九年级数学上册 2122 公式法教学 新版新人教版

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21.2.2　公式法 知识点一 知识点二 知识点一一元二次方程的判别式 一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别 式,通常用希腊字母“Δ”表示,即Δ=b2-4ac. (1)当Δ>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实 数根; (2)当Δ=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数 根; (3)当Δ<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. 知识点一 知识点二 拓展讲解:(1)判别式Δ=b2-4ac与一元二次方程根的情况的关系是 相互的,即: ①b2-4ac>0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根; ②b2-4ac=0 ⇔ 方程有两个相等的实数根; ③b2-4ac<0 ⇔ 方程无实数根. (2)特别地: ①一元二次方程有实根指的是有两个不等实根和两个相等实根, 即此时应有b2-4ac≥0; ②一元二次方程没有实数根时,不能说成无解,因为方程无解,只 是在实数范围内无解. 知识点一 知识点二 例1　(2015·长春)方程x2-2x+3=0的根的情况是(　　) A.有两个相等的实数根 B.只有一个实数根 C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根 解析:把a=1,b=-2,c=3代入Δ=b2-4ac进行计算,然后根据计算结果 判断方程根的情况. ∵a=1,b=-2,c=3,∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0.∴方程没有实 数根. 答案:C 知识点一 知识点二 解答这类判断一元二次方程根的情况的问题,只要计算 出判别式Δ=b2-4ac的值,根据判别式的符号即可确定. 知识点一 知识点二 知识点二公式法 当Δ≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 的 形式,这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.求根公 式表达了一般的用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的结果. 解一个具体的一元二次方程时,把各项系数直接代入求根公式,可 以避免配方过程而直接得出根,这种解一元二次方程的方法叫做公 式法. 知识点一 知识点二 拓展讲解:用公式法解一元二次方程的步骤是: (1)把一元二次方程化为一般形式; (2)确定a,b,c的值; (3)求出b2-4ac的值; (4)如果b2-4ac≥0,则把a,b,c的值代入求根公式,求出x1和x2的值, 如果b2-4ac<0,则方程无实数根; 当b2-4ac=0时,必须把原方程的根写成 的形式,这样 才能说明方程有两个相等的实数根,而不是只有一个根. 知识点一 知识点二 例2　用公式法解下列方程. (1)x2-x=-2; (2)x2-2x=2x+1; (3)(3x-1)(x+2)=11x-4. 分析:把各方程整理为一般形式,找出a,b,c的值,代入求根公式即 可求出解. 知识点一 知识点二 知识点一 知识点二 利用公式法可以解任何形式的一元二次方程,被称为“万 能法”,但是使用时,一定要先把一元二次方程化成一般形 式,同时注意各项系数的符号,而且要先计算b2-4ac的值,确 定了根的情况后才能套用公式. 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一灵活地选择方法解一元二次方程 例1　选择适当的方法解方程: (1)(x-1)2=3;(2)x2-2x=4;(3)x2-3x+1=0. 分析:(1)因为方程的左边是完全平方形式,右边是正整数,所以利 用直接开平方法求解; (2)由于方程的左边二次项的系数为1,并且一次项系数是偶数, 所以利用配方法求解较好; (3)虽然方程的左边二次项的系数为1,但是一次项系数是奇数, 如果用配方法会出现分数,所以利用公式法解方程. 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一 拓展点二 拓展点三 在一元二次方程的解法中,公式法和配方法可以说是“通 法”,即能解任何一个一元二次方程.但对某些特殊形式的一 元二次方程,有的用直接开平方法简便.因此,在遇到一道题时, 应根据题目自身的特点灵活地选择适当的方法去解一元二次 方程. 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点二根据根的判别式确定字母的值或取值范围 例2　m为何值时,关于x的一元二次方程(m+1)x2-(2m-3)x=-m-1: (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根? 分析:回答各个问题,只要根据方程的根的情况,确定判别式Δ=b2- 4ac的取值,列出相应的方程或不等式,解相应的方程或不等式即可 确定字母m的值或取值范围. 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解答这类问题的一般方法是根据方程根的情况列出关于 未知字母的方程或不等式,通过解方程或不等式来求字母 的值或确定字母的取值范围. 拓展点一 拓展点二 拓展点三 例3　已知关于x的方程(k-1)x2-6x+9=0. (1)若方程有实数根,求k的取值范围; (2)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围; (3)若方程有两个相等的实数根,求k的值,并求此方程的根. 分析:由于题目中没有指出所给方程是一元二次方程,所以需要分 类讨论解答: (1)若k=1,方程为一元一次方程,有解,满足题意;当k不等于1时,方程 为一元二次方程,得到根的判别式大于等于0,且二次项系数不为0, 列出不等式,求出不等式的解集即可得到k的范围; (2)方程有两个不相等的实数根,得到k-1不为0,且根的判别式大于0, 即可得到k的范围; (3)方程有两个相等的实数根,得到k-1不为0,且根的判别式等于0,即 可得到k的值. 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解:(1)若k=1,方程为一元一次方程,有解,满足题意;若k≠1,方程为 一元二次方程,∵方程有实数根, ∴Δ=b2-4ac=(-6)2-36(k-1)=72-36k≥0,解得k≤2且k≠1.综上,k的范 围为k≤2. (2)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-36(k-1)=72- 36k>0,且k-1≠0,解得k<2且k≠1. (3)∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-36(k-1)=72- 36k=0,且k-1≠0,解得k=2.∴原方程为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3. 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解答这类问题时,注意观察题目是否说明所给方程是一元二 次方程,如果没有,要分类讨论解答.如果指出所给方程是一 元二次方程,一般根据题目所给出的根的情况列出方程或不 等式,通过解方程或解不等式求出结果. 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点三与判别式有关的综合题 例4　已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0. (1)求证:无论k取何值,它总有实数根; (2)若等腰三角形一边a=3,另两边为方程的根,求k的值及三角形 的周长. 分析:(1)计算方程的根的判别式,若Δ=b2-4ac≥0,则方程有实数 根; (2)已知a=3,则a可能是底,也可能是腰,分两种情况求得b,c的值 后,再求出△ABC的周长.注意两种情况都要用三角形三边关系定理 进行检验. 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解:(1)证明:∵Δ=[-(k+2)]2-4×2k=(k-2)2≥0,∴无论k取何值,它总 有实数根. (2)当a=3是等腰三角形的底时,则Δ=0,即(k-2)2=0,解得k=2,则方 程为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2,此时等腰三角形的周长为2+2+3=7; 当a=3是等腰三角形的腰时,则a=3是方程的一个根,将x=3代入 x2-(k+2)x+2k=0,得k=3,此时方程变为x2-5x+6=0,解方程得 x1=2,x2=3,所以等腰三角形的底为2,周长为3+3+2=8. 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解答这类问题,首先根据根的判别式确定字母的取值范围,同 时注意结合等腰三角形的相关概念及三角形的三边关系分 类讨论解答.