金昌市2020年中考数学试题及答案

金昌市2020年中考数学试题及答案

金昌市 2020 年中考数学试题及答案 1．下列实数是无理数的是（ ） A．-2 B． 1 6 C． 9 D． 11 2．若 70  ，则 的补角的度数是（ ） A．130 B．110 C．30° D． 20 3．若一个正方形的面积是 12，则它的边长是（ ） A． 2 3 B．3 C．3 2 D．4 4．下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ） A． B． C． D． 5．下列各式中计算结果为 6x 的是（ ） A． 2 4x x B． 8 2x x C． 2 4x x D． 12 2x x 6．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下 a与 全身b的高度比值接近 0．618，可以增加视觉美感，若图中b为 2米，则 a约为（ ） A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米 7．已知 1x  是一元二次方程 2 2( 2) 4 0m x x m    的一个根，则m的值为（ ） A．-1或 2 B．-1 C．2 D．0 8．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节 AE间 的距离，若 AE间的距离调节到 60cm，菱形的边长 20AB cm ，则 DAB 的度数是 （ ） A．90 B．100 C．120 D．150 9．如图， A是圆O上一点， BC是直径， 2AC  ， 4AB  ，点D在圆O上且平分 弧 BC，则DC的长为（ ） A． 2 2 B． 5 C． 2 5 D． 10 10．如图①，正方形 ABCD中， AC， BD相交于点O， E是OD的中点，动点 P从 点 E出发，沿着 E O B A   的路径以每秒 1个单位长度的速度运动到点 A，在 此过程中线段 AP的长度 y随着运动时间 x的函数关系如图②所示，则 AB的长为 （ ） A． 4 2 B．4 C．3 3 D． 2 2 11．如果盈利 100元记作+100元，那么亏损 50元记作__________元． 12．分解因式： 2a a  __________ 13．暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动，某款式眼镜的广告如图，请你为广 告牌填上原价．原价：_________元 14．要使分式 2 1 x x   有意义，则 x应满足条件____． 15．在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入 3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球， 记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.85左 右，则袋中红球约有_____个． 16．如图，在平面直角坐标系中， OAB 的顶点 A，B的坐标分别为 (3, 3)，(4,0)， 把 OAB 沿 x轴向右平移得到 CDE ，如果点D的坐标为 (6, 3)，则点E的坐标为 __________． 17．若一个扇形的圆心角为60，面积为 2 6 cm ，则这个扇形的弧长为__________ cm （结果保留 ） 18．已知 2( 4) 5y x x    ，当分别取 1，2，3，……，2020时，所对应 y值的总 和是__________． 19．计算： 0(2 3)(2 3) tan 60 ( 2 3)     20．解不等式组： 3 5 1 2(2 1) 3 4 x x x x       … ，并把它的解集在数轴上表示出来． 21．如图，在 ABC 中，D是 BC边上一点，且 BD BA ． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作 ABC 的角平分线交 AD于点 E； ②作线段DC的垂直平分线交DC于点 F ． （2）连接 EF ，直接写出线段 EF 和 AC的数量关系及位置关系． 22．图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于 1969年 10月出 土于武威市的雷台汉墓，1983年 10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游 城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑 （图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实 地测量，测得结果如下表： 课题 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度 测量示意图 如图，雕塑的最高点 B到地面的高度为 BA，在测点C用仪器测得点 B的仰角为  ，前进一段距离到达测点 E，再用该仪 器测得点 B的仰角为  ，且点 A，B，C， D，E，F 均在同一竖直平面内，点 A， C， E在同一条直线上． 测量数据  的度数  的度数 CE的长度 仪器CD（ EF ）的 高度 31o 42 5米 1.5米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结 果保留一位小数）．（参考数据： sin 31 0.52 ， cos31 0.86 ， tan 31 0.60 ， sin 42 0.67 ， cos42 0.74 ， tan 42 0.90 ） 23．2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一，截至 2020 年 1月，甘肃省已有五家国家 5A级旅游景区，分别为 A：嘉峪关文物景区；B：平凉 崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙月牙泉景区：E：张掖七彩舟霞 景区，张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩． （1）张帆一家选择 E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？ （2）若张帆一家选择了 E：张掖七彩丹霞景区，他们再从 A，B，C，D四个景区中 任选两个景区去旅游，求选 A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）． 24．习近平总书记于 2019年 8月在兰州考察时说“黄河之滨也很美”，兰州是古丝绸 之路商贸重镇，也是黄河唯一穿城而过的省会城市，被称为“黄河之都”，近年来，在 市政府的积极治理下，兰州的空气质量得到极大改善，“兰州蓝”成为兰州市民引以为 豪的城市名片，下图是根据兰州市环境保护局公布的 2013-2019年各年的全年空气质量 优良天数绘制的折线统计图． 请结合统计图解答下列问题： （1）2019年比 2013年的全年空气质量优良天数增加了 天； （2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是 天； （3）求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数； （4）《兰州市“十三五”质量发展规划》中指出：2020年，确保兰州市全年空气质量 优良天数比率达 80%以上，试计算 2020年（共 366天）兰州市空气质量优良天数至少 需要多少天才能达标． 25．通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，下表是一个函数的自变量 x与 函数值 y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 6 3 2 1.5 1.2 1 … （1）当 x  时， 1.5y  ； （2）根据表中数值描点 ( , )x y ，并画出函数图象； （3）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质： ． 26．如图，圆O是 ABC 的外接圆，其切线 AE与直径 BD的延长线相交于点 E，且 AE AB ． （1）求 ACB 的度数； （2）若 2DE  ，求圆O的半径． 27．如图，点M ，N 分别在正方形 ABCD的边 BC，CD上，且 45MAN  ，把 ADN△ 绕点 A顺时针旋转90得到 ABE△ ． （1）求证： AEM△ ≌ ANM ． （2）若 3BM  ， 2DN  ，求正方形 ABCD的边长． 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 2y ax bx   交 x轴于 A，B两点，交 y轴 于点C，且 2 8OA OC OB  ，点 P是第三象限内抛物线上的一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）若 / /PC AB，求点 P的坐标； （3）连接 AC，求 PAC 面积的最大值及此时点 P的坐标． 参考答案 1．D 【解析】 【分析】 根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可． 【详解】 解：-2是负整数， 1 6 是分数， 9 =3是整数，都是有理数. 11开方开不尽，是无理数. 故选:D. 【点睛】 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的 数；以及像 0.1010010001…，等有这样规律的数． 2．B 【解析】 【分析】 直接根据补角的定义即可得． 【详解】 70    的补角的度数是180 180 70 110α      故选：B． 【点睛】 本题考查了补角的定义，熟记定义是解题关键． 3．A 【解析】 【分析】 根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】 解：由题意知：正方形的面积等于边长×边长，设边长为 a， 故 a²=12， ∴a=±2 3，又边长大于 0 ∴边长 a=2 3． 故选：A. 【点睛】 本题考查了正方形的面积公式，开平方运算等，属于基础题． 4．C 【解析】 【分析】 俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解． 【详解】 解：选项 A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项 A错误； 选项 B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项 B错误； 选项 C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项 C正确； 选项 D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项 D错误． 故答案为：C． 【点睛】 本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左 边往右边看，熟练三视图的概念即可求解. 5．C 【解析】 【分析】 根据合并同类项，同底数幂的乘法、除法，即可解答． 【详解】 解：A. 2 4x x， 不是同类项，不能合并，不符合题意； B 8 2x x， 不是同类项，不能合并，不符合题意； C． 2 4x x =x6,符合题意； D. 12 2x x =x10,不符合题意； 故选:C. 【点睛】 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法、除法，解决本题的关键是熟记合并同类项，同底 数幂的乘法、除法的法则． 6．A 【解析】 【分析】 根据 a:b≈0.618，且 b=2即可求解． 【详解】 解：由题意可知，a:b≈0.618，代入 b=2， ∴a≈2×0.618=1.236≈1.24． 故答案为：A 【点睛】 本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题． 7．B 【解析】 【分析】 首先把 x=1代入 2 2( 2) 4 0m x x m    ，解方程可得 m1=2，m2=-1，再结合一元二次方 程定义可得 m的值 【详解】 解：把 x=1代入 2 2( 2) 4 0m x x m    得： 2m 2+4 m－ － =0， 2m m 2 0  － ， 解得：m1=2，m2=﹣1 ∵ 2 2( 2) 4 0m x x m    是一元二次方程， ∴m 2 0－ ≠ ， ∴m 2 ， ∴ 1m   ， 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于 0． 8．C 【解析】 【分析】 如图（见解析），先根据菱形的性质可得 , //AB BC AD BC ，再根据全等的性质可得 1 20 3 AC AE cm  ，然后根据等边三角形的判定与性质可得 60B  ，最后根据平行线 的性质即可得． 【详解】 如图，连接 AC 四边形 ABCD是菱形 20 , //AB BC cm AD BC   如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成， 60AE cm 1 20 3 AC AE cm   AB BC AC   ABC 是等边三角形 60B   //AD BC 180 60180 120DAB B         故选：C． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟 练掌握菱形的性质是解题关键． 9．D 【解析】 【分析】 由BC是圆 O的直径，可得∠A=∠D=90°，又D在圆O上且平分弧 BC，则 ∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在 Rt△ABC 中，根据勾股定理求出 BC 长，从而可求 DC的长. 【详解】 解：∵BC是圆 O的直径， ∴∠A=∠D=90°. 又D在圆O上且平分弧 BC， ∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形. 在 Rt△ABC 中， 2AC  ， 4AB  ，根据勾股定理，得 BC= 2 2AC AB =2 5 . ∵△BCD是等腰直角三角形， ∴CD= 2 BC = 10 . 故选:D. 【点睛】 此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形 结合思想的应用． 10．A 【解析】 【分析】 如图（见解析），先根据函数图象可知 2 5AE  ，再设正方形的边长为 4a，从而可得 2 2OA OD a  ，然后根据线段中点的定义可得 1 2 2 OE OD a  ，最后在 Rt AOE 中， 利用勾股定理可求出 a的值，由此即可得出答案． 【详解】 如图，连接 AE 由函数图象可知， 2 5AE  设正方形 ABCD的边长为 4a，则 4AB AD a  四边形 ABCD是正方形 1 , , 90 2 OA OD BD AC BD BAD       2 2 4 2BD AB AD a    ， 2 2OA OD a  E 是OD的中点 1 2 2 OE OD a   则在 Rt AOE ，由勾股定理得： 2 2 10AE OA OE a   因此有 10 2 5a  解得 2a  则 4 2AB  故选：A． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、勾股定理、函数图象等知识点，根据函数图象得出 2 5AE  是 解题关键． 11． 50 【解析】 【分析】 根据正数与负数的意义即可得． 【详解】 由正数与负数的意义得：亏损 50元记作 50 元 故答案为： 50 ． 【点睛】 本题考查了正数与负数的意义，掌握理解正数与负数的意义是解题关键． 12．  1a a  【解析】 【分析】 提取公因式 a，即可得解. 【详解】  2 1a a a a   故答案为：  1a a  . 【点睛】 此题主要考查对分解因式的理解，熟练掌握，即可解题. 13．200 【解析】 【分析】 设原价为 x元，根据八折优惠，现价为 160元，即可得出关于 x的一元一次方程，解之即可 得出原价． 【详解】 解：设原价为 x元. 根据题意，得 0.8x=160. 解得 x=200. ∴原价为 200元. 故答案为：200. 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确“现价=原价×折扣”，本题属于基础题， 难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键． 14．x≠1． 【解析】 【分析】 当分式的分母不为零时，分式有意义，即 x−1≠0． 【详解】 当 x﹣1≠0时，分式有意义，∴x≠1． 故答案为：x≠1． 【点睛】 本题考查分式有意义的条件；熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键． 15．17 【解析】 【分析】 根据口袋中有 3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 【详解】 解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.85左右，口袋中有 3个黑球， ∵假设有 x个红球， ∴ 3 x x  ＝0.85， 解得：x＝17， 经检验 x＝17是分式方程的解， ∴口袋中有红球约有 17个． 故答案为：17． 【点睛】 此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该 相等是解决问题的关键． 16．(7,0) 【解析】 【分析】 根据 B点横坐标与 A点横坐标之差和 E点横坐标与 D点横坐标之差相等即可求解． 【详解】 解：由题意知：A、B两点之间的横坐标差为： 4 3 1  ， 由平移性质可知：E、D两点横坐标之差与 B、A两点横坐标之差相等， 设 E点横坐标为 a， 则 a-6=1，∴a=7， ∴E点坐标为(7,0) ． 故答案为：(7,0) ． 【点睛】 本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质 是解决此题的关键. 17． 3  【解析】 【分析】 先利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式即可得． 【详解】 设扇形的半径为 rcm 则 260 360 6 πr π  解得 1( )r cm 或 1( )r cm  （不符题意，舍去） 则这个扇形的弧长为 60 1 ( ) 180 3 π π cm  故答案为： 3  ． 【点睛】 本题考查了扇形的面积公式、弧长公式，熟记公式是解题关键． 18． 2032 【解析】 【分析】 先化简二次根式求出 y的表达式，再将 x的取值依次代入，然后求和即可得． 【详解】 2( 4) 5 4 5y x x x x        当 4x  时， 4 5 9 2y x x x      当 4x  时， 4 5 1y x x     则所求的总和为 (9 2 1) (9 2 2) (9 2 3) 1 1 1            7 5 3 1 2017     2032 故答案为：2032． 【点睛】 本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关 键． 19． 3． 【解析】 【分析】 先计算平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可． 【详解】 原式 2 22 ( 3) 3 1    4 3 3 1    3 ． 【点睛】 本题考查了平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂等知识点，熟记各运算法则是解题 关键． 20．-2 x<3，解集在数轴上表示见解析. 【解析】 【分析】 先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【详解】 解： 3 5 1 2(2 1) 3 4 x x x x       ① ②… 解不等式①，得 x<3. 解不等式②，得 x -2. 所以原不等式组的解集为-2 x<3. 在数轴上表示如下： 【点睛】 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解 集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 21．（1）①作图见解析，②作图见解析；（2） 1/ / , . 2 EF AC EF AC 【解析】 【分析】 （1）①根据角平分线的作图方法直接作图即可；②根据垂直平分线的作图方法直接作图即 可； （2）根据等腰三角形的性质与垂直平分线的定义证明 EF 是 DAC△ 的中位线，根据中位 线的性质可得答案． 【详解】 解：（1）如图，① BE 即为所求作的 ABC 的角平分线， ②过 F 的垂线是所求作的线段DC的垂直平分线． （2）如图，连接 EF ， ,BA BD BE 平分 ,ABC ,AE DE  由作图可知： ,DF CF EF 是 DAC△ 的中位线， 1/ / , , 2 EF AC EF AC  【点睛】 本题考查的是角平分线与垂直平分线的尺规作图，同时考查了三角形的中位线的性质，掌握 以上知识是解题的关键． 22．10.5m 【解析】 【分析】 如图，延长DF交 AB于G，设 ,BG x 利用锐角三角函数表示 FG，再表示DG，再利 用锐角三角函数列方程求解 x，从而可得答案． 【详解】 解：如图，延长DF交 AB于G， 由题意得： 90 ,BGD BAC    5, 1.5,DF CE DC AG EF     设 ,BG x 由 tan tan 42 ,BG FG     9 , 10 x FG   10 , 9 xFG  105 , 9 xDG   由 tan tan31 ,BG DG     3 ,105 5 9 x x   5 15, 3 x   9,x  经检验： 9x  符合题意， 9 1.5 10.5BA BG AG      “马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为10.5 .m 【点睛】 本题考查的是解直角三角形所的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键． 23．(1) 1 5 ；(2) 1 6 【解析】 【分析】 (1) 张帆一家共有 5种可能的选择方式，由此即可出选择景区 E的概率为 1 5 ； (2) 画树状图展示所有 12种等可能的结果数，找出选到 A，D两个景区的结果数，然后根 据概率公式计算． 【详解】 解：(1)由题意可知：张帆一家共有 5种可能的选择方式， 故选择张掖七彩丹霞景区的概率为 1 5 ， 故答案为 1 5 ． (2)由题意知，画出树状图如下： 共有 12种等可能的结果数，其中选到 A，C两个景区的结果数为 2， ∴所以选到 A，C两个景区的概率= 2 1= 12 6 ． 故答案为： 1 6 ． 【点睛】 本题考查了列表法与树状图法求事件的概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A的结果数 m，然后利用概率公式计 ( )=A mP n ，即可求出事件 A的 概率． 24．(1)26;（2）254；（3）261；（4）293. 【解析】 【分析】 （1）用 2019年全年空气质量优良天数减去 2013年全年空气质量优良天数即可； （2）把这七年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列，根据中位数的定义解答； （3）根据平均数的求解方法列式计算即可得解． （4）用 366乘以 80%，即可解答． 【详解】 解：（1）由折线图可知 2019年全年空气质量优良天数为 296，2013年全年空气质量优良天 数为 270， 296-270=26， 故 2019年比 2013年的全年空气质量优良天数增加了 26 天； 故答案为：26. (2)这七年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列如下：213，233，250，254，270，296， 313， 所以中位数是 254； 故答案为：254； （3）这七年的全年空气质量优良天数的平均数 = 270 313 250 254 233 213 296 7        261天； （4）366 80%=292.8 293 (天). 所以 2020年（共 366天）兰州市空气质量优良天数至少需要 293 天才能达标. 【点睛】 本题考查了折线统计图，要理解中位数的定义，以及算术平均数的求解方法，能够根据计算 的数据进行综合分析，熟练掌握对统计图的分析和平均数的计算是解题的关键． 25．（1）3；（2）见解析；（3）函数图像与 x轴无限接近，但没有交点． 【解析】 【分析】 （1）观察列表即可得出答案； （2）依照表格中的数据描出各个点，然后利用光滑的曲线连接各点即可； （3）观察函数图像，写出一条符合函数图像的性质即可． 【详解】 解：（1）通过观察表格发现：当 3x  时， 1.5y  ， 故答案为：3； （2）如下图： （3）观察第（2）问中的图像可以得出一个结论：函数图像与 x轴无限接近，但没有交点； 【点睛】 本题考查的是函数图象，主要让学生通过描点画出函数图象，从图象中读取相关的信息． 26．（1） ACB 的度数为 60；（2）圆 O的半径为 2． 【解析】 【分析】 （1）如图（见解析），设 E x  ，先根据等腰三角形的性质得出 ABE E x   ，再根 据圆的性质可得OA OB ，从而可得 OAB ABO x   ，然后根据圆的切线的性质可得 OA AE ，又根据三角形的内角和定理可求出 x的值，从而可得 AOB 的度数，最后根 据圆周角定理即可得； （2）如图（见解析），设圆 O的半径为 r，先根据圆周角定理得出 90BAD  ，再根据直 角三角形的性质可得 3AB r ，从而可得 3AE r ，然后在 Rt AOE 中，利用勾股定 理求解即可得． 【详解】 （1）如图，连接 OA 设 E x  AE ABQ ABE E x   OA OB OAB ABO x   ， 180 180 2AOB OAB ABO x      AE是圆 O的切线 OA AE  ，即 90OAE   90BAE OAB OAE x      在 ABE△ 中，由三角形的内角和定理得： 180ABE E BAE     即 90 180x x x      解得 30x   180 2 180 2 30 120AOB x         则由圆周角定理得： 1 1 120 60 2 2 ACB AOB        故 ACB 的度数为60； （2）如图，连接 AD 设圆 O的半径为 r，则 , 2OA OD r BD r   2DE  2OE OD DE r     BD是圆 O的直径 90BAD   由（1）可知， 30ABD   则在Rt ABD△ 中， 2 21 , 3 2 AD BD r AB BD AD r     3AE r  在Rt AOE 中，由勾股定理得： 2 2 2OA AE OE  ，即 2 2 2( 3 ) ( 2)r r r   解得 2r = 或 2 3 r   （不符题意，舍去） 则圆 O的半径为 2． 【点睛】 本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的 是题（2），通过作辅助线，利用圆周角定理是解题关键． 27．（1）证明见解析；（2）正方形 ABCD的边长为 6． 【解析】 【分析】 （1）先根据旋转的性质可得 ,AE AN BAE DAN    ，再根据正方形的性质、角的和差 可得 45  MAE ，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形 ABCD的边长为 x，从而可得 3, 2CM x CN x    ，再根据旋转的性质 可得 2BE DN  ，从而可得 5ME  ，然后根据三角形全等的性质可得 5MN ME  ， 最后在Rt CMN 中，利用勾股定理即可得． 【详解】 （1）由旋转的性质得： ,AE AN BAE DAN    四边形 ABCD是正方形 90BAD  ，即 90BAN DAN    90BAN BAE   ，即 90EAN   45MAN   90 45 45MAE EAN MAN        在 AEM△ 和 ANM 中， 45 AE AN MAE MAN AM AM         ( )ANMA S SEM A  ； （2）设正方形 ABCD的边长为 x，则 BC CD x  3, 2BM DN  3, 2CM BC BM x CN CD DN x         由旋转的性质得： 2BE DN  2 3 5ME BE BM      由（1）已证： AEM ANM  5MN ME   又四边形 ABCD是正方形 90C   则在 Rt CMN 中， 2 2 2CM CN MN  ，即 2 2 2( 3) ( 2) 5x x    解得 6x  或 1x   （不符题意，舍去） 故正方形 ABCD的边长为 6． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点， 较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 28．（1） 2 7 2 2 y x x   ；（2）（ 7 2  ， 2 ）；（3） PAC 面积的最大值是 8；点 P的坐标 为（ 2 ， 5 ）． 【解析】 【分析】 （1）由二次函数的性质，求出点 C的坐标，然后得到点 A、点 B的坐标，再求出解析式即 可； （2）由 / /PC AB，则点 P的纵坐标为 2 ，代入解析式，即可求出点 P的坐标； （3）先求出直线 AC的解析式，过点 P作 PD∥y轴，交 AC于点 D，则 1 2PACS PD OA   ， 设点 P为（ x， 2 7 2 2 x x  ），则点 D为（ x， 1 2 2 x  ），求出 PD的长度，利用二次函 数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点 P的坐标即可． 【详解】 解：（1）在抛物线 2 2y ax bx   中， 令 0x  ，则 2y   ， ∴点 C的坐标为（0， 2 ）， ∴OC=2， ∵ 2 8OA OC OB  ， ∴ 4OA  ， 1 2 OB  ， ∴点 A为（ 4 ，0），点 B为（ 1 2 ，0）， 则把点 A、B代入解析式，得 16 4 2 0 1 1 2 0 4 2 a b a b         ，解得： 1 7 2 a b     ， ∴ 2 7 2 2 y x x   ； （2）由题意，∵ / /PC AB，点 C为（0， 2 ）， ∴点 P的纵坐标为 2 ， 令 2y   ，则 2 7 2 2 2 x x    ， 解得： 1 7 2 x = - ， 2 0x  ， ∴点 P的坐标为（ 7 2  ， 2 ）； （3）设直线 AC的解析式为 y mx n  ，则 把点 A、C代入，得 4 0 2 m n n       ，解得： 1 2 2 m n        ， ∴直线 AC的解析式为 1 2 2 y x   ； 过点 P作 PD∥y轴，交 AC于点 D，如图： 设点 P 为（ x， 2 7 2 2 x x  ），则点 D为（ x， 1 2 2 x  ）， ∴ 2 21 72 ( 2) 4 2 2 PD x x x x x         ， ∵OA=4， ∴ 2 21 1 ( 4 ) 4 2 8 2 2APCS PD OA x x x x           ， ∴ 22( 2) 8APCS x     ， ∴当 2x   时， APCS 取最大值 8； ∴ 2 27 72 ( 2) ( 2) 2 5 2 2 x x          ， ∴点 P的坐标为（ 2 ， 5 ）． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌 握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．