直线和圆的位置关系

直线和圆的位置关系

‎3.5.1 直线和圆的位置关系 教学目标 ‎(一)教学知识点 ‎1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．‎ ‎2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．‎ ‎(二)能力训练要求 ‎1．经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力．‎ ‎2．通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化．‎ ‎(三)情感与价值观要求 通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．‎ 在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．‎ 教学重点 经历探索直线与圆位置关系的过程．‎ 理解直线与圆的三种位置关系．‎ 了解切线的概念以及切线的性质．‎ 教学难点 经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系．‎ 探索圆的切线的性质．‎ 教学方法 教师指导学生探索法．‎ 教具准备 投影片三张 第一张：(记作§3．5．1A)‎ 第二张：(记作§3．5．1B)‎ 第三张：(记作§3．5．1C)‎ 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 ‎[师]我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？‎ 7‎ ‎[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．即圆上的点到圆心的距离等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径．因此点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外．也可以把点与圆心的距离和半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内．‎ ‎[师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系．‎ Ⅱ．新课讲解 ‎1．复习点到直线的距离的定义 ‎[生]从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离．‎ 如下图，C为直线AB外一点，从C向AB引垂线，D为垂足，则线段CD即为点C到直线AB的距离．‎ ‎2．探索直线与圆的三种位置关系 ‎[师]直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的．如大家请看课本113页，观察图中的三幅照片，地平线和太阳的位置关系怎样？作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？‎ ‎[生]把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；把直尺的边缘看成一条直线，则直线和圆有三种位置关系．‎ ‎[师]从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢？‎ ‎[生]有三种位置关系：‎ ‎[师]直线和圆有三种位置关系，如下图：‎ 它们分别是相交、相切、相离．‎ 当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点)，这条直线叫做圆的切线(tangent line)．‎ 7‎ 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．‎ 当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．‎ 因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，你能总结吗？‎ ‎[生]当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切；‎ 当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；‎ 当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离．‎ ‎[师]能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离d和半径r作比较，类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定三种位置关系呢？‎ ‎[生]如上图中，圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相交时，d＜r；当直线与圆相切时，d＝r；当直线与圆相离时，d＞r，因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系．‎ ‎[师]由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法．一种是从直线与圆的公共点的个数来断定；一种是用d与r的大小关系来断定．‎ 投影片(§3．5．1A)‎ ‎(1)从公共点的个数来判断：‎ 直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．‎ ‎(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断：‎ d＜r时，直线与圆相交；‎ d＝r时，直线与圆相切；‎ d＞r时，直线与圆相离．‎ 投影片(§3．5．1B)‎ ‎[例1]已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm．‎ ‎(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？‎ ‎(2)以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？‎ 分析：根据d与r间的数量关系可知：‎ d＝r时，相切；d＜r时，相交；d＞r时，相离．‎ 7‎ 解：(1)如上图，过点C作AB的垂线段CD．‎ ‎∵AC＝4cm，AB＝8cm；‎ ‎∴cosA＝，‎ ‎∴∠A＝60°．‎ ‎∴CD＝ACsinA＝4sin60°＝2(cm)．‎ 因此，当半径长为2cm时，AB与⊙C相切．‎ ‎(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝2cm，所以，当r＝2cm时，d＞r，⊙C与AB相离；‎ 当r＝4cm时，d＜r，⊙C与AB相交．‎ ‎3．议一议(投影片§3．5．1C)‎ ‎(1)你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？‎ ‎(2)上图(1)中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？‎ ‎(3)如图(2)，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD有怎样的位置关系？说一说你的理由．‎ 对于(3)，小颖和小亮都认为直径AB垂直于CD．你同意他们的观点吗？‎ ‎[师]请大家发表自己的想法．‎ ‎[生](1)把一只筷子放在碗上，把碗看作圆，筷子看作直线，这时直线与圆相交；‎ 自行车的轮胎在地面上滚动，车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相切；‎ 杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相离．‎ 7‎ ‎(2)图(1)中的三个图形是轴对称图形．因为沿着d所在的直线折叠，直线两旁的部分都能完全重合．对称轴是d所在的直线，即过圆心O且与直线l垂直的直线．‎ ‎(3)所谓两条直线的位置关系，即为相交或平行，相交又分垂直和斜交，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，因为图(2)是轴对称图形，AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此∠BAC＝∠BAD＝90°．‎ ‎[师]因为直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，直线CD是⊙O的切线，因此有圆的切线垂直于过切点的直径．‎ 这是圆的切线的性质，下面我们来证明这个结论．‎ 在图(2)中，AB与CD要么垂直，要么不垂直．假设AB与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD、垂足为M，则OM＜OA，即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此CD与⊙O相交，这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾，所以AB与CD垂直．‎ 这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不成立推出和已知条件或定理相矛盾．第三步是肯定假设错误，故结论成立．‎ Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结 本节课学习了如下内容：‎ ‎1．直线与圆的三种位置关系．‎ ‎(1)从公共点数来判断．‎ ‎(2)从d与r间的数量关系来判断．‎ ‎2．圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．‎ ‎3．例题讲解．‎ Ⅴ．课后作业 习题3．7‎ Ⅵ．活动与探究 如下图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的B处，并以每小时10千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．‎ 7‎ ‎(1)A城是否会受到这次台风的影响？为什么？‎ ‎(2)若A城受到这次台风的影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长？‎ 分析：因为台风影响的范围可以看成以台风中心为圆心，半径为200千米的圆，A城能否受到影响，即比较A到直线BF的距离d与半径200千米的大小．若d＞200，则无影响，若d≤200，则有影响．‎ 解：(1)过A作AC⊥BF于C．‎ 在Rt△ABC中，∵∠CBA＝30°，BA＝300，‎ ‎∴AC＝ABsin30°＝300×＝150(千米)．‎ ‎∵AC＜200，∴A城受到这次台风的影响．‎ ‎(2)设BF上D、E两点到A的距离为200千米，则台风中心在线段DE上时，对A城均有影响，而在DE以外时，对A城没有影响．‎ ‎∵AC＝150，AD＝AE＝200，‎ ‎∴DC＝．‎ ‎∴DE＝2DC＝100．‎ ‎∴t＝＝10(小时)．‎ 答：A城受影响的时间为10小时．‎ 板书设计 ‎§3．5．1 直线和圆的位置关系(一)‎ 一、1．复习点到直线的距离的定义 ‎2．探索直线与圆的三种位置关系 ‎(1)从公共点个数来判断 ‎(2)从点到直线的距离d与半径r间的数量关系来判断．‎ ‎3．议一议 7‎ 二、课堂练习 随堂练习 三、课时小结 四、课后作业 7‎