北师版九年级下册数学期末测试题及答案(1)
北师版九年级下册数学期末测试题及答案(1)
(考试时间:120分钟 满分:120分)
分数:____________
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)
1.2cos 45°的值等于 ( B )
A.1 B. C. D.2
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,AC=2,则sin A= ( C )
A. B. C. D.
3.已知二次函数y=ax2-2ax-3a(a≠0),关于此函数的图象及性质,下列结论中不一定成立的是 ( D )
A.该图象的顶点坐标为(1,-4a)
B.该图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0)
C.若该图象经过点(-2,5),则一定经过点(4,5)
D.当x>1时,y随x的增大而增大
4.如图,AB是⊙O的直径,且经过弦CD的中点H,已知sin ∠CDB=,BD=5,则AH的长为 ( B )
A. B. C. D.
第4题图
5.(甘肃中考)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,有下列说法:①ac>0,②2a+b>0,③4ac
0时,y随x的增大而减小,其中正确的是 ( C )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.③④⑤
第5题图
6.已知抛物线y=x2+bx+c的顶点在第三象限,则关于x的一元二次方程x2+bx+c=0根的情况中正确的是 ( A )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.将抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位,
那么得到的抛物线的表达式为__y=2(x+2)2+2__.
8.如图,抛物线y=ax2+1(a<0)与过点(0,-3)且平行于x轴的直线相交于点A,B,与y轴交于点C,若∠ACB为直角,则a=__-__.
第8题图
9.“南昌之星”摩天轮,位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园,摩天轮高160 m(最高点到地面的距离).如图,点O是摩天轮的圆心,AB是其垂直于地面的直径,小贤在地面点C处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为45°,测得圆心O的仰角为30°,则摩天轮的半径为____m(结果保留根号).
第9题图
10.如图,菱形ABCD的对角线BD,AC的长分别为2,2,以点B为圆心的弧与AD,DC相切于点E,F,则图中阴影部分的面积是__2-π__.
第10题图
11.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,点E是BC的中点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点F处,连接FC,则sin ∠ECF等于____.
第11题图
12.在矩形ABCD中,边AB=1,AD=2,E是边AD的中点,点P在射线BD上运动,若△BEP为等腰三角形,则线段DP的长度等于__或或__.
选择、填空题答题卡
一、选择题(每小题3分,共18分)
题号
1
2
3
4
5
6
得分
答案
B
C
D
B
C
A
二、填空题(每小题3分,共18分)得分:________
7.__y=2(x+2)2+2__ 8.__-__
9.____ 10.__2-π__
11.____ 12.__或或__
三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sin B=,AD=1.
(1)BC的长为__2+1__;
(2)求tan ∠DAE的值.
解:∵AE是BC边上的中线,
∴CE=BC=+.
∴DE=CE-CD=-.
∴tan ∠DAE==-.
14.如图,已知四边形ABCD内接于圆O,连接BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°.
(1)求证:BD=CD;
(2)若圆O的半径为3,则的长为__π__.
(1)证明:∵四边形ABCD内接于圆O,
∴∠DCB+∠BAD=180°.
∵∠BAD=105°,
∴∠DCB=75°.
∵∠DBC=75°,
∴∠DCB=∠DBC=75°,
∴BD=CD.
15.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,OE⊥AB于点E,连接BD.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹).
(1)在图①中,若BA=BD,画出△ABD中AD边上的高BG.
(2)在图②中,若BC=AD,AB=2CD,画出△ABD中BD边上的中线AF.
解:(1)(2)作图如图所示.
16.(贵阳中考)如图,C,D是半圆O上的三等分点,AB=4,连接AD,AC,DE⊥AB,垂足为E,DE交AC于点F.
(1)则∠AFE的度数为__60°__;
(2)求阴影部分的面积.(结果保留π和根号)
解:由(1)知,∠AOD=60°,
∵OA=OD,AB=4,
∴△AOD是等边三角形,OA=2,∵DE⊥AO,∴易得DE=,
∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD=π-.
17.某校九年级进行集体跳绳比赛.如图所示,跳绳时,绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物线的一部分,记作G,绳子两端的距离AB约为8米,两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离AC和BD基本保持1米,当绳甩过最低点时刚好擦过地面,且与抛物线G关于直线AB对称.
(1)求抛物线G的表达式并写出自变量的取值范围;
(2)如果身高为1.5米的小华站在C,D之间,且距点C的水平距离为m米,绳子甩过最高处时超过她的头顶,直接写出m的取值范围.
解:(1)由题易得抛物线G的表达式为y=-x2+1.
自变量的取值范围为-4≤x≤4.(答案不唯一)
(2)m的取值范围是4-2<m<4+2.
四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.(天水中考)如图,AB,AC分别是⊙O的直径和弦,OD⊥AC于点D.过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P,PC,AB的延长线交于点F.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若∠ABC=60°,AB=10,求线段CF的长.
(1)证明:连接OC,
∵OD⊥AC,OD经过圆心O,
∴AD=CD,∴PA=PC,
∴△OAP≌△OCP(SSS),
∴∠OCP=∠OAP,
∵PA是⊙O的切线,∴∠OAP=90°.∴∠OCP=90°,
即OC⊥PC,∴PC是⊙O的切线.
(2) 解:∵OB=OC,∠OBC=60°,∴△OBC是等边三角形,
∴∠COB=60°,∵AB=10,∴OC=5,
由(1)知∠OCF=90°,
∴CF=OC·tan ∠COB=5.
19.网上销售已成为产品销售的一种重要方式,很多大学生也在网上开起了网店.某手机销售网店正在代理销售一种新型智能手机,手机每部进价为1 000元,经过试销发现:售价x(元/部)与每天交易量y(部)之间满足如图所示关系.
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)写出每天的利润W与售价x之间的函数关系式,
并说明将价格定为多少时,每天获得的利润最大,最大利润是多少?
解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,
由函数图象可知
解得
∴y与x的函数关系式为y=-0.1x+180.
(2)W=(x-1 000)y=(x-1 000)(-0.1x+180)
=-0.1x2+280x-180 000
=-0.1(x-1 400)2+16 000,
当x=1 400时,W有最大值,W最大=16 000,
∴将价格定为1 400元/部时,每天获得的利润最大,
最大利润为16 000元.
20.如图所示(左图为实景侧视图,右图为安装示意图),在屋顶斜坡面上安装太阳能热水器:先安装支架AB和CD(均与水平面垂直),
再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高,公司规定:AD与水平面夹角为θ1,且在水平线上的射影AF为1.4 m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2,并已知tan θ1=1.082,tan θ2=0.412.如果安装工人确定支架AB高为25 cm,求支架CD的高(结果精确到1 cm)?
解:过点A作AE∥BC交CD于E,
在Rt△ADF中,DF=AF tan θ1=1.514 8(m),
在Rt△EAF中,EF=AF tan θ2=0.576 8(m),
∴DE=DF-EF=0.938(m),
又可证四边形ABCE为平行四边形,
故有CE=AB=25 cm.∴CD=DE+CE=93.8+25=118.8≈119(cm)
答:支架CD的高约为119 cm.
五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.如图,点C在以AB为直径的⊙O上,将△ABC沿边AC翻折得到△ADC,再将CD沿CE翻折,使点D恰好落在⊙O上的点F处.
(1)求证:直线CE是⊙O的切线;
(2)当AB=10,且tan ∠DAB=时,则CE的长为__4__.
(1)证明:连接OC.∵OC=OB,∴∠OCB=∠B.
又∵∠B=∠D,
∴∠OCB=∠D.
∴OC∥AD.
又∵CE⊥AD,
∴CE⊥OC.
∴直线CE是⊙O的切线.
22.已知抛物线C∶y=x[a(x-1)+x+1](a为任意实数).
(1)无论a取何值,抛物线C恒过定点__(0,0)__,__(1,1)__.
(2)当a=1时,设抛物线C在第一象限依次经过整数点(横、纵坐标均为整数的点)为A1,A2,…,An.将抛物线C沿直线y=x(x≥0)平移,平移后的抛物线记为Cn,抛物线Cn经过点An,Cn的顶点坐标为Mn(n=1,2,…,n,例如n=1时,抛物线C1经过点A1,C1的顶点坐标为M1)
①抛物线C2的表达式为__y=(x-3)2+3__;顶点坐标为__(3,3)__;
②在抛物线C1上是否存在点P,使得PM1∥A2M2?若存在,求出点P的坐标,并判断四边形PM1M2A2的形状;若不存在,请说明理由.
③直接写出线段Mn-1Mn的长为__2__.
解:(2)②假设存在点P,使得PM1∥A2M2,
由题易得直线PM1∶y=-x+2,
直线A2M2∶y=-x+6.故易知存在点P(0,2).使得PM1∥A2M2,
∵|PM1|=,|A2M2|=,
∴|PM1|=|A2M2|,又∵PM1∥A2M2,
∴四边形PM1M2A2是平行四边形,
又∵|PM1|2=2,
|M1M2|2=8,|PM2|2=10,
∴|PM2|2=|PM1|2+|M1M2|2,
∴∠PM1M2=90°,∴四边形PM1M2A2是矩形.
六、(本大题共12分)
23.如图,已知抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,-3),B(3,0)两点,该抛物线的顶点为C.
(1)求此抛物线和直线AB的表达式;
(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点,当△PAB面积最大时,求点P的坐标,并求△PAB面积的最大值.
解:(1)抛物线表达式为y=x2-2x-3;
直线AB表达式为y=x-3.
(2)存在.∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线的顶点C的坐标为(1,-4),
∵CE∥y轴,
∴E(1,-2),∴CE=2,
①若点M在x轴下方,四边形CEMN为平行四边形,
则CE=MN,设M(a,a-3),
则N(a,a2-2a-3),∴MN=a-3-(a2-2a-3)=-a2+3a,
∴-a2+3a=2,解得a=2,a=1(舍去),∴M(2,-1);
②若点M在x轴上方,同理可得M,
综上,M点的坐标为(2,-1)或.
(3)作PG∥y轴交直线AB于点G,
设P(m,m2-2m-3),则G(m,m-3),
∴PG=-m2+3m,
∴S△PAB=S△PGA+S△PGB=PG·OB
=-m2+m
=-+,
∴当m=时,△PAB面积的最大值是,
此时P点坐标为.