2020年北京市东城区中考数学二模试卷 (含解析)

2020年北京市东城区中考数学二模试卷 (含解析)

2020 年北京市东城区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，共 16.0 分） 1. 在实数 实 数 ， 实 ，0， 中，最小的数是 A. 实 数 B. 实 C. 0 D. . 线段 CD 是由线段 AB 平移得到的，点 ʹ 实 1 的对应点为 实 ʹʹ ，则点 1ʹ1 的对应点 D 的坐标为 A. 实 1ʹ 实 ʹ B. ͷʹʹ C. ͷʹ 实 ʹ D. Ͳʹʹ ʹ. 下列选项中，可以用来说明命题“若 ，则 ”是假命题的反例是 ． A. B. C. D. 数. 若点 实 1ʹͳ ， ʹ ， ʹʹ 在抛物线 上，则下列结论正确的是 A. ͳ ൏ ൏ B. ൏ ͳ ൏ C. ൏ ൏ ͳ D. ͳ ൏ ൏ ͷ. 一艘轮船从 A 港出发，沿着北偏东 ʹ 的方向航行，行驶至 B 处时发现前方有暗礁，所以转向 北偏西 方向航行，到达 C 后需要把航向恢复到出发时的航向，此时轮船航行的航向向顺时 针方向转过的度数为 A. Ͳ B. C. ʹ D. ͷͲ . 有 3 个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为 1 ， ，则 1 ： 等 于 A. 1： B. 1：2 C. 2：3 D. 4：9 . 如图，AD 是正五边形 ABCDE 的一条对角线，则 A. ʹ B. Ͳ C. D. 1Ͳ䁥 䁥. 已知一组数据：20、30、40、50、50、50、60、70、80，其中平均数、中位数、众数的大小关 系是 A. 平均数 中位数 众数 B. 平均数 ൏ 中位数 ൏ 众数 C. 中位数 ൏ 众数 ൏ 平均数 D. 平均数 中位数 众数 二、填空题（本大题共 9 小题，共 22.0 分） . 分解因式： ͳ ʹ 实 1ͳ 1䁥ͳ __________________ 1Ͳ. 一次质量检测，甲组成绩的方差为 甲 1Ͳ.ͷ ，乙组成绩的方差为 乙 䁥.Ͳʹ ，则成绩较稳定 的小组是______． 11. 已知直线 经过点 ͳ 实 ʹʹ ，那么 ͳ 的值等于______ ． 1. 如图，已知 䁨 顶点 实 ʹʹ ，以原点 O 为位似中心，把 䁨 缩 小到原来的 1 ʹ ，则与点 A 对应的点 的坐标是______． 1ʹ. 圆锥的母线长为 11cm，侧面积为 ʹʹ ，圆锥的底面圆的半径为______． 1数. 如图在 中，边 AB 的垂直平分线交 CB 于点 D，连接 . 若 的 周长为 10， ，则 的周长为______． 1ͷ. 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，则 sin 的值为 ______． 1. 某商品因为促销降价 Ͳ. ，如果要恢复原价，需要将现售价提高________ . 1. 国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前 40 的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ͳ. 国家创新指数得分的频数分布直方图 数据分成 7 组： ʹͲ ൏ 数Ͳ ， 数Ͳ ൏ ͷͲ ， ͷͲ ൏ Ͳ ， Ͳ ൏ Ͳ ， Ͳ ൏ 䁥Ͳ ， 䁥Ͳ ൏ Ͳ ， Ͳ 1ͲͲ ； . 国家创新指数得分在 Ͳ ൏ Ͳ 这一组的是： 1. 、 .数 、 ʹ. 、 ͷ. 、 .数 、 䁥.ͷ 、 .1 、 .ʹ 、 .ͷ .数Ͳ 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图： . 中国的国家创新指数得分为 .ͷ ． 以上数据来源于《国家创新指数报告 Ͳ1䁥 》 根据以上信息，回答下列问题： 1 中国的国家创新指数得分排名世界第______； 在 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数 几个国家所对应的点位于虚线 1 的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点； ʹ 在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元； 结 果保留一位小数 数 下列推断合理的是______． 相比于点 A，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建 设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力； 相比于点 B，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全 面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 62.0 分） 1䁥. 如图，以 AB 为直径的 䁨 交 的 BC、AC 边与 D、E 两点，在 图中仅以没有刻度的直尺画出三角形的三条高 简单叙述你的画法 ． 1. 解不等式 1 实 实 数 ʹ 实 ，并把它的解集表示在数轴上． Ͳ. 已知 ͳ ，求 ͳ ͳ ͳ实 实 ͳ ͳ 实 的值． 1. 如图，在 中， ， 䁥Ͳ ，D 是 AC 上一点，E 是 BC 延长线上一点，连接 BD，DE，若 Ͳ ， ，求 的度数． . 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 D 作 且 1 ，连接 CE、 OE、AE，AE 交 OD 于点 F． 1 求证：四边形 OCED 是矩形； 若菱形 ABCD 的边长为 4， Ͳ ，求 AE 的长． ʹ. 已知平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，点 ʹͷ 在反比例 函数 的图象上，过点 A 的直线 交 x 轴于点 B． 1 求反比例函数解析式； 求 䁨 的面积． 数. 如图，在 中， ，D 是 AB 的中点，P 是线段 BC 上一动点，连接 AP 和 㤵. 如果 䁥 ，设 B，P 两点间的距离为 xcm，D，P 两点间的距离为 1 ，A，P 两点间的距离为 ． 小明根据学习函数经验，分别对函数 1 和 随自变量 x 变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请将它补充完整： 1 按下表中自变量 x 值进行取点、画图、测量，得到了 1 和 与 x 几组对应值： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 .ͷͲ 1.䁥Ͳ 1.ͷͲ 1.䁥Ͳ ʹ.ʹͷ 数. ͷ. .1䁥 ͷ.ͲͲ 数.数 ʹ.1 ʹ.1 ʹ.ͲͲ ʹ.1 ʹ.1 数.数 ͷ.ͲͲ 在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 ʹ 和 ʹ1 ，并画 出函数 1 和 的图象； ʹ 结合函数图象，解决问题：当 㤵 㤵 时，BP 的长度约为______ 结果精确到 Ͳ.Ͳ1 ． 25. 如图， 是 䁨 的内接三角形，AB 是 䁨 的直径， ， 䁥 ，EF 切 䁨 于点 E， 交 BA 的延长线于 F， ，连接 CE、AE． 1 求证： ； 求线段 AE 长． 26. 已知抛物线 1 与 形状相同，开口方向不同，其中抛物线 1 ： ͳ 实 ͳ 实 1Ͳ 交 x 轴于 A，B 两点 点 A 在点 B 的左侧 ，且 数 ，抛物线 与 1 交于点 A 与 数ʹ ． 1 求抛物线 1 ， 的函数表达式； 当 x 的取值范围是______时，抛物线 1 与 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大； ʹ 直线 㤵ܳ 轴，分别交 x 轴， 1 ， 于点 ʹͲ ，P，Q，当 1 ͷ 时，求线段 PQ 的最 大值． 27. 1 如图 ͳ ， 与 均是顶角为 数Ͳ 的等腰三角形，BC，DE 分别是底边，求证： ． 如图 ， 和 均为等边三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接 .的度数为____； 线段 BE 与 AD 之间的数量关系是______． ʹ 如图 ， 和 均为等腰直角三角形， Ͳ ，点 A，D，E 在同一 直线上，CM 为 中 DE 边上的高，连接 BE． 求 的度数； 请直接写出线段 CM，AE，BE 之间的数量关系． 28. 在平面直角坐标系 xOy 中，定义点 㤵ʹ 的变换点为 㤵 ʹ 实 ． 1 如图 1，如果 䁨 的半径为 ， 请你判断 ʹͲ ， 实 ʹ 实 1 两个点的变换点与 䁨 的位置关系； 若点 P 在直线 上，点 P 的变换点 㤵 在 䁨 的内，求点 P 横坐标的取值范围． 如图 2，如果 䁨 的半径为 1，且 P 的变换点 㤵 在直线 实 上，求点 P 与 䁨 上任 意一点距离的最小值． 【答案与解析】 1.答案：B 解析：解： 实 数 Ͳ 实 ， 最小的数是 实 ， 故选：B． 根据实数大小比较的法则比较即可． 本题考查了实数的大小比较法则的应用，注意：正数都大于 0，负数都小于 0，正数都大于一切负数， 两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 2.答案：C 解析： 本题考查了坐标与图形变化 实 平移，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规 律，解答此题根据点 A、C 的坐标确定出平移规律，然后求解即可． 解： 点 实 ʹʹ 的对应点为 ʹ 实 1 ， 点 B 到点 D 为向右平移 4 个单位，向下平移 4 个单位， 1 数 ͷ ， 1 实 数 实 ʹ ， 点 D 的坐标为 ͷʹ 实 ʹ ． 故选 C． 3.答案：A 解析： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成， 题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果 那么 ”形式．有些命 题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的 正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 . 由于反例满足条 件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断． 解：因为 实 满足 1 ，但不满足 1 ， 所以 实 可作为说明命题“若 1 ，则 1 ”是假命题的反例． 故选 A． 4.答案：D 解析：解：由抛物线 可知对称轴为 y 轴， 抛物线开口向上， 实 1 ൏ ൏ ʹ ， ͳ ൏ ൏ ． 故选：D． 根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 5.答案：A 解析： 此题考查平行线的性质及方向角的定义，正确理解方向角是关键．即求图中 的度数．根据平 行线的性质知 . 即求 即可． 1 ， 1 ． 解：如图， 根据题意，得 ， ； ʹ ， ． ， 1 ʹ ． ， 1 ʹ Ͳ ． 故选 A． 6.答案：D 解析：解： 四边形 EFNM 是正方形， ， 1 ʹ ， 1 ʹ ， 1 ， 1 ， 1 ʹ 1 ʹ ， 易证： ∽ ， 1 ： 数 ：9； 故选：D． 根据题意先求出 1 ʹ ，再根据 1 ，求出 1 ，从而得出 ，再根据相似比即可得出 1 ： 的比值． 此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式， 关键是根据题意求出 的比值． 7.答案：C 解析： 利用多边形内角和公式求得 的度数，在等腰三角形 AED 中可求得 的读数，进而求得 的度数． 本题考查了正多边形的计算，重点掌握正多边形内角和公式是关键． 解： 正五边形 ABCDE 的内角和为 ͷ 实 1䁥Ͳ ͷ数Ͳ ， 1 ͷ ͷ数Ͳ 1Ͳ䁥 ， 1Ͳ䁥 ， 又 ， 1 1䁥Ͳ 实 1Ͳ䁥 ʹ ， 实 ， 故选 C． 8.答案：D 解析：解：从小到大数据排列为 20、30、40、50、50、50、60、70、80， 50 出现了 3 次，为出现次数最多的数，故众数为 50； 共 9 个数据，第 5 个数为 50，故中位数是 50； 平均数 Ͳ ʹͲ 数Ͳ ͷͲ ͷͲ ͷͲ Ͳ Ͳ 䁥Ͳ ͷͲ ． 平均数、中位数、众数相等． 故选 D． 众数是数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大 或从大到小 重新排列后，最中间 的那个数 或最中间两个数的平均数 ，叫做这组数据的中位数；平均数是把所有数据求和后除以数 据个数所得到的数．根据众数、中位数、平均数的概念分别计算． 本题考查平均数、众数与中位数的计算． 9.答案： ͳͳ 实 ʹ 解析： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行两次分解，注意要 分解要彻底．先提取公因式 2a，再根据完全平方公式 ͳ 实 ͳ 实 ͳ ，进行二次分解． 解：原式 ͳͳ 实 ͳ ͳͳ 实 ʹ ． 故答案为 ͳͳ 实 ʹ ． 10.答案：乙组 解析：解： 甲 1Ͳ.ͷ ， 乙 䁥.Ͳʹ ， 甲 乙 ， 成绩较稳定的小组是乙组， 故答案为：乙组． 根据方差的意义求解可得． 本题考查方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，数据的波动性越大，稳定性 越差；反之，则数据的波动性越小，稳定性越好． 11.答案：3 解析： 本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握直线上点的坐标满足直线的解析式是解题的关 键．把点的坐标代入直线解析式可得到关于 a、b 的等式，整理可求得答案． 解： 直线 经过点 ͳ 实 ʹʹ ， ʹ ͳ 实 ，整理可得 ͳ ʹ ， ͳ ʹ ， 故答案为 3． 12.答案： 实 1ʹ 或 1ʹ 实 解析：解： 点 实 ʹʹ ，以原点 O 为位似中心，相似比为 1 ʹ ，把 䁨 缩小， 点 A 的对应点 的坐标是 实 1ʹ 或 1ʹ 实 ， 故答案为： 实 1ʹ 或 1ʹ 实 ． 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的 坐标的比等于 k 或 实 解答． 本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心， 相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或 实 ． 13.答案：3cm 解析：解：设圆锥的底面周长为 l， 1 11 ʹʹ ， 解得， ， 则圆锥的底面圆的半径 ʹ ， 故答案为：3cm． 根据扇形面积公式求出圆锥的底面周长，根据圆的周长公式计算即可． 本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键， 理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 14.答案：16 解析：解： 是 AB 的垂直平分线， ， 的周长为 10， 1Ͳ ， ， 的周长为： 1 ． 故答案为 16． 根据线段垂直平分线的性质，由 的周长为 10，即可得 1Ͳ ，继而求得答案． 此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 15.答案： 解析：解：连接 AC，则 ， 1 ʹ ， ʹ Ͳ ， 1 Ͳ ，即 Ͳ ， 数ͷ ， sin ， 故答案为 ． 连接 AC，证得 是等腰直角三角形，则 数ͷ ，根据正弦函数的定义，可得答案． 本题考查解直角三角形的运用，构造直角三角形是本题的关键． 16.答案：25 解析： 本题主要考查了有理数的混合运算，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出计算过程解决问 题 . 由于商品降价 Ͳ. 促销，如果要恢复原价，设原价为 1，根据题意可以求出提价后的百分比． 解：设原价为 1，依题意促销价为 1 1 实 Ͳ. Ͳ.䁥 ， 提价百分比为 1实Ͳ.䁥 Ͳ.䁥 Ͳ.ͷ ͷ. ． 故答案为 25． 17.答案：解： 1 国家创新指数得分为 .ͷ 以上 含 .ͷ 的国家有 17 个， 国家创新指数得分排名前 40 的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第 17， 故答案为：17； 如图所示： ʹ 由 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比 中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 . 万美元； 故答案为： . ； 数 由 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知， 相比于点 A、B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创 新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理； 相比于点 B，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建 成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理； 故答案为： ． 解析：本题考查了频数分布直方图、统计图、近似数等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题 的关键． 1 由国家创新指数得分为 .ͷ 以上 含 .ͷ 的国家有 17 个，即可得出结果； 根据中国在虚线 1 的上方，中国的创新指数得分为 .ͷ ，找出该点即可； ʹ 根据 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果； 数 根据 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断 的合理性． 18.答案：解：如图：连接 AD、BE 交于点 G，连接 CG 并延长交 AB 于 . 、BE、CF 即为 的高． 解析：本题考查的是作图 实 基本作图，熟知圆周角定理是解答此题的关键． 分别根据圆周角定理作出 AC，BC 边的高，再连接 CG 并延长即可得出 AB 边的高． 19.答案：解：不等式去分母得： ʹ 实 ʹ 实 数 实 ， 去括号得： ʹ 实 ʹ 数 实 䁥 ， 移项合并得： ൏ ͷ ， 解析：不等式去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解集，再在数轴上表示出来． 此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关 键． 20.答案：解：原式 ͳͳ实ͳ实ͳ ͳ 实 ͳ 实 ， ͳ ， ͳ ， 原式 数ͳ ͳ 实数ͳ 实 数 ʹ ． 解析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 ͳ 化为 ͳ ，代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 21.答案：解： 在 中， ， 䁥Ͳ ， 1 1䁥Ͳ 实 䁥Ͳ ͷͲ ， Ͳ ， 实 ʹͲ ． ， ʹͲ ， 实 Ͳ ． 解析：由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得 ͷͲ ，那么 实 ʹͲ. 因为 是等腰三角形，所以 ʹͲ ，然后根据三角形外角的性质即可 求出 的度数． 本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，求出 与 的度数 是解题关键． 22.答案： 1 证明：在菱形 ABCD 中， 䁨 1 ， 䁨 ， ， 四边形 OCED 是平行四边形， ， 平行四边形 OCED 是矩形． 解：在菱形 ABCD 中， Ͳ ， 是等边三角形， 数 ， 䁨 ʹ ， 在矩形 OCED 中， 䁨 ʹ ， 在 中， ． 解析：本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用有关知识． 1 先求出四边形 OCED 是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出 䁨 Ͳ ，证明 OCED 是矩形即可； 根据菱形的性质得出 是等边三角形， ， 䁨 ʹ ，再根据勾股定理得出 AE 的长 度即可． 23.答案：解： 1 点 ʹͷ 在反比例函数 的图象上， ͷ 1Ͳ 反比例函数解析式： 1Ͳ ， 点 A 在直线 上， ͷ ʹ 一次函数解析式 ʹ ， 直线 交 x 轴于点 B， 点 实 ʹʹͲ ， 䁨 1 ʹ ͷ 1ͷ ． 解析： 1 将点 A 坐标代入解析式可求解； 将点 A 坐标代入解析式可求一次函数解析式，可求点 B 坐标，即可求 䁨 的面积． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是本 题的关键． 24.答案：解： 1 根据题意得： ͷ ，当 㤵 数 时，P 为 BC 的中点， 㤵 ， 是 AB 的中点， 㤵 1 .ͷͲ ； 补充完整如表： 函数 1 和 的图象如图所示： ʹ数. ． 解析：解： 1 根据题意得： ͷ ，当 㤵 数 时，P 为 BC 的中点， 㤵 ， 是 AB 的中点， 㤵 1 .ͷͲ ； 补充完整如表： 函数 1 和 的图象如图所示： ʹ 当 㤵 㤵 时，BP 的长度为两 个函数 1 与 的图象交点的横坐 标， 数. ， 即 BP 的长度约为 数. ， 故答案为： 数. ． 1 根据题意得： ͷ ，当 㤵 数 时，P 为 BC 的中点，由等腰三角形的性质得出 㤵 ， 由直角三角形斜边上的中线性质得出 㤵 1 .ͷͲ 即可； 利用描点法画出图象即可； ʹ 当 㤵 㤵 时，BP 的长度为两个函数 1 与 的图象交点的横坐标，即可得出结果． 本题考查动点问题函数图象、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，解题的关 键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． 25.答案：证明： 1 连接 OC、EB、EO，并延长 EO 交 BC 于 H，如图， 是 䁨 的直径， Ͳ ， 为切线， 䁨 ， 䁨 Ͳ ， 䁨 Ͳ ， 䁨 1 Ͳ ， 1 ， 而 䁨 䁨 ， 1 ， ， 而 ， ； 解：在 中， 䁥 1Ͳ ， ， 而 1 ， ， ， ， ， ， 而 䁨 䁨 ， 䁨 垂直平分 BC， 1 数 ， 䁨 1 ʹ ， 䁨 1 ͷ ， 䁨 䁨 ͷ ʹ 䁥 ， 在 中， 数 䁥 数 ͷ ， 在 中， 1Ͳ 实 数 ͷ ͷ ． 解析：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理和勾股定理． 1 连接 OC、EB、EO，并延长 EO 交 BC 于 H，利用圆周角定理得到 Ͳ ，再根据切线的性 质得 䁨 Ͳ ，接着证明 1 ，从而得到 ，然后再利用圆周角定理和等量代换 得到结论； 利用勾股定理得到 1Ͳ ，再证明 得到 ，从而可得到 OH 垂直平分 BC， 所以 数 ， 䁨 1 ʹ ，然后利用勾股定理计算出 BE、AE 即可． 26.答案：解： 1 由题意可知，抛物线 1 的对称轴为直线 实 实ͳ ͳ ʹ ． 抛物线 1 交 x 轴于 A，B 两点 点 A 在点 B 的左侧 ，且 数 ， 1ʹͲ ， ͷʹͲ ． 把 1ʹͲ 代入 ͳ 实 ͳ 实 1Ͳ ，解得 ͳ 实 抛物线 1 的函数表达式为 实 1 实 1Ͳ ． 把 数ʹ 代入 实 1 实 1Ͳ ，解得 ． 数ʹ ． 抛物线 1 与 形状相同，开口方向不同， 设抛物线 的函数表达式为 ． 把 1ʹͲ ， 数ʹ 代入 ，得 实 䁥 ， ． 抛物线 的函数表达式为 实 䁥 ． ʹ ； ʹ 直线 㤵ܳ 轴，分别交 x 轴， 1 ， 于点 ʹͲ ，P，Q， 㤵ʹ 实 1 实 1Ͳ ， ܳʹ 实 䁥 ， 如图 当 1 1 时， 㤵ܳ 实 䁥 实 实 1 实 1Ͳ 数 实 Ͳ 1 ， 当 1 时，PQ 有最大值为 7； 如图 当 1 ൏ 数 时， 㤵ܳ 实 1 实 1Ͳ 实 实 䁥 实 数 Ͳ 实 1 ， 当 ͷ 时，PQ 有最大值为 9； 如图 当 数 ൏ ͷ 时， 㤵ܳ 实 䁥 实 实 1 实 1Ͳ 数 实 Ͳ 1 ， 当 ͷ 时，PQ 有最大值为 16， 综上所述，当 1 ͷ 时，线段 PQ 的最大值为 16． 解析： 本题考查二次函数综合应用 . 熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．注意数形结合思想与分 类讨论思想的运用． 1 首先确定 A、B 两点坐标，求出抛物线 l1 的解析式，再求出点 C 坐标，利用待定系数法求出抛物 线 的解析式即可； 观察图象可知，在两个抛物线的顶点之间时，抛物线 1 与 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大 而增大，求出两个抛物线的顶点坐标即可解决问题； ʹ 分两种情形分别求 如图 当 1 1 时， 㤵ܳ 实 䁥 实 实 1 实 1Ͳ 数 实 Ͳ 1 当 1 时，PQ 有最大值为 7． 如图 当 1 ൏ 数 时， 㤵ܳ 实 1 实 1Ͳ 实 实 䁥 实 数 Ͳ 实 1 当 ͷ 时，PQ 有最大值为 9． 如图 当 数 ൏ ͷ 时， 㤵ܳ 实 䁥 实 实 1 实 1Ͳ 数 实 Ͳ 1 当 ͷ时，PQ 有最大值为 16． 利用二次函数的性质即可解决问题． 解： 1 见答案； 由图象可知：在两个抛物线的顶点之间时，抛物线 1 与 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而 增大， ʹ ； 故答案为 ʹ ； ʹ 见答案． 27.答案： 1 证明： 数Ͳ ， 实 实 ， 即 ， 在 和 中， ≌ ， ． Ͳ ； ． ʹ 解： 和 均为等腰直角三角形， ， ， Ͳ ， 数ͷ ， 实 实 ， 即 ， 在 和 中， ， ≌ ， ， ， 点 A，D，E 在同一直线上， 1䁥Ͳ 实 数ͷ 1ʹͷ ， 1ʹͷ ， 实 1ʹͷ 实 数ͷ Ͳ ； Ͳ ， ， ， ， ， ． 解析： 1 根据全等三角形的判定方法，判断出 ≌ ，即可判断出 . 首先根据 和 均为等边三角形，可得 ， ， Ͳ ， Ͳ ， 据此判断出 ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出 ≌ ，即可判断出 ， ，进而判断出 的度数为 Ͳ 即可． ʹ 首先根据 和 均为等腰直角三角形，可得 ， ， Ͳ ， 据此判断出 ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出 ≌ ，即可判断出 ， ，进而判断出 的度数为 Ͳ 即可；最后根据 Ͳ ， ， ，可得 ，所以 ，据此判断出 即可． 1 见答案； 解： 和 均为等边三角形， ， ， Ͳ ， Ͳ ， 实 实 ， 即 ， 在 和 中， ≌ ， ， ， 点 A，D，E 在同一直线上， 1䁥Ͳ 实 Ͳ 1Ͳ ， 1Ͳ ， 实 1Ͳ 实 Ͳ Ͳ ， 综上，可得 的度数为 Ͳ ；线段 BE 与 AD 之间的数量关系是： ． 故答案为 Ͳ ； ． ʹ 见答案． 28.答案：解： 1ʹͲ 的变换点 的坐标为 ʹ ，则 䁨 ，所以点 ʹͲ的变换点在 䁨 上； 实 ʹ 实 1 的变换点 的坐标为 实 ʹʹ 实 1 ，则 䁨 ʹ 1 1Ͳ ，所以点 实 ʹ 实 1的变换点在 䁨 外； 设 P 点坐标为 ʹ ，则 P 点的变换点为 㤵 的坐标为 ʹ 实 ，则 䁨㤵 实 ， 点 㤵 在 䁨 的内， 实 ൏ ， ൏ 数 ，即 1 ൏ 1 ， 实 1 ൏ 1 ൏ 1 ，解得 实 ൏ ൏ Ͳ ， 即点 P 横坐标的取值范围为 实 ൏ ൏ Ͳ ； 设点 㤵 的坐标为 ʹ 实 ， 㤵ʹ ， 根据题意得 ， 实 实 ， ʹ ， 即 实 ʹ ， 㤵 点坐标为 ʹ 实 ʹ ， 点 P 在直线 实 ʹ 上， 设直线 实 ʹ 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，过 O 点作 䁨 于 H，交 䁨 于 C， 如图 2， 则 ʹͲ ， Ͳʹ ， 1Ͳ ， 1 䁨 1 䁨 䁨 ， 䁨 1Ͳ ʹ 1Ͳ ͷ ， ʹ 1Ͳ ͷ 实 1 ， 即点 P 与 䁨 上任意一点距离的最小值为 ʹ 1Ͳ ͷ 实 1 ． 解析： 1 根据新定义得到点 M 的变换点 的坐标为 ʹ ，于是根据勾股定理计算出 䁨 ， 则根据点与圆的位置关系的判定方法可判断点 M 的变换点在 䁨 上；同样方法可判断点 实 ʹ 实 1的变换点在 䁨 外 利用一次函数图象上点的坐标特征，设 P 点坐标为 ʹ ，利用新定义得到 P 点的变换点为 㤵的坐标为 ʹ 实 ，则根据勾股定理计算出 䁨㤵 实 ，然后利用点与圆的位 置关系得到 实 ൏ ，解不等式得 实 ൏ ൏ Ͳ ； 设点 㤵 的坐标为 ʹ 实 ， 㤵ʹ ，根据新定义得到 ， 实 实 ，消去 x 得 ʹ ，则 实 ʹ ，于是得到 P 点坐标为 ʹ 实 ʹ ，则可判断点 P 在直线 实 ʹ 上，设直线 实 ʹ 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，过 O 点作 䁨 于 H， 交 䁨 于 C，如图 2，易得 ʹͲ ， Ͳʹ ，利用勾股定理计算出 1Ͳ ，再利用面积法计算 出 䁨 ʹ 1Ͳ ͷ ，所以 ʹ 1Ͳ ͷ 实 1 ，当点 P 在 H 点时，PC 为点 P 与 䁨 上任意一点距离的最小值． 本题考查了圆的综合题：熟练掌握点与圆的位置关系和一次函数图象上点的坐标特征；会运用勾股 定理定理和面积法计算线段的长；提高阅读理解能力．