【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程(培优版)8锐角三角函数性质

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【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程(培优版)8锐角三角函数性质

1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 锐角三角函数 了解锐角三角函数(正弦、余弦、 正切、余切),知道特殊角的三角 函数值 由某个角的一个三角函数值,会 求这个角其余两个三角函数值; 会求含有特殊角的三角函数值的 计算 能用三角函数解决 与直角三角形有关 的简单问题 模块一 三角函数基础 一、锐角三角函数的定义 如图所示,在 Rt ABC△ 中,a、b、c 分别为 A 、 B 、 C 的对边. (1)正弦: Rt ABC 中,锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦,记作 sin A ,即 sin aA c  . (2)余弦: Rt ABC 中,锐角 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦,记作 cos A ,即 cos bA c  . (3)正切: Rt ABC 中,锐角 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切,记作 tan A ,即 tan aA b  . 注意: ① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的,要避免应用时对任意三角形随便套用定义. ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号,是一个整体,不能理解为sin 与 A 、 cos 与 A 、 tan 与 A 的乘积. ③ 在直角三角形中,正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的 比值,当这个锐角确定后,这些比值都是固定值. 二、特殊角三角函数 三角函数 0 30 45 60 90 锐角三角函数性质 2 这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住! 三、锐角三角函数的取值范围 在 Rt ABC 中, 90C   , 0 0 0a b c a c b c    , , , , ,又sin aA c  ,cos bA c  ,tan aA b  ,所 以 0 sin 1 0 cos 1 tan 0A A A    , , . 四、三角函数关系 1.同角三角函数关系: 2 2sin cos 1A A  , sintan cos AA A  2.互余角三角函数关系: (1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值:  sin cos 90A A   ; (2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值:  cos sin 90A A   ; (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值:  tan cot 90A A   . 3.锐角三角函数值的变化规律: (1)A、B 是锐角,若 A  B,则 sin A  sin B ;若 A  B,则 sin A  sin B (2) A、B 是锐角,若 A  B,则 cos A  cos B ;若 A  B,则 cos A  cos B (3) A、B 是锐角,若 A  B,则 tan tanA B ;若 A  B,则 tan tanA B 【例 1】 如图,在 Rt ABC 中, ACB = 90 ,CD AB 于 D ,则 sin A =   AC =   BC , sin B =   CD =   AC , sin DCB =     , sin ACD =     , tan A =   AC =   CD , tan B =   CD =   AC . sin A 0 1 2 2 2 3 2 1 cos A 1 3 2 2 2 1 2 0 tan A 0 3 3 1 3  3 【巩固】在 Rt ABC 中, 90C  , sin A = 2 3 , AB =9,则 BC = . 【例 2】 如图,在 Rt ABC△ 中, 90C   , 1BC  , 2AB  ,则下列结论正确的是( ). A. 3sin 2A  B. 1tan 2A  C. 3cos 2B  D. tan 3B  【巩固】(2011 江苏连云港)如图, ABC△ 的顶点都在方格纸的格点上,则 sin A =______. 【例 3】 (2011 山东烟台)如果 ABC△ 中, sin A = cos B = 2 2 ,则下列最确切的结论是( ) A. ABC△ 是直角三角形 B. ABC△ 是等腰三角形 C. ABC△ 是等腰直角三角形 D. ABC△ 是锐角三角形 【巩固】已知 为锐角,且 1cos(90 ) 2    ,则 的度数是( ) A.30 B. 45 C. 60 D.90 【巩固】在 ABC△ 中, A 、 B 都是锐角,且 sin A = 1 2 , cos B = 3 2 ,则 ABC△ 是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 4 【例 4】 ABC 中,a b c、 、 分别是 A B C  、 、 的对边。已知 10a  , 3 2b   , 3 2c   ,则 sin sinb B c C 的值等于 . 【例 5】 已知 cos19 30 = 0 9426. ,则 sin 70 30 = . 【巩固】在 ABC△ 中 90C   ,若 sin A + cos B = 2 ,则 A 等于( ) A.30 B. 45 C. 60 D. 75 【例 6】 若 A 的补角是 A 的 3 倍,则sin A = . 【巩固】  的补角是 120°,则   ______, sin  ______. 【例 7】  为锐角,且满足 sin 3cos  ,求 sin cos  的值. 【巩固】若  为直角三角形中的一个锐角, tan 3  ,则 cos  ______. . 模块二 比较大小 【例 8】 比较下列各式的大小. (1) sin53 和 cos53 ; (2) 当 A 是锐角时, sin A 和 tan A 5 【巩固】(2011 广东茂名)如图,已知: 45 90A    ,则下列各式成立的是( ) A. sin cosA A B.sin cosA A C.sin tanA A D. sin cosA A 模块三 化简求值 【例 9】 求下列各式的值: (1) 22cos 30 2sin60 cos45    ; (2) 2 2 21 1cos 45 cos 30 sin 45cos60 sin90         【巩固】计算(1) 2cos 45 tan60 cos30    ; (2) sin 60 tan 45cos30    6 【例 10】 已知 3tan 4   ,且 为锐角,求 sin cos 1 cot 1 tan      的值. 模块四 三角函数与代数综合 【例 11】 已知:sin cos sin cosm n      , ,则 m n, 之间的关系是( ) A. m n B. 2 1m n  C. 2 22m n  D. 2 1 2m n  模块五 三角函数与几何综合 【例 12】 (2011 江苏南京)如图,以 O 为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM 交于点 A ,再以 A 为 圆心, AO 长为半径画弧,两弧交于点 B ,画射线 OB ,则 cos AOB 的值等于_________. 【例 13】 如图,已知 AB 是半圆 O 的直径,弦 AD 、BD 相交于点 P ,若 DPB = ,那么 CD AB 等于( ) A.sin B. cos C. tan D. 1 tan 7 【例 14】 (2011 安徽芜湖中考)如图,直径为 10 的 A 经过点 (0,5)C 和点 (0,0)O ,B 是 y 轴右侧 A 优弧上一点,则 OBC 的余弦值为( ). A. 1 2 B. 3 4 C. 3 2 D. 4 5 【例 15】 如图,在 ABC△ 中, AD 是 BC 边上的高, tan cosB DAC  (1)求证: AC BD (2)若 12sin 13C  , 12BC  ,求 AD 的长. 【巩固】如图,一块三角形土地,已知两边长与夹角,求这块土地的面积.(精确到 1 2cm ,参考数据: sin 50 0.7660  ) 【例 16】 如图,在 Rt ABC 中, 90ACB   , A B   ,沿 Rt ABC 的斜边 AB 上的中线CM 将 CMA△ 折叠,使点 A 落在点 D 处,若 CD 恰好与 MB 垂直,则 tan A 的值为 _________. 8 课堂检测 1.直角三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则 cos A 的值是( ) A. 3 4 B. 4 3 C. 3 5 D. 4 5 2.在 ABC△ 中,若  23sin 1 tan 02A B    ,则 C 的度数是( ) A. 45 B. 60 C. 75 D.105 3.已知 为锐角,且 2cos 3   ,则 的取值范围是 ( ) A. 0 30    B. 30 45    C. 45 60    D. 60 90    总结复习 9 1.通过本堂课你学会了 . 2.掌握的不太好的部分 . 3.老师点评:① . ② . ③ . 课后作业 1.(2011 安徽芜湖)计算: 2011 31 5( 1) ( ) (cos68 ) 3 3 8sin 602           2.(2011 甘肃兰州)已知 是锐角,且 3sin( 15 ) 2     .计算 0 118 4cos ( 3.14) tan ( )3         的 值. 3.已知 cos 0.5  ,那么锐角 的取值范围是( ) A. 60 90    B. 0 60    C. 30 90    D. 0 30    4.(2011贵州安顺)如图,点 (0,4), (0,0), (5,0)E O C 在 A 上, BE 是 A 上的一条弦,则 tan OBE = . 5.如图所示,在 Rt ABC 中, 90C   , 45A   ,点 D 在 AC 上, 60BDC   , 1AD  ,求 BD 、DC 的长. 10
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