中考数学复习专题十四：几何与函数问题

中考数学复习专题十四：几何与函数问题

中考数学复习专题14 几何与函数问题 ‎【知识纵横】 ‎ 客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。 ‎【典型例题】 ‎【例1】（上海市）已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点． ‎（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； ‎（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长； B A D M E C B A D C 备用图 ‎（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长． ‎【思路点拨】（1）取中点，联结；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨论。 ‎【例2】（山东青岛）已知：如图（1），在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题： ‎（1）当为何值时，？ ‎（2）设的面积为（），求与之间的函数关系式； ‎（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由； A Q C P B ‎（4）如图（2），连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由． A Q C P B ‎ 图（1） 图（2） ‎【思路点拨】（1）设BP为t，则AQ = 2t，证△APQ ∽△ABC；（2）过点P作PH⊥AC于H． ‎（3）构建方程模型，求t；（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，若四边形PQP ′ C是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t的值。 ‎【例3】（山东德州）如图（1）,在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． ‎（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； ‎（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ ‎（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ A B C M N P O A B C M N D O A B C M N P O ‎ 图（1） 图（2） 图（3） ‎【思路点拨】（1）证△AMN ∽ △ABC；（2）设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，先求出OD（用x的代数式表示），再过M点作MQ⊥BC 于Q，证△BMQ∽△BCA；‎ ‎（3）先找到图形娈化的分界点，＝2。然后 分两种情况讨论求的最大值： ① 当0＜≤2时， ② 当2＜＜4时。 ‎【学力训练】 ‎1、（山东威海） 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F． C D A B E F N M ‎（1）求梯形ABCD的面积； ‎（2）求四边形MEFN面积的最大值． ‎（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由． A B C D E R P H Q ‎2、（浙江温州市）如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动．设，． ‎（1）求点到的距离的长； ‎（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； ‎（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在， 请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． ‎3、（湖南郴州）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．． ‎（1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG． ‎（2） 当点E在线段BC上运动时，△BEF和 ‎△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由． ‎（3）设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求 出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何 值时,y有最大值，最大值是多少？ ‎4、（浙江台州）如图，在矩形中，，，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为． ‎（1）求的度数； ‎（2）当取何值时，点落在矩形的边上？ ‎（3）①求与之间的函数关系式； ‎②当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？ D Q C B P R A B A D C ‎（备用图1）‎ B A D C ‎（备用图2）‎ 参考答案 ‎【典型例题】 ‎【例1】（上海市）（1）取中点，联结， 为的中点，，． 又，． ‎，得； ‎（2）由已知得． 以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切， ‎，即． 解得，即线段的长为； ‎（3）由已知，以为顶点的三角形与相似， 又易证得． 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②． ‎①当时，，．． ‎，易得．得； ‎②当时，，． ‎．又，． ‎，即，得． 解得，（舍去）．即线段的长为2． 综上所述，所求线段的长为8或2． 图①‎ B A Q P C H ‎【例2】（山东青岛）（1）在Rt△ABC中，，‎ 由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，‎ 若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，‎ ‎∴，∴，∴． ‎ ‎（2）过点P作PH⊥AC于H．‎ ‎∵△APH ∽△ABC，‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎∴． 　‎ ‎（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．‎ ‎∴， 解得：．‎ 若PQ把△ABC面积平分，则， 即－＋3t=3．‎ ‎∵ t=1代入上面方程不成立， ‎ ‎∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．‎ P ′‎ B A Q P C 图②‎ M N ‎（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，‎ 若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．‎ ‎∵PM⊥AC于M，∴QM=CM．‎ ‎∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．‎ ‎∴， ∴，‎ ‎∴， ∴，‎ ‎∴，解得：．‎ ‎∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形． ‎ 此时，　，‎ 在Rt△PMC中，，‎ ‎∴菱形PQP ′ C边长为．‎ ‎【例3】（山东德州）（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C． ‎ ‎ ∴ △AMN ∽ △ABC．‎ ‎∴ ，即．‎ ‎∴ AN＝x． ‎ ‎∴ =．（0＜＜4） ‎ ‎（2）如图（2），设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．‎ A B C M N D 图（ 2）‎ O Q 在Rt△ABC中，BC ＝=5．‎ ‎ 由（1）知 △AMN ∽ △ABC． ‎ ‎∴ ，即． ‎ ‎∴ ，‎ A B C M N P 图 （1）‎ O ‎∴ ．过M点作MQ⊥BC 于Q，则． ‎ 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，‎ ‎∴ △BMQ∽△BCA．‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ，． ‎ ‎∴ x＝． ‎ ‎∴当x＝时，⊙O与直线BC相切． ‎ ‎（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．‎ A B C M N P 图 （3）‎ O ‎∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．‎ ‎∴ △AMO ∽ △ABP． ‎ ‎∴ ． AM＝MB＝2． ‎ 故以下分两种情况讨论： ‎ ‎① 当0＜≤2时，． ‎ A B C M N P 图 （ 4）‎ O E F ‎∴ 当＝2时， ‎ ‎② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．‎ ‎∵ 四边形AMPN是矩形， ‎ ‎∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． ‎ 又∵ MN∥BC， ‎ ‎∴ 四边形MBFN是平行四边形． ‎ ‎∴ FN＝BM＝4－x． ‎ ‎∴ ． ‎ 又△PEF ∽ △ACB． ‎ ‎∴ ．∴ ．‎ ‎ ＝．‎ 当2＜＜4时，． ‎ ‎∴ 当时，满足2＜＜4，． ‎ 综上所述，当时，值最大，最大值是2．‎ ‎【例3】（山东德州）（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C． ‎ ‎ ∴ △AMN ∽ △ABC．‎ ‎∴ ，即．‎ ‎∴ AN＝x． ‎ ‎∴ =．（0＜＜4） ‎ A B C M N D 图（ 2）‎ O Q ‎（2）如图（2），设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．‎ 在Rt△ABC中，BC ＝=5．‎ ‎ 由（1）知 △AMN ∽ △ABC． ‎ ‎∴ ，即． ‎ A B C M N P 图 （1）‎ O ‎∴ ，‎ ‎∴ ．过M点作MQ⊥BC 于Q，则． ‎ 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，‎ ‎∴ △BMQ∽△BCA．‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ，． ∴ x＝． ‎ ‎∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．‎ ‎（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．‎ A B C M N P 图 （3）‎ O ‎∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．‎ ‎∴ △AMO ∽ △ABP． ‎ ‎∴ ． AM＝MB＝2． ‎ 故以下分两种情况讨论： ‎ ‎① 当0＜≤2时，． ‎ ‎∴ 当＝2时， ‎ A B C M N P 图 （ 4）‎ O E F ‎② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．‎ ‎∵ 四边形AMPN是矩形， ‎ ‎∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． ‎ 又∵ MN∥BC， ‎ ‎∴ 四边形MBFN是平行四边形． ‎ ‎∴ FN＝BM＝4－x． ‎ ‎∴ ． ‎ 又△PEF ∽ △ACB． ‎ ‎∴ ．∴ ．‎ ‎ ＝．‎ 当2＜＜4时，． ‎ ‎∴ 当时，满足2＜＜4，． ‎ 综上所述，当时，值最大，最大值是2． ‎ ‎【学力训练】‎ ‎1、（山东威海）（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H． ‎ ‎∵ AB∥CD， ‎ ‎∴ DG＝CH，DG∥CH． ‎ ‎∴ 四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1． ‎ C D A B E F N M G H ‎∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，‎ ‎∴ △AGD≌△BHC（HL）． ‎ ‎∴ AG＝BH＝＝3． ‎ ‎∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5， ‎ ‎∴ DG＝4． ‎ ‎∴ ． ‎ C D A B E F N M G H ‎（2）∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB， ‎ ‎∴ ME＝NF，ME∥NF． ‎ ‎∴ 四边形MEFN为矩形． ‎ ‎∵ AB∥CD，AD＝BC， ‎ ‎∴ ∠A＝∠B． ‎ ‎∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°， ‎ ‎∴ △MEA≌△NFB（AAS）．‎ ‎∴ AE＝BF． ‎ 设AE＝x，则EF＝7－2x． ‎ ‎∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°， ‎ ‎∴ △MEA∽△DGA．‎ ‎∴ ．∴ ME＝． ‎ ‎ ∴ ． ‎ 当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为．‎ ‎（3）能． ‎ 由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝． ‎ 若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF． ‎ ‎ 即 7－2x．解，得 ． ‎ ‎∴ EF＝＜4． ‎ ‎∴ 四边形MEFN能为正方形，其面积为． 00000000………….‎ ‎2、（浙江温州市）（1），，，．‎ 点为中点，．‎ ‎，．‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎（2），．‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 即关于的函数关系式为：．‎ ‎（3）存在，分三种情况：‎ A B C D E R P H Q M ‎2‎ ‎1‎ ‎①当时，过点作于，则．‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎，，‎ A B C D E R P H Q ‎，．‎ A B C D E R P H Q ‎②当时，，‎ ‎．‎ ‎③当时，则为中垂线上的点，‎ 于是点为的中点，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎，．‎ 综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．‎ ‎3、（湖南郴州）（1） 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 ‎ ‎ 所以 所以 ‎（2）的周长之和为定值．理由一：‎ 过点C作FG的平行线交直线AB于H ，‎ 因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH 因此，的周长之和等于BC＋CH＋BH ‎ 由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，‎ 所以BC＋CH＋BH＝24‎ 理由二：‎ 由AB＝5，AM＝4，可知 ‎ 在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：‎ ‎，‎ 所以，△BEF的周长是， △ECG的周长是 又BE＋CE＝10，因此的周长之和是24．‎ ‎（3）设BE＝x，则 所以配方得：‎ ‎． ‎ 所以，当时，y有最大值．最大值为．‎ ‎4、（浙江台州）（1）如图，四边形是矩形，．‎ 又，，，‎ ‎，．‎ ‎，．‎ ‎，．‎ ‎（2）如图（1），由轴对称的性质可知，，‎ D Q C B P R A ‎（图1）‎ ‎，．‎ 由（1）知，，‎ ‎，．‎ ‎，，．‎ 在中，根据题意得：，‎ 解这个方程得：．‎ ‎（3）①当点在矩形的内部或边上时，‎ ‎，，‎ ‎，当时，‎ 当在矩形的外部时（如图（2）），，‎ D Q C B P R A 图（2）‎ F E 在中，，‎ ‎，‎ 又，，‎ 在中，‎ ‎，．‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，．‎ 综上所述，与之间的函数解析式是：．‎ ‎②矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面积的的值，‎ 而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；‎ 当时，根据题意，得：‎ ‎，解这个方程，得，因为，‎ 所以不合题意，舍去．‎ 所以．‎ 综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的．‎