初中数学青岛九上期末数学试卷

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第 1页（共 16页） 期末数学试卷 一．选择题 1．下列哪个方程是一元二次方程（ ） A．2x+y＝1 B．x2+1＝2xy C．x2+ ＝3 D．x2＝2x﹣3 2．制作一块 3m×2m 长方形广告牌的成本是 120 元，在每平方米制作成本相同的情况下， 若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ） A．360 元 B．720 元 C．1080 元 D．2160 元 3．把一元二次方程（x+3）（x﹣5）＝2 化成一般形式，得（ ） A．x2+2x﹣17＝0 B．x2﹣8x﹣17＝0 C．x2﹣2x＝17 D．x2﹣2x﹣17＝0 4．sin60°+tan45°的值等于（ ） A． B． C． D．1 5．已知 ⊙ P 的半径为 5，点 P 的坐标为（2，1），点 Q 的坐标为（0，6），则点 Q 与 ⊙ P 的 位置关系是（ ） A．点 Q 在 ⊙ P 外 B．点 Q 在 ⊙ P 上 C．点 Q 在 ⊙ P 内 D．不能确定 6．已知，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则 sinA 的值是（ ） A． B． C． D． 7．已知两个相似三角形一组对应高分别是 15 和 5，面积之差为 80，则较大三角形的面积为 （ ） A．90 B．180 C．270 D．3600 8．一元二次方程 x2+6x+9＝0 的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 9．如图，AB 是 ⊙ O 的直径，∠BOD＝120°，点 C 为 的中点，AC 交 OD 于点 E，OB＝ 2，则 AE 的长为（ ） 第 2页（共 16页） A． B． C． D． 10．已知一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0） ① 若方程两根为﹣1 和 2，则 2a+c＝0； ② b＞a+c，则一元二次方程 ax2+bx+c＝0 有两个不相等的实数根； ③ 若 b＝2a+3c，则一元二次方程 ax2+bx+c＝0 有两个不相等的实数根； ④ 若 m 是方程 ax2+bx+c＝0 的一个根，则一定有 b2﹣4ac＝（2am+b）2 成立 其中正确的是（ ） A．只有 ①②③ B．只有 ①③④ C．只有 ①②③④ D．只有 ①④11．如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC，tanC＝2，BD⊥AC 于点 D，点 G 是底边 BC 上一点， 过点 G 向两腰作垂线段，垂足分别为 E、F，若 BD＝4，GE＝1.5，则 BF 的长度为（ ） A．0.75 B．0.8 C．1.25 D．1.35 12．如图，分别以△ABC 的三个顶点为圆心作 ⊙ A、 ⊙ B、 ⊙ C，且半径都是 0.5cm，则图中 三个阴影部分面积之和等于（ ） A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2 二．填空题 13．在△ABC 中，∠A、∠B 为锐角，且|tanA﹣1|+（ ﹣cosB）2＝0，则∠C＝ °． 14．已知 ⊙ O 的半径为 3cm，点 A、B、C 是直线 l 上的三个点，点 A、B、C 到圆心 O 的距 离分别为 2cm，3cm，5cm，则直线 l 与 ⊙ O 的位置是 ． 15．一个等边三角形边长的数值是方程 x2﹣3x﹣10＝0 的根，那么这个三角形的周长 为 ． 16．两个相似三角形的相似比为 2：3，他们的周长差为 30，则较大三角形的周长为 ． 第 3页（共 16页） 17．如图，等边三角形 ABC 的外接圆 ⊙ O 的半径 OA 的长为 2，则其内切圆半径的长 为 ． 三．解答题 18．计算 （1）2sin30°﹣tan60°+tan45°； （2） tan245°+sin230°﹣3cos230° 19．用适当的方法解下列方程： （1）（x﹣2）2﹣16＝0 （2）5x2+2x﹣1＝0． 20．如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，连接 DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）如果 E 是 AC 的中点，AD＝8，AB＝10，求 AE 的长． 第 4页（共 16页） 21．如图，AD 是△ABC 的中线，tanB＝ ，cosC＝ ，AC＝ ．求：（1）BC 的长；（2） ∠ADC 的正弦值． 22．如图， ⊙ O 是△ABC 的外接圆，圆心 O 在 AB 上，M 是 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线 交 BC 的延长线于点 E，点 F 是 ME 上的一点，且 EF＝CF． （1）求证：直线 CF 是 ⊙ O 的切线； （2）若∠B＝2∠A，AB＝8，且 AC＝CE，求 BM 的长． 23．已知关于 x 的方程 x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求 m 的取值范围； （2）若两实数根 x1、x2 满足（x1+1）（x2+1）＝8，求 m 的值． 第 5页（共 16页） 24．如图是小明设计利用光线来测量某古城墙 CD 高度的示意图，如果镜子 P 与古城墙的距 离 PD＝12 米，镜子 P 与小明的距离 BP＝1.5 米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点 C， 小明眼睛距地面的高度 AB＝1.2 米，那么该古城墙的高度是？ 25．如图 1，2 分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知 AB⊥BC 于点 B，底座 BC 的长 为 1 米，底座 BC 与支架 AC 所成的角∠ACB＝60°，点 H 在支架 AF 上，篮板底部支架 EH∥BC，EF⊥EH 于点 E，已知 AH 长 米，HF 长 米，HE 长 1 米． （1）求篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角∠FHE 的度数． （2）求篮板底部点 E 到地面的距离．（结果保留根号） 第 6页（共 16页） 26．如图，已知 AB 是 ⊙ O 的直径，点 C 在 ⊙ O 上，延长 BC 至点 D，使得 DC＝BC，直线 DA 与 ⊙ O 的另一个交点为 E，连结 AC，CE． （1）求证：CD＝CE； （2）若 AC＝2，∠E＝30°，求阴影部分（弓形）面积． 27．庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡” 的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和 优良品种．某种植户 2016 年投资 20 万元种植中药材，到 2018 年三年共累计投资 95 万 元，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求该种植户每年投资的增长率； （2）按这样的投资增长率，请你预测 2019 年该种植户投资多少元种植中药材． 第 7页（共 16页） 参考答案 一．选择题 1．解：A、不是一元二次方程，故此选项错误； B、不是一元二次方程，故此选项错误； C、不是一元二次方程，故此选项错误； D、是一元二次方程，故此选项正确； 故选：D． 2．解：3m×2m＝6m2， ∴长方形广告牌的成本是 120÷6＝20 元/m2， 将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍， 则面积扩大为原来的 9 倍， ∴扩大后长方形广告牌的面积＝9×6＝54m2， ∴扩大后长方形广告牌的成本是 54×20＝1080m2， 故选：C． 3．解：（x+3）（x﹣5）＝2， 去括号得：x2﹣5x+3x﹣15＝2， 移项得：x2﹣5x+3x﹣15﹣2＝0， 合并同类项得：x2﹣2x﹣17＝0， 故选：D． 4．解：sin60°+tan45° ＝ +1 ＝ ． 故选：B． 5．解：∵点 P 的坐标为（2，1），点 Q 的坐标为（0，6）， ∴QP＝ ＝ ＞5， ∴点 Q 与 ⊙ P 的位置关系是：点 Q 在圆 ⊙ P 外． 故选：A． 6．解：sinA＝ ＝ ， 第 8页（共 16页） 故选：A． 7．解：∵两个相似三角形的一组对应高的长分别为 15，5， ∴两三角形的相似比为 3：1， ∴其面积比为 32：12＝9：1， ∴设两相似三角形的面积分别为 9x 和 x， 根据题意列方程得，9x﹣x＝80， x＝10． 则较大正六边形的面积为 90， 故选：A． 8．解：∵△＝62﹣4×1×9＝0， ∴一元二次方程 x2+6x+9＝有两个相等的实数根． 故选：A． 9．解：连接 OC． ∵ ＝ ， ∴∠DOC＝∠BOC＝60°， ∴∠AOD＝60°， ∴∠AOD＝∠DOC， ∴ ＝ ， ∴OD⊥AC， ∴∠AEO＝90°， ∴AE＝AO•sin60°＝ ， 故选：A． 10．解：若方程两根为﹣1 和 2，则 ＝﹣1×2＝﹣2，即 c＝﹣2a，2a+c＝2a﹣2a＝0，故 ① 正确； 若 b＞a+c，设 a＝4，b＝10，c＝5，则△＜0，一元二次方程 ax2+bx+c＝0 没有实数根，故 第 9页（共 16页） ② 错误； 若 b＝2a+3c，则△＝b2﹣4ac＝4（a+c）2+5c2＞0，一元二次方程 ax2+bx+c＝0 有两个不相 等的实数根，故 ③ 正确． 若 m 是方程 ax2+bx+c＝0 的一个根，所以有 am2+bm+c＝0，即 am2＝﹣（bm+c）， 而（2am+b）2＝4a2m2+4abm+b2 ＝4a[﹣（bm+c）]+4abm+b2 ＝4abm﹣4abm﹣4ac+b2 ＝b2﹣4ac．故 ④ 正确； 故选：B． 11．解：连接 AG， ∵S△CGA+S△BGA＝S△ABC， ∴ + ＝ ×AC×BD， ∵AC＝AB， ∴GE+GF＝BD， ∵BD＝4，GE＝1.5， ∴GF＝2.5， ∵tanC＝2＝ ，BD＝4， ∴CD＝2， 由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝2 ， ∵EG⊥AC，BD⊥AC， ∴EG∥BD， ∴△CEG∽△CDB， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， 第 10页（共 16页） 解得：BG＝ ， 在 Rt△BFG 中，由勾股定理得：BG2＝BF2+GF2， （ ）2＝BF2+2.52， 解得：BF＝1.25（负数舍去）， 故选：C． 12．解：∵ ⊙ A、 ⊙ B、 ⊙ C 的半径都是 0.5，扇形的三个圆心角正好构成三角形的三个内角， ∴阴影部分扇形的圆心角度数为 180°， ∴S 阴影＝ ＝ ． 故选：B． 二．填空题 13．解：由题意得，tanA＝1，cosB＝ ， 则∠A＝45°，∠B＝60°， 则∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°． 故答案为：75． 14．解：因为 ⊙ O 的半径为 3cm，点 A、B、C 到圆心 O 的距离分别为 2cm，3cm，5cm， 2cm＜3cm， 所以直线 l 与 ⊙ O 的位置是相交； 故答案为：相交． 15．解：x2﹣3x﹣10＝0， （x﹣5）（x+2）＝0， 即 x﹣5＝0 或 x+2＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣2． 因为方程 x2﹣3x﹣10＝0 的根是等边三角形的边长， 所以等边三角形的边长为 5． 所以该三角形的周长为：5×3＝15． 故答案为：15． 16．解：设较大三角形的周长是 3x，较小三角形的周长是 2x，则 3x﹣2x＝30， 解得 x＝30，那么较大三角形的周长是 3x＝90， 第 11页（共 16页） 故答案为：90． 17．解：过点 O 作 OH⊥AB 与点 H， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠CAB＝60°， ∵O 为三角形外心， ∴∠OAH＝30°， ∴OH＝ OA＝1， 故答案为：1 三．解答题 18．解：（1）2sin30°﹣tan60°+tan45° ＝2× ﹣ +1 ＝2﹣ ； （2） tan245°+sin230°﹣3cos230° ＝ ×12+（ ）2﹣3×（ ）2 ＝ + ﹣ ＝﹣ ． 19．解：（1）∵（x﹣2）2﹣16＝0， ∴（x﹣2）2＝16， ∴x﹣2＝4 或 x﹣2＝﹣4， 解得：x1＝﹣2，x2＝6； （2）∵a＝5，b＝2，c＝﹣1， ∴△＝22﹣4×5×（﹣1）＝24＞0， 第 12页（共 16页） 则 x＝ ＝ ， 即 x1＝ ，x2＝ ． 20．解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB； （2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB， ∴ ＝ ， ∵点 E 是 AC 的中点，设 AE＝x， ∴AC＝2AE＝2x， ∵AD＝8，AB＝10， ∴ ＝ ， 解得：x＝2 ， ∴AE＝2 ． 21．解：（1）如图，作 AH⊥BC 于 H． 在 Rt△ACH 中，∵cosC＝ ＝ ，AC＝ ， ∴CH＝1，AH＝ ＝1， 在 Rt△ABH 中，∵tanB＝ ＝ ， ∴BH＝5， ∴BC＝BH+CH＝6． （2）∵BD＝CD， ∴CD＝3，DH＝2，AD＝ ＝ 在 Rt△ADH 中，sin∠ADH＝ ＝ ． ∴∠ADC 的正弦值为 ． 22．（1）证明：如图，连接 OC，设 EM 交 AC 于 H． 第 13页（共 16页） ∵AB 是直径， ∴∠ACB＝∠ACE＝90°， ∵FE＝FC， ∴∠E＝∠FCE， ∴∠E+∠CHE＝90°，∠FCE+∠FCH＝90°， ∴∠FCH＝∠FHC， ∵∠A+∠AHM＝90°，∠AHM＝∠FHC＝∠FCH， ∴∠FCH+∠A＝90°， ∵OC＝OA， ∴∠A＝∠OCA， ∴∠FCH+∠OCA＝90°， ∴∠FCO＝90°， ∴FC⊥OC， ∴CF 是 ⊙ O 的切线． （2）解：在 Rt△ABC 中，∵∠ACB＝90°，AB＝8，∠B＝2∠A ∴∠A＝30°， ∴BC＝ AB＝4，AC＝ BC＝4 ， ∵AC＝CE， ∴CE＝4 ， ∴BE＝BC+CE＝4+4 ， 在 Rt△BEM 中，∠BME＝90°，∠E＝30° ∴BM＝ BE＝2+2 ． 第 14页（共 16页） 23．解：（1）∵关于 x 的方程 x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0 总有两个实数根， ∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+2）＝8m﹣4≥0， 解得：m≥ ． （2）∵x1、x2 为方程 x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0 的两个根， ∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2． ∵（x1+1）（x2+1）＝8， ∴x1x2+（x1+x2）+1＝8， ∴m2+2+2（m+1）+1＝8， 整理，得：m2+2m﹣3＝0，即（m+3）（m﹣1）＝0， 解得：m1＝﹣3（不合题意，舍去），m2＝1， ∴m 的值为 1． 24．解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP， ∴△ABP∽△CDP ∴ ＝ ， 即： ＝ ， 解得：PD＝9.6（米）． 答：该古城墙的高度是 9.6m． 25．解：（1）在 Rt△EFH 中，cos∠FHE＝ ＝ ， ∴∠FHE＝45°， 答：篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角∠FHE 的度数为 45°； （2）延长 FE 交 CB 的延长线于 M，过点 A 作 AG⊥FM 于 G，过点 H 作 HN⊥AG 于 N， 第 15页（共 16页） 则四边形 ABMG 和四边形 HNGE 是矩形， ∴GM＝AB，HN＝EG， 在 Rt△ABC 中，∵tan∠ACB＝ ， ∴AB＝BCtan60°＝1× ＝ ， ∴GM＝AB＝ ， 在 Rt△ANH 中，∠FAN＝∠FHE＝45°， ∴HN＝AHsin45°＝ × ＝ ， ∴EM＝EG+GM＝ + ， 答：篮板底部点 E 到地面的距离是（ + ）米． 26．（1）证明：∵AB 是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵DC＝BC， ∴AD＝AB， ∴∠D＝∠ABC， ∵∠E＝∠ABC， ∴∠E＝∠D， ∴CD＝CE． （2）解：由（1）可知：∠ABC＝∠E＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝4， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得到 BC＝2 ， 连接 OC，则∠COB＝120°， 第 16页（共 16页） ∴S 阴＝S 扇形 OBC﹣S△OBC＝ ﹣ × × ×2＝ ﹣ ． 27．解：（1）设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为 x，则 2017 年种植投资为 20 （1+x）万元，2018 年种植投资为 20（1+x）2 万元， 根题意得：20+20（1+x）+20（1+x）2＝95， 解得：x＝﹣3.5（舍去）或 x＝0.5＝50%． ∴该种植户每年投资的增长率为 50%； （2）2019 年该种植户投资额为：20（1+50%）3＝67.5（万元）．