2019年湖北荆门中考数学试题（解析版）

2019年湖北荆门中考数学试题（解析版）

‎{来源}2019年湖北省荆门市中考数学试卷 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}2019年湖北省荆门市中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，合计36分． ‎ ‎{题目}1．(2019年荆门，T1)－的倒数的平方是( )‎ A．2 B． C．－2 D．－‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了倒数的概念、二次根式的运算．－的倒数的平方＝(－)2＝．因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-2-1]分式的乘除}‎ ‎{考点:倒数}‎ ‎{考点:算术平方根的平方}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{题目}2．(2019年荆门，T2)已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒．科学计数法表示31536000正确的是( )‎ A．3.1536×106 B．3.1536×107 C．31.536×106 D．0.31536×108‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了科学记数法．31536000＝3.1536×10 000 000＝3.1536×107．因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3．(2019年荆门，T3)已知实数x，y满足方程组则x2－2y2的值为( )‎ A．－1 B．1 C．3 D．－3‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了二元一次方程组的解法．用代入法或加减法解原方程组，得所以x2－2y2＝12－2×12＝1－2＝－1．因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-8-2]消元——解二元一次方程组}‎ ‎{考点:代入消元法}‎ ‎{考点:加减消元法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}4．(2019年荆门，T4)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是( )‎ A．95° B．100° C．105° D．110°‎ ‎30°‎ ‎45°‎ ‎1‎ 第4题图 ‎30°‎ ‎45°‎ ‎1‎ 图1‎ C A B ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了三角形内角和定理的推论．如图1，∠1是△ABC的外角，其中∠B＝45°，∠ACB＝60°，∴∠1＝∠B＋∠CAB＝105°．因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-11-2]与三角形有关的角}‎ ‎{考点:三角形的外角}‎ ‎{考点:多边形的内角和}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}5．(2019年荆门，T5)抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( )‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了．抛物线的解析式可改写为y＝－(x－2)2．可见它与横轴交于点(2，0)，与y轴交于点(0，4)，即它与坐标轴的交点个数为2．因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}‎ ‎{考点:抛物线与一元二次方程的关系}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}6．(2019年荆门，T6)不等式组的解集为( )‎ A．－＜x＜0 B．－＜x≤0 C．－≤x＜0 D．－≤x≤0‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法．解第一个不等式，得x≥－．‎ 解第二个不等式，得x＜0．‎ 所以原不等式组的解集是－≤x＜0．因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}‎ ‎{考点:解一元一次不等式组}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}7．(2019年荆门，T7)投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2＋ax＋b＝0有解的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了概率的计算、一元二次方程的判别式．‎ 列表如下：‎ a b ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎(1，1)‎ ‎(2，1)‎ ‎(3，1)‎ ‎(4，1)‎ ‎(5，1)‎ ‎(6，1)‎ ‎2‎ ‎(1，2)‎ ‎(2，2)‎ ‎(3，2)‎ ‎(4，2)‎ ‎(5，2)‎ ‎(6，2)‎ ‎3‎ ‎(1，3)‎ ‎(2，3)‎ ‎(3，3)‎ ‎(4，3)‎ ‎(5，3)‎ ‎(6，3)‎ ‎4‎ ‎(1，4)‎ ‎(2，4)‎ ‎(3，4)‎ ‎(4，4)‎ ‎(5，4)‎ ‎(6，4)‎ ‎5‎ ‎(1，5)‎ ‎(2，5)‎ ‎(3，5)‎ ‎(4，5)‎ ‎(5，5)‎ ‎(6，5)‎ ‎6‎ ‎(1，6)‎ ‎(2，6)‎ ‎(3，6)‎ ‎(4，6)‎ ‎(5，6)‎ ‎(6，6)‎ 原方程的判别式△＝a2－4b．当a2－4b≥0时，原方程有解．‎ 投掷一枚质地均匀的骰子两次，由表可知共有36种结果，其中每种结果出现的可能性相等，使△≥0的结果共有19种，即(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．所以所求概率P＝．‎ 因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{考点:根的判别式}‎ ‎{考点:两步事件放回}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}8．(2019年荆门，T8)欣欣服装店某天用相同的价格a(a＞0)卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是( )‎ A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．与售价a有关 ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了一元一次方程的应用．设盈利、亏损的服装进价分别为x元、y元，则 x(1＋20%)＝a，y(1－20%)＝a．‎ 解得x＝，y＝．‎ 因为2a－(＋)＝－＜0，即总售价小于总进价，‎ 所以该服装店卖出这两件服装的盈利情况是亏损．‎ 因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-3-3]实际问题与一元一次方程}‎ ‎{考点:一元一次方程的应用（商品利润问题）}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}9．(2019年荆门，T9)如果函数y＝kx＋b(k，b是常数)的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是( )‎ A．k≥0且b≤0 B．k＞0且b≤0 C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜0‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了一次函数的图象和性质．①当k≠0时，k＞0，b≤0；‎ ‎②当k＝0时，y＝b是经过点(0，b)且平行于y轴的直线，因此b≤0．‎ 综上所述，k≥0且b≤0．因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-19-2-2]一次函数}‎ ‎{考点:正比例函数的图象}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}10．(2019年荆门，T10)如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则B点的对应点B′的坐标是( )‎ A．(，－1) B．(1，－3) C．(2，0) D．(，0)‎ x O y C B ‎30°‎ 第10题图 x O y C B ‎30°‎ 图2‎ B′‎ C′‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了旋转的性质．如图2，旋转后点C′在横轴上，点B′在第二象限，且OC′＝OC＝，‎ B′C′＝BC＝OC·tan∠BOC＝×＝1．所以点B′的坐标为(，－1)．因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-23-1]图形的旋转}‎ ‎{{考点:坐标系内的旋转}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}11．(2019年荆门，T11)下列运算不正确的是( )‎ A．xy＋x－y－1＝(x－1)(y＋1)‎ B．x2＋y2＋z2＋xy＋yz＋zx＝(x＋y＋z)2‎ C．(x＋y)(x2－xy＋y2)＝x3＋y3‎ D．(x－y)3＝x3－3x2y＋3xy2－y3‎ ‎{答案}B ‎{解析}(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋xy＋yz＋zx，可见选项B中的运算不正确．因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-3]因式分解}‎ ‎{考点:多项式乘以多项式}‎ ‎{考点:因式分解－完全平方式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}12．(2019年荆门，T12)如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是( )‎ A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定 I D C A B 第12题图 ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了内心的概念、圆周角定理等知识．连结BI．∠DIB＝∠DAB＋∠IBA，∠DBI＝∠DBC＋∠IBC．‎ ‎∵点I为△ABC的内心，‎ ‎∴∠DAB＝∠DAC＝∠DBC，∠IBA＝∠IBC．‎ ‎∴∠DIB＝∠DBI．‎ ‎∴DI＝DB．因此本题答案是A．因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{考点:三角形的内切圆与内心}‎ ‎{考点:几何选择压轴}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，合计15分．‎ ‎{题目}13．(2019年荆门，T13)计算：＋｜sin30°－π0｜＋＝______．‎ ‎{答案}1－‎ ‎{解析}原式＝2－＋｜－1｜－‎ ‎＝2－＋－‎ ‎＝1－．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-28-2-1]特殊角}‎ ‎{考点:二次根式的混合运算}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}14．(2019年荆门，T14)已知x1，x2是关于x的方程x2＋(3k＋1)x＋2k2＋1＝0的两个不相等实数根，且满足(x1－1)(x2－1)＝8k2，则k的值为______．‎ ‎{答案}1‎ ‎{解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等．‎ 由根与系数的关系，得x1＋x2＝－(3k＋1)，x1x2＝2k2＋1．‎ ‎∵(x1－1)(x2－1)＝8k2，‎ ‎∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝8k2．‎ ‎∴2k2＋1＋(3k＋1)＋1＝8k2．整理，得2k2－k－1＝0．‎ 解得k1＝1，k2＝－．‎ 当k＝－时，原方程没有实数根，舍去．‎ ‎∴k＝1．‎ 因此本题答案是1．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系}‎ ‎{考点:根的判别式}‎ ‎{考点:根与系数关系}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{类别:新定义}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}15．(2019年荆门，T15)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝(k＞0，x＞0)的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为______．‎ x O y M N A B 第15题图 x O y M N A D C B 图3‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了反比例函数的性质、三角函数、一元二次方程等知识．‎ 如图3，分别过点M，N作x轴的垂线，垂足依次为C，D．‎ 依题意可知OM＝2，∠OMC＝30°，∴OC＝1，MC＝．‎ ‎∴k＝1×＝．‎ 于是设N(a，)(1＜a＜3)，则OD＝a，ND＝，DB＝．‎ ‎∵OB＝AB＝3，∴a＋＝3．‎ 解得a＝(舍去)．‎ 因此本题答案是．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:公式法}‎ ‎{考点:双曲线与几何图形的综合}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}16．(2019年荆门，T16)如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为______．‎ F D E C A B 第16题图 F D E C A B 图4‎ H ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了曲边三角形面积的计算．‎ ‎]S阴影＝S扇CDF＋S△ACD－S扇ADE－S△CEF．‎ 如图4，连结CD，过点E作EH⊥BC于点H．‎ ‎∵CF＝CD＝，∠BCD＝30°，CE＝1，EH＝．‎ ‎∴S阴影＝＋×1×－－××＝＋－－＝．‎ 因此本题答案是．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{考点:扇形的面积}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}17．(2019年荆门，T17)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的顶点为P，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m，0)，C(－2，n)(1＜m＜3，n＜0)．下列结论：‎ ‎①abc＞0，②3a＋c＜0，③a(m－1)＋2b＞0，④a＝－1时，存在点P使△PAB为直角三角形．‎ 其中正确结论的序号为______．‎ ‎{答案}②③‎ ‎{解析}本题考查了二次函数的图象和性质．‎ 依题意画出如图5所示的图形．‎ ‎(1)∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴在y轴侧，∴－＞0．∴b＞0．∵抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0．∴abc＜0．可见结论①错误．‎ ‎(2)∵抛物线经过点A(－1，0)，‎ ‎∴a－b＋c＝0，即b＝a＋c①，或者c＝b－a②．‎ ‎∵x＝3时，y＜0，∴9a＋3b＋c＜0．‎ 将①代入，得12a＋4c＜0，即3a＋c＜0．可见结论②正确．‎ ‎(3)∵抛物线经过点B(m，0)，∴am2＋bm＋c＝0．‎ 将②代入，得am2＋bm＋b－a＝0．化简，得a(m－1)＋b＝0．‎ ‎∴a(m－1)＋2b＝b＞0．可见结论③正确．‎ ‎(4)当a＝－1时，由①知b＝c－1，此时抛物线的解析式为 y＝－x2＋(c－1)x＋c．令y＝0，解得x1＝－1，x2＝c．‎ 又抛物线与y轴交于点D(0，c)．∴OB＝OD，∠DBO＝45°．‎ 由正切可知∠PBO＞∠DBO＝45°，‎ ‎∴△PAB不可能是直角三角形．可见结论④错误．‎ 综上所述，正确结论的序号是②③．‎ ‎－1‎ ‎－2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ x O y C A B P 图5‎ D 因此本题答案是②③．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数的系数与图象的关系}‎ ‎{考点:抛物线与一元二次方程的关系}‎ ‎{考点:代数填空压轴}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共7小题，合计69分．‎ ‎{题目}18．(2019年荆门，T18)先化简，再求值：‎ ‎()2·－÷，其中a＝，b＝．‎ ‎{解析}本题考查了分式的混合运算及求值．‎ ‎{答案}解： 原式＝()2·－×‎ ‎＝－＝‎ ‎＝．‎ 当a＝，b＝时，‎ 原式＝＝．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:分式的混合运算}‎ ‎{题目}19．(2019年荆门，T19)如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．‎ ‎(1)求平行四边形ABCD的面积；‎ ‎(2)求证：BD⊥BC．‎ D C A B 第19题图 D C A B 图5‎ F E ‎{解析}本题考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理．‎ ‎{答案}解： 如图5．(1)过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．设BE＝x，CE＝h．‎ 由勾股定理，得 解得 ‎∴S□ABCD＝AB·h＝12；‎ ‎(2)过点D作DF⊥AB于点F．‎ ‎∵△ADF≌△BCE，∴AF＝BE＝，DF＝，BF＝．‎ 在Rt△DFB中，BD＝＝＝4．‎ ‎∵42＋32＝52，即BD2＋BC2＝CD2，‎ ‎∴BD⊥BC．‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-18-1-1]平行四边形的性质}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{考点:勾股定理逆定理}‎ ‎{考点:平行四边形边的性质}‎ ‎{题目}20．(2019年荆门，T20)高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图．其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书的人数．‎ ‎(1)求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；‎ ‎(2)根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；‎ ‎(3)若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？‎ 册数 人数 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎14‎ ‎12‎ ‎4册 ‎5册 ‎6册 ‎7册 ‎4册 ‎5册 ‎6册 ‎7册 ‎30%‎ 第20题图 ‎{解析}本题考查了众数、中位数、样本估计总体的思想．‎ ‎{答案}解：(1)观察两个图中阅读6册书的人数和百分比，可知调查的人数＝12÷30%＝40(人)．‎ 因此，阅读5册书的人数＝40－(8＋12＋6)＝14(人)．‎ 由此可知阅读书册数的众数和中位数都是5(册)．‎ ‎(2)×1200＝420(人)．‎ ‎(3)设补查人为y人，依题意，得 ‎12＋6＋y＜8＋14．解得y＜4．‎ ‎∴最多补查了3人． ‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:用样本估计总体}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{考点:众数}‎ ‎{题目}21．(2019年荆门，T21)已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．‎ ‎(1)求证：＝2R；‎ ‎(2)若△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的长及sinC的值．‎ O C A B 第21题图 O C A B 图6‎ D O C A B 图7‎ H E ‎{解析}本题考查了圆的性质、垂径定理、三角函数等知识．‎ ‎{答案}(1)证明：如图6，连结CO并延长交⊙O于点D．则 ‎∠D＝∠B，∠DAC＝90°．‎ 在Rt△ADC中，∵＝sinD，‎ ‎∴＝sinB，即＝2R．‎ ‎(2)解：如图7，连结OB，OC，分别过点C，O作AB的垂线，垂足依次为E，H，则AH＝BH，∠BOH＝∠ACB．‎ 在Rt△ACE中，∵AC＝，∠A＝45°，‎ ‎∴AE＝CE＝AC·sin45°＝．‎ 在Rt△BCE中，∵∠ABC＝60°，∴BE＝＝．‎ ‎∴BC＝2BE＝．‎ ‎∵∠BOC＝2∠A＝90°，∴OB＝1．‎ ‎∵BH＝AB＝(AE＋BE)＝，‎ ‎∴sinC＝sin∠BOH＝＝． ‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-28-3]锐角三角函数}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:垂径定理}‎ ‎{考点:圆的其它综合题}‎ ‎{考点:正弦}‎ ‎{题目}22．(2019年荆门，T22)如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)．测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面高度BF(即DG)为1.6m，试确定楼的高度OE．‎ G F D O E C A B 第22题图 ‎{解析}本题考查了相似三角形的应用．‎ ‎{答案}解：设OE＝x，OA＝a，BC＝b，则AB＝2－a，CD＝2.1－a．CO＝2＋a．‎ 由光反射定律可知△AFB∽△AEO，△CGD∽△COE，‎ ‎∴＝，①‎ ‎＝．②‎ 由①、②得a＝20(2－b)．③‎ 将③代入①，得 ‎＝．解得x＝32．‎ ‎∴楼的高度OE是32m． ‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{考点:相似三角形的应用}‎ ‎{题目}23．(2019年荆门，T23)为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据市场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m(元/公斤)与第x 天之间满足m＝x为正整数．销售量n(公斤)与第x天之间的函数关系如图所示：‎ A(1,12)‎ B(10,30)‎ C(30,2)‎ x O n ‎2‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎10‎ ‎1‎ 第23题图 如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．‎ ‎(1)求销售量n与第x天之间的函数关系式；‎ ‎(2)求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；(日销售利润＝日销售额－日维护费)‎ ‎(3)求日销售利润y的最大值及相应的x．‎ ‎{解析}本题考查了二次函数的应用．‎ ‎{答案}解： (1)当1≤x≤10时，设n＝kx＋b，‎ 由图可知解得 ‎∴n＝2x＋10．‎ 同理，当10＜x≤30时，n＝－1.4x＋44．‎ ‎∴n＝‎ ‎(2)∵y＝mn－80，∴y＝‎ 即y＝‎ ‎(3)①当1≤x≤10时，∵y＝6x2＋60x＋70的对称轴是x＝－5，‎ ‎∴y的最大值是y10＝1270．‎ ‎②当10＜x＜15时，∵y＝－4.2x2＋111x＋580的对称轴是x＝≈13.2＜13.5，‎ ‎∴y的最大值是y13＝1313.2．‎ ‎③当15≤x≤30时，∵y＝1.4x2－149x＋3220的对称轴是x＝＞30，‎ ‎∴y的最大值是y15＝1300．‎ 综上，草莓销售第13天时，日销售利润最大，最大值是1313.2元．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:分段函数}‎ ‎{考点:商品利润问题}‎ ‎{题目}24．(2019年荆门，T24)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c顶点(2，－1)，经过点(0，3)，且与直线y＝x－1交于A，B两点．‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；‎ ‎(3)在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎(坐标平面内两点M(x1，y1)，N(x2，y2)之间的距离MN＝)‎ ‎{解析}本题考查了二次函数的图象和性质、面积的最大值、高次方程．‎ ‎{答案}解： (1)依题意y＝ax2＋bx＋c＝a(x－2)2－1(a＞0)，将点(0，3)代入得：‎ ‎4a－1＝3，∴a＝1．‎ ‎∴函数的解析式为y＝x2－4x＋3．‎ ‎(2)如图8，作直线AB的平行线l，当l与抛物线有两个交点时，由对称性可知：l位于直线AB两侧且与l等距离时，会有四个点符合题意，因为当位于直线AB上方时，l与抛物线总有两个交点M，N满足S△MAB＝S△NAB，所以只有当位于直线AB下方且与抛物线只有一个交点Q时符合题意，此时△QAB面积最大．‎ 设Q(t，t2－4t＋3)，作QC∥y轴交AB于C(t，t－1)，‎ 那么S△QAB＝QC(xB－xA)＝[(t－1)－(t2－4t＋3)]＝(－t2＋5t－4)．‎ 当t＝时，△QAB面积最大，最大面积为．‎ ‎∴S＝．‎ x O y Q M N C A B 图8‎ ‎(3)若存在点P满足条件，设P(t，(t－2)2－1)(1＜1＜4)．‎ ‎∵PA⊥PB，PA2＋PB2＝AB2．‎ 即(t－1)2＋[(t－2)2－1]2＋(t－4)2＋[(t－2)2－4]2＝18．‎ 设t－2＝m(－1＜m＜2)，代入上式，得 ‎(m＋1)2＋(m2－1)2＋(m－2)2＋(m2－4)2＝18．‎ ‎∴m4－4m2－m＋2＝0，即m2(m2－4)－(m－2)＝0．‎ ‎∴(m－2)(m3＋m2＋m2－1)＝0，即(m－2)(m＋1)(m2＋m－1)＝0．‎ ‎∵－1＜m＜2，∴m－2＜0，m＋1＞0．m2＋m－1＝0．‎ 解得m＝或m＝＜－1(舍去)．‎ 代入t－2＝m，得t＝．‎ 综上所述，存在点P满足条件，点P的横坐标为．‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{难度:6-竞赛题}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:二次函数中讨论直角三角形}‎ ‎{考点:代数综合}‎ ‎{考点:几何综合}‎