2021年中考数学专题复习 专题52 中考数学最值问题（教师版含解析）

2021年中考数学专题复习 专题52 中考数学最值问题（教师版含解析）

专题 52 中考数学最值问题 在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大(小)值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分 为几何最值和代数最值两大部分。 一、解决几何最值问题的要领 (1)两点之间线段最短； (2)直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； (3)三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)。 二、解决代数最值问题的方法要领 1.二次函数的最值公式 二次函数 y ax bx c  2 (a、b、c为常数且a  0 )其性质中有 ①若a  0当 x b a   2 时，y有最小值。 y ac b amin  4 4 2 ； ②若a  0当 x b a   2 时，y有最大值。 y ac b amax  4 4 2 。 2.一次函数的增减性.一次函数 y kx b k  ( )0 的自变量 x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因 而没有最大(小)值；但当m x n  时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大 (小)值。 3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数 x 的一元二次方程；再根据 x 是实数，推得  0，进而求出 y 的取值范围，并由此得出 y 的最值。 4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有a b k k2 2   ，当且仅当a b  0时，等号成立，即 a b k2 2  的最小值为 k。 6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数 y 中绝对值符号，然后求出 y 在各个区间上的最大值， 再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解.在不等式 x a 中， x a 是最大值，在不等式 x b 中， x b 是最小值。 8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内， 再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。 【例题 1】(2020•黑龙江)如图，在边长为 1 的菱形 ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线 BD方向平 移，得到△EFG，连接 EC、GC．求 EC+GC的最小值为 ． 【答案】 ． 【解析】根据菱形的性质得到 AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到 EG＝AB＝1，EG∥AB，推出四 边形 EGCD是平行四边形，得到 ED＝GC，于是得到 EC+GC的最小值＝EC+GD的最小值，根据平移的性 质得到点 E在过点 A且平行于 BD的定直线上，作点 D关于定直线的对称点 M，连接 CM交定直线于 AE， 解直角三角形即可得到结论． ∵在边长为 1的菱形 ABCD中，∠ABC＝60°， ∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°， ∵将△ABD沿射线 BD的方向平移得到△EGF， ∴EG＝AB＝1，EG∥AB， ∵四边形 ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAD＝120°， ∴EG＝CD，EG∥CD， ∴四边形 EGCD是平行四边形， ∴ED＝GC， ∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值， ∵点 E在过点 A且平行于 BD的定直线上， ∴作点 D关于定直线的对称点 M，连接 CM交定直线于 E， 则 CM的长度即为 EC+DE的最小值， ∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1， ∴∠ADM＝60°，DH＝MH AD ， ∴DM＝1， ∴DM＝CD， ∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°， ∴∠M＝∠DCM＝30°， ∴CM＝2× CD ． 【对点练习】(2020•内江)如图，在矩形 ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点 M、N分别是线段 DB、 AB上的两个动点，则 AM+MN的最小值为 ． 【答案】15． 【解析】作点 A关于 BD的对称点 A′，连接 MA′，BA′，过点 A′H⊥AB于 H．首先证明△ABA′是等 边三角形，求出 A′H，根据垂线段最短解决问题即可． 解：作点 A关于 BD的对称点 A′，连接 MA′，BA′，过点 A′H⊥AB于 H． ∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°， ∴∠ABA′＝60°， ∴△ABA′是等边三角形， ∵四边形 ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝10， 在 Rt△ABD中，AB ܽ 10 ， ∵A′H⊥AB， ∴AH＝HB＝5 ， ∴A′H AH＝15， ∵AM+MN＝A′M+MN≤A′H， ∴AM+MN≤15， ∴AM+MN的最小值为 15． 【例题 2】(2020•襄阳)受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八 方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助， 对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按 25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果 x千克，付款 y元，y与 x之间的函数关系如图所示． (1)直接写出当 0≤x≤50和 x＞50时，y与 x之间的函数关系式； (2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共 100千克，且甲种水果不少于 40千克，但又不超过 60千克．如 何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额 w(元)最少？ (3)若甲，乙两种水果的销售价格分别为 40元/千克和 36元/千克．经销商按(2)中甲，乙两种水果购进量的分 配比例购进两种水果共 a千克，且销售完 a千克水果获得的利润不少于 1650元，求 a的最小值． 【分析】(1)由图可知 y与 x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可． (2)设购进甲种水果为 a千克，则购进乙种水果(100﹣a)千克，根据实际意义可以确定 a的范围，结合付款总 金额(元)与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少． (3)根据(2)的结论列不等式解答即可． 【解析】(1)当 0≤x≤50是，设 y＝kx，根据题意得 50k＝1500， 解得 k＝30； ∴y＝30x； 当 x＞50时，设 y＝k1x+b， 根据题意得， ݇ ݇ ܾ，解得 ， ∴y＝24x+3000． ∴y ݔ 䁪 ݇ 䁪＜ݔ ， (2)设购进甲种水果为 a千克，则购进乙种水果(100﹣a)千克， ∴40≤a≤60， 当 40≤a≤50时，w1＝30a+25(100﹣a)＝5a+2500． 当 a＝40 时．wmin＝2700 元， 当 50＜a≤60时，w2＝24a+25(100﹣a)＝﹣a+2500． 当 a＝60时，wmin＝2440 元， ∵2440＜2700， ∴当 a＝60时，总费用最少，最少总费用为 2440 元． 此时乙种水果 100﹣60＝40(千克)． 答：购进甲种水果为 60千克，购进乙种水果 40千克，才能使经销商付款总金额 w(元)最少． (3)由题意得：(40﹣24)× a+(36﹣25)× ܽ 1650， 解得 ܽ ， ∵a为正整数， ∴a≥118， ∴a的最小值为 118． 【对点练习】(2020 海南模拟)某水果店在两周内，将标价为 10 元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格 为 8.1 元/斤，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种水果每次降价的百分率； (2)从第一次降价的第 1 天算起，第 x 天(x 为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示. 已知该种水果的进价为 4.1 元/斤，设销售该水果第 x(天)的利润为 y(元)，求 y与 x(1≤x＜15)之间的函数 关系式，并求出第几天时销售利润最大？ 时间(天) 1≤x＜9 9≤x＜15 x≥15 售价(元/斤) 第 1 次降价后的价格 第 2 次降价后的价格 销量(斤) 80－3x 120－x 储存和损耗费用(元) 40＋3x 3x2 －64x＋400 (3)在(2)的条件下，若要使第 15 天的利润比(2)中最大利润最多少 127.5 元，则第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降多少元？ 【答案】看解析。 【解析】(1)设该种水果每次降价的百分率为 x，则第一次降价后的价格为 10(1－x)，第二次降价后的价格为 10(1－x)2，进而可得方程；(2)分两种情况考虑，先利用“利润＝(售价－进价)×销量－储存和损耗费用”，再 分别求利润的最大值，比较大小确定结论；(3)设第 15 天在第 14 天的价格基础上降 a 元，利用不等关系“(2) 中最大利润－[(8.1－a－4.1)×销量－储存和损耗费用]≤127.5”求解． 解答：(1)设该种水果每次降价的百分率为 x，依题意得： 10(1－x)2 ＝8.1． 解方程得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去) 答：该种水果每次降价的百分率为 10%． （2）第一次降价后的销售价格为：10×(1－10%)＝9(元/斤)， 当 1≤x＜9 时，y＝(9－4.1)(80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352； 当 9≤x＜15 时，y＝(8.1－4.1)(120－x)－(3x2 －64x＋400)＝－3x2 ＋60x＋80， 综上，y 与 x 的函数关系式为：y＝ －17.7x＋352(1≤x＜9，x为整数)， －3x 2 ＋60x＋80(9≤x＜15，x为整数)． 当 1≤x＜9 时，y＝－17.7x＋352，∴当 x＝1 时，y 最大＝334.3(元)； 当 9≤x＜15 时，y＝－3x2 ＋60x＋80＝－3(x－10) 2 ＋380，∴当 x＝10 时，y 最大＝380(元)； ∵334.3＜380，∴在第 10 天时销售利润最大． (3)设第 15 天在第 14 天的价格上最多可降 a 元，依题意得： 380－[(8.1－a－4.1)(120－15)－(3×15 2 －64×15＋400)]≤127.5， 解得：a≤0.5， 则第 15 天在第 14 天的价格上最多可降 0.5 元． 所以当 x  35时，最大利润为 1950 元。 【例题 3】(2020•乐山)如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣x与双曲线 y 交于 A、B两点，P是以点 C(2，2)为圆心，半径长 1的圆上一动点，连结 AP，Q为 AP的中点．若线段 OQ长度的最大值为 2，则 k 的值为( ) A． B． C．﹣2 D． 【答案】A 【分析】确定 OQ是△ABP的中位线，OQ的最大值为 2，故 BP的最大值为 4，则 BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3， 则(m﹣2)2+(﹣m﹣2)2＝32，即可求解． 【解析】点 O是 AB的中点，则 OQ是△ABP的中位线， 当 B、C、P三点共线时，PB最大，则 OQ BP最大， 而 OQ的最大值为 2，故 BP的最大值为 4， 则 BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3， 设点 B(m，﹣m)，则(m﹣2)2+(﹣m﹣2)2＝32， 解得：m2 ， ∴k＝m(﹣m) 【对点练习】(2019 云南)如图，MN 是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点 B为弧 AN 的中点，点 P 是直径 MN 上的一个动点，则 PA+PB 的最小值为 ． 【答案】2 ． 【解析】过 A 作关于直线 MN 的对称点 A′，连接 A′B，由轴对称的性质可知 A′B 即为 PA+PB 的最小值， 由对称的性质可知 = ，再由圆周角定理可求出∠A′ON 的度数，再由勾股定理即可求解．过 A作关 于直线 MN 的对称点 A′，连接 A′B，由轴对称的性质可知 A′B 即为 PA+PB 的最小值， 连接 OB，OA′，AA′， ∵AA′关于直线 MN 对称，∴ = ， ∵∠AMN=40°， ∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°， 过 O 作 OQ⊥A′B 于 Q， 在 Rt△A′OQ 中，OA′=2， ∴A′B=2A′Q=2 ， 即 PA+PB 的最小值 2 ． 【例题 4】(2020•衡阳)在平面直角坐标系 xOy中，关于 x的二次函数 y＝x2+px+q的图象过点(﹣1，0)，(2， 0)． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差； (3)一次函数 y＝(2﹣m)x+2﹣m的图象与二次函数 y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是 a和 b，且 a＜3＜ b，求 m的取值范围． 【答案】见解析。 【分析】(1)由二次函数的图象经过(﹣1，0)和(2，0)两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式； (2)求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当 x＝﹣2，函数有最大值 4；当 x 是函数有最小值 ܾ ，进而 求得它们的差； (3)由题意得 x2﹣x﹣2＝(2﹣m)x+2﹣m，整理得 x2+(m﹣3)x+m﹣4＝0，因为 a＜2＜b，a≠b，△＝(m﹣3)2﹣ 4×(m﹣4)＝(m﹣5)2＞0，把 x＝3代入(2﹣m)x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得 m＜ ． 【解析】(1)由二次函数 y＝x2+px+q的图象经过(﹣1，0)和(2，0)两点， ∴ ݇ ݇ ݇ ，解得 ， ∴此二次函数的表达式 y＝x2﹣x﹣2； (2)∵抛物线开口向上，对称轴为直线 x ݇ ， ∴在﹣2≤x≤1范围内，当 x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4； 当 x 是函数有最小值：y 2 ܾ ， ∴的最大值与最小值的差为：4﹣( ܾ 䁪 ； (3)∵y＝(2﹣m)x+2﹣m与二次函数 y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为 a和 b， ∴x2﹣x﹣2＝(2﹣m)x+2﹣m，整理得 x2+(m﹣3)x+m﹣4＝0 ∵a＜3＜b ∴a≠b ∴△＝(m﹣3)2﹣4×(m﹣4)＝(m﹣5)2＞0 ∴m≠5 ∵a＜3＜b 当 x＝3时，(2﹣m)x+2﹣m＞x2﹣x﹣2， 把 x＝3代入(2﹣m)x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得 m＜ ∴m的取值范围为 m＜ ． 【对点练习】(2019 海南)如图，已知抛物线 y＝ax2 +bx+5 经过 A(﹣5，0)，B(﹣4，﹣3)两点，与 x 轴的另 一个交点为 C，顶点为 D，连结 CD． (1)求该抛物线的表达式； (2)点 P 为该抛物线上一动点(与点 B、C 不重合)，设点 P 的横坐标为 t． ①当点 P 在直线 BC 的下方运动时，求△PBC 的面积的最大值； ②该抛物线上是否存在点 P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析。 【解析】(1)将点 A、B 坐标代入二次函数表达式，即可求解； (2)①S△PBC＝ PG(xC﹣xB)，即可求解；②分点 P在直线 BC 下方、上方两种情况，分别求解即可． 解：(1)将点 A、B 坐标代入二次函数表达式得： ，解得： ， 故抛物线的表达式为：y＝x2 +6x+5…①， 令 y＝0，则 x＝﹣1或﹣5， 即点 C(﹣1，0)； (2)①如图 1，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 G， 将点 B、C的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 BC 的表达式为：y＝x+1…②， 设点 G(t，t+1)，则点 P(t，t2 +6t+5)， S△PBC＝ PG(xC﹣xB)＝ (t+1﹣t2 ﹣6t﹣5)＝﹣ t2 ﹣ t﹣6， ∵ ＜0，∴S△PBC有最大值，当 t＝﹣ 时，其最大值为 ； ②设直线 BP 与 CD 交于点 H， 当点 P 在直线 BC 下方时， ∵∠PBC＝∠BCD，∴点 H 在 BC 的中垂线上， 线段 BC 的中点坐标为(﹣ ，﹣ )， 过该点与 BC 垂直的直线的 k值为﹣1， 设 BC 中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点(﹣ ，﹣ )代入上式并解得： 直线 BC 中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③， 同理直线 CD 的表达式为：y＝2x+2…④， 联立③④并解得：x＝﹣2，即点 H(﹣2，﹣2)， 同理可得直线 BH 的表达式为：y＝ x﹣1…⑤， 联立①⑤并解得：x＝﹣ 或﹣4(舍去﹣4)， 故点 P(﹣ ，﹣ )； 当点 P(P′)在直线 BC 上方时， ∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD， 则直线 BP′的表达式为：y＝2x+s，将点 B坐标代入上式并解得：s＝5， 即直线 BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥， 联立①⑥并解得：x＝0或﹣4(舍去﹣4)， 故点 P(0，5)； 故点 P 的坐标为 P(﹣ ，﹣ )或(0，5)． 【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中(2)， 要主要分类求解，避免遗漏． 【例题 5】(2020 无锡模拟)如图，线段 AB 的长为 4，C为 AB 上一动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧 作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE，那么 DE 长的最小值是 ． 【答案】4 【解析】设 AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出 CD= 2 2 x，CD′= 2 2 (4﹣x)， 根据勾股定理然后用配方法即可求解． 解：设 AC=x，BC=4﹣x， ∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形， ∴CD= 2 2 x，CD′= 2 2 (4﹣x)， ∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°， ∴∠DCE=90°， ∴DE2 =CD2 +CE2 = 1 2 x2 + 1 2 (4﹣x)2 =x2 ﹣4x+8=(x﹣2) 2 +4， ∵根据二次函数的最值， ∴当 x 取 2 时，DE 取最小值，最小值为：4． 【点拨】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值． 【对点练习】(2019 年黑龙江大庆)如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点 D 从 B 出发，沿线段 BA 运动到点 A 为止(不考虑 D与 B，A 重合的情况)，运动速度为 2cm/s，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E，连接 BE，设动点 D 运动的时间为 x(s)，AE 的长为 y(cm)． (1)求 y 关于 x的函数表达式，并写出自变量 x的取值范围； (2)当 x 为何值时，△BDE 的面积 S 有最大值？最大值为多少？ 【答案】见解析。 【解析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解 题的关键． (1)由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式. 动点 D 运动 x 秒后，BD＝2x． 又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x． ∵DE∥BC， ∴ ， ∴ ， ∴y 关于 x的函数关系式为 y＝ (0＜x＜4)． (2)由 S＝ •BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解． S△BDE＝ ＝ ＝ (0＜x＜4)． 当 时，S△BDE最大，最大值为 6cm2 ． 【点拨】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解 题的关键． 一、填空题 1．(2020•扬州)如图，在▱ ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点 E为边 AB上的一个动点，连接 ED 并延长至点 F，使得 DF DE，以 EC、EF为邻边构造▱ EFGC，连接 EG，则 EG的最小值为 ． 【答案】9 ． 【解析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到 BD和 EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即 可得到 EG的最小值，本题得以解决． 作 CH⊥AB于点 H， ∵在▱ ABCD中，∠B＝60°，BC＝8， ∴CH＝4 ， ∵四边形 ECGF是平行四边形， ∴EF∥CG， ∴△EOD∽△GOC， ∴ ， ∵DF DE， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴当 EO取得最小值时，EG即可取得最小值， 当 EO⊥CD时，EO取得最小值， ∴CH＝EO， ∴EO＝4 ， ∴GO＝5 ， ∴EG的最小值是 ܾ ， 2．(2020•凉山州)如图，矩形 ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是 AB上一点，且 EB＝3，F是 BC上一动点， 若将△EBF沿 EF对折后，点 B落在点 P处，则点 P到点 D的最短距离为 ． 【答案】10． 【解析】先根据勾股定理计算 ED的长，当 E、P、D共线时，DP最小，即最短距离是此时 PD的长． 如图，连接 PD，DE， ∵四边形 ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵AB＝8，BE＝3， ∴AE＝5， ∵AD＝12， ∴DE ݇ 13， 由折叠得：EB＝EP＝3， ∵EP+DP≥ED， ∴当 E、P、D共线时，DP最小， ∴DP＝DE﹣EP＝13﹣3＝10 3．(2020•聊城)如图，在直角坐标系中，点 A(1，1)，B(3，3)是第一象限角平分线上的两点，点 C的纵坐标 为 1，且 CA＝CB，在 y轴上取一点 D，连接 AC，BC，AD，BD，使得四边形 ACBD的周长最小，这个最 小周长的值为 ． 【答案】4+2 ． 【分析】根据平行线的性质得到∠BAC＝45°，得到∠C＝90°，求得 AC＝BC＝2，作 B关于 y轴的对称点 E，连接 AE交 y轴于 D，则此时，四边形 ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过 E作 EF ⊥AC交 CA的延长线于 F，根据勾股定理即可得到结论． 解：∵点 A(1，1)，点 C的纵坐标为 1， ∴AC∥x轴， ∴∠BAC＝45°， ∵CA＝CB， ∴∠ABC＝∠BAC＝45°， ∴∠C＝90°， ∵B(3，3) ∴C(3，1)， ∴AC＝BC＝2， 作 B关于 y轴的对称点 E， 连接 AE交 y轴于 D， 则此时，四边形 ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE， 过 E作 EF⊥AC交 CA的延长线于 F， 则 EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4， ∴AE ݇ ݇ 2 ， ∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2 4．如图，菱形 ABCD 中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B 的半径分别为 2 和 1，P、E、F 分别是边 CD、⊙A 和⊙ B上的动点，则 PE+PF 的最小值是 ． 【答案】3 【解析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出 P 与 D 重合时 PE+PF 的最小值，进而求出即可． 由题意可得出：当 P 与 D 重合时，E 点在 AD 上，F 在 BD 上，此时 PE+PF 最小， 连接 BD， ∵菱形 ABCD 中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD 是等边三角形，∴BD=AB=AD=3， ∵⊙A、⊙B 的半径分别为 2和 1， ∴PE=1，DF=2，∴PE+PF 的最小值是 3． 【点拨】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出 P 点位置是解题关键． 5.(2020 四川绵阳模拟)不等边三角形ABC的两边上的高分别为 4和 12 且第三边上的高为整数，那么此 高的最大值可能为________。 【答案】5 【解析】设 a、b、c 三边上高分别为 4、12、h 因为2 4 12S a b chABC    ，所以a b 3 又因为 c a b b   4 ，代入12b ch 得12 4b bh ，所以h  3 又因为 c a b b   2 ，代入12b ch 得12 2b bh ，所以h  6 所以 3

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