- 2021-11-10 发布 |
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文档介绍
人教版七年级上册数学导学案(全册)1.1 正数和负数(1)
第一章 有理数 课题:1.1 正数和负数(1) 【学习目标】:1、掌握正数和负数概念; 2、会区分两种不同意义的量,会用符号表示正数和负数; 3、体验数学发展是生活实际的需要,激发学生学习数学的兴趣。 【重点难点】:正数和负数概念 【导学指导】: 一、知识链接: 1、小学里学过哪些数请写出来:、、。 2、阅读课本 P1 和 P2 三幅图(重点是三个例子,边阅读边思考) 回答下面提出的问题: 3、在生活中,仅有整数和分数够用了吗?有没有比 0 小的数?如果有,那叫做什么数? 二、自主学习 1、正数与负数的产生 (1)、生活中具有相反意义的量 如:运进 5 吨与运出 3 吨;上升 7 米与下降 8 米;向东 50 米与向西 47 米等都是生活中遇到的具 有相反意义的量。 请你也举一个具有相反意义量的例子:。 (2)负数的产生同样是生活和生产的需要 2、正数和负数的表示方法 (1)一般地,我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的,而与它相反的量,如: 下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的。正的量就用小学里学过的数表示,有时也 在它前面放上一个“+”(读作正)号,如前面的 5、7、50;负的量用小学学过的数前面放上“—” (读作负)号来表示,如上面的—3、—8、—47。 (2)活动 两个同学为一组,一同学任意说意义相反的两个量,另一个同学用正负数表示. (3)阅读 P3 练习前的内容 3、正数、负数的概念 1)大于 0 的数叫做,小于 0 的数叫做。 2)正数是大于 0 的数,负数是的数,0 既不是正数也不是负数。 【课堂练习】: 1. P3 第一题到第四题(直接做在课本上)。 2.小明的姐姐在银行工作,她把存入 3 万元记作+3 万元,那么支取 2 万元应记作_______,-4 万元 表示________________。 3.已知下列各数: 5 1 , 4 32 ,3.14,+3065,0,-239; 则正数有_____________________;负数有____________________。 4.下列结论中正确的是…………………………………………( ) A.0 既是正数,又是负数 B.O 是最小的正数 C.0 是最大的负数 D.0 既不是正数,也不是负数 5.给出下列各数:-3,0,+5, 2 13 ,+3.1, 2 1 ,2004,+2010; 其中是负数的有……………………………………………………( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【要点归纳】: 正数、负数的概念: (1)大于 0 的数叫做,小于 0 的数叫做。 (2)正数是大于 0 的数,负数是的数,0 既不是正数也不是负数。 【拓展训练】: 1.零下 15℃,表示为_________,比 O℃低 4℃的温度是_________。 2.地图上标有甲地海拔高度 30 米,乙地海拔高度为 20 米,丙地海拔高度为-5 米,其中最高处为 _______地,最低处为_______地. 3.“甲比乙大-3 岁”表示的意义是______________________。 4.如果海平面的高度为 0 米,一潜水艇在海水下 40 米处航行,一条鲨鱼在潜水艇上方 10 米处游动, 试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度。 【总结反思】: 课题:1.1 正数和负数(2) 【学习目标】: 1、会用正、负数表示具有相反意义的量; 2、通过正、负数学习,培养学生应用数学知识的意识; 【学习重点】:用正、负数表示具有相反意义的量; 【学习难点】:实际问题中的数量关系; 【导学指导】 一、知识链接. 通过上节课的学习,我们知道在实际生产和生活中存在着两种不同意义的量,为了区分它们,我们用 __________ 和___________ 来分别表示它们。 问题:“零”为什么即不是正数也不是负数呢? 引导学生思考讨论,借助举例说明。 参考例子:温度表示中的零上,零下和零度。 二.自主探究 问题:(课本第 4 页例题) 先引导学生分析,再让学生独立完成 例 (1)一个月内,小明体重增加 2kg,小华体重减少 1kg,小强体重无变化,写出他们这个月的体重增 长值; 2)2001 年下列国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是: 美国减少 6.4%, 德国增长 1.3%, 法国减少 2.4%, 英国减少 3.5%, 意大利增长 0.2%, 中国增长 7.5%. 写出这些国家 2001 年商品进出口总额的增长率; 解:(1)这个月小明体重增长__________ ,小华体重增长_________ ,小强体重增长_________ ; 2)六个国家 2001 年商品进出口总额的增长率: 美国___________ 德国__________ 法国___________ 英国__________ 意大利__________ 中国__________ 【课堂练习】 1.课本第 4 页练习 2、阅读思考 (课本第 8 页)用正负数表示加工允许误差; 问题:直径为 30.032mm 和直径为 29.97 的零件是否合格? 【要点归纳】 1、本节课你有那些收获? 2、还有没解决的问题吗? 【拓展训练】 1)甲冷库的温度是-12°C,乙冷库的温度比甲冷酷低 5°C,则乙冷库的温度是 ; 2)一种零件的内径尺寸在图纸上是 9±0.05(单位:mm),表示这种零件的标准尺寸是 9mm,加工要求最大 不超过标准尺寸多少?最小不小于标准尺寸多少? 【总结反思】: 课题:1.2.1 有理数 【学习目标】: 1、掌握有理数的概念,会对有理数按一定标准进行分类,培养分类能力; 2、了解分类的标准与集合的含义; 3、体验分类是数学上常用的处理问题方法; 【学习重点】:正确理解有理数的概念 【学习难点】:正确理解分类的标准和按照一定标准分类 【导学指导】 一、温故知新 1、通过两节课的学习,,那么你能写出 3 个不同类的数吗?.(4 名学生板书) __________________________________________ 二、自主探究 问题 1:观察黑板上的 12 个数,我们将这 4 位同学所写的数做一下分类; 该分为几类,又该怎样分呢?先分组讨论交流,再写出来 分为类,分别是: 引导归纳: 统称为整数,统称为有理数。 问题 2:我们是否可以把上述数分为两类?如果可以,应分为哪两类? 师生共同交流、归纳 2、正数集合与负数集合 所有的正数组成集合,所有的负数组成集合 【课堂练习】 1、P8 练习(做在课本上) 2.把下列各数填入它所属于的集合的圈内: 15, - 9 1 , -5, 15 2 , 8 13 , 0.1, -5.32, -80, 123, 2.333; 正整数集合 负整数集合 正分数集合 负分数集合 【要点归纳】: 有理数分类 负分数 负整数负有理数 零 正分数 正整数正有理数 有理数 或者 正整数 整数 零 负整数有理数 正分数分数 负分数 【拓展训练】 1、下列说法中不正确的是……………………………………………( ) A.-3.14 既是负数,分数,也是有理数 B.0 既不是正数,也不是负数,但是整数 c.-2000 既是负数,也是整数,但不是有理数 D.O 是正数和负数的分界 2、在下表适当的空格里画上“√”号 【总结反思】: 课题:1.2.2 数轴 【学习目标】: 1、掌握数轴概念,理解数轴上的点和有理数的对应关系; 2、会正确地画出数轴,利用数轴上的点表示有理数; 3、领会数形结合的重要思想方法; 【重点难点】:数轴的概念与用数轴上的点表示有理数; 【导学指导】 一、知识链接 1、观察下面的温度计,读出温度.分别是°C、°C、°C; 有理数 整数 分数 正整数 负分数 自然数 -8 是 -2.25 是 5 3 是 0 是 2、在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站东 3m 和 7.5m 处分别有一棵柳树 和一棵杨树,汽车站西 3m 和 4.8m 处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一 情境? 东 汽车站 请同学们分小组讨论,交流合作,动手操作 二、自主探究 1、由上面的两个问题,你受到了什么启发?能用直线上的点来表示有理数吗? 2、自己动手操作,看看可以表示有理数的直线必须满足什么条件? 引导归纳: 1)、画数轴需要三个条件,即、方向和长度。 2)数轴 【课堂练习】 1、请你画好一条数轴 2、利用上面的数轴表示下列有理数 1.5, —2, 2, —2.5, 9 2 , 2 3 , 0; 3、 写出数轴上点 A,B,C,D,E 所表示的数: 三、寻找规律 1、观察上面数轴,哪些数在原点的左边,哪些数在原点的右边,由此你有什么发现? 2、每个数到原点的距离是多少?由此你又有什么发现? 3、进一步引导学生完成 P9 归纳 【要点归纳】: 画数轴需要三个条件是什么? 【拓展练习】 1、在数轴上,表示数-3,2.6, 5 3 ,0, 3 14 , 3 22 ,-1 的点中,在原点左边的点有个。 2、在数轴上点 A 表示-4,如果把原点 O 向正方向移动 1 个单位,那么在新数轴上点 A 表示的数是( ) A.-5, B.-4 C.-3 D.-2 3、你觉得数轴上的点表示数的大小与点的位置有什么关系? 【总结反思】: 课题:1.2.3 相反数 【学习目标】: 1、掌握相反数的意义; 2、掌握求一个已知数的相反数; 3、体验数形结合思想; 【学习重点】:求一个已知数的相反数; 【学习难点】:根据相反数的意义化简符号。 【导学指导】 一、温故知新 1、数轴的三要素是什么?在下面画出一条数轴: 2、在上面的数轴上描出表示 5、—2、—5、+2 这四个数的点。 3、观察上图并填空: 数轴上与原点的距离是 2 的点有个,这些点表示的数是;与原点的距离是 5 的点有个,这些点表示的数是。 从上面问题可以看出,一般地,如果 a 是一个正数,那么数轴上与原点的距离是 a 的点有两个, 即一个表示 a,另一个是,它们分别在原点的左边和右边,我们说,这两点关于原点对称。 二、自主学习 自学课本第 10、11 的内容并填空: 1、相反数的概念 像 2 和—2、5 和—5、3 和—3 这样,只有不同的两个数叫做互为相反数。 2、练习 (1)、2.5 的相反数是,— 115 和是互为相反数,的相反数是 2010; (2)、a 和互为相反数,也就是说,—a 是的相反数 例如 a=7 时,—a=—7,即 7 的相反数是—7. a=—5 时,—a=—(—5),“—(—5)”读作“-5 的相反数”,而—5 的相反数是 5,所以, —(—5)=5 你发现了吗,在一个数的前面添上一个“—”号,这个数就成了原数的 (3)简化符号:-(+0.75)=,-(-68)=, -(-0.5 )=,-(+3.8)=; (4)、0 的相反数是. 3、数轴上表示相反数的两个点和原点的距离。 【课堂练习】 P11 第 1、2、3 题 【要点归纳】: 1、本节课你有那些收获? 2、还有没解决的问题吗? 【拓展训练】 1.在数轴上标出 3,-1.5,0 各数与它们的相反数。 2.-1.6 的相反数是,2x 的相反数是,a-b 的相反数是; 3. 相反数等于它本身的数是,相反数大于它本身的数是; 4.填空: (1)如果 a=-13,那么-a=; (2)如果-a=-5.4,那么 a=; (3)如果-x=-6,那么 x=; (4)-x=9,那么 x=; 5.数轴上表示互为相反数的两个数的点之间的距离为 10,求这两个数。 【总结反思】: 课题:1.2.4 绝对值 【学习目标】: 1、理解、掌握绝对值概念.体会绝对值的作用与意义; 2、掌握求一个已知数的绝对值和有理数大小比较的方法; 3、体验运用直观知识解决数学问题的成功; 【重点难点】:绝对值的概念与两个负数的大小比较 【导学指导】 一、知识链接 问题:如下图 小红和小明从同一处 O 出发,分别向东、西方向行走 10 米,他们行走的路线(填相同或不相同),他 们行走的距离(即路程远近) 二、自主探究 1、由上问题可以知道,10 到原点的距离是,—10 到原点的距离也是 到原点的距离等于 10 的数有个,它们的关系是一对。 这时我们就说 10 的绝对值是 10,—10 的绝对值也是 10; 例如,—3.8 的绝对值是 3.8;17 的绝对值是 17;—6 1 3 的绝对值是 一般地,数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值,记作∣a∣。 2、练习 (1)、式子∣-5.7∣表示的意义是。 (2)、—2 的绝对值表示它离开原点的距离是个单位,记作; (3)、∣24∣=. ∣—3.1∣=,∣— 1 3 ∣=,∣0∣=; 3、思考、交流、归纳 由绝对值的定义可知:一个正数的绝对值是;一个负数的绝对值是它的; 0 的绝对值是。 用式子表示就是: 1)、当 a 是正数(即 a>0)时,∣a∣=; 2)、当 a 是负数(即 a<0)时,∣a∣=; 3)、当 a=0 时,∣a∣=; 4、随堂练习 P12 第 1、2 大题(直接做在课本上) 5、阅读思考,发现新知 阅读 P12 问题—P13 第 12 行,你有什么发现吗? 在数轴上表示的两个数,右边的数总要左边的数。 也就是: 1)、正数 0,负数 0,正数大于负数。 2)、两个负数,绝对值大的。 【课堂练习】: 1、自学例题 P13 (教师指导) 2、比较下列各对数的大小:—3 和—5; —2.5 和—∣—2.25∣ 【要点归纳】: 一个正数的绝对值是;一个负数的绝对值是它的; 0 的绝对值是。 【拓展练习】 1.如果 aa 22 ,则 a 的取值范围是…………………………( ) A. a >O B. a ≥O C. a ≤O D. a <O 2. 7x ,则 ______x ; 7 x ,则 ______x . 3.如果 3a ,则 ______3 a , ______3 a . 4.绝对值等于其相反数的数一定是…………………………………( ) A.负数 B.正数 C.负数或零 D.正数或零 5.给出下列说法: ①互为相反数的两个数绝对值相等;②绝对值等于本身的数只有正数; ③不相等的两个数绝对值不相等; ④绝对值相等的两数一定相等. 其中正确的有…………………………………………………( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【总结反思】: 课题:1.3.1 有理数的加法(1) 【学习目标】: 1、理解有理数加法意义,掌握有理数加法法则,会正确进行有理数加法运算; 2、会利用有理数加法运算解决简单的实际问题; 【学习重点】:有理数加法法则 【学习难点】:异号两数相加 【导学指导】 一、知识链接 1、正有理数及 0 的加法运算,小学已经学过,然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围。 例如,足球循环赛中,可以把进球数记为正数,失球数记为负数,它们的和叫做净胜球数。如果,红 队进 4 个球,失 2 个球;蓝队进 1 个球,失 1 个球。 于是红队的净胜球数为 4+(-2), 蓝队的净胜球数为 1+(-1)。 这里用到正数和负数的加法。那么,怎样计算 4+(-2) 下面我们一起借助数轴来讨论有理数的加法。 二、自主探究 1、借助数轴来讨论有理数的加法 1)如果规定向东为正,向西为负,那么一个人向东走 4 米,再向东走 2 米,两次共向东走了米,这个 问题用算式表示就是: 2)如果规定向东为正,向西为负,那么一个人向西走 2 米,再向西走 4 米,两 次共向西走多少米?很明显,两次共向西走了米。 这个问题用算式表示就是: 如图所示: 3)如果向西走 2 米,再向东走 4 米, 那么两次运动后,这个人从起点向东走了米,写成算式就 是这个问题用数轴表示如下图所示: 4)利用数轴,求以下情况时这个人两次运动的结果: ①先向东走 3 米,再向西走 5 米,这个人从起点向( )走了( )米; ②先向东走 5 米,再向西走 5 米,这个人从起点向( )走了( )米; ③先向西走 5 米,再向东走 5 米,这个人从起点向( )走了( )米。 写出这三种情况运动结果的算式 5)如果这个人第一秒向东(或向西)走 5 米,第二秒原地不动,两秒后这个人 从起点向东(或向西)运动了米。写成算式就是 2、师生归纳两个有理数相加的几种情况。 3.你能从以上几个算式中发现有理数加法的运算法则吗? 有理数加法法则 (1)同号的两数相加,取的符号,并把相加。 (2)绝对值不相等的异号两数相加,取的加数的符号,并用较大的绝对值较小的绝对值. 互为相反数 的两个数相加得; (3)一个数同 0 相加,仍得。 4.新知应用 例 1 计算(自己动动手吧!) (1) (-3)+(-9); (2) (-4.7)+3.9. 例 2 (自己独立完成) 【课堂练习】: 1.填空:(口答) (1)(-4)+(-6)= ; (2)3+(-8)= ; (4)7+(-7)= ; (4)(-9)+1 = ; (5)(-6)+0 = ; (6)0+(-3) = ; 2. 课本 P18 第 1、2 题 【要点归纳】: 有理数加法法则: 【拓展训练】: 1.判断题: (1)两个负数的和一定是负数; (2)绝对值相等的两个数的和等于零; (3)若两个有理数相加时的和为负数,这两个有理数一定都是负数; (4)若两个有理数相加时的和为正数,这两个有理数一定都是正数。 2.已知│a│= 8,│b│= 2; (1)当 a、b 同号时,求 a+b 的值; (2)当 a、b 异号时,求 a+b 的值。 【总结反思】: 课题:1.3.1 有理数的加法(2) 【学习目标】:掌握加法运算律并能运用加法运算律简化运算; 【重点难点】:灵活运用加法运算律简化运算; 【导学指导】 一、温故知新 1、想一想,小学里我们学过的加法运算定律有哪些?先说说,再用字母表示写在下面:、 2、计算 ⑴ 30 +(-20)= (-20)+30= ⑵ [ 8 +(-5)] +(-4)= 8 + [(-5)]+(-4)]= 思考:观察上面的式子与计算结果,你有什么发现? 二、自主探究 1、请说说你发现的规律 2、自己换几个数字验证一下,还有上面的规律吗 3、由上可以知道,小学学习的加法交换律、结合律在有理数范围内同样适应, 即:两个数相加,交换加数的位置,和.式子表示为 三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和 用式子表示为 想想看,式子中的字母可以是哪些数? 例 1 计算: 1)16 +(-25)+ 24 +(-35) 2)(—2.48)+(+4.33)+(—7.52)+(—4.33) 例 2 每袋小麦的标准重量为 90 千克,10 袋小麦称重记录如下: 91 91 91.5 89 91.2 91.3 88.7 88.8 91.8 91.1 10 袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克?10 袋小麦的总重量是多少千克? 想一想,你会怎样计算,再把自己的想法与同伴交流一下。 【课堂练习】 课本 P20 页练习 1、2 【要点归纳】: 你会用加法交换律、结合律简化运算了吗? 【拓展训练】 1.计算: (1)(-7)+ 11 + 3 +(-2); (2) ).3 1()4 1(6 5)3 2(4 1 2.绝对值不大于 10 的整数有个,它们的和是. 3、填空: (1)若 a>0,b>0,那么 a+b 0. (2)若 a<0,b<0,那么 a+b 0. (3)若 a>0,b<0,且│a│>│b│那么 a+b 0. (4)若 a<0,b>0,且│a│>│b│那么 a+b 0. 3.某储蓄所在某日内做了 7 件工作,取出 950 元,存入 5000 元,取出 800 元,存入 12000 元,取出 10000 元,取出 2000 元.问这个储蓄所这一天,共增加多少元? 4、课本 P20 实验与探究 【总结反思】: 课题:1.3.2 有理数的减法(1) 【学习目标】: 1、经历探索有理数减法法则的过程.理解并掌握有理数减法法则; 2、会正确进行有理数减法运算; 3、体验把减法转化为加法的转化思想; 【重点难点】:有理数减法法则和运算 【导学指导】 一、知识链接 1、世界上最高的山峰珠穆郎玛峰海拔高度约是 8844 米,吐鲁番盆地的海拔高度约为 —154 米,两 处的高度相差多少呢? 试试看,计算的算式应该是.能算出来吗,画草图试试 2、长春某天的气温是―2°C~3°C,这一天的温差是多少呢?(温差是最高气温减最低气温,单位:°C)显然, 这天的温差是 3―(―2); 想想看,温差到底是多少呢?那么,3―(―2)=; 二、自主探究 1、还记得吗,被减数、减数差之间的关系是:被减数—减数=; 差+减数=。 2、请你与同桌伙伴一起探究、交流: 要计算 3―(―2)=?,实际上也就是要求:?+(—2)=3,所以这个数(差)应该是;也就是 3―(― 2)=5; 再看看,3+2=;所以 3―(―2)3+2; 由上你有什么发现?请写出来. 3、换两个式子计算一下,看看上面的结论还成立吗? —1—(—3)=, —1+3=,所以—1—(—3)—1+3; 0—(—3)=, 0+3=,所以 0—(—3)0+3; 4、师生归纳 1)法则: 2)字母表示: 三、新知应用 1、例题 例 1计算: (1) (-3)―(―5); (2)0-7; (3) 7.2―(―4.8); (4)-3 4 152 1 ; 请同学们先尝试解决 【课堂练习】课本 P23 1.2 【要点归纳】: 有理数减法法则: 【拓展训练】 1、计算: (1)(-37)-(-47); (2)(-53)-16; (3)(-210)-87; (4)1.3-(-2.7); (5)(-2 4 3 )-(-1 2 1 ); 2.分别求出数轴上下列两点间的距离: (1)表示数 8 的点与表示数 3 的点; (2)表示数-2 的点与表示数-3 的点; 【总结反思】: 课题:1.3.2 有理数的减法(2) 【学习目标】: 1、理解加减法统一成加法运算的意义; 2、会将有理数的加减混合运算转化为有理数的加法运算; 【重点难点】:有理数加减法统一成加法运算; 【导学指导】 一、知识链接 1、一架飞机作特技表演,起飞后的高度变化如下表: 高度的变化 上升 4.5 千米 下降 3.2 千米 上升 1.1 千米 下降 1.4 千米 记作 +4.5 千米 —3.2 千米 +1.1 千米 —1.4 千米 请你们想一想,并和同伴一起交流,算算此时飞机比起飞点高了千米。 2、你是怎么算出来的,方法是 二、自主探究 1、现在我们来研究(—20)+(+3)—(—5)—(+7),该怎么计算呢?还是先自己独立动动手吧! 2、怎么样,计算出来了吗,是怎样计算的,与同伴交流交流,师巡视指导。 3、师生共同归纳:遇到一个式子既有加法,又有减法,第一步应该先把减法转化为.再把加号记在脑子 里,省略不写 如:(-20)+(+3)-(-5)-(+7) 有加法也有减法 =(-20)+(+3)+(+5)+(-7) 先把减法转化为加法 = -20+3+5-7 再把加号记在脑子里,省略不写 可以读作:“负 20、正 3、正 5、负 7 的”或者“负 20 加 3 加 5 减 7”. 4、师生完整写出解题过程 5、补充例题:计算-4.4-(-4 5 1 )-(+2 2 1 )+(-2 10 7 )+12.4; 【课堂练习】 计算:(课本 P24 练习) (1)1—4+3—0.5; (2)-2.4+3.5—4.6+3.5 ; (3)(—7)—(+5)+(—4)—(—10); (4) 3 7 1 2( ) ( ) 14 2 6 3 ; 【要点归纳】: 【拓展训练】: 1、计算: 1)27—18+(—7)—32 2) 2 4 5( ) ( ) ( ) ( 1)7 9 9 【总结反思】: 课题:1.4.1 有理数的乘法(1) 【学习目标】: 1、理解有理数的运算法则;能根据有理数乘法运算法则进行有理的简单运算; 2、经历探索有理数乘法法则过程,发展观察、归纳、猜想、验证能力; 【重点难点】:有理数乘法法则 【导学指导】 一、温故知新 1.有理数加法法则内容是什么? 2.计算 (1)2+2+2= (2)(-2)+(-2)+(-2)= 3.你能将上面两个算式写成乘法算式吗? 二、自主探究 1、自学课本 28-29 页回答下列问题 (1)如果它以每分 2cm 的速度向右爬行,3 分钟后它在什么位置? 可以表示为 . ( 2)如果它以每分 2cm 的速度向左爬行,3 分钟后它在什么位置? 可以表示为 (3) 如果它以每分 2cm 的速度向右爬行,3 分钟前它在什么位置? 可以表示为 (4)如果它以每分 2cm 的速度向左爬行,3 分钟前它在什么位置? 可以表示为 由上可知: (1) 2×3 = ; (2)(-2)×3 =; (3)(+2)×(-3)=; (4)(-2)×(-3)=; (5)两个数相乘,一个数是 0 时,结果为 0 观察上面的式子, 你有什么发现?能说出有理数乘法法则吗? 归纳有理数乘法法则 两数相乘,同号,异号,并把相乘。 任何数与 0 相乘,都得。 2、直接说出下列两数相乘所得积的符号 1)5×(—3) ; 2)(—4)×6 ; 3)(—7)×(—9); 4)0.9×8 ; 3、请同学们自己完成 例 1 计算:(1)(-3)×9; (2)(- 2 1 )×(-2); 归纳:的两个数互为倒数。 例 2 【课堂练习】 课本 30 页练习 1.2.3(直接做在课本上) 【要点归纳】: 有理数乘法法则: 【拓展训练】 1.如果 ab>0,a+b>0,确定 a、b 的正负。 2.对于有理数 a、b 定义一种运算:a*b=2a-b,计算(-2)*3+1 【总结反思】: 课题:1.4.1 有理数的乘法(2) 【学习目标】: 1、经历探索多个有理数相乘的符号确定法则; 2、会进行有理数的乘法运算; 3、通过对问题的探索,培养观察、分析和概括的能力; 【学习重点】:多个有理数乘法运算符号的确定; 【学习难点】:正确进行多个有理数的乘法运算; 【导学指导】 一、温故知新 1、有理数乘法法则: 二、自主探究 1、 观察:下列各式的积是正的还是负的? 2×3×4×(-5), 2×3×(-4)×(-5), 2×(-3)× (-4)×(-5), (-2) ×(-3) ×(-4) ×(-5); 思考:几个不是 0 的数相乘,积的符号与负因数的个数之间有什么关系? 分组讨论交流,再用自己的语言表达所发现的规律: 几个不是 0 的数相乘,负因数的个数是时,积是正数; 负因数的个数是时,积是负数。 2、新知应用 1、例题 3,(P31 页) 请你思考,多个不是 0 的数相乘,先做哪一步,再做哪一步? 你能看出下列式子的结果吗?如果能,理由 7.8×(-8.1)×O× (-19.6) 师生小结: 【课堂练习】 计算:(课本 P32 练习) (1)、—5×8×(—7)×(—0.25); (2)、 5 8 1 2( ) ( )12 15 2 3 ; (3) 5 8 3 2( 1) ( ) ( ) 0 ( 1)4 15 2 3 ; 【要点归纳】: 1.几个不是 0 的数相乘,负因数的个数是时,积是正数; 负因数的个数是时,积是负数。 2.几个数相乘,如果其中有一个因数为 0,积等于 0; 【拓展训练】: 一、选择 1.若干个不等于 0 的有理数相乘,积的符号( ) A.由因数的个数决定 B.由正因数的个数决定 C.由负因数的个数决定 D.由负因数和正因数个数的差为决定 2.下列运算结果为负值的是( ) A.(-7)×(-6) B.(-6)+(-4)C.0×(-2)(-3) D.(-7)-(-15) 3.下列运算错误的是( ) A.(-2)×(-3)=6 B. 1 ( 6) 32 C.(-5)×(-2)×(-4)=-40 D.(-3)×(-2)×(-4)=-24 二、计算: 1、 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 12 3 4 5 6 7 ; 2、 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 12 2 3 3 4 4 ; 【总结反思】: 1.4.1 课题:有理数的乘法(3) 【学习目标】: 1、熟练有理数的乘法运算并能用乘法运算律简化运算; 2、学生通过观察、思考、探究、讨论,主动地进行学习; 【学习重点】:正确运用运算律,使运算简化 【学习难点】:运用运算律,使运算简化 【导学指导】 一、知识链接 1、请同学们计算.并比较它们的结果: (1) (-6)×5= 5×(-6)= (2) [3×(-4)]×(-5)= 3×[(-4)×(-5)]= 请以小组为单位,相互检查,看计算对了吗? 二、自主探究 1、下面我们以小组为单位,仔细观察上面的式子与结果,把你的发现相互交流交流。 2、怎么样,在有理数运算律中,乘法的交换律,结合律以及分配律还成立吗? 3、归纳、总结 乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积。 即:ab= 乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积 即:(ab)c= 4、新知应用 例题 4 用两种方法计算 ( 1 2 + 1 6 - 1 2 )×12 ; 解法一: 解法二: 【课堂练习】: (课本 P33 练习) 1、(-85)×(-25)×(-4); 2、(- 8 7 )×15×(-1 7 1 ); 3、( 15 1 10 9 )×30; 【要点归纳】: 【拓展训练】: 1、看谁算得快,算得准 (1)(-7)×(- 4 3 )× 5 14 ; (2) 9 11 18 ×18; (3)-9×(-11)+12×(-9); (4) 7 5 3 7 369 6 4 18 ; 【总结反思】: 课题:1.4.2 有理数的除法(1) 【学习目标】: 1、理解除法是乘法的逆运算; 2、理解倒数概念,会求有理数的倒数; 3、掌握除法法则,会进行有理数的除法运算; 【重点难点】:有理数的除法法则 【导学指导】 一、知识链接 1)、小红从家里到学校,每分钟走 50 米,共走了 20 分钟。 问小红家离学校有米,列出的算式为。 2)放学时,小红仍然以每分钟 50 米的速度回家,应该走分钟。 列出的算式为 从上面这个例子你可以发现,有理数除法与乘法之间的关系是 3)写出下列各数的倒数 -4 的倒数 ,3 的倒数 ,-2 的倒数; 二、合作交流、探究新知 1、小组合作完成 比较大小:8÷(-4) 8×(一 1 4 ); (-15)÷3 (-15)× 1 3 ; (一 1 1 4 )÷(一 2)(-1 1 4 )×(一 1 2 ); 再相互交流、并与小学里学习的乘除方法进行类比与对比, 归纳有理数的除法法则: 1)、除以一个不等于 0 的数,等于; 2)、两数相除,同号得,异号得,并把绝对值相,0 除以任何一个不等于 0 的数,都得; 1.自学 P34 例 5、例 6 2.师生共同完成例 7 【课堂练习】 1、练习:P35 2、练习: P36 第 1、2 题 【要点归纳】: 有理数的除法法则: 【拓展训练】 1、计算 (1) 2 13 53 2 ; (2)0÷(-1000); (3)375÷ 2 3 3 2 ; 2、练习册 P21(-) 【总结反思】: 课题:1.4.2 有理数的除法(2) 【学习目标】: 1、学会用计算器进行有理数的除法运算; 2、掌握有理数的混合运算顺序; 【学习重点】:有理数的混合运算; 【学习难点】:运算顺序的确定与性质符号的处理; 【导学指导】 一、知识链接 1、计算 (1) (-8)÷(-4); (2) (-9)÷3 ; (3) (—0.1)÷ 1 2 ×(—100); 2. 有理数的除法法则: 二、自主探究 1.例 8 计算 (1)(—8)+4÷(-2) (2)(-7)×(-5)—90÷(-15) 你的计算方法是先算法,再算法。 有理数加减乘除的混合运算顺序应该是 写出解答过程 2.自学完成例 9(阅读课本 P36—P37 页内容) 【课堂练习】 1、计算(P36 练习) (1)6—(—12)÷(—3); ( 2)3×(—4)+(—28)÷7; (3)(—48)÷8—(—25)×(—6); ( 4) 2 342 ( ) ( ) ( 0.25)3 4 ; 2.P37 练习 【要点归纳】: 【拓展训练】 1、选择题 (1)下列运算有错误的是( ) A. 1 3 ÷(-3)=3×(-3) B. 1( 5) 5 ( 2)2 C.8-(-2)=8+2 D.2-7=(+2)+(-7) (2)下列运算正确的是( ) A. 1 13 42 2 ; B.0-2=-2; C. 3 4 14 3 ; D.(-2)÷(-4)=2; 2、计算 1)、18—6÷(—2)× 1( )3 ; 2)11+(—22)—3×(—11); 【总结反思】: 课题:1.5.1 有理数的乘方(1) 【学习目标】: 1、理解有理数乘方的意义; 2、掌握有理数乘方运算; 3、经历探索有理数乘方的运算,获得解决问题经验; 【重点难点】:有理数乘方的运算。 【导学指导】 一、知识链接 1、看下面的故事:从前,有个“聪明的乞丐”他要到了一块面包。他想,天天要饭太辛苦,如果我第 一天吃这块面包的一半,第二天再吃剩余面包的一半,……依次每天都吃前一天剩余面包的一半,这 样下去,我就永远不要去要饭了! 请你们交流讨论,再算一算,如果把整块面包看成整体“1”,那第十天他将吃到面包。 2、拉面馆的师傅用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸,再捏合,再拉伸,反复多次,就能把这 根很粗的面条,拉成许多很细的面条.想想看,捏合次后,就可以拉出 32 根面条. 二、合作探究 1、分小组合作学习 P41 页内容,然后再完成好下面的问题 1)叫乘方,叫做幂,在式子an中 ,a叫做,n叫做 2)式子an表示的意义是 3)从运算上看式子an,可以读作,从结果上看式子an,可以读作; 2、新知应用 1、将下列各式写成乘方(即幂)的形式: (1)(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=. (2)、(— 1 4 )×(— 1 4 )×(— 1 4 )×(— 1 4 )=; (3) x • x•• x••……• x(2010 个)= 2、例题,P41 例 1 师生共同完成 从例题 1 可以得出: 负数的奇次幂是数,负数的偶次幂是数, 正数的任何次幂都是数,0 的任何正整次幂都是; 3、思考:(—2)4 和—24 意义一样吗?为什么? 4、自学例 2 (教师指导) 【课堂练习】完成 P42 页 1,2. 【要点归纳】: 【拓展训练】 1、我们已经学习了五种运算,请把下表补充完整: 运算 加 减 乘 除 乘方 运算结果 和 2、用乘方的意义计算下列各式: (1) 42 ; (2) 32 3 ; (3) 22 3 ; 3.计算 (1) 2 2 21( 2) 2 ( 10)4 ;(2) 3 212 ( 0.5) ( 2) ( 8)2 ; 【总结反思】: 课题:1.5.1 有理数的乘方(2) 【学习目标】: 1、能确定有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序; 2、会进行有理数的混合运算; 3、培养并提高正确迅速的运算能力; 【学习重点】:运算顺序的确定和性质符号的处理; 【学习难点】:有理数的混合运算; 【导学指导】 一、知识链接 1、在 2+ 23 ×(-6)这个式子中,存在着种运算。 2、请你们以 4 人一个小组讨论、交流,上面这个式子应该先算、再算 、最后算。 二、合作探究 1、由上可以知道,在有理数的混合运算中,运算顺序是: (1)______________________________________________________; (2)___________________________________________________________; (3)____________________________________________________________; 2、P43 例题 3,请你试练 3、师生共同探讨 P43 例题 4 【课堂练习】 P44 练习 计算: (1)、(—1)10×2+(—2)3÷4; (2)、(—5)3—3× 41( )2 ; (3)、11 1 1 3 5( )5 3 2 11 4 ; (4)、(—10)4+[(—4)2—(3+32)×2]; 【要点归纳】: 有理数的混合运算的运算顺序是: 【拓展训练】 计算 1、 2 2 53 [ ]3 9 2、 3 3 4 22 9 3 【总结反思】: 课题:1.5.2 科学记数法 【 学 习 目 标 】 : 1. 能 将一 个 有 理 数 用科 学 记 数 法 表示 ; 2. 已 知 用科 学 记 数 法 表示 的 数 , 写 出原 来 的 数 ; 3. 懂 得用 科 学 记 数 法表 示 数 的 好 处; 【 重 点 难 点 】: 用 科学 记 数 法 表 示较 大 的 数 【 导 学 指 导 】 一 、 知 识 链 接 1、 根 据乘 方 的 意 义 ,填 写 下 表 : 10 的 乘 方 表 示 的意 义 运 算 结 果 结 果 中的 0 的 个 数 10 2 10× 10 100 2 10 3 10 4 10 5 二 、 自 主 学 习 1.我 们 知道 :光 的 速度 约 为 :300000000 米/秒,地 球 表面 积 约 为 :510000000000000 平 方 米 。这 些 数非 常 大 ,写 起 来表 较 麻 烦 ,能 否 用一 个 比 较 简 单的 方 法 来 表 示这 两 个 数 吗 ? 300 000 000= 5100 000 000 000= 定 义 :把 一 个 大 于 10 的 数 表示 成 a×10 n 的 形 式( 其 中 a_________________ n 是 ____________)叫 做 科学 记 数 法 。 2.例 5. 用 科学 记 数 法 表 示下 列 各 数 : ( 1) 1 000 000= (2)57 000 000= ( 3) 1 23 000 000 000= (4) 800800= ( 5) - 10000= ( 6) - 12030000= 归 纳 :用 科 学 记 数 法表 示 一 个 n 位 整 数时 , 10 的 指 数比 原 来 的 整 数位 ______ 【 课 堂 练 习 】 1.课 本 45 页 练 习 1 、 2 题 2. 写 出下 列 用 科 学 记数 法 表 示 的 原数 : ( 1) 8.848× 103= ( 2) 3.021× 10 2= ( 3) 3×106= ( 4) 7.5× 10 5= 【 要 点 归 纳 】 : 【 拓 展 训 练 】 1. 用 科学 记 数 法 表 示下 列 各 数 : ( 1) 465000= (2) 1200 万 = ( 3) 1000.001= ( 4) -789= ( 5) 308× 106= ( 6) 0.7805× 10 10 = 【 总 结 反 思 】 : 课题:1.5.3 近似数 【学习目标】:1.了解近似数和有效数字的概念,能按要求取近似数和保留有效数字; 2.体会近似数的意义及在生活中的应用; 【学习重点】:能按要求取近似数和有效数字; 【学习难点】:有效数字概念的理解。 【导学指导】 一、知识链接 1.用科学记数法表示下列各数: (1)1250000000=;(2)-130000=;(3)-1025000= ; 2.下列用科学记数法表示的数,把原数写在横线上: (1) 51003.2 ;(2) 7108.5 ; 二.自主学习 1.(1)我们班有名学生,名男生,名女生; (2)一天有小时,一小时有分,一分钟有秒; (3)我的体重约为千克,我的身高约为厘米; (4)我国大约有亿人口. 在上题中,第题中的数字是准确的,第题中的数字是与实际接近的。这种只是接近实际数字,但 与实际数字还有差别的数被称为近似数。 2.你还能举出生活中的准确数与近似数吗?请将你举的例子写在下面的空白处。 3.近似数与准确数的接近程度,可以用精确度表示(也就是按四舍五入保留小数)。 按四舍五入对圆周率 取近似数时,有: 3 (精确到个位), 1.3 (精确到 0.1 ,或叫精确到十分位), 14.3 (精确到,或叫精确到位), 142.3 (精确到,或叫精确到位), 1416.3 (精确到,或叫精确到位)。 …… 4.例 6 按括号内的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数: (1)0.0158(精确到 0.001); (2)304.35(精确到个位); (3)1.804(精确到 0.1);(4)1.804(精确到 0.01); 解:(1) (2) (3) (4) 思考:1.8,与 1.80 的精确度相同吗?在表示近似数时,能将小数点后的 0 随便去掉吗? 从一个数的左边__________________, 到__________________止,所有的数字都是这个数的有效数字。 【课堂练习】 P46 练习 用四舍五入法对它们取近似数,并写出各近似数数的有效数字 (1)0.00356(精确到万分位); (2)61.235(精确到个位); (3)1.8935(精确到 0.001); (4)0.0571(精确到 0.1); 【要点归纳】: 【拓展训练】 1.按括号内要求,用四舍五入法对下列各数取近似数: (1)0.00356(精确到 0.0001); (2)566.1235(精确到个位); (3)3.8963(精确到 0.1); (4)0.0571(精确到千分位); (5)0.2904(保留两个有效数字); (6)0.2904(保留 3 个有效数字); 2.(1)0.3649 精确到位,有个有效数字,分别是; (2)2.36 万精确到位,有个有效数字,分别是; (3)5.7×105 精确到位,有个有效数字,分别是__; 【总结反思】: 课题:第一章 有理数复习(两课时) 【复习目标】:复习整理有理数有关概念和有理数的运算法则,运算律以及近似计算等有关知识; 【复习重点】:有理数概念和有理数的运算; 【复习难点】:对有理数的运算法则的理解; 【导学指导】: 一、知识回顾 (一)正负数 有理数的分类: _____________统称整数,试举例说明。 _____________统称分数,试举例说明。 ____________统称有理数。 (二)数轴 规定了、、的直线,叫数轴 (三)、相反数的概念 像 2 和-2、-5 和 5、2.5 和-2.5 这样,只有不同的两个数叫做互为相反数; 0 的相反数是。一般地:若 a 为任一有理数,则 a 的相反数为-a 相反数的相关性质: 1、相反数的几何意义: 表示互为相反数的两个点(除 0 外)分别在原点 O 的两边,并且到原点的距离相等。 2、互为相反数的两个数,和为 0。 (四)、绝对值 一般地,数轴上表示数 a 的点与原点的叫做数 a 的绝对值,记作∣a∣; 一个正数的绝对值是; 一个负数的绝对值是它的; 0 的绝对值是. 任一个有理数 a 的绝对值用式子表示就是: (1)当 a 是正数(即 a>0)时,∣a∣=; (2)当 a 是负数(即 a<0)时,∣a∣=; (3)当 a=0 时,∣a∣=; 【课堂练习】 1.把下列各数填在相应额大括号内: 1,-0.1,-789,25,0,-20,-3.14,-590, 8 7 正整数集{ …};正有理数集{ …}; 负有理数集{ …}; 负整数集{ …};自然数集{ …}; 正分数集{ …}; 负分数集{ …}; 2.如图所示的图形为四位同学画的数轴,其中正确的是() 3.在数轴上画出表示下列各数的点,并按从大到小的顺序排列,用“>”号连接起来。 4,-|-2|, -4.5, 1, 0 4.下列语句中正确的是( ) A.数轴上的点只能表示整数 B.数轴上的点只能表示分数 C.数轴上的点只能表示有理数 D.所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 5. -5 的相反数是;-(-8)的相反数是;- [+(-6)]= 0 的相反数是; a 的相反数是; 6. 若 a 和 b 是互为相反数,则 a+b=。 7.如果-x=-6,那么 x=______;-x=9,那么 x=_____ 8. |-8|=;-|-5|=;绝对值等于 4 的数是_______。 9.如果 3a ,则 ______3 a , ______3 a 10.有理数中,最大的负整数是,最小的正整数是,最大的非正数是。 【要点归纳】: 【拓展训练】: 1.绝对值等于其相反数的数一定是( ) A.负数 B.正数 C.负数或零 D.正数或零 2.已知 a、b 都是有理数,且|a|=a,|b|=-b、,则 ab 是( ) A.负数; B.正数; C.负数或零; D.非负数 3. 7x ,则 ______x ; 7 x ,则 ______x 4.如果 aa 22 ,则 a 的取值范围是( ) A. a >O B. a ≥O C. a ≤O D. a <O. 5.绝对值不大于 11 的整数有( ) A.11 个 B.12 个 C.22 个 D.23 个 【总结反思】: 一.知识回顾 (五)、有理数的运算 (1)有理数加法法则: (2)有理数减法法则: (3)有理数乘法法则: (4)有理数除法法则: (5)有理数的乘方: 求的积的运算,叫做有理数的乘方。 即:an=aa…a(有 n 个 a) 从运算上看式子 an,可以读作;从结果上看式子 an 可以读作. 有理数混合运算顺序: (1) (2) (3) (六)、科学记数法、近似数及有效数字 (1)把一个大于 10 的数记成 a×10n 的形式(其中 a 是整数数位只有一位的数),叫做科学记数法. (2)对一个近似数,从左边第一个不是 0 的数字起,到末位数字止,所有的数字都称为这个近似数的 有效数字。 【课堂练习】: 1. 33=;( 2 1 )2=;-52=;22 的平方是; 2.下列各式正确的是( ) A. 2 25 ( 5) B. 1996( 1) 1996 C. 2003( 1) ( 1) 0 D. 99( 1) 1 0 3.计算: (1)12-(-18)+(-7)-15 (2) 3 3 4 22 9 3 (3)(-1)10×2+(-2)3÷4 (4)(-10)4+[(-4)2-(3+32)×2] 4.用科学记数数表示:1305000000=;-1020=。 5. 120 万用科学记数法应写成;2.4 万的原数是 。 6. 近似数 3.5 万精确到 位,有个有效数字. 7.近似数 0.4062 精确到位,有 个有效数字. 8. 5.47×105 精确到位,有个有效数字 【要点归纳】: 【拓展训练】: 1. 3.4030×105 保留两个有效数字是 ,精确到千位是。 2.用四舍五入法求 30951 的近似值(要求保留三个有效数字),结果是。 3.已知 a =3, 2b =4,且 a b ,求 a b 的值。 4.下列说法正确的是( ) A.如果 a b ,那么 2 2a b B.如果 2 2a b ,那么 a b C.如果 a b ,那么 2 2a b D.如果 a b ,那么 a b 5.计算: (1) 2 5 1 71 ( ) 24 ( 5)13 8 6 12 (2) 2 3 101 10.25 ( 0.5) ( ) ( 1)8 2 【总结反思】: 第一章 有理数检测试卷(满分 100 分) 班级___________姓名_____________分数_____________ 一、选择题(每题 4 分,共 32 分) 1. 下列说法正确的个数是 () ①一个有理数不是整数就是分数 ②一个有理数不是正数就是负数 ③一个整数不是正的,就是负的 ④一个分数不是正的,就是负的 A. 1 B. 2 C. 3D. 4 2. 下列说法正确的是 ( ) ①0 是绝对值最小的有理数 ②相反数大于本身的数是负数 ③数轴上原点两侧的数互为相反数 ④两个数比较,绝对值大的反而小 A.①②B①③C①②③D①②③④ 3. 下列运算正确的是() A. 5 2 5 2( ) 17 7 7 7 B.(-7-2)×5=-9×5=-45 C. 5 43 3 1 34 5 D. 2( 3) 9 4. 某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为(25±0.1)kg,(25±0.2)kg,(25±0.3)kg 的字样,从 中任意拿出两袋,它们的质量最多相差() A. 0.8kgB 0.6kg C 0.5kg D 0.4kg 5.2008 北京奥运会主会场“鸟巢”的座席数是 91000 个,这个数用科学记数法表示为( ) A. 50.91 10 B. 49.1 10 C. 391 10 D. 39.1 10 6.数轴上的两点 A、B 分别表示-6 和-3,那么 A、B 两点间的距离是 ( ) A.-6+(-3) B.-6-(-3) C.|-6+(-3)| D.|-3-(-6)| 7.在数-5.745,-5.75,-5.738,-5.805,-5.794,-5.845 这 6 个数中精确到十分位得-5.8 的 数共有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 8. 503 、 404 、 305 的大小关系为( ) A. 503 < 404 < 305 ; B. 305 < 503 < 404 ;C. 305 < 404 < 503 ; D. 404 < 305 < 503 ; 二、填空题(每题 4 分,共 24 分) 1.比 13 2 大而比 12 3 小的所有整数的和为。 2.若 0<a<1,则 a , 2a , 1 a 的大小关系是。 3.多伦多与北京的时间差为 –12 小时(正数表示同一时刻比北京时间早的时数),如果北京时间是 10 月 1 日 14:00,那么多伦多时间是。 4.已知 a=25,b= -3,则 a99+b100 的末位数字是。 5. [ ( 4)] 的相反数是_______, 5 的绝对值是_________。 6. 若 0a b c a ,则 2 2005 2009( ) ( )aa b bc =_________ 三、计算题(每题 7 分,共 14 分) 1、1 1 1 12 12 ( )3 4 2 ; 2、 6 3 22 1 11 (0.5 ) [ 2 ( 3) ] 0.53 3 8 ; 四、解答题(共 30 分) 1.(6 分)一名足球守门员练习折返跑,从球门的位置出发,向前记作正数,返回记作负数,他的记 录如下(单位:米): +5,-3,+10,-8,-6,+12,-10; (1)守门员是否回到了原来的位置? (2)守门员离开球门的位置最远是多少? (3)守门员一共走了多少路程? 2.(7 分)已知 a 与 b 互为相反数,c 与 d 互为倒数,求 13 822 cd ba 的值; 3.(7 分)观察下列等式 -1, 2 1 ,- 3 1 , 4 1 ,- 5 1 , 6 1 …… 1) 填出第 7,8,9 三个数;,,; 2) 第 2010 个数是什么?如果这一列数无限排列下去,与哪个数越来越接近? 4.(10 分) 如果有理数 a,b 满足∣ab-2∣+(1-b)2=0,试求 1 1 1 1 ( 1)( 1) ( 2)( 2) ( 2007)( 2007)ab a b a b a b 的值。 第二章 整式的加减 课题:2.1 单项式 【学习目标】: 1.理解单项式及单项式系数、次数的概念。 2.会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。 3.初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。 【学习重点】:掌握单项式及单项式的系数、次数的概念。 【学习难点】:区别单项式的系数和次数 【导学指导】: 一.知识链接: 1.列代数式 (1)若边长为 a 的正方体的表面积为________,体积为; (2)铅笔的单价是 x 元,圆珠笔的单价是铅笔的 2.5 倍,圆珠笔的单价是元; (3) 一辆汽车的速度是 v 千米/小时,行驶 t 小时所走的路程是_______千米; (4) 设 n 是一个数,则它的相反数是________. 2.请学生说出所列代数式的意义。 3.请学生观察所列代数式包含哪些运算,有何共同运算特征。 (由小组讨论后,经小组推荐人员回答) 二、自主学习: 1.单项式: 通过上述特征的描述,从而概括单项式的概念,: 单项式:即由_________与______的乘积组成的代数式称为单项式。 补充: 单独_________或___________也是单项式,如 a,5。 2.练习:判断下列各代数式哪些是单项式? (1) 2 1x ; (2)abc; (3)b2; (4)-5ab2; (5)y+x; (6)-xy2; (7)-5。 解:是单项式的有(填序号):________________________ 3.单项式系数和次数: 四个单项式 3 1 a2h,2πr,abc,-m 中,请说出它们的数字因数和字母因数分别是什么? 单项式 3 1 a2h 2πr abc -m 数字因数 字母因数 小结:一个单项式中,单项式中的数字因数称为这个单项式的________一个单项式中, _____________的指数的和叫做这个单项式的次数 4.学生阅读课本 55 页,完成例 1 【课堂练习】: 1.课本 p56:1,2。 2.判断下列各代数式是否是单项式。如不是,请说明理由;如是,请指出它的系数和次数。 ①x+1; ② x 1 ; ③πr2; ④- 2 3 a2b。 答: 3.下面各题的判断是否正确? ①-7xy2 的系数是 7;( ) ②-x2y3 与 x3 没有系数;( ) ③-ab3c2 的次数是 0+8+2;( ) ④-a3 的系数是-1;( ) ⑤-32x2y3 的次数是 7;( ) ⑥ 3 1 πr2h 的系数是 3 1 。( ) 【要点归纳】: 1. 单项式: 2. 单项式系数和次数: 3.通过例题及练习,应注意以下几点: ①圆周率π是常数; ②当一个单项式的系数是 1 或-1 时,“1”通常省略不写,如 x2,-a2b 等; ③单项式次数只与字母指数有关 【拓展训练】: 1、 a 3 ,x+1, -2, 3 b , 0.72xy,各式中单项式的个数是( ) A. 2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 2、单项式-x2yz2 的系数、次数分别是( ) A. 0,2 B. 0, 4 . C. -1,5 D.1,4 【总结反思】: 课题:2.1 多项式 【学习目标】: 1.通过本节课的学习,使学生掌握整式多项式的项及其次数、常数项的概念。 2.能确定一个多项式的项数及其次数。 【学习重点】:多项式的定义、多项式的项和次数,以及常数项等概念。 【学习难点】:多项式的次数。 【导学指导】: 一、温故知新: 1.下列说法或书写是否正确: ①1x②-1x③a×3 ④a÷2 ⑤ 2 4 11 xy ⑥b 的系数为 1,次数为 0 ⑦ R2 的系数为 2,次数为 2 2.列代数式: (1)长方形的长与宽分别为 a、b,则长方形的周长是; (2)某班有男生 x 人,女生 21 人,则这个班共有学生人; (3)一个数比数 x 的 2 倍小 3,则这个数为_________; (4)鸡兔同笼,鸡 a 只,兔 b 只,则共有头个,脚只。 2.观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别。 (由小组讨论后,经小组推荐人员回答) 二、自主探究: 1.多项式: 学生阅读课本 57 页完成下列问题: 上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。像这样,_______________的和叫做多项式。在多项 式中,每个单项式叫做多项式的___。其中,不含字母的项,叫做_______。 例如,多项式 523 2 xx 有_____项,它们是______________。其中常数项是________。 一个多项式含有几项,就叫几项式。多项式里________________________,叫做这个多项式的次数。例 如,多项式 523 2 xx 是一个____次______项式。 问题: (1)多项式的次数是所有项的次数之和吗? (2)多项式的每一项都包括它前面的符号吗? 2、自学例 2、例 3(教师指导) 注:__________与___________统称整式。 【课堂练习】: 1.课本 59 页 1、2 (直接做在课本上) 【要点归纳】: 1.你知道多项式的定义、多项式的项和次数,以及常数项等概念了吗? 2.整式的概念:__________与___________统称整式。 【拓展训练】: 1.下列说法中,正确的是( ) 2.下列关于 23 的次数说法正确的是( ) A. 2 次 B. 3 次 C. 0 次 D. 无法确定 3.- 4 5 a2b- 3 4 ab+1 是次项式,其中三次项系数是,二次项为,常数项为,写出所有的项。 4.如果 15 mxy 为四次单项式,则 m=____; 【总结反思】: 课题:2.2 同类项 【学习目标】: 1.理解同类项的概念,在具体情景中,认识同类项。 2.初步体会数学与人类生活的密切联系。 【学习重点】:理解同类项的概念。 【学习难点】:根据同类项的概念在多项式中找同类项。 【导学指导】: 一.知识链接 1.运用有理数的运算律计算: 2 9,22 31,143 0,03,23 2 2 2 2 系数为的次数是单项式常数项是是三次三项式 次数是的系数是单项式次数是的系数是单项式 ab D、xyxC、 a B、yxA、 (1)100×2+252×2=__________, (2)100×(-2)+252×(-2)=__________, (3)100t+252t=__________, 思路点拨:根据逆用乘法对加法的分配律可得。 2.请根据上面得到结论的方法探究下面各式的结果: (1)100t—252t=( )t (2)3x2 + 2 x2 = ( ) x2 (3)3ab2 - 4 ab2 = ( ) ab2 上述运算有什么共同特点,你能从中得出什么规律? 二.自主学习 同类项的定义: 1.观察:3x2 和 2 x2 ; 3ab2 与 -4 ab2 在结构上有哪些相同点和不同点? 2.归纳:_______________________________________________叫做同类项 ____________________也是同类项。如 3 和-5 是同类项 【课堂练习】: 1、判断下列说法是否正确,正确地在括号内打“√”,错误的打“×”。 (1)3x 与 3mx 是同类项。 ( ) (2)2ab 与-5ab 是同类项。 ( ) (3)3x2y 与- 3 1 yx2 是同类项。 ( ) (4)5ab2 与-2ab2c 是同类项。 ( ) (5)23 与 32 是同类项。 ( ) 2、下列各组式子中,是同类项的是( ) A、 yx 23 与 23xy B、 xy3 与 yx2 C、 x2 与 22x D、 xy5 与 yz5 3、在下列各组式子中,不是同类项的一组是() A、 2 ,-5 B、-0.5xy2, 3x2y C、-3t,200πt D、 ab2,-b2a 4、已知 xmy2 与-5ynx3 是同类项,则 m=,n=。 5、指出下列多项式中的同类项: (1)3x-2y+1+3y-2x-5; (2)3x2y-2xy2+ 3 1 xy2- 2 3 yx2; 6、游戏: 规则:一学生说出一个单项式后,指定一位同学回答它的两个同类项。要求出题同学尽可能使自己 的题目与众不同。请回答正确的同学向大家介绍写一个单项式同类项的经验,从而揭示同类项的本质 特征,透彻理解同类项的概念。 【要点归纳】: 1. 同类项的概念: 2.注意: 1 两个相同:字母相同;相同字母的指数相等。 2 两个无关:与系数无关;与字母顺序无关。 3 所有的常数项都是同类项。 4 两个项虽然所含字母相同,但相同字母的指数不全相同就不是同类项。 【拓展训练】: 1、若 myx35 和 219 yxn 是同类项,则 m=_________,n=___________。 2、若把(s+t)、(s-t)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项。 (1) 3 1 (s+t)- 5 1 (s-t)- 4 3 (s+t)+ 6 1 (s-t); (2)2(s-t)+3(s-t)2-5(s-t)-8(s-t)2+(s-t)。 3、观察下列一串单项式的特点: xy , yx22 , yx34 , yx48 , yx516 ,… (1)按此规律写出第 6 个单项式. (2)试猜想第 n 个单项式为多少?它的系数和次数分别是多少? 【总结反思】: 课题:2.2 合并同类项 【学习目标】:理解合并同类项的概念,掌握合并同类项的法则。 【重点难点】:正确合并同类项。 【导学指导】 一、知识链接 1.下列各组式子中是同类项的是( ). A.-2a 与 a2 B.2a2b 与 3ab2 C.5ab2c 与-b2ac D.- 1 7 ab2 和 4ab2c 2、思考 ⑴ 6 个人+4 个人= ⑵ 6 只羊+4 只羊= ⑶ 6 个人+4 只羊= 二.自主探究 1.思考:具备什么特点的多项式可以合并呢? 2.因为多项式中的字母表示的是数,所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类 项进行合并.例如, 4x2+2x+7+3x-8x2-2 (找出多项式中的同类项) = (交换律) = (结合律) = (分配律) = 把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项. 3. 合并同类项后,所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指 数有什么联系? 归纳: (1)合并同类项法则: 在合并同类项时,把同类项的系数相加,字母和字母的指数保持不变。 (2) 若两个同类项的系数互为相反数,则两项的和等于零, 如-3ab2+3ab2=(-3+3)ab2=0·ab2=0。 多项式中只有同类项才能合并,不是同类项不能合并。 例 1.合并下列各式的同类项: (1)xy2- 1 5 xy2; (2)-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2; (3)4a2+3b2+2ab-4a2-4b2 解: 例 2.(1)求多项式 2x2-5x+x2+4x-3x2-2 的值,其中 x= 1 2 。 (2)求多项式 3a+abc- 1 3 c2-3a+ 1 3 c2 的值,其中 a=- 1 6 ,b=2,c=-3。 解:(1)2x2-5x+x2+4x-3x2-2 (仔细观察,标出同类项)解:(2)3a+abc 21 3 c -3a 21 3 c 例 3(学生自学) 【课堂练习】 1.下列各题合并同类项的结果对不对?若不对,请改正。 (1)2x2+3x2=5x4; (2)3x+2y=5xy; (3)7x2-3x2=4; (4)9a2b-9ba2=0。 2.课本 P66 页,练习第 1、2、3 题. ( 教师巡视,关注中下程度的学生,适时给予指导,学生独立练习,选择中等程度的学生上黑板演算)。 【要点归纳】: 1. 什么叫合并同类项? 2.怎样合并同类项? 3.合并同类项的依据是什么? 【拓展训练】: 1.求多项式 3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1 的值,其中 x=-3。 2.求多项式 a2b-6ab-3a2b+5ab+2a2b 的值,其中 a=0.1,b=0.01; 【总结反思】: 课题:2.2 去括号 【学习目标】:能运用运算律探究去括号法则,并且利用去括号法则将整式化简。 【学习重点】去括号法则,准确应用法则将整式化简。 【学习难点】:括号前面是“-”号去括号时,括号内各项变号容易产生错误。 【导学指导】 一、温故知新: 1.合并同类项: (1) aa 37 (2) 22 24 xx (3) 22 135 abab (4) 3232 99 yxyx 二、自主探究 1. 利用合并同类项可以把一个多项式化简,在实际问题中,往往列出的式子含有括号,那么该怎 样化简呢? 现在我们来看本章引言中的问题(3): 在格尔木到拉萨路段,如果列车通过冻土地段要 t 小时,那么它通过非冻土地段的时间为(t-0.5) 小时,于是,冻土地段的路程为 100t 千米,非冻土地段的路程为 120(t-0.5)千米,因此,这段 铁路全长为 100t+120(t-0.5)千米 ① 冻土地段与非冻土地段相差 100t-120(t-0.5)千米 ② 上面的式子①、②都带有括号,它们应如何化简? 100t+120(t-0.5)=100t+= 100t-120(t-0.5)=100t= 我们知道,化简带有括号的整式,首先应先去括号.上面两式去括号部分变形分别为: +120(t-0.5)= ③ -120(t-0.5)= ④ 比较③、④两式,你能发现去括号时符号变化的规律吗? 归纳去括号的法则: 法则 1: 如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同; 法则 2: 如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 特别地,+(x-3)与-(x-3)可以分别看作 1 与-1 分别乘(x-3); 2.范例学习 例 4.化简下列各式: (1)8a+2b+(5a-b); (2)(5a-3b)-3(a2-2b); 例 5.两船从同一港口同时出发反向而行,甲船顺水,乙船逆水,两船在静水中的速度都是 50 千米/ 时,水流速度是 a 千米/时. (1)2 小时后两船相距多远? (2)2 小时后甲船比乙船多航行多少千米? 去括号时强调:括号内每一项都要乘以 2,括号前是负因数时,去掉括号后,括号内每一项都要变号.为 了防止出错,可以先用分配律将数字 2与括号内的各项相乘,然后再去括号,熟练后,再省去这一步, 直接去括号。 【课堂练习】 1.课本第 68 页练习 1、2 题. 【要点归纳】:去括号时,特别是括号前面是“-”号时,括号连同括号前面的“-”号去掉,括号里的 各项都改变符号.去括号规律可以简单记为“-”变“+”不变,要变全都变.当括号前带有数字因数时, 这个数字要乘以括号内的每一项,切勿漏乘某些项. 【拓展训练】: 1.下列各式化简正确的是( )。 A.a-(2a-b+c)=-a-b+c B.(a+b)-(-b+c)=a+2b+c C.3a-[5b-(2c-a)]=2a-5b+2c D.a-(b+c)-d=a-b+c-d 2.下面去括号错误的是( ). A.a2-(a-b+c)=a2-a+b-c B.5+a-2(3a-5)=5+a-6a+5 C.3a- 1 3 (3a2-2a)=3a-a2+ 2 3 a D.a3-[(a2-(-b))=a3-a2-b 3.计算:5xy2-[3xy2-(4xy2-2x2y)]+2x2y-xy2. (一般地,先去小括号,再去中括号。) 【总结反思】: 课题:2.2 整式的加减 【学习目标】:让学生从实际背景中去体会进行整式的加减的必要性,并能灵活运用整式的加减的步骤进 行运算。 【学习重点】:正确进行整式的加减。 【学习难点】:总结出整式的加减的一般步骤。 【导学指导】 一、知识链接 1.多项式中具有什么特点的项可以合并,怎样合并? 2.如何去括号,它的依据是什么? 去括号、合并同类项是进行整式加减的基础. 二、自主学习 例 6.计算:(1)(2x-3y)+(5x+4y) (2)(8a-7b)-(4a-5b). ( 解答由学生自己完成,教师巡视,关注学习有困难的学生)。. 例 7.一种笔记本的单价是 x(元),圆珠笔的单价是 y(元),小红买这种笔记本 3 本,买圆珠笔 2 枝; 小明买这种笔记本 4 个,买圆珠笔 3 枝,买这些笔记本和圆珠笔,小红和小明共花费多少钱? 例 8.做大小两个长方体纸盒,尺寸如下(单位:厘米). (1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米? (2)做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米? (学生小组学习,讨论解题方法.) (思路点拨:让学生自己归纳整式加减运算法则,发展归纳、表达能力.一般地,几个整式相加减, 如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.) 例 9.求 1 2 x-2(x- 1 3 y2)+(- 3 2 x+ 1 3 y2)的值,其中 x=-2,y= 2 3 . (思路点拨:先去括号,合并同类项化简后,再代入数值进行计算比较简便,去括号时,特别注意符 号问题。) 【课堂练习】 1.课本 P70 页练习 1、2、3 题。 【要点归纳】: 1.整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合。 2.整式的加减的一般步骤: 长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 1.5a 2b 2c ①如果有括号,那么先算括号。②如果有同类项,则合并同类项。 3.求多项式的值,一般先将多项式化简再代入求值,这样使计算简便。 【拓展训练】: 1.如果 a-b= 1 2 ,那么-3(b-a)的值是( ). A.- 3 5 B. 2 3 C. 3 2 D. 1 6 2.一个多项式与 x2-2x+1 的和是 3x-2,则这个多项式为( ). A.x2-5x+3 B.-x2+x-1 C.-x2+5x-3 D.x2-5x-13 3.先化简再求值: 4x2y-[6xy-3(4xy-2)-x2y]+1,其中 x=2,y=- 1 2 ; 【总结反思】: 课题:第二章 整式的加减复习(两课时) 【复习目标】: 1. 进一步理解单项式、多项式、整式及其有关概念,准确确定单项式的系数、次数、多项 式的项、次数; 2.理解同类项概念,掌握合并同类项法则和去括号规律,熟练地进行整式加减。 【重点难点】:整式加减运算 【导学指导】 一、知识回顾 1、______和______统称整式。 (1)单项式:由与的乘积..式子称为单项式。单独一个数或一个字母也是单项式,如 a,5。 单项式的系数:单式项里的叫做单项式的系数 单项式的次数:单项式中叫做单项式的次数 (2)多项式:几个的和叫做多项式。其中,每个单项式叫做多项式的,不含字母的项叫做。 多项式的次数:多项式里的次数,叫做多项式的次数 2、同类项:必须同时具备的两个条件(缺一不可): ①所含的相同; ②相同也相同 合并同类项,就是把多项式中的同类项合并成一项。 方法:把各项的相加,而不变。 3、去括号法则 法则 1: 法则 2: 去括号法则的依据实际是。 4、整式的加减 整式的加减的运算法则:如遇到括号,则先,再; 5、本章需要注意的几个问题 ①整式(既单项式和多项式)中,分母一律不能含有字母。 ②π不是字母,而是一个数字, ③多项式相加(减)时,必须用括号把多项式括起来,才能进行计算。 ④去括号时,要特别注意括号前面的因数。 二、【课堂练习】 1、在 3 2 2 21 1 2, 3, 1, , , ,4 , ,4 3xy x x y m n x abx x , 2b 中,单项式有: 多项式有:,整式有:. 2、已知-7x2ym 是 7 次单项式则 m= 3、一种商品每件 a 元,按成本增加 20%定出的价格是;后来因库存积压,又以原价的八五折出售,则现 价是元;每件还能盈利元。 4.单项式- 6 5 2 yx 的系数是,次数是; 5.已知-5xmy3 与 4x3yn 能合并,则 mn = 。 6、7-2xy-3x2y3+5x3y2z-9x4y3z2 是次项式,其中最高次项是,最高次项的系数是,常数项是,是按字母 作幂排列。 8、已知 x-y=5,xy=3,则 3xy-7x+7y=。 9、已知 A=3x+1,B=6x-3,则 3A-B=。 10.已知单项式 3 2ba m 与- 3 2 14 nba 的和是单项式,那么 m =,n= 11.化简 3 x -2( x -3 y )的结果是. 12.计算: (1)3(xy2-x2y)-2(xy+xy2)+3x2y; (2)5a2-[a2+(5a2-2a)-2(a2-3a)]; 思路点拨:整式加减运算,有括号时,应先去括号,再合并同类项,多种括号时,一般地先去小括号, 再去中括号,最后再去大括号. 解:(1)原式= (2)原式= 13、求 5ab-2[3ab- (4ab2+ 2 1 ab)] -5ab2 的值,其中 a= 2 1 ,b=- 3 2 ; 14.电影院第 1 排有 a 个座位,后面每排都比前一排多 1 个座位,第 2 排有多少个座位?第 3 排呢?用 m 表示第 n 排座位数,m 是多少?当 a=20,n=19 时,计算 m 的值. 15、某中学 3 名老师带 18 名学生,门票每张a元,有两种购买方式:第一种是老师每人a元,学生半价; 第二种是不论老师学生一律七五折,请你帮他们算一下,按哪种方式购买门票比较省钱。 【要点归纳】: 【拓展训练】: 1.多项式 2- 1 5 2xy -4 yx3 ,它的项数为,次数是; 2.已知轮船在逆水中前进的速度是 m 千米/时,水流的速度是 2 千米/时,则这轮船在静水中航行 的速度是千米/时。 3.计算: x-2(1-2x+x2)+3(-2+3x-x2) 4.已知 ab=3,a+b=4,求 3ab-[2a - (2ab-2b)+3]的值。 5、已知:(x+2)2+|y+1|=0,求 5xy2-2x2y-[3xy2-(4xy2-2x2y)]的值。 6.有这样一道题:“当 0.35, 0.28a b 时,求多项式 3 3 2 37 6 3 3a a b a b a 3 26 3a b a b 310a 的值.” 有一位同学指出,题目中给出的条件 0.35a 与 0.28b 是多余的,他的说法有道理吗?请加以说明。 7、若(x2+ax-2y+7)―(bx2―2x+9 y-1)的值与字母 x 的取值无关,求 a、b 的值。 8.用式子表示十位上的数是 a,个位上的数是 b 的两位数,再把这个两位数的十位上的数与个位上的数交 换位置,计算所得的数与原数的和,这个数能被 11 整除吗? 9.大客车上原有 (3 )m n 人,中途有一半人下车,又上车若干人,此时车上共有乘客 (8 5 )m n 人,请问 中途上车的共有多少人?当 10, 8m n 时,中途上车的乘客有多少人? 10.某学生由于看错了运算符号,把一个整式减去多项式 2 3ab bc ac 误认为是加上这个多项式,结果 得出的答案是 2 3 2bc ac ab ,求原题的正确答案。 【总结反思】: 第二章 整式加减检测试卷(满分 100 分) 班级___________姓名_____________分数_____________ 一、填空题(每小题 4 分,共 32 分) 1、“ x 的平方与 2 的差”用代数式表示为___________。 2、单项式 2 5 12 R 的系数是___________ ,次数是______________。 3、多项式 253 2 xx 是________次_________项式,常数项是___________。 4、若 myx35 和 219 yxn 是同类项,则 m=_________,n=___________。 5、如果 3y + 2)42( x =0,那么 yx 2 =____________。 6、如果代数式 yx 2 的值是 3,则代数式 542 yx 的值是___________。 7、与多项式 22 357 baba 的和是 22 743 baba 的多项式是______________。 8、飞机的无风飞行航速为 a 千米/时,风速为 20 千米/时.则飞机顺风飞行 4 小时的行程是__________千 米;飞机逆风飞行 3 小时的行程是__________千米。 二、选择题(每小题 4 分,共 24 分) 9、在下列代数式: xyxabcab 3,,0,3 2,4,3 中,单项式有( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 10、下列各项式中,是二次三项式的是 ( ) A、 22 ba B、 7 yx C、 25 yx D、 222 3xxyx 11、下面计算正确的是( ) A.3 2x - 2x =3 B.3 2a +2 3a =5 5a C.3+ x =3 x D.-0.25 ab + 4 1 ba =0 12、化简 ( )m n m n 的结果为( ) A. 2m B. 2m C. 2n D. 2n 13、三个连续奇数的第一个是 n,则三个连续奇数的和是 ( ) A、 n3 B、 33 n C、 63 n D、 43 n 14.两个四次多项式的和的次数是( ) A.八次 B.四次 C.不低于四次 D.不高于四次 三、解答题 15、化简下列各式。(每小题 7 分,共 14 分) (1) 2 2 28 [4 2 (2 5 )]m m m m m (2) )5(3)8( 2222 xyyxyxxy ; 16、先化简,再求值.(每小题 10 分,共 20 分) (1) 2 2 23 (4 2 1) 2(3 1)a a a a a ,其中 1 2a ; (2) 2,2 3),3 1 2 3()3 1 4 1(2 22 yxyxyxx 其中 ; 17、(10 分)有这样一道题: “ 2, 2a b 时,求多项式 3 3 2 3 3 2 21 13 42 4a b a b b a b a b b 22 3b 3 3 21 4a b a b 的值”,马小虎做题时把 2a 错抄成 2a ,王小真没抄错题,但他们做出的 结果却都一样,你知道这是怎么回事吗?说明理由. 课题 3.1.1 从算式到方程 【学习目标】:能根据题意用字母表示未知数,然后分析出等量关系,再根据等量关系列出方程。 【重点难点】:体会找等量关系,会用方程表示简单实际问题。 【导学指导】 一、温故知新 1:根据条件列出式子 ①比 a 大 5 的数: ; ②b 的一半与 8 的差: ; ③ x 的 3 倍减去 5: ; ④a 的 3 倍与 b 的 2 倍的商:; ⑤汽车每小时行驶 v 千米,行驶 t 小时后的路程为千米; ⑥某建筑队一天完成一件工程的 12 1 , x 天完成这件工程的; ⑦某商品原价为 a 元,打七五折后售价为元; ⑧某商品每件 x 元, 买 a 件共要花元; ⑨某商品原价为 a 元,降价 20%后售价为元; ⑩某商品原价为 a 元,升价 20%后售价为元; 二、自主学习 1.根据条件列出等式: ①比 a 大 5 的数等于 8: ; ②b 的一半与 7 的差为 6 : ; ③ x 的 2 倍比 10 大 3: ; ④比 a 的 3 倍小 2 的数等于 a 与 b 的和:; ⑤某数 x 的 30%比它的 2 倍少 34: ; 2. 例 1 根据下面实际问题中的数量关系,设未知数列出方程: (1)用一根长为 24cm 的铁丝围成一个正方形,正方形的边长为多少? 解:设正方形的边长为 x cm,列方程得:。 (2)一台计算机已使用 1700 小时,预计每月再使用 150 小时,经过多少月这台计算机的使用时间 达到规定的检修时间 2450 小时? 解:设 x 月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间 2450 小时; 列方程得:。 (3)某校女生人数占全体学生数的 52%,比男生多 80 人,这个学校有多少学生? 解:设这个学校学生数为 x ,则女生数为, 男生数为 ,依题意得方程: 。 【课堂练习】 1.课本 82 页练习 2.练习本每本 0.8 元,小明拿了 10 元钱买了若干本,还找回 4.4 元。问:小明买了几本练习本? 3.长方形的周长为 24cm,长比宽多 2cm,求长和宽分别是多少。 【要点归纳】: 上面的分析过程可以表示如下: 分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法。 【拓展训练】: 1.根据下面实际问题中的数量关系,设未知数列出方程: (1)某校女生人数占全体学生数的 55%,比男生多 50 人,这个学校有多少学生? (2)A、B 两地相距 200 千米,一辆小车从 A 地开往 B 地,3 小时后离 B 地还有 20 千米,求小卡车的 平均速度。 【总结反思】: 实际问题 设未知数 列方程 一元一次方程 课题 3.1.1 一元一次方程 【学习目标】 1、理解什么是一元一次方程。 2、理解什么是方程的解及解方程,学会检验一个数值是不是方程的解的方法。 【重点难点】能验证一个数是否是一个方程的解。 【导学指导】 一、温故知新 1:前面学过有关方程的一些知识,同学们能说出什么是方程吗? 答: 叫做方程。 2: 判断下列是不是方程,是打“√”,不是打“×”: ① 3x ;( ) ②3+4=7;( ) ③ yx 6132 ;( )④ 61 x ;( ) ⑤ 1082 x ;( ) ⑥ 132 x ;( ) 二、自主探究 1. 一元一次方程的概念 观察下面方程的特点 (1)4 x =24;(2)1700+150=2450 (3)0.52x-(1-0.52x)=80 小结:象上面方程,它们都含有个未知数(元),未知数的次数都是,这样的方程叫做一元一次方程。 (即方程的一边或两边含有未知数) 2.方程的解 如何求出使方程左右两边相等的未知数的值? 如方程 3x =4 中, x =? 方程 132 x 中的 x 呢? 请用小学所学过的逆运算尝试解决上面的问题。 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解。 例 检验 2 和-3 是否为方程 1332 xx 的解。 解:当 x=2 时, 左边==, 右边==, ∵左边右边(填=或≠) ∴x=2 方程的解(填是或不是) 当 x= 3 时, 左边== , 右边==, ∵左边右边(填=或≠) ∴x=3 方程的解(填是或不是) 【课堂练习】 1.判断下列是不是一元一次方程,是打“√”,不是打“×”: ① 3x =4;( ) ② 132 x ;( ) ③ yx 6132 ; ( ) ④ 02 x ; ( ) ⑤ 1082 x ; ( ) ⑥3+4 x =7 x ;( ) 2.检验 3 和-1 是否为方程 )1(21 xx 的解。 3.x=1 是下列方程( )的解: (A) 21 x , ( B) xx 3412 , (C) 4)1(3 x ), ( D) 254 xx 4、已知方程 232)1( 2 xxa 是关于 x 的一元一次方程,则 a=。 【要点归纳】: 1.这节课我们学习了什么内容? 2.什么是方程的解?如何检验一个数是否是方程的解? 【拓展训练】: 1.检验 2 和 3 是否为方程 212 5 xx 的解。 2.老师要求把一篇有 2000 字的文章输入电脑,小明输入了 700 字,剩下的让小华输入,小华平均每分 钟能输入 50 个字,问:小华要多少分钟才能完成?(请设未知数列出方程,并尝试求出方程的解) 【总结反思】: 课题 3.1.2 等式的性质 【学习目标】:掌握等式的两条性质,并能运用这两条性质解方程; 【重点难点】:运用等式两条性质解方程; 【导学指导】 一、知识链接 1.什么是等式? 用等号来表示相等关系的式子叫等式. 例如:m+n=n+m,x+2x=3x,3×3+1=5×2,3x+1=5y 这样的式子,都是等式; 2.方程是__________的等式,为了讨论解方程,我们先来研究等式有什么性质? 二、自主学习 1.探索等式性质. (1)观察课本 82 页图 3.1-2,由它你能发现什么规律? 从左往右看,发现如果在平衡的天平的两边都加上同样的量,天平还_________; 从右往左看,是在平衡的天平的两边都减去同样的量,结果天平还是___________; 等式就像平衡的天平,它具有与上面的事实同样的性质. 等的性质 1:等式两边都加(或减)同一个数(或式子),结果________; 怎样用式子的形式表示这个性质? 注: 运用性质 1 时,应注意等号两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式才能保持所得结果仍 是等式,否则就会破坏相等关系; (2)观察课本图 3.1-3,由它你能发现什么规律? 可以发现,如果把平衡的天平两边的量都乘以(或除以)同一个量,天平还________; 等式性质 2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不等于 0 的数,结果仍_________; 怎样用式子的形式表示这个性质? 注:运用性质 2 时,应注意等式两边都乘以(或除以)同一个数,才能保持所得结果仍是等式,但不 能除以 0,因为 0 不能作除数。 2.等式的性质的应用 例 2 利用等式的性质解下列方程: (1)x+7=26; (2)-5x=20; (3)- 1 3 x-5=4. 解:(1)根据等式性质____,两边同______,得: (2)分析:-5x=20 中-5x 表示-5 乘 x,其中-5 是这个式子-5x 的系数,式子 x的系数为 1,-x 的系 数为-1,如何把方程-5x=20 转化为 x=a 形式呢?即把-5x 的系数变为 1,应把方程两边同除以______. 解:根据等式性质____,两边都除以____,得 5 20 5 5 x 如果 ba ,那么 ca 如果 ba ,那么 ac ; 如果 ba , 0c 那么 c a 。 于是 x=_____ (3)分析:方程- 1 3 x-5=4 的左边的-5 要去掉,同时还要把- 1 3 x 的系数化为 1,如何去掉-5 呢?根 据两个互为相反数的和为______,所以应把方程两边都加上____ 。 解:根据等式性质______,两边都加上_____,得 - 1 3 x-5+5=4+5 化简,得- 1 3 x=9 再根据等式性质____,两边同除以- 1 3 (即乘以-3),得 - 1 3 x·(-3)=9×(-3) 于是 x=_____ 请同学们自己代入原方程检验; 【课堂练习】: 1.课本第 84 页练习; 【要点归纳】 : 1.根据等式的两条性质,对等式进行变形必须等式两边同时进行,即:同时加或减,同时乘或除,不 能漏掉一边; 2.等式变形时,两边加、减、乘、除的数或式必须相同. 3.利用性质 2 进行等式变形时,须注意除以的同一个数不能是 0; 【拓展训练】 1.回答下列问题: (1)从 a+b=b+c,能否得到 a=c,为什么? (2)从 a-b=c-b,能否得到 a=c,为什么? (3)从 ab=bc 能否得到 a=c,为什么? (4)从 a b = c b ,能否得到 a=c,为什么? (5)从 xy=1,能否得到 x= 1 y ,为什么? 2. 利用等式的性质解下列方程并检验 (1)-3x=15; (2) 2 3 x-1=5; 【总结反思】: 课题 3.2 解一元一次方程(1) ──合并同类项与移项 【学习目标】:会列一元一次方程解决实际问题,并会合并同类项解一元一次方程; 【学习重点】:会合并同类项解一元一次方程; 【学习难点】:会列一元一次方程解决实际问题; 【导学指导】 一、温故知新: 1.等式性质 1: 2: 2.解方程:(1)x-9=8; (2) 3x+1=4; 二、 自主探究: 1.问题 1:某校三年级共购买计算机 140 台,去年购买数量是前年的 2 倍,今年购买数量又是去 年的 2 倍,前年这个学校购买了多少台计算机? 分析:设前年这个学校购买了 x 台计算机,已知去年购买数量是前年的 2 倍,那么去年购买___台, 又知今年购买数量是去年的 2 倍,则今年购买了______(即____)台; 题目中的相等关系为:三年共购买计算机 140 台,即 前年购买量+去年购买量+今年购买量=140 列方程:_____________ 如何解这个方程呢? 根据分配律,x+2x+4x=(______)x=7x; 这样就可以把含 x 的项合并为一项,合并时要注意 x 的系数是 1,不是 0; 下面的框图表示了解这个方程的具体过程: x+2x+4x=140 ↓合并同类项 7x=140 ↓系数化为 1 x=20 由上可知,前年这个学校购买了 20 台计算机. 上面解方程中“合并”起了化简作用,把含有未知数的项合并为一项,从而达到把方程转化为 ax=b 的形式,其中 a、b 是常数. 2.自己试着完成 例 1 解方程 364155.135.27 xxxx ; 【课堂练习】 1.课本第 89 页练习; 2.某班学生共 60 人,外出参加种树活动,根据任务的不同,要分成三个小组且使甲、乙、丙三个小组人 数之比是 2:3:5,求各小组人数. 思路:这里甲、乙、丙三个小组人数之比是 2:3:5,就是说把总数 60人分成___份,甲组人数占 ___份,乙组人数占___份,丙组人数占___份,如果知道每一份是多少,那么甲、乙、丙各组人数都可以 求得,所以本题应设每一份为 x 人. 关键:本题中相等关系是什么? _____________________________________. 解:设每一份为 x 人,则甲组人数为__人,乙组人数为___人,丙组为___人,列方程: _______________ 合并,得________ 系数化为 1,得 x=___ 所以 2x=____,3x=_____,5x=______ 答:甲组_____人,乙组___人,丙组______人. 请同学们检验一下,答案是否合理,即这三组人数的比是否是 2:3:5,且这三组人数之和是否等 于 60; 【要点归纳】: 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤中,找等量关系是关键也是难点,本节课的两个问题的相 等关系都是:“各部分量的和=总量”;这是一个基本的相等关系; 合并就是把类型相同的项系数相加合并为一项,也就是逆用乘法分配律,合并时,注意 x 或-x 的系数 分别是 1,-1,而不是 0; 【拓展训练】 1.足球的表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的,黑白皮块的数目比为 3:5,一个足 球的表面一共有 32 个皮块,黑色皮块和白色皮块各有多少? 解:设每份为_____个,则黑色皮块有_____个,白色皮块有_______个 列方程 _________ 合并,得_________ 系数化为 1,得 x=_____ 黑色皮块为___×___=____(个),白色皮块有____×___=____(个) 2.某学生读一本书,第一天读了全书的 1 3 多 2 页,第二天读了全书的 1 2 少 1页,还剩 23 页没读,问全 书共有多少页?(设未知数,列方程,不求解) 解:设全书共有____页,那么第一天读了( )页,第二天读了( )页. 本问题的相等关系是:_____________+_______________+_____________=全书页数; 列方程:_______________________。 【总结反思】: 课题 3.2 解一元一次方程(2) ──合并同类项与移项 【学习目标】:运用方程解决实际问题,会用移项法则解方程; 【学习重点】:运用方程解决实际问题,会用移项法则解方程; 【学习难点】:理解“移项法则”的依据,以及寻找问题中的等量关系; 【导学指导】 一、知识链接 解方程:(1)3x-2x=7; (2) 1 4 x+ 1 2 x=3; 二、自主探究 1. 问题 2:把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分 3 本,则剩余 20 本;如果每人分 4 本,则 还缺 25 本,这个班有多少学生? 分析:设这个班有 x 名学生,根据第一种分法,分析已知量和未知量间的关系; (1)每人分 3 本,那么共分出______本;共分出 3x 本和剩余的 20 本,可知道这批书共有________本; 根据第二种分法,分析已知量与未知量之间的关系. (2)每人分 4 本,那么需要分出_______本;需要分出 4x 本和还缺少 25 本那么这批书共有________ 本; 这批书的总数是一个定值(不变量),表示它的两个式子应相等; 根据这一相等关系,列方程: __________________; 本题还可以画示意图,帮助我们分析: 注意变化中的不变量,寻找隐含的相等关系,从本题列方程的过程,可以发现:“表示同一个量的 两个不同式子相等”. 分析:方程 3x+20=4x-25 的两边都含有 x 的项(3x 与 4x),也都含有不含字母的常数项(20 与-25)怎样才能使它转化为 x=a(常数)的形式呢? 要使方程右边不含 x 的项,根据等式性质 1,两边都减去 4x,同样,把方程两边都减去 20,方程 左边就不含常数项 20,即 3x+20 -4x-20 =4x-25 -4x-20 即 3x-4x=-25-20 将它与原来方程比较,相当于把原方程左边的+20 变为-20 后移到方程右边,把原方程右边的 4x 变为-4x 后移到左边. 像上面那样,把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项. 方程中的任何一项都可以在改变符号后,从方程的一边移到另一边,即可以把方程等号右边的项 改变符号后移到等号的左边,也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边,注意要先变号后移项, 别忘了变号. 下面的框图表示了解这个方程的具体过程. 3x+20=4x-25 ↓移项 3x-4x=-25-20 ↓合并同类项 -x=-45 ↓系数化为 1 x=45 由此可知这个班共有 45 个学生. 2. 例 2 解方程 3x+7=32-2x (自己动手做一做) 【课堂练习】: 1.解方程: (1)6x-7=4x -5 (2) 1 2 x-6 = 3 4 x (3)3x+5=4x+1 (4)9-3y=5y+5 【要点归纳】:上面解方程中“移项”的作用很重要: “移项”使方程中含 x 的项归到方程的同一边 (左边),不含 x 的项即常数项归到方程的另一边(右边),这样就可以通过“合并”把方程转化为 x=a 形式. 在解方程时,要弄清什么时候要移项,移哪些项,目的是什么? 解方程时经常要“合并同类项”和“移项”,前面提到的古老的代数书中的“对消”和“还原”, 指的就是“合并”和“移项”; 【拓展训练】 火眼金睛: 下列移项对不对?如果不对,错在哪里?应当怎样改正? (1)从 3x+6=0 得 3x=6; (2)从 2x=x-1 得到 2x-x=1; (3)从 2+x-3=2x+1 得到 2- 3 -1=2x-x; 【总结反思】: 课题 3.2 解一元一次方程(3) ──合并同类项与移项 【学习目标】: 1.学会探索数列中的规律,建立等量关系。 2.探索并发现实际问题中的等量关系,并列出方程 【重点难点】:建立一元一次方程解决实际问题。 【导学指导】 一、知识链接 解下列方程: (1)9x—5 x =8 ; (2)4x-6x-x =-15; (3) ;72 3 2 xx ; 二、自主探究 前几节课,我们讨论了用一元一次方程解决一些实际问题,其实许多数列、游戏活动中也蕴含着方程 知识。 例 3:有一列数,按一定规律排列成 1,-3,9,-27,81,-243……其中某三个相邻数的和是- 1701,这三个数各是多少?引导学生观察这列数有什么规律? (从符号和绝对值两方面) 学生讨论后发现:后面一个数是前一个数的-3 倍。 师生共同分析,完成解答过程: 解:设这三个相邻数中的第一个数为 x,则第 2 个数为-3x,第 3 个数为-3×(-3x)=9x 根据这三个数的和是-1710,得 x-3x+9x=-1710 合并同类项,得 7x=-1710 系数化为 1,得 x=-243 所以-3x=729 9x=-2187 答:这三个数是-243、729、-2187 引导学生讨论以上列方程解决实际问题的关键。 学生讨论、分析:探索规律,找出相等关系 如有学生提出不同的设未知数的方法,同样给予鼓励。 【课堂练习】: 1.三个连续的奇数的和是 27,求这三个奇数。 2.在某月内,李老师要参加三天的学习培训,现在知道这三天的日期的数字之和是 39; (1)培训时间是连续的三天,你知道这几天分别是当月的哪几号吗? (2)若培训时间是连续三周的周六,那这几天又分是当月的哪几号? 学生练习,教师点评。 【要点归纳】: 1.你是怎样分析数列中的规律的? 2.你学会判明方程的解是否合理吗? 3.试用自己的话概括“用一元一次方程分析和解决实际问题”的一般过程 【拓展训练】 1.三个连续偶数的和是 30,求这三个偶数。 2.小明和小红做游戏,小明拿出一张日历:“我用笔圈出了 2×2 的一个正方形,它们数字的和是 76, 你知道我圈出的是哪几个数字吗?”你能帮小红解决吗? 【总结反思】: 课题 3.2 解一元一次方程(4) ──合并同类项与移项 【学习目标】: 1.经历由实际问题抽象为方程模型的过程,进一步体会模型化的思想。 2.通过探究实际问题与一元一次方程的关系,感受数学的应用价值,提高分析问题,解决问题 的能力。 【重点难点】:建立一元一次方程解决实际问题。 【导学指导】 一、知识链接 解下列方程: (1) 2385 xx ; (2) xxx 58.42.13 ; 二、自主探究 信息社会,人们沟通交流方式多样化,移动电话已很普及,选择经济实惠的收费方式很有现实意义。 出示教科书 91 页的例 4; 例 4;观察下列两种移动电话计费方式表,考虑下列问题: 方式一 方式二 月租费 30 元/月 0 本地通话费 0.30 元/分 0.40 元/分 1、你能从中表中获得哪些信息,试用自己的话说说。 2、猜一猜,使用哪一种计费方式合算? 3、一个月内在本地通话 200 分和 350 分,按两种计费方式各需交费多少元? 4、对于某个本地通通话时间,会出现两种计费方式的收费一样的情况吗? 5、你知道怎样选择计费方式更省钱吗? 让学生充分交流讨论、整理归纳 解: 1、用方式一每月收月租费 50 元,此外根据累计通话时间按 0.30 元/分加收通话费;用方式二不收月租费, 根据累计通话时间按 0.40 元/分收通话费。 2、不一定,具体由当月累计通话时间决定。 3、 方式一 方式二 200 分 90 元 80 元 350 分 135 元 140 元 4、设累计通话 t 分,则用方式一要收费(30+0.3t)元,用方式二要收费 0.4t 元,如果两种计费方式的 收费一样,则 0.4t=30+0.3t 移项得 0.4t-0.3t=30 合并,得 0.1t=30 系数化为 1,得 t=300 答:如果一个月内通话 300 分,那么两种计费方式的收费相同。 5、如果一个月内通话时间大于 300 分,选择方式一更省钱;如果一个月内通话时间小于 300 分,选择方 式二更省钱。 【课堂练习】: 1.课本 94 页 10 题 (学生练习,教师巡视,指导) 2.小组讨论,试用框图概括“用一元一次方程分析和解决实际问题”的基本过程 (学生思考、讨论、整理)。 【要点归纳】: 【拓展训练】 1.一个周末,王老师等 3 名教师带着若干名学生外出考察旅游(旅费统一支付),联系了标价相同的 两家旅游公司,经洽谈,甲公司给出的优惠条件是:教师全部付费,学生按七五折付费;乙公司给的优惠条 件是:全部师生按八折付费,请你参谋参谋,选择哪家公司较省钱? 【总结反思】: 课题 3.3 解一元一次方程(二)(1) ----去括号 【学习目标】:1、了解“去括号”是解方程的重要步骤; 2、准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的方程; 3、列一元一次方程解应用题时,关键是找出条件中的相等关系。 【学习重点】:了解“去括号”是解方程的重要步骤。 【学习难点】:括号前是“-”号的,去括号时,括号内的各项要改变符号,乘数与括号内多项式相乘, 乘数应乘遍括号内的各项。 实际问题 列方程 数学问题 (一元一次方程) 实际问题 的答案 数学问题的解检验 【导学指导】 一、知识链接 1、叙述去括号法则,化简下列各式: (1) )2(24 xx = ; (2) )4(12 x = ; (3) )1(73 xx =; 2、解方程:2x+5=5x-7 前几节学习的是不带括号的一类方程的解法,本节课是学习带有括号的方程的解法,如果去掉括号, 就与前面的方程一样了,所以我们要先去括号。 要去括号,就要根据去括号法则,及乘法分配律,特别是当括号前是“-”号,去括号时,各项都要 变号,若括号前有数字,则要乘遍括号内所有项,不能漏乘并注意符号。 二、自主学习 问题:你会解方程 8)2(24 xx 吗?这个方程有什么特点? 解:去括号,得, 合并同类项,得, 系数化为 1,得。 例 1 解方程 )3(23)1(73 xxx 。 注意:1、当括号前是“-”号,去括号时,各项都要变号。 2、括号前有数字,则要乘遍括号内所有项,不能漏乘并注意符号。 解:去括号,得 , 移项,得 , 合并同类项,得, 系数化为 1,得 。 【课堂练习】 1、解方程: (1) )3()2(2 xx (2) )1(72)4(2 xxx 2、课本 97 页练习 解方程: (1) )4(12)22(34 xxx (2) )13 1(72)42 1(6 xxx 【要点归纳】 去括号时要注意什么? 【拓展训练】 列方程求解: (1)当 x 取何值时,代数式 )2(3 x 和 )3(2 x 的值相等? (2)当 x 取何值时,代数式 4x-5 与 3x-6 的值互为相反数? (3)当 y 取何值时,代数式 2(3y+4)的值比 5(2y-7)的值大 3? 【总结反思】: 课题 3.3 解一元一次方程(二)(2) ----去括号 【学习目标】:1、会用列一元一次方程解决简单的实际问题。 【重点难点】:寻找实际问题中的相等关系,建立数学模型。 【导学指导】 一、知识链接 解方程: )12(1)2(3 xxx 二、自主学习 设未知数列方程解应用题: 例 2 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了 2 小时;从乙码头返回甲码头逆流行驶,用了 2.5 小时。已 知水流的速度是 3 千米/时,求船在静水中的平均速度。 (教师引导学生寻找相等关系,列出方程。) 顺水行速=船速度+水流速度 逆水行速=船速度-水流速度 船速度指水不动(静水中)的速度. 一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等 ,由此可填空: 顺流速度________顺流时间________逆流速度 _________逆流时间 解:设船在静水中的平均速度为 x 千米/时,则顺流行驶的速度为千米/时,逆流行驶的速度为千米/时, 根据相等,得方程 去括号,得 移项,得 合并同类项,得 系数化为 1,得 答:船在静水中的平均速度为千米/时。 例 3 某车间 22 名工人生产螺钉和螺母,每人每天平均生产螺钉 1200 个或螺母 2000 个,一个螺钉要 配两个螺母。为了使每天的产品刚好配套,应该分配多少名工人生产螺钉,多少名工人生产螺母? 解决问题的关键: 1. 如果设 x 名工人生产螺钉,则_______名工人生产螺母; 2. 为了使每天的产品刚好配套,应使生产的螺母恰好是螺钉数量的________. 解:设分配 x 名工人生产螺钉,其余(22-x)名工人生产螺母,根据螺母数量与螺钉数量的关系,列方程, 得 2×1200x=2000(22-x) 去括号,得 2400x=44000-2000x 移项及合并同类项,得 4400x=44000 系数化为 1,得 x=10 生产螺母的人数为 22-x=12. 答:应分配 10 名工人生产螺钉,12 名工人生产螺母。 【课堂练习】 1.一架飞机在两城之间航行,风速为 24 千米/时,顺风飞行要 2 小时 50 分,逆风飞行要 3 小时,求两 城距离。 2.某水利工地派 48 人去挖土和运土,如果每人每天平均挖土 5 方或运土 3 方,那么应怎样安排人员, 正好能使挖出土及时运走? 【要点归纳】 1. 本节课你学习了什么? 2. 本节课你有什么收获? 3. 通过今天的学习,你想进一步探究的问题是什么? 【拓展训练】 1.某某车间每天能生产甲种零件 120 个,或者乙种零件 100 个。甲、乙两种零件分别取 3 个、2 个才 能配成一套,要在 30 天内生产最多的成套产品,问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数? 【总结反思】: 课题 3.3 解一元一次方程(二)(3) ----去分母 【学习目标】:会运用等式性质 2 正确去分母解一元一次方程。 【学习重点】 :去分母解方程。 【学习难点】:去分母时,不含分母的项会漏乘公分母,及没有对分子加括号。 【导学指导】 一、知识链接 1、解方程: (1) 4-3(2-x)=5x (2) 2 x =3x-1 2、求下列各数的最小公倍数: (1)2,3,4; (2)3,6,8; (3)3,4,18; 在上面的 1、(2)中,可以保留分母,也可以去掉分母,得到整数系数,这样做比较简便。所以若方程 中含有分母,则应先去掉分母,这样过程比较简便。 二、自主探究 1.解方程: 4 3 3 12 xx 解:两边都乘以,去分母,得依据 去括号,得依据 移项,得依据 合并同类项,得依据 系数化为 1,得 依据 练习:解方程: 6 55 3 14 xx 例 4 解方程: 3 1232 13 xxx 解:两边都乘以,去分母,得 去括号,得 移项, 得 合并同类项,得 系数化为 1, 得 【课堂练习】 1.小明是个“小马虎”下面是他做的题目,我们看看对不对?如果不对,请帮他改正。 (1)方程 1 02 4 x x 去分母,得 2 1 4x x ; (2)方程 11 3 6 x x 去分母,得1 2 2x x ; (3)方程 1 1 2 6 3 x x 去分母,得3 1 2x x ; (4)方程 1 12 3 x x 去分母,得3 2 6 1x x 。 2. 课本第 101 页练习 (1) 3 2 2 13 4 15 xxx ; (2) 5 12 4 1212 23 xxx ; 【要点归纳】: 1、解一元一次方程的一般步骤为: ①去分母,②去括号,③移项,④合并同类项,⑤ 系数化为 1 。 2、去分母时要注意什么?(两点) 【拓展训练】 解方程:(1) 6 3214 1 xx ; (2) 2 2313 1 xx ; 【总结反思】: 课题 3.3 解一元一次方程(二)(4) ----去分母 【学习目标】: 1、会根据实际问题中数量关系列方程解决问题,熟练掌握一元一次方程的解法; 2、培养学生数学建模能力,分析问题、解决问题的能力; 3、培养学生创新能力和挑战自我的意识,增强学生的学习兴趣。 【重点难点】:寻找实际问题中的等量关系,建立数学模型。解决问题的能力。 【导学指导】 一、知识链接 1.解方程: 5 113 1 xx ; 2.一项工作甲独做 5 天完成,乙独做 10 天完成,那么甲每天的工作效率是,乙每天的工作效率是 ,两人 合作 3 天完成的工作量是,此时剩余的工作量是。 3.一项工作甲独做 a 天完成,乙独做 b 天完成,那么甲每天的工作效率是,乙每天的工作效率是 ,两人 合作 3 天完成的工作量是,此时剩余的工作量是 。 二、自主学习 问题 1:某项工作,甲单独做需要 4 小时,乙单独做需要 6 小时,如果甲先做 30 分钟,然后甲、乙合 作,问甲、乙合作还需要多久才能完成全部工作? 分析: 1. 知识准备 关系:(1)工作量=× (2)工作时间=(3)工作效率= (3)注意:通常设完成全部工作的总工作量为 2. 设甲、乙合作还需要小时才能完成全部工作 3. 相等关系: 列方程 : (课后再解) (师生共同完成) 例 5 :整理一批图书,由一个人做要 40 小时完成。现在计划由一部分人先做 4 小时,再增加两人和他们 一起做 8 小时,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,具体应安排多少人工作? 分析:(1)人均效率(一个人做 1 小时完成的工作量)为 。 (2)有 x 人先做 4 小时,完成的工作量为。 再增加 2 人和前一部分人一起做 8 小时,完成的工作量为。 (3)这项工作分两段完成,两段完成的工作量之和为 。 (4) 师生共同完成解题过程。 解: 归纳: 1.工程问题常见相等关系: 2.注意一件工作完成了,总的工作量是“1”;只是完成部分,工作量要由具体情况得出。 【课堂练习】: 1.一个道路工程,甲队单独施工 9 天完成,乙队单独做 24 天完成。现在甲乙两队共同施工 3 天,因甲 另有任务,剩下的工程有乙队完成,问乙队还需几天才能完成? 【要点归纳】: 1、通过这节课的学习,你有什么收获? 2、在解决工程问题方面你获得了哪些经验? 这些问题中的相等关系有什么特点? 【拓展训练】 1、一件工作由一个人做要 500 小时完成,现在计划由一部分人先做 5 小时,再增加 8 人和他们一起做 10 小时,完成了这项工作,问:先安排多少人工作? 【总结反思】: 课题 3.4 实际问题与一元一次方程(1) 【学习目标】1、使学生能根据商品销售问题中的数量关系找出等量关系,列出方程, 掌握商品盈亏的求法; 2、培养学生分析问题,解决实际问题的能力; 3、让学生在实际生活问题中,感受到数学的价值。 【学习重点】用列方程的方法解决打折销售问题。 【学习难点】准确理解打折销售问题中的利润(利润率)、成本、销售价之间的关系。 【导学指导】 一、知识链接 随着市场经济的不断发展,商品交易成了人们日常生活中最为普遍的一种社会现象,反应在 数学上,商品销售问题也成了一类非常重要的实际问题,在商品销售问题中,首先理解几个概念: (1)成本价:有时也称进价,是商家进货时的价格; (2)标价:商家在出售时,标注的价格; (3)售价:消费者购买时真正花的钱数; (4)利润:商品出售后,商家所赚的部分; (5)利润率:商品出售后利润与成本的比值; (6)打折:商家为了促销所采用的一种销售手段,打折就是以标价为基础,按一定比例降价出 售,如:打 8 折,就是按标价的 80℅出售。 其次掌握几个等量关系式: (1)利润=售价-进价;(2)利润率= 100进价 利润 ℅;(3)实际售价=标价×打折率; 尝试练习: 1、进价为90元的篮球,卖了120元,利润是 元 ,利润率是 元; 2、原价 100 元的商品打 9 折后价格为元; 3、原价 100 元的商品提价 40%后的价格为元; 4、一件衬衣进价为 100 元,利润率为 20% 这件衬衣售价为 ______ 元; 5、一台电视售价为 1100 元,利润率为 10%,则这台电视的进价为_____元; 6、一件商品按原定价八五折出售,卖价是17元,那么原定价是____元。 二、自主探究 自学课本P104探究1: 1.提问: ①如何判定是盈还是亏? ②盈利率、亏损率指的是什么? ③这一问题情境中哪些是已知量?哪些未知量?如何设未知数?相等关系是什么?如何列方程? 2.写出正确的、完整的解题过程。 【课堂练习】 1、两件商品都卖 84 元,其中一件亏本 20%,另一件赢利 40%,则两件商品卖后( )。 A.赢利 16.8 元 B.亏本 3 元 C.赢利 3 元 D.不赢不亏 2、一批校服按八折出售,每件为 x 元,则这批校服每件的原价为( ) A. 80%χ元 B. 元 %80 C. 20%χ元 D. 元 %20 3、一家三人(父、母、女儿)准备参加旅行团外出旅游,甲旅行社告知:“父母买全票,女儿按半价优惠”,乙 旅行社告知:“家庭旅游可按团体票计价,即每人均按 8 折优惠收费。”若这两家旅行社每人的原票价相同, 那么优惠条件是( ) A.甲比乙更优惠 B.乙比甲更优惠; C.甲与乙相同 D.与原票价有关 【要点归纳】: 1、本节学了哪些知识,有什么感想? 2、商品销售中的盈亏是如何计算? 【拓展训练】: 1、我们的身边有一些股民,某股民将甲、乙两种股票卖出,甲种股票卖出 1500 元,盈利 20%,乙种股 票卖出 1600 元,但亏损 20%,该股民在这次交易中是盈利还是亏损,盈利或亏损多少元? 2、小明到书店买书,办会员卡是 6.8 折,办卡费是 20 元,不办卡打九折,小明应该怎么办? 3、一商店将某种商品按成本价提高 40%后标价,元旦期间打 8 折销售以答谢新老顾客对本商厦的光顾, 售价为 224 元,这件商品的成本价是多少元? 【总结反思】: 课题:实际问题与一元一次方程(2) 【学习目标】:1.掌握经济作物种植问题中的数量关系,能正确列出方程,学会分析问题的方法; 2.通过对经济作物种植问题中的探索,体验数学与生活的密切联系,提高学数学用数学的 意识和数学建模能力; 【重点难点】:经济作物种植问题中如何找等量关系,正确列出方程。 【导学指导】 一、知识链接 1.在购物商场,导游小姐想买一件标价为 500 元的衣服;一般的商场都是加价 100﹪标价,然后只要利 润不低于 20﹪就可以出售,你能帮导游小姐还价吗? 二、自主探究 探究 2: 某村去年种植的油菜籽亩产量达 160 千克,含油率为 40﹪;今年改种新选育的油菜籽后,亩产量提 高了 20 千克,含油率提高了 10 个百分点。 ( 1)今年与去年相比,这个村的油菜种植面积减少了 44 亩,而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提 高 20﹪,今年油菜种植面积是多少亩? (2)油菜种植成本为 210 元/亩,菜油收购价为 6 元/千克,请比较这个村去、今两年油菜种植成本与 菜油全部售出所获收入。 先请学生认真读题,后让学生独立思考,最后小组交流解决下列问题: 问题中有基本等量关系: 产油量=油菜籽亩产量×含油率×种植面积 (1)设今年种植油菜 x 亩,则可列式表示去、今两年的产油量 去年产油量=160×40﹪×(x+44) 今年产油量=。 根据今年比去年产油量提高 20﹪,列出方程 180×50﹪x=160×40﹪(x+44)(1+20﹪) 解方程,得今年油菜种植面积是 亩 (2)去年油菜种植成本为:210(x+44)=元, 售油收入为 ; 售油收入与油菜种植成本的差为 今年油菜种植成本为:元, 售油收入为 售油收入与油菜种植成本的差为: 两年相比,油菜种植成本、售油收入有什么变化? 油菜种植成本今年比去年减少:210×44=9240 (元) 售油收入今年比去年增加:138240-115200=23040 (元) 【课堂练习】: 1、某企业存入银行甲、乙两种不同性质用途的存款共 20 万元,甲种存款的 年利率为 2.5%,乙种存款的年利率为 2.25%,该企业一年可获利息 4850 元,求甲、乙两种存款各多少元? 【拓展训练】: 1、某工厂按原计划每天生产 20 个零件,到预定期限还有 100 个不能完成, 若提高工效 25%,到期将超额完成 50 个,则此工厂原计划生产零件多少个? 预定期限是多少天? 【总结反思】: 课题:实际问题与一元一次方程(3) 【学习目标】:1、通过对实际问题的分析,掌握用方程计算球赛积分一类问题的方法; 2、培养学生分析问题、解决问题的能; 【学习重点】:审清题意,分析实际问题中的数量关系,找出解决问题的等量关系。 【学习难点】:难点是把生活中的实际问题抽象成数学问题 【导学指导】 一、知识链接 1.你知道篮球比赛时是如何计算积分的? 2.如果不知道记分规则,你能从比赛后的积分表中得出来吗? 请同学们尝试解决下面的问题。 二、自主探究 探究 3:球赛积分问题: 某次篮球联赛积分榜 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 (1)探究某球队总积分与胜、负场数之间的数量关系: 若某球队总积分为 M,胜场为 n,则用含 n 的式子表示 M:M=_____________ (2)有人说:在这个联赛中,有一个队的胜场总积分等于它的负场总积分。你认为这个说法正确吗?请说 明理由。 分析;对于问题(1)要弄清积分与胜负场数的关系,必须清楚胜一场得几分,负一场得几分? 表中哪个信息最特别?能马上解决上面哪个问题? 另一个问题又如何解决呢? 若一球队胜了 m 场,则负了几场?总积分的代数式如何表示? 对于问题(2)能否应用方程知识来说明吗? 【课堂练习】: 1.初一级进行法律知识竞赛,共有 30 题,答对一题得 4 分,不答或答错一题倒扣 2 分。 (1)小明同学参加了竞赛,成绩是 96 分。请问小明在竞赛中答对了多少题? (2)小王也参加了竞赛,考完后他说:“这次竞赛我一定能拿到 100 分。”请问小王有没有可能拿到 100 分?试用方程的知识来说明理由。 【要点归纳】: 1、列方程解应用题的关键是什么? 2、解应用题步骤是什么? 3、球赛积分问题的等量关系是什么? 4、列方程解应用题除正确列出方程求出解外,还要注意什么? 【拓展训练】: 1.在一次有 12 支球队参加的足球循环赛中(每两队必须赛一场),规定胜一场 3 分,平一场 1 分,负一 场 0 分,某队在这次循环赛中所胜场数比所负的场数多两场,结果得 18 分,那么该队胜了几场? 2、在一次数学竞赛中,共有 60 题选择题,答对一题得 2 分。答错一题扣 1 分,不答题不得分也不扣分。 (1)小华在竞赛中有 2 题忘记回答,结果他得了 92 分。问小华答对了多少题? (2)小胡放言:“我就算有 3 题没做也能拿 100 分。”请问小胡这个说法正不正确?说明理由 【总结反思】: 课题 第三章 一元一次方程复习 (两课时) 【复习目标】:1.使学生对本章所学知识及其间的关系有一个总体认识,对数学建模思想和解方程中的化 归思想有较深刻的认识; 2. 熟练掌握一元一次方程的解法,能列方程解应用题。 【重点难点】:一元一次方程的解法,列方程解应用题。 【导学指导】 一、知识回顾 (一)方程的概念 1. 方程:含的等式叫做方程。 2. 方程的解:使方程的等号左右两边相等的,就是方程的解。 3.解方程:求的过程叫做解方程。 4. 一元一次方程:只含有一个未知数(元),未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程。 (二)方程变形——解方程的重要依据 1、等式的基本性质 等式的性质 1:等式的两边同时加(或减)( ),结果仍相等。 即:如果 a=b,那么 a±c=b; 等式的性质 2:等式的两边同时乘,或除以数,结果仍相等。 即:如果 a=b,那么 ac =bc; 或 如果 a=b,那么 a b c c (c≠0) 2、分数的基本的性质 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数, 分数的值不变。 即: b a = bm am = mb ma (其中 m≠0) 分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数(特别是分母中的小数)化为整数,如下面的方 程: 5.0 3x - 2.0 4x =1.6 将上方程化为下面的形式后,更可用习惯的方法解了。 5 3010 x - 2 4010 x =1.6 (三)、解一元一次方程的一般步骤 步 骤 名 称 方 法 依 据 注 意 事 项 1 去分母 在方程两边同时乘以所有分母 的最小公倍数(即把每个含分母 的部分和不含分母的部分都乘以 所有分母的最小公倍数) . 1、不含分母的项也要乘以最小公倍 数;2、分子是多项式的一定要先用 括号括起来。 2 去括号 去括号法则(可先分配再去括号) . 注意正确的去掉括号前带负数的括号 3 移项 把未知项移到议程的一边(左 边),常数项移到另一边(右边) 移项一定要改变符号 4 合并 同类项 分别将未知项的系数相加、常 数项相加 单独的一个未知数的系数为“±1” 5 系数化 为“1” 在方程两边同时除以未知数的 系数(方程两边同时乘以未知数 系数的倒数) 不要颠倒了被除数和除数(未知数的 系数作除数——分母) *6 检根 x=a 方法:把 x=a 分别代入原方程的两边,分别计算出结果。 ① 若 左边=右边,则 x=a 是方程的解; ② 若 左边≠右边,则 x=a 不是方程的解。 注:当题目要求时,此步骤必须表达出来。 说明: 1、上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤,但并不是说解每一个方程都必须经过五个 步骤; 2、解方程时,一定要先认真观察方程的形式,再选择步骤和方法; 3、对于形式较复杂的方程,可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式,再依照一般方 法解。 四、一元一次方程的应用 方程,在解决问题中有着重要的作用,依据题目中的信息将问题转化为解方程的问题。 【课堂练习】: 1、选项中是方程的是( )A.3+2=5 B. a-1>2 C. a2+b2-5 D. a2+2a-3=5; 2、下列各数是方程 a2+a+3=5 的解的是( ) A.2 B. -2 C.1 D.1 和-2; 3、下列方程是一元一次方程的是( ) A. x 2 +1=5 B.3(m-1)-1=2 ; C.x-y=6 D.都不是 4、下列变形中,正确的是( ) 5、若 yxxy 则,0)5(2 2 。 6、若 313 92 baba nmn 与 是同类项,则 m=,n= 。 7、代数式 x+6 与 3(x+2)的值互为相反数,则 x 的值为。 8、解方程: (1) xx 324 ; (2) 4)20(34 xx ; (3) 4 7 8 15 x ; (4) 2 1216 2 3 1 xxx ; 9、一架飞机在两城之间飞行,顺风需要 4 小时,逆风需要 4.5 小时;测得风速为 45 千米/时,求 两城之间的距离。 10、某文艺团体组织了一场义演为“希望工程”募捐,共售出 1000 张门票,已知成人票每张 8 元,学生 票每张 5 元,共得票款 6950 元,成人票和学生票各几张? 55,253 xxxA 得、由 2 3,23 xxB 得、由 21,4)1(2 xxC 得、由 2 3,03 2 yyD 得、由 【拓展训练】: 1、解方程: (1)y- 2 1y =3- 5 2y ; (2) 103.0 13.031.0 2.0 xx ; 2、某商店开张为吸引顾客,所有商品一律按八折优惠出售,已知某种旅游鞋每双进价为 60 元,八 折出售后,商家所获利润率为 40%, 问这种鞋的标价是多少元?优惠价是多少? 3、甲、乙两个水池共蓄水 50t,甲池用去 5t,乙池又注入 8t 后,甲池的水比乙池的水少 3t,问原来 甲、乙两个水池各有多少吨水? 4、一份试卷共 25 道题,每道题都给出四个答案,其中只有一个是正确的,要求学生把正确答案选出来, 每题选对得 4 分,不选或选错扣 1 分,如果一个学生得 90 分,那么他选对几题?现有 500 名学生参加考 试,有得 83 分的同学吗?为什么? 【总结反思】: 第三章 一元一次方程 检测试题(满分 100 分) 班级姓名得分 一、选择题(每题 4 分,共 24 分) 1.下列方程中是一元一次方程的是( ) A. 2 3x y B. 7 5 6 1x x C. 2 1 1 12x x D. 1 2 xx 2.把方程 103.0 2.017.0 7.0 xx 中的分母化为整数,正确的是( ) A、 13 217 7 xx B、 13 217 7 10 xx C、 103 2017 7 10 xx D 13 2017 7 10 xx 3.方程 1 2 4 3 6 2 x x x 的“解”的步骤如下,错在哪一步( ) A. 2(x-1)-(x+2)=3(4-x) B.2x-2-x+2=12-3x C. 4 x=12 D.x=3 4.一个两位数,个位数字与十位数字的和是 9,如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大 9, 则原来的两位数为( )。 A.54 B.27 C.72 D.45 5. 甲、乙两人练习赛跑,甲每秒跑 7m,乙每秒跑 6.5m,甲让乙先跑 5m,设xs后甲可追上乙,则下 列四个方程中不正确的是 ( ) A.7x=6.5x+5 B.7x+5=6.5x C.(7-6.5)x=5 D.6.5x=7x-5 6.我国民间流传着许多趣味算题,它们多以顺口溜的形式表述,请大家看这样的一个数学问题:一群老 头去赶集,半路买了一堆梨,一人一个多一个,一人两个少俩梨,请问君子知道否,几个老头几个梨? 请你猜想一下:几个老头几个梨? ( ) A.3 个老头 4 个梨 B.4 个老头 3 个梨 C.5 个老头 6 个梨 D.7 个老头 8 个梨 二.填空题(每空 4 分,共 24 分) 7. x 的三倍减去 7,等于它的两倍加上 5,用方程表示为; 8. 已知 2X 1m +4=0 是一元一次方程,则 m=; 9.若 12 nx 与 2 13 nx 是同类项,则 n =; 10. 若 x=-4 是方程 m(x-1)=4x-m 的解,则 m=; 11. 若 2a 与 1-a 互为相反数,则 a 等于 12.已知 2 3 3 1m n ,则 2 3m n ; 三.解方程(每题 7 分,共 28 分) (1) 4 3 20 4 0x x ; (2) 2 2 3 14 6 y y ; (3) 4 3 1 2 6 13 4 5 x (4) y- 2 1y =3- 5 2y ; 四.解答题 1.已知 2 3 6mx m 是关于 x 的一元一次方程,试求代数式 2010( 3)x 的值;(6 分) 2.某商店进了一批商品,提高进价的 30%后标价,又以 8 折卖出,结果仍获利 200 元,这种商品的进 价为多少元?(9 分) 3.某校有住宿生若干人,若每间宿舍住 8 人,则有 5 人无处住;若每间宿舍增加 1 人,则还空 35 张床 位,求共有多少间宿舍?有多少住宿生?(9 分) 第四章 图形认识初步 课题 4.1.1 认识几何图形(1) 【学习目标】:1、通过观察生活中的大量图片或实物,经历把实物抽象成几何图形的过程; 2、能由实物形状想象出几何图形,由几何图形想象出实物形状; 3、能识别一些简单几何体,正确区分平面图形与立体图形。 【重点难点】:识别简单的几何体是重点;从具体事物中抽象出几何图形是难点。 【导学指导】 一、知识链接 同学们,你仔细观察过我们生活的世界吗?从城市宏伟的建筑到乡村简朴的住宅,从四通八达的立交 桥到街头巷尾的交通标志,从古老的剪纸艺术到现代化的城市雕塑,从自然界形态各异的动物到北京的申 奥标志……,包含着形态各异的图形。图形的世界是丰富多彩的!那就让我们走进图象的世界去看看吧。 二、自主探究 1.几何图形 (1)仔细观察图 4.1-1,让同学们感受是丰富多彩的图形世界; (2)出示一个长方体的纸盒,让同学们观察图 4.1-2 回答问题: 从整体上看,它的形状是什么?从不同侧面看,你看到了什么图形?只看棱、顶点等局部,你又看到了什 么? 我们见过的长方体、圆柱、圆锥、球、圆、线段、点,以及小学学习过的三角形、四边形等,都是从 形形色色的物体外形中得出的。我们把这些图形称为几何图形。 注意:当我们关注物体的形状、大小和位置时,得出了几何图形,它是数学研究的主要对象之一,而 物体的颜色、重量、材料等则是其它学科所关注的。 2.立体图形 思考第 117 页思考题并出示实物(如茶叶、地球仪、字典及魔方等)及多媒体演示(如谷堆、帐篷、 金字塔等),它们与我们学过的哪些图形相类似? 长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等它们各部分不都在同一平面内,它们是立体图形。 想一想 生活中还有哪些物体的形状类似于这些立体图形呢? 思考:课本 118 页图 4.1-4 中实物的形状对应哪些立体图形?把相应的实物与图形用线连起来。 3.平面图形 平面图形的概念 (1)纸盒 (1)长方体 (2)长方形 (3)正方形 (4)线段 点 线段、角、三角形、长方形、圆等它们的各部分都在同一平面内,它们是平面图形。 思考:课本 118 页图 4.1-5 的图中包含哪些简单的平面图形? 请再举出一些平面图形的例子。 长方形、圆、正方形、三角形、……。 思考:立体图形与平面图形是两类不同的几何图形,它们的区别在哪里?它们有什么联系? 立体图形的各部分不都在同一平面内,而平面图形的各部分都在同一平面内; 立体图形中某些部分是平面图形。 【课堂练习】: 课本 119 页练习 【要点归纳】: 1、 2、平面图形与立体图形的关系: 立体图形的各部分不都在同一平面内,而平面图形的各部分都在同一平面内; 立体图形中某些部分是平面图形。 【拓展训练】 1.下列几种图形:①长方形;②梯形;③正方体;④圆柱;⑤圆锥;⑥球. 其中属于立体图形的是() A. ①②③;B. ③④⑤;C.①③⑤;D.③④⑤⑥ 【总结反思】: 课题 4.1.1 几何图形(2) 【学习目标】:1.经历从不同方向观察物体的活动过程,初步体会从不同方向观察同一物体可能看到不一 样的结果,了解为什么要从不同方向看; 2.能画出从不同方向看一些基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)以及它们的简单组合 得到的平面图形; 现实物体 几何图形 平面图形 立体图形 看外形 【学习重点】:识别一些基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)以及它们的简单组合得到的平面图形 【学习难点】:画出从正面、左面、上面看正方体及简单组合体的平面图形 【导学指导】 一、知识链接 多媒体演示庐山景观,请学生背诵苏东坡《题西林壁》并说说诗中意境。 横看成岭侧成峰, 远近高低各不同。 不识庐山真面目, 只缘身在此山中。 从数学的角度来理解是什么意思呢? 二、自主探究 1.说一说:分别从正面、左面、上面观察乒乓球、粉笔盒、茶叶盒,各能得到什么平面图形?(出示 实物) 2.画一画:长方体、圆锥分别从正面、左面、上面观察,各能得到什么图形?试着画一画.(出示实 物) 这样,我们将立体图形转化成了平面图形 3.探究活动 1:从正面、左面、上面观察得到的平面图形你能画出来吗? 小组合作学习,动手画一画,并进行展示 探究:分别从正面、左面、上面观察课本 119 页图 4.1-8 这个图形,分别画出得到的平面图形。 【课堂练习】: 课本 120 页练习 1 【要点归纳】:1.本节课我们主要学习了什么? 2. 本节课我们有哪些收获? 【拓展训练】 1.如图是由七个相同的小正方体堆成的物体,从上面看这个物体的图是() A. B. C. D. 2.右图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图,请画出这个几何体的主视图和左视图。 【总结反思】: 课题 4.1.1 几何图形(3) 【学习目标】:1.能直观认识立体图形和展开图,了解研究立体图形方法。 2.通过观察和动手操作,经历和体验平面图形和立体图形相互转换的过程,培养动手操作 能力,初步建立空间观念,发展几何直觉。 【学习重点】:了解基本几何体与其展开图之间的关系,体会一个立体按照不同方式展开可得到不同的平 12 1 2 面展开图。 【学习难点】:正确判断哪些平面图形可以折叠为立体图形;某个立体图形的展开图可以是哪些平面图形 【导学指导】 一、知识链接 我们把一些像墨水瓶盒、粉笔盒这样的纸盒沿它的表面适当剪开,可以展平成平面图形。这样的平面图形 叫做相应立体图形的展开图。 你知道长方体、圆柱、圆锥和三棱柱的展开图是什么样子的吗?想象一下。 二、自主探究 (一)、立体图形的展开 1、试一试:在你想象的基础上,请将准备好的长方体、圆柱、圆锥和三棱柱的纸盒剪开展平,看看 与下面的展开图一样吗? 圆柱 圆锥 三棱柱 长方体 思考:请你指出上面展开图各部分与几何体的哪一部分相对应? 2、剪一剪、画一画:动手把一个立方体的包装盒沿一边剪开,铺平,看看它的展开图由哪些平面图 形组成;再把展开的纸板复原,你有什么体会? 再将所有的展开图画出来, 以上画出了部分了展开图,除此之外还有 5 种,共有 11 种, 请你画出其余 5 种。 (二)、立体图形的折叠 探究:下图是一些立体图形的展开图,用它们能围成怎样的立体图形? 凭想象回答,回答不出来的,就把它画在纸片上,剪下来折叠。 做一做:下面是一些常见几何体的展开图,你能正确说出这些几何体的名字么? 【课堂练习】: 课本 121 页练习 2 【要点归纳】:1.我知道了什么? 2.我学会了什么? 3.我发现了什么? 【拓展训练】 1.下列图形中,不是正方体的表面展开图的是( ) A. B. C. D. 2. 一个正方体的平面展开图如图所示,将它折成正方体后“建”字对面是( ) A.和 B.谐 C.沾 D.益 【总结反思】: 课题 4.1.2 点、线、面、体 【学习目标】:(1)了解几何体、平面和曲面的意义,能正确判定围成几何体的面是平面还是曲面; (2)了解几何图形构成的基本元素是点、线、面、体及其关系,能正确判定由点、 面、体经过运动变化形成的简单的几何图形; 【学习重点】:正确判定围成立体图形的面是平面还是曲面,探索点、线、面、体之间的关系。 【学习难点】:探索点、线、面、体运动变化后形成的图形。 【导学指导】 建 设 和 谐 沾 益益 一、温故知新 1.出示一个长方体模型,请同学们认真观察。 2.回答问题:这个长方体有几个面?面与面相交成了几条线?线与线相交成几个 点? 二、自主探究 1.经过学生的独立思考,然后在小组中进行交流,在小组讨论中,评价并修正自己的结论。(教师 进行巡视,及时给予指导,教师对学生分布的答案作鼓励性评价)。 2.几何体的概念 (1)长方体是一个几何体,我们还学过哪些几何体? _______________________________________________________________________; (2)观察长方体和圆柱体,说出围成这两个几何体的面有哪些? 这些面有什么区别? 3.面的分类 通过对上面问题的解决,得出面的分类:____面和___面。 面与面相交成线,线有___线和____线;线与线相交成_____; 4. 点、线、面、体 教师指导学生看课本第 121~122 页内容,观察图片能发现什么结论? 点、线、面、体的关系:点动成_____,线动成___________,面动成________。 请你再举出生活中的一些实例: 5.点、线、面、体与几何图形关系. 指导学生阅读课本第 123 页内容,总结出点、线、面、体与几何图形的关系 几何图形都是由_______________________组成的,________是构成图形的基本元素。 【课堂练习】 课本第 122 页练习 1、2; 【要点归纳】: 1.本节课我们主要学习了什么? 2. 本节课我们有哪些收获? 【拓展训练】: 1.人在雪地上走,他的脚印形成一条_______,这说明了______的数学原理; 2.体是由_______围成的,面和面相交形成_______,线和线相交形成______; 3.点动成________,线动成______,面动成_______; 4.将三角形绕直线 L 旋转一周,可以得到如下图所示立体图形的是( ) A B C D 【总结反思】: 课题 4.2 直线、射线、线段(1) 【学习目标】:1.能在现实情境中,经历画图的数学活动过程,理解并掌握直线的性质,能用几何语言描 述直线性质; 2.会用字母表示直线、射线、线段,会根据语言描述画出图形; 【重点难点】:理解并掌握直线性质,会用字母表示图形和根据语言描述画出图形; 【导学指导】 一、知识链接 1.在小学已经学过了直线、射线、线段.请你画出一条直线、一条射线、一条线段? 直线 射线 线段 2.填写下列表格: 端点个数 延伸方向 能否度量 线段 射线 直线 二、自主探究 1、直线的性质 (1)如果你想将一根细木条固定在墙上,至少需要几个钉子?操作一下,试试看。 答: (2)经过一个已知点的直线,可以画多少条直线?请画图说明。 答: O · (3)经过两个已知点画直线,可以画多少条直线?请画图试试。 ·· 答: A B 猜想:如果将细木条抽象成直线,将钉子抽象为点,你可以得到什么结论? 直线的基本性质: 经过两点有条直线,并且 条直线; 简述为: 举例说明直线的性质在日常生活中的应用: (1) 在挂窗帘时,只要在两边钉两颗钉子扯上线即可,这是因为 (2)建筑工人在砌墙时拉参照线,木工师傅锯木板时,用墨盒弹墨线,都是根据 (3)你还能从生活中举出应用直线的基本性质的例子吗?试试看: 2、直线有两种表示方法:①用一个小写字母表示;②用两个大写字母表示。 平面上一个点与一条直线的位置有什么关系? ①点在直线上;②点在直线外。 当两条直线有一个共公点时,我们就称这两条直线相交,这个公共点叫做它们的交点。 3、射线和线段的表示方法: 如图。显然,射线和线段都是直线的一部分。 图①中的线段记作线段 AB 或线段 a;图②中的射线记作射线 OA 或射线 m。 注意:用两个大写字母表示射线时,表示端点的字母一定要写在前面。 思考:直线、射线和线段有什么联系和区别? 【课堂练习】 1.下列给线段取名正确的是 ( ) A.线段 M B.线段 m C.线段 Mm D.线段 mn BA 直线 AB · ·a 直线 a 点 B 在直线外 ·B· 点 A 在直线 A O b a ·a· BA O A m· ②① 2.如图,若射线 AB 上有一点 C,下列与射线 AB 是同一条射线的是 ( ) A.射线 BA B.射线 AC C.射线 BC D.射线 CB 3.下列语句中正确的个数有 ( ) ①直线 MN 与直线 NM 是同一条直线 ②射线 AB 与射线 BA 是同一条射线 ③线段 PQ 与线段 QP 是同一条线段 ④直线上一点把这条直线分成的两部分都是射线. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.课本 129 页练习 【要点归纳】: 通过本节课的学习你有什么收获? 【拓展训练】: 1.如图,线段 AB 上有两点 C、D,则共有条线段。 2.变形题:往返于甲、乙两地的客车中途要停靠三个车站,有多少种不同的票价?要准备多少种 不同的车票? 【总结反思】: 课题 4.2 直线、射线、线段(2) 【学习目标】:1、会用尺规画一条线段等于已知线段; 2、会比较两条线段的长短; 3、理解线段中点的概念,了解“两点之间,线段最短”的性质。 【学习重点】:线段的中点概念,“两点之间,线段最短”的性质是重点; 【学习难点】:画一条线段等于已知线段是难点。 【导学指导】 一、温故知新 1、过 A、B、C 三点作直线,小明说有三条,小颖说有一条,小林说不是一条就是三条,你认为的说 法是对的。 二、自主学习 问题:现有一根长木棒,如何从它上面截下一段,使截下的木棒等于另一根木棒的长? 上面的实际问题可以转化为下面的数学问题: 已知线段 a,画一条线段等于已知线段。 1.作一条线段等于已知线段 现在我们来解决这个问题。 作法: a A C D B A B C (1)作射线 AM (2)在AM上截取AB= a。 则线段 AB 为所求。 应用:已知线段 a、b,求作线段 AB=a+b。 解:(1)作射线 AM; (2)在 AM 上顺次截取 AC=a,CB= b。 则 AB= a+b 为所求。 做一做:作线段 AB=a-b。 2、比较两条线段的长短 两条线段可能相等,也可能不相等,那么怎样比较两条线段的长短呢? 我们先来回答下面的问题。 怎样比较两个同学的身高? 一是用尺子测量;二是站在一起比(脚在同一高度)。 如果把两个同学看成两条线段,那么比较两条线段就有两种方法。 (1)度量法:用刻度尺分别量出两条线段的长度从而进行比较。 ( 2)把一条线段移到另一条线段上,使一端对齐,从而进行比较,我们称为叠合法。(如图) AB<CD AB>CD AB=CD 3、线段的中点及等分点 如图(1),点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 BM,点 M 叫做线段 AB 的中点; 记作 AM=MB 或 AM=MB=1/2AB 或 2AM=2MB=AB。 如图(2),点 M、N 把线段 AB 分成相等的三段 AM、MN、NB,点 M、N 叫做线段 AB 的三等分点。 类似地,还有四等分点,等等。 4、线段的性质 请同学们思考课本 131 页的思考? 结论: 两点所连的线中, 简单地说成:___________________________________ 你能举出这条性质在生活中的一些应用吗? 两点间的距离的定义:___________________________________ 注意:距离是用“数”来度量的,它是线段的长度,而不是线段本身。 【课堂练习】 1、课本 131 页练习 1、2 2、在直线上顺次取 A、B、C 三点,使 AB=4 ㎝,BC=3 ㎝,点 O 是线段 AC 的中点,则线段 OB 的 长是〔 〕 MB· · A A(C) B (D) A(C) (D) B A(C) B(D) ( A BM A BM N (1) (2) MB· · A a b C A、2 ㎝ B、1.5 ㎝ C、0.5 ㎝ D、3.5 ㎝ 3、已知线段 AB=5 ㎝,C 是直线 AB 上一点,若 BC=2 ㎝,则线段 AC 的长为 【要点归纳】: 1、画一条线段等于一条已知线段。 2、怎样比较两条线段的长短? 3、线段的性质是什么? 4、什么是两点间的距离? 【拓展训练】: 1、把弯曲的河道改直后,缩短了河道的长度,这是因为; 2、已知,如图,AB=16 ㎝,C 是 BC 的中点,且 AC=10 ㎝,D 是 AC 的中点,E 是 BC 的中点, 求线段 DE 的长。 【总结反思】: 课题 4.3.1 角 【学习目标】:1、在现实情景中,理解角的概念,掌握角的表示方法; 2、认识角的度量单位:度、分、秒,学会进行简单的换算和角度的计算。 【重点难点】:角的表示和角度的计算是重点;角的适当表示是难点。 【导学指导】 一、知识链接 观察课本 136 页图 4.3.1;思考问题: 如图,时钟的时针与分针,棱锥相交的两条棱,直尺相交的两条边,给我们什么平面图形的形象? 二、自主学习 1.角的定义 1: 有__________________的两条射线组成的图形叫做角。 这个公共端点是角的________,这两条射线是角的__________。 2. 角的表示:①用三个大写字母表示,表示顶点的字母写在中间:∠AOB; ②用一个大写字母表示:∠O; ③用一个希腊字母表示:∠a; ④用一个阿拉伯数学表示:∠1。 思考:用适当的方法表示下图中的每个角: A BCD E · · · O A 顶点 边 边 B a 1 O A B C A B C(1) (2) 演示:把一条射线由 OA 的位置绕点 O 旋转到 OB 的位置,如图(1) 射线开始的位置 OA 与旋转后的位置 OB 组成了什么图形? 角。 3.角的定义 2: 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转面形成的图形。 如图(2),当射线旋转到起始位置 OA 与终止位置 OB 在一条直线上时,形成_____角; 如图(3),继续旋转,OB 与 OA 重合时,又形成________角; 思考:平角是一条直线吗?周角是一条射线吗?为什么? 4、角的度量 阅读课本 137 页;填空: 1 周角=_____0 , 1 平角=_____0; 10=____′, 1′=_____′′; 如∠a的度数是 48 度 56 分 37 秒,记作∠a=48056′37′′。 度、分、秒是常用的角的度量单位,以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制, 注意:角的度、分、秒与时间的时、分、秒一样,都是 60 进制, 计算时,借 1 当成 60,满 60 进 1。 例 计算:(1)53028′+47035′; (2)17027′+3050′;(学生自己完成) 【课堂练习】: 课本 138 页 1、2。 【要点归纳】: 1、什么是角、平角、周角? 2、怎么表示角? 3、角的度量单位是什么?它们是如何换算的? 【拓展训练】: 1、(37.145)0 =度分秒;98030′18′′=度。 2、下午 2 时 30 分,钟表中时针与分针的夹角为〔 〕 O A(B)· (1) 终边 始边O A B ·· · OA B (2) (3) A、900 B、1050 C、1200 D、1350 3、如图,A、B、C 在一直线上,已知 1=53°, 2=37°;CD 与 CE 垂直吗? 【总结反思】: 课题 4.3.2 角的比较与运算 【学习目标】:1、会比较两个角的大小,能分析图中角的和差关系; 2、理解角平分线的概念,会画角平分线。 【重点难点】:角的大小比较和角平分线的概念是重点;从图形中观察角的和差关系是难点。 【导学指导】 一、知识链接 回顾线段大小的比较,,怎样比较图中线段 AB、BC、CA 的长短? (1) 度量法;(2)叠合法。 AB<AC<BC 那么怎样比较∠A、 ∠ B、 ∠ C 的大小呢? 二、自主学习 1、比较角的大小 (1)度量法:用量角器量出角的度数,然后比较它们的大小。 (2)叠合法:把两个角叠合在一起比较大小。 教师演示: A B C AO B B′ AO B B′ AO B (B′) (1) (2) (3) (1)∠AOB<∠AOB′;(2)∠AOB=∠AOB′;(3)∠AOB>∠AOB′。 2、认识角的和差 思考:如图,图中共有几个角?它们之间有什么关系? 图中共有 3 个角:∠AOB、∠AOC、∠BOC。它们的关系是: ∠AOC=∠AOB+∠BOC; ∠BOC=∠AOC-∠AOB; ∠AOB=∠AOC-∠BOC 3、用三角板拼角 探究:借助三角尺画出 150,750 的角。 一副三角板的各个角分别是多少度?___________________________________ 学生尝试画角。 你还能画出哪些角?有什么规律吗? 还能画出___________________________________ 规律是:凡是的倍数的角都能画出。 4、角平分线 在一张纸上画出一个角并剪下,将这个角对折,使其两边重合.想想看,折痕与角两边所成的两个角 的大小有什么关系? 如图(1) 角的平分线:从一个角的_____出发,把这个角分成_______的两个角的射线,叫做这个角的平分线。 类似地,还有角的三等分线等。如图(2)中的 OB、OC。 OB 是∠AOC 的一平分线,可以记作: ∠AOC=2∠AOB=2∠BOC 或∠AOB=∠BOC= 2 1 。 5、例题学习 例 1 如图,O 是直线 AB 上一点,∠AOC=53017′,求∠ BOC 的度数。 例 2 把一个周角 7 等分,每一份是多少度的角(精确到分) 【课堂练习】: 课本 140-141 页 1、2、3。 AO B C AO B C AO B CD (2)(1) OA B C 【要点归纳】: 1、角的大小比较的方法和角的和差关系; 2、用一副三角板画角; 3、角的平分线及表示。 【拓展训练】: 1、如图,O 为直线 AB 上一点,射线 OD、OE 分别平分∠AOC、∠BOC,求∠DOE 的度数。 【总结反思】: 课题:余角和补角(1) 【学习目标】在具体的现实情境中,认识一个角的余角和补角; 【重点难点】正确求出一个角的余角和补角。 【导学指导】 一、知识链接 思考: (1) 在一副三角板中同一块三角板的两个锐角和等于多少度? (2) 如图 1,已知∠1=61°,∠2=29°,那么∠1+∠2=。 (3) 如 图 2,已知点 A、O、B 在一直线上 ,∠COD=90°,那么∠1+∠2=。 二、自主探究 1.互为余角的定义: 思考: (1) 如图 3,已知∠1=62°,∠2=118°,那么 ∠1+∠2= (2) 如图 4,A、O、B 在同一直线上,∠1+∠2= OA B D C E 1 2 图 1 90° 1 2 图 2 1 2 A O B 图 4 1 2 图 3 C O D O E D C B A 2.互为补角的定义: 问题 1:以上定义中的“互为”是什么意思? 问题 2:若 ∠1+∠2 +∠3 =180° ,那么∠1、∠2、∠3 互为补角吗? 3.新知应用: 例 1:若一个角的补角等于它的余角 4 倍,求这个角的度数。 例 2:如图,∠AOC=∠COB=90°,∠DOE=90°,A、O、B 三点在一直线上 (1)写出∠COE 的余角,∠AOE 的补角; (2)找出图中一对相等的角,并说明理由; 【课堂练习】: 课本 141 页练习 1、2、3; 【要点归纳】: 【拓展训练】: 1、一个角的余角比它的补角的 3 1 还少 20 ,求这个角的度数。 2、若 和 互余,且 : =7:2,求 、 的度数。 2 1 4 3 【总结反思】: 课题:余角和补角(2) 【学习目标】:1、掌握余角和补角的性质。 2、了解方位角,能确定具体物体的方位。 【重点难点】掌握余角和补角的性质;方位角的应用; 【导学指导】 一、知识链接 1.70°的余角是,补角是; 2.∠(∠ <90°)的它的余角是,它的补角是; 二、自主学习 1.探究补角的性质: 例 3、如图, ∠1 与∠2 互补,∠3 与∠4 互补, ∠1= ∠3,那么∠2 与∠4 相等吗?为什么? 分析:(1)∠1 与∠2 互补,∠2 等于什么?∠2=1800 - , ∠3 与∠4 互补,∠4 等于什么? ∠4=1800 - 。 (2)当∠1= ∠3 时,∠2 与∠4 有什么关系?为什么? ∠2=∠4(等量减等量,差相等) 上面的结论,用文字怎么叙述? 补角的性质:等角的相等。 2.探究余角的性质: 如图∠1 与∠2 互余,∠3 与∠4互余 ,如果∠1=∠3,那么∠2 与∠4相等吗?为什么? 12 3 4 西北 西南 东南 东北 北 西 南 东 A O 60 南 东 北 西 4 3 2 1 E D B A C O 余角性质:等角的相等 3.方位角: (1)认识方位: 正东、正南、正西、正北、东南、 西南、西北、东北。 (2)找方位角: 乙地对甲地的方位角 ; 甲地对乙地的方位角 例 4:如图.货轮 O 在航行过程中,发现灯塔 A 在它南偏东 60°的方向上,同时,在它北偏东 40°,南偏 西 10°,西北(即北偏西 45°)方向上又分别发现了客轮 B,货轮 C 和海岛 D.仿照表示灯塔方位的方法画出 表示客轮 B,货轮 C 和海岛 D 方向的射线。 (师生共同完成) 【课堂练习】: 1、 和 都是 AOB 的补角,则 ; 2、如果 9031,9021 ,则 32 与 的关系是, 理由是; 3、A 看 B 的方向是北偏东 21°,那么 B 看 A 的方向( ) A 南偏东 69° B 南偏西 69° C 南偏东 21° D 南偏西 21° 4、在点 O 北偏西 60°的某处有一点 A,在点 O 南偏西 20°的某处有一点 B,则∠AOB 的度数是( ) A 100° B 70° C 180° D 140° 【要点归纳】:补角的性质: 余角的性质: 【拓展训练】: 1. 如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E 在一条直线上,且∠2=∠4, 请说出∠1 与∠3 之间的关系?并试着说明理由? 【总结反思】: 课题 第四章 图形认识初步复习(两课时) 【复习目标】:1.直观认识立体图形,掌握平面图形(线段、射线、直线)的基本知识; 2.掌握角的基本概念,能利用角的知识解决一些实际问题。 【复习重点】: 线段、射线、直线、角的性质和运用 【复习难点】:角的运算与应用;空间观念建立和发展;几何语言的认识与运用。 【导学指导】 一、知识结构 二、回顾与思考 1、下面是我们学习过的一些数学名词,你能用自己的语言简短地描述它们吗? 立体图形 平面图形 展开图 两点间的距离 余角 补角 2、与以前相比,你对直线、射线、线段和角有什么新的认识? 3、直线的性质: 经过两点有一条直线,并且只有一条直线。即: __________确定一条直线。 4、线段的性质和两点间的距离 (1)线段的性质:两点之间,_______________。 (2)两点间的距离:连接两点的_______________,叫做两点间的距离。 5、线段的中点及等分点的意义 (1)若点 C 把线段 AB 分为________的两条线段 AC 和 BC,则点 C 叫做线段的中点。 角的概念 1、角的定义和表示 (1)有_______________的两条射线组成图形叫做角。这是从静止的角度来定义的。 由一条射线绕着_______________旋转而成的图形叫做角。这是从运动的角度来定义的。 (2)角的表示: ①用三个大写字母表示;②用一个大写字母表示;③用阿拉伯数字或希腊字母表示。 平面图形 从不同方向看立体图形 展开立体图形 平面图形 几 何 图 形 立体图形 直线、射线、线段 角 两点之间,线段最短 线段大小的比较 角的度量 角的比较与运算 余角和补角 角的平分线 等角的补角相等 等角的余角相等 两点确定一条直线 2、角的度量 10=60′;1′=60′′. 3、角的比较 比较角的方法:度量法和叠合法。 4、角的平分线 从一个角的顶点出发,把这个角分成________的两个角的射线,叫做这个角的平分线。 表示为 ∠AOC= ∠COB 或∠ AOC=∠COB= 1/2∠AOB 或 2∠ AOC=2∠COB= ∠AOB 5、余角和补角 (1)定义:如果两个角的和等于______,就说这两个角互为余角。 如果两个角的和等于______,就说这两个角互为补角。 注意:余角和补角是两个角之间的关系;只与数量有有关,而与位置无关。 (2)余角和补角的性质: 同角(等角)的余角相等。 同角(等角)的补角相等。 6、方位角 三、例题导引 1 如右图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数, 画出从不同方向看到的平面图形。 2.(1)如图,点 C 在线段 AB 上,AC = 8 cm,CB = 6 cm,点 M、N 分别是 AC、BC 的中点, 求线段 MN 的长; (2)若 C 为线段 AB 上任一点,满足 AC + CB = a cm,其它条件不变,你能猜想 MN 的长度吗? 并说明理由。 (3)若 C 在线段 AB 的延长线上,且满足 AC BC = b cm,M、N 分别为 AC、BC 的中点,你能 猜想 MN 的长度吗?请画出图形,并说明理由。 A BCM N 3 如图,∠AOB 是直角, ∠ AOC=50°,ON 是∠ AOC 的平分线,OM 是∠ BOC 的平分线。 (1)求∠ MON 的大小; (2)当∠ AOC= 时, ∠ MON 等于多少度? (3)当锐角∠ AOC 的大小发生改变时, ∠ MON 的大小也会发生改变吗?为什么? 【课堂练习】 1 12 2 O B M A N C O A B C A B D C (1) (2) (3) 一、选择题: 1、下列说法正确的是( ) A.射线 AB 与射线 BA 表示同一条射线。 B.连结两点的线段叫做两点之间的距离。 C.平角是一条直线。 D.若∠1+∠2=900,∠1+∠3=900,则∠2=∠3; 2、5 点整时,时钟上时针与分钟 之间的夹角是〔 〕 A.210° B.30° C.150° D.60° 3、如图,射线 OA 表示〔 〕 A、南偏东 700 B、北偏东 300 C、南偏东 300 D、北偏东 700 4、下列图形不是正方体展开图的是〔 〕 5、若∠A = 20°18′,∠B = 20°15′30″,∠C = 20.25°,则〔 〕 A.∠A>∠B>∠C B.∠B>∠A>∠C C.∠A>∠C>∠B D.∠C>∠A>∠ 二、填空题: 6、 38°41′的余角等于_____,123°59′的补角等于_____; 7、根据下列多面体的平面展开图,填写多面体的名称。 (1)__________,(2)__________,(3)_________。 8、互为余角的两个角之差为 35°,则较大角的补角是_____; 9、 45°52′48″=_________度, 126.31°=____°____′____″; 25°18′÷3=__________; 10、如图,已知 CB=4,DB=7,D 是 AC 的中点, 则求 AC 的长度。 11、如图①直线 l 表示一条笔直的公路,在公路两旁有两上村庄 A 和 B,要在公路边修建一个车站 C, 使车站 C 到村庄 A 和 B 的距离之和最小,请找出村庄 C 点的位置,并说明理由。 A B O 300 700 A BCD 【拓展训练】 1.如图,O 是直线 AB 上一点,OC 为任一条射线,OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC. (1)指出图中∠AOD 的补角,∠BOE 的补角; (2)若∠BOC=68°,求∠COD 和∠EOC 的度数; (3)∠COD 与∠EOC 具有怎样的数量关系? 2、观察下列图形,并阅读图形下面的相关文字: 猜想:(1)5 条直线最多有几个交点?6 条直线呢? (2)n 条直线相交最多有几个 交点 【总结反思】: 第四章 图形认识初步 检测试卷(满分 100 分) 班级姓名成绩 一、填空题(每空 4 分,共 40 分) 1.圆柱的侧面展开图是; 2.已知 ∠ 与 ∠ 互余,且 40 ∠ 51 ,则 ∠ 为; 3.如果一个角的补角是150 ,那么这个角的余角是________; 4.乘火车从 A 站出发,沿途经过3 个车站可到达 B 站,那么在 A B, 两站之间最多共有________种不同 的票价; 5.如图,若 是 中点, 是 中点,若 , , _________。 6.要在墙上固定一根木条,至少要个钉子,根据的原理是。 两条直线相交, 最多有 1 个交点 三条直线相交, 最多有 3 个交点 四条直线相交, 最多有 6 个交点 … 7. 22.5 ________度________分; 8. 12 24 ________ ; 9.小明每天下午 5:30 回家,这时分针与时针所成的角的度数为____度。 二、选择题(每题 4 分,共 20 分) 10.下列判断正确的是( ) A.平角是一条直线 B.凡是直角都相等 C.两个锐角的和一定是锐角 D.角的大小与两条边的长短有关 11.下列哪个角不能由一副三角板作出( ) A. 105 B. 15 C. 175 D. 135 12.若 mm 90,90 ,则∠α与∠β的关系是( ) A.互补 B.互余 C.和为钝角 D.和为周角 13.平面上 A、B 两点间的距离是指( ) A. 经过 A、B 两点的直线 B. 射线 AB C. A、B 两点间的线段 D. A、B 两点间线段的长度 14.一个立体图形的三视图如图所示,那么它是 ( ) A.圆锥 B.圆柱 C.三棱锥 D.四棱锥 三、解答题:(共 40 分) 15.根据下列要求画图:(10 分) (1)连接线段 AB; (2)画射线 OA,射线 OB; (3)在线段 AB 上取一点 C,在射线 OA 上 取一点 D(点 C、D 不与点 A 重合),画直 线 CD,使直线 CD 与射线 OB 交于点 E。 16、如图所示的几何体是由 5 个相同的正方体搭成的, 请画出它的主视图、左视图和俯视图(9 分) 17.如图所示,点 O 是直线 AB 上一点,OE,OF 分别平分∠AOC 和∠BOC,若∠AOC=68°,则∠ BOF 和∠EOF 是多少度?(9 分) A · B · O · 18.(1)如下图,已知点 C 在线段 AB 上,且 AC=6cm,BC=4cm,点 M、N 分别是 AC、BC 的中点, 求线段 MN 的的长度. (2)在(1)中,如果 AC=acm, cmBC b ,其它条件不变,你能猜出 MN 的长度吗?请你用一句 简洁的话表述你发现的规律. (3)对于(1)题,如果我们这样叙述它:“已知线段 AC=6cm,BC=4cm,点 C 在直线 AB 上,点 M、N 分别是 AC、BC 的中点,求 MN 的长度。”结果会有变化吗?如果有,求出结果。(12 分)查看更多