九年级数学上册第四章图形的相似6利用相似三角形测高教学课件新版北师大版

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4.6 利用相似三角形测高 第四章 图形的相似 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1. 通过测量旗杆的高度的活动，并复习巩固相似三角形有 关知识 . （重点） 2. 灵活运用三角形相似的知识解决实际问题 . （难点） 学习目标 世界上最高的树 —— 红杉 导入新课 乐山大佛 台北 101 大楼 怎样测量这些非常高大物体的高度？ 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为 “ 世界古代八大奇迹之一 ” ，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？ 运用相似三角形解决高度 ( 长度 ) 测量问题 一 讲授新课 例 1 ： 如下图，如果木杆 EF 长 2 m ，它的影长 FD 为 3 m ，测得 OA 为 201 m ，求金字塔的高度 BO . 我们来试着用学过的知识解决前面提出的问题． 解： ∵ BF∥ED ，∴∠ BAO =∠ EDF ， 又 ∵∠ AOB =∠ DFE =90° ， ∴△ ABO ∽△ DEF ， ∴ = ，∴ = ， ∴ BO =134. 因此金字塔高 134 m. 物 1 高 ：物 2 高 = 影 1 长 ：影 2 长 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“ 在同一时刻物高与影长成正比例 ”的原理解决 . 例 2 ： 如图，小明为了测量一棵树 CD 的高度，他在距树 24m 处立了一根高为 2m 的标杆 EF ，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距 27m 的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上 . 已知小明的眼高 1.6m ，求树的高度 . 解析： 人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点 A 作 AN ∥ BD 交 I D 于 N ，交 EF 于 M ，则可得△ AEM ∽△ ACN. A E C D F B N A E C D F B N 解：过点 A 作 AN∥BD 交 CD 于 N ，交 EF 于 M ，因为人、标杆、树都垂直于地面， ∴∠ ABF=∠EFD=∠CDF =90°, ∴AB∥EF∥CD, ∴∠ EMA=∠CNA. ∵∠ EAM=∠CAN, ∴△ AEM∽△ACN , ∴ . ∵ AB =1.6m , EF =2m , BD =27m , FD =24m , ∴ , ∴ CN =3.6 （ m ）， ∴ CD =3.6+1.6=5.2 （ m ） . 故树的高度为 5.2m. M 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“ 利用标杆测量高度 ”的原理解决 . 例 3 ： 为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图， ①在距离树 AB 底部 15m 的 E 处放下镜子； ②该同学站在距离镜子 1.2m 的 C 处，目高 CD 为 1.5m ； ③观察镜面，恰好看到树的顶端 . 你能帮助他计算出大树的大约高度吗？ 解：∵∠ 1=∠2,∠ DCE =∠ BAE =90°, ∴△ DCE ∽△ BAE . ∴ , 得 BA =18.75m. 因此，树高约为 18.75m. D B A C E 2 1 测高方法三： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“ 利用镜子的反射测量高度 ”的原理解决 . 例 3 ： 如图， 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P ，在近岸取点 Q 和 S ，使点 P 、 Q 、 S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T ，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R ．如果测得 QS =45 m ， ST =90 m ， QR =60 m ，求河的宽度 PQ . 45m 90m 60m 解： ∵ QR ∥ ST ∴△ PQR ∽△ PST PQ =90m. （ 1 ）根据题意画出 ___________; （ 2 ）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的 _____________________; （ 3 ）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出 __________; （ 4 ）写出 ___________. 示意图 已知线段、已知角 未知量 答案 利用三角形相似解决实际问题的一般步骤： 归纳总结 利用三角形相似测高的模型： 1. 铁道口的栏杆短臂长 1m , 长臂长 16m , 当短臂端点下降 0.5m 时 , 长臂端点升高 ______ m . 8 O B D C A ┏ ┛ 1m 16m 0.5m ？ 2. 某一时刻树的影长为 8 米 , 同一时刻身高为 1.5 米的人的影长为 3 米 , 则树高为 ______. 4 米 当堂练习 3. 如 图 ，利用标杆 BE 测量建筑物的高度。如果标杆 BE 高 1.2m ，测得 AB =1.6m ， BC =12.4m ，楼高 CD 是多少？ 解： ∴ EB ∥ CD ∴△ ABE ∽△ ACD CD =10.5m. ∵ EB ⊥ AC , CD ⊥ AC 1.2m 12.4m 1.6m 4. 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB =8 m 和 CD =12 m ，两树底部的距离 BD =5 m ，一个人估计自己的眼睛距地面 1.6 m ．她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点 C 了？ 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端 A ， C 恰在一条直线上． 　　∵　 AB ⊥ l ， CD ⊥ l ， 　　∴　 AB ∥ CD ． 　　∴　△ AEH ∽△ CEK ． 　　∴　　　 = 　　 ， 　　即　 　　　 = 　 　　 = 　　 ． 　　 解得　 EH =8 （ m ）． 由此可知如果观察者继续前进，当她与左边的树距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端 C ． 5. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点 A ，再在河的这一边选定点 B 和点 C ，使 AB ⊥ BC ，然后，再选点 E ，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D ，此时如果测得 BD =118 米， DC =61 米， EC =50 米，求河的宽度 AB . （精确到 0.1 米） A D C E B 解： ∵∠ ADB =∠ EDC ∠ ABD =∠ ECD =90゜ 答：河的宽度 AB 约为 96.7 米. ∴⊿ ABD ∽⊿ ECD （两角分别相等的两个三角形相似）， ∴ 解得 A D C E B 6. 某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为 1.5 米时，其影长为 1.2 米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为 6.4 米，墙上影长为 1.4 米，那么这棵大树高多少米? E D 6.4 1.2 ？ 1.5 1.4 A B C 解：作 DE ⊥ AB 于 E 得 ∴ AE =8 米， ∴ AB =8+1.4=9.4 米 物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分 相似三角形的应用 测量高度问题 课堂小结 测量河宽问题