 a,增长率为 x,则第一年增长多少?增长到多少?第二年增长多少?增长到多少? (2)本题中有哪些数量关系? (3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程? (4)根据等量关系列方程并求解. (5)如果增长率不变,2013 年底,该市汽车保有量达到多少万辆? 【师生活动】 针对以上问题,小组讨论交流,共同探究,教师对疑惑较多的问题要点拨,然后 小组代表板书自己的解答过程,老师进行点评,教给学生如何审题、分析题. 解:设年增长率为 x,根据题意得: 15(1+x)2=21.6, 解方程得 x1=0.2,x2=-2.2(不合题意舍去). 答:这个增长率为 20%. 如果增长率不变,则 2013 年底该市汽车保有量为 21.6×(1+20%)=25.92(万辆). [设计意图] 把分析问题的过程设置成小问题的形式,通过教师的引导或者小组合作交流, 学生层层递进的方式分析并解决问题,降低了学习难度,进一步培养学生分析问题的能力. 做一做 【课件展示】 某工厂工业废气年排放量为 300 万立方米.为改善城市环境质量,决定在两年 内使废气年排放量减少到 144 万立方米.如果第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的 百分率的 2 倍,那么每年废气减少的百分率各是多少? - 3 - 【思考】 (1)题目中的已知量和未知量分别是什么? (工业废气年排放量为300万立方米和两年内使废气年排放量减少到144万立方米;每年废气 减少的百分率) (2)未知量之间的数量关系是什么? (第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的 2 倍) (3)如何设未知数? (设第一年废气减少的百分率为 x,则第二年废气减少的百分率为 2x) (4)题目中的等量关系是什么? (工业废气年排放量 300 万立方米减少两次=144 万立方米) (5)如何根据等量关系列出方程? (300(1-x)(1-2x)=144) (6)你能求解方程,写出正确答案吗? 【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流,再独立完成,完成后小组内交流答案,同时小 组代表板书解题过程,教师帮助有困难的学生,对学生的板书进行规范和点评. [设计意图] 该题涉及连续减少的减少率问题,为了降低学生的理解困难,将分析过程设计 成小问题的形式,通过小组合作交流、自主探究,建立一元二次方程模型解决减少率问题,提 高学生分析问题、解决问题的能力,同时与增长率问题作比较,弄明白两者之间的区别与联 系. 例题讲解 【课件展示】 (教材 49 页例 3)建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经过市场调查发现:搭建 一个面积为x(公顷)的大棚,所需建设费用(万元)与x+2成正比例,比例系数为0.6;内部设备 费用(万元)与 x2 成正比例,比例系数为 2.某农户新建了一个大棚,投入的总费用为 4.8 万元. 请计算该农户新建的这个大棚的面积.(总费用=建设费用+内部设备费用) 教师引导思考: (1)建设费用与 x+2 成正比例,比例系数为 0.6,则建设费用可表示成 ; (2)内部设备费用与 x2 成正比例,比例系数为 2,则内部设备费用可表示成 ; (3)题目中的等量关系是 ; (4)根据题意列方程得 . 【师生活动】 教师引导学生分析填空后,学生独立完成解答过程,教师点评. 【课件展示】 解:依题意,得 0.6(x+2)+2x2=4.8. 整理,得 10x2+3x-18=0. 解方程,得 x1=1.2,x2=-1.5(不合题意,舍去). 答:该农户新建的这个大棚的面积为 1.2 公顷. [设计意图] 教师引导学生分析题意,难点是用代数式正确表示等量关系中的两种费用,通 过对实际问题的理解,进一步体会建立方程模型的过程,提高学生的应用意识. 三、课堂小结： 1.列一元二次方程解应用题的步骤: 一审、二设、三找、四列、五解、六答. 最后要检验根是否符合实际意义. 2.平均增长率或降低率问题: - 4 - 若平均增长(或降低)率为 x,增长(或降低)前的基数是 a,增长(或降低)n 次后的量是 b,则 有:a(1±x)n=b(常见 n=2)(增长取+,降低取-).