2019年贵州省安顺市中考数学试卷

2019年贵州省安顺市中考数学试卷

2019 年贵州省安顺市中考数学试卷 一、选择题（本大题 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3分）2019的相反数是（ ） A．﹣2019 B．2019 C．﹣ D． 2．（3分）中国陆地面积约为 9600000km2，将数字 9600000用科学记数法表示为（ ） A．96×105 B．9.6×10 6 C．9.6×107 D．0.96×108 3．（3分）如图，该立体图形的俯视图是（ ） A． B． C． D． 4．（3分）下列运算中，计算正确的是（ ） A．（a2b）3＝a5b3 B．（3a2）3＝27a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a+b）2＝a2+b2 5．（3分）在平面直角坐标系中，点 P（﹣3，m2+1）关于原点对称点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（3 分）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2 的度数 是（ ） A．35° B．45° C．55° D．65° 7．（3分）如图，点 B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条 件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ） A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC 8．（3分）如图，半径为 3的⊙A经过原点 O和点 C （0，2），B是 y轴左侧⊙A优弧上一 点，则 tan∠OBC为（ ） A． B．2 C． D． 9．（3分）如图，在菱形 ABCD中，按以下步骤作图： ①分别以点 C和点 D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧相交于 M、N两点； ②作直线 MN，且 MN恰好经过点 A，与 CD交于点 E，连接 BE． 则下列说法错误的是（ ） A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE C．若 AB＝4，则 BE＝4 D．sin∠CBE＝ 10．（3分）如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c的图象与 x轴分别交于 A、B两点，与 y轴交 于 C点，OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论： ①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③a﹣b+c＞0；④ac+b+1＝0． 其中正确的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分） 11．（4分）函数 y＝ 的自变量 x的取值范围是 ． 12．（4分）若实数 a、b满足|a+1|+ ＝0，则 a+b＝ ． 13．（4 分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的 半径 r＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线 l的长为 ． 14．（4分）某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达 36万千克，为了满足市场 需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的 1.5倍，总产量比原计划 增加了 9万千克，种植亩数减少了 20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？ 设原计划平均亩产量为 x万千克，则改良后平均每亩产量为 1.5x万千克，根据题意列方 程为 ． 15．（4分）如图，直线 l⊥x轴于点 P，且与反比例函数 y1＝ （x＞0）及 y2＝ （x＞0） 的图象分别交于 A、B两点，连接 OA、OB，已知△OAB的面积为 4，则k1﹣k2＝ ． 16．（4分）已知一组数据 x1，x2，x3，…，xn的方差为 2，则另一组数据 3x1，3x2，3x3，…， 3xn的方差为 ． 17．（4分）如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且 BA＝3，AC＝4，点 D是斜边 BC上 的一个动点，过点 D分别作 DM⊥AB于点 M，DN⊥AC于点 N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为 ． 18．（4分）如图，将从 1开始的自然数按下规律排列，例如位于第 3行、第 4列的数是 12， 则位于第 45行、第 7列的数是 ． 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 88 分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤） 19．（8分）计算：（﹣2）﹣1﹣ +cos60°+（ ）0+82019×（﹣0.125）2019． 20．（10分）先化简（1+ ）÷ ，再从不等式组 的整数解中选一个 合适的 x的值代入求值． 21．（10分）安顺市某商贸公司以每千克 40元的价格购进一种干果，计划以每千克 60元的 价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y（千元） 与每千元降价 x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 y与 x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利 2090元，则这种干果每千克应降价多少元？[来源:Zxxk.Com] 22．（10分）阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在 指数书写方式之前，直到 18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数 与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若 ax＝N（a＞0且 a≠1），那么 x叫做以 a为底 N的对数，记作 x ＝logaN，比如指数式 24＝16可以转化为对数式 4＝log216，对数式 2＝log525，可以转化 为指数式 52＝25． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下： 设 logaM＝m，logaN＝n，则 M＝am，N＝an， ∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得 m+n＝loga（M•N） 又∵m+n＝logaM+logaN ∴loga（M•N）＝logaM+logaN 根据阅读材料，解决以下问题： （1）将指数式 34＝81转化为对数式 ； （2）求证：loga ＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0） （3）拓展运用：计算 log69+log68﹣log62＝ ． 23．（12分）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我 国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度， 某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了 解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统 计图表． 对雾霾天气了解程度的统计表 对雾霾天气了解程 度 百分比 A．非常了解 5% B．比较了解 15% C．基本了解 45% D．不了解 n 请结合统计图表，回答下列问题： （1）本次参与调查的学生共有 ，n＝ ； （2）扇形统计图中 D部分扇形所对应的圆心角是 度； （3）请补全条形统计图； （4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的 小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的 乒乓球分别标上数字 1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋 中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的 数字和为奇数，则小明去，否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公 平． 24．（12分）（1）如图①，在四边形 ABCD中，AB∥CD，点 E是 BC的中点，若 AE是∠ BAD的平分线，试判断 AB，AD，DC之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长 AE交 DC的延长线于点 F，易证△AEB≌△FEC得到 AB＝FC，从而把 AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断． AB，AD，DC之间的等量关系 ； （2）问题探究：如图②，在四边形 ABCD中，AB∥CD，AF与 DC的延长线交于点 F， 点 E是 BC的中点，若 AE是∠BAF的平分线，试探究 AB，AF，CF之间的等量关系， 并证明你的结论． 25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以 AB为直径的⊙O与边 BC，AC分别交于 D， E两点，过点 D作 DH⊥AC于点 H． （1）判断 DH与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：H为 CE的中点； （3）若 BC＝10，cosC＝ ，求 AE的长． 26．（14分）如图，抛物线 y＝ x2+bx+c与直线 y＝ x+3分别相交于 A，B两点，且此抛物 线与 x轴的一个交点为 C，连接 AC，BC．已知 A（0，3），C（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴 l上找一点 M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值； （3）点 P为 y轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P作 PQ⊥PA交 y轴于点 Q，问： 是否存在点 P使得以 A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合 条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 2019 年贵州省安顺市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3分）2019的相反数是（ ） A．﹣2019 B．2019 C．﹣ D． 【考点】14：相反数．菁优网版权所有 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案 【解答】解：2019的相反数是﹣2019， 故选：A． 【点评】主要考查相反数的概念及性质．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相 反数，0的相反数是 0． 2．（3分）中国陆地面积约为 9600000km2，将数字 9600000用科学记数法表示为（ ） A．96×105 B．9.6×106 C．9.6×107 D．0.96×108 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将 960 0000用科学记数法表示为 9.6×106． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其 中 1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值． 3．（3分）如图，该立体图形的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有 【分析】根据几何体的三视图，即可解答． 【解答】解：如图所示的立体图形的俯视图是 C． 故选：C． 【点评】本题考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在 视图中． 4．（3分）下列运算中，计算正确的是（ ） A．（a2b）3＝a5b3 B．（3a2）3＝27a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a+b）2＝a2+b2 【考点】47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；4C：完全平方公式．菁优网版权所有 【分析】分别根据积的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式化简即可判断． 【解答】解：A．（a2b）3＝a6b3，故选项 A不合题意； B．（3a2）3＝27a6，故选项 B符合题意； C．a6÷a2＝a4，故选项 C不合题意； D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项 D不合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了幂的运算法则，熟练掌握法则是解答本题的关键． 5．（3分）在平面直角坐标系中，点 P（﹣3，m2+1）关于原点对称点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】R6：关于原点对称的点的坐标．菁优网版权所有 【分析】依据 m2+1＞0，即可得出点 P（﹣3，m2+1）在第二象限，再根据两个点关于原 点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出结论． 【解答】解：∵m2+1＞0， ∴点 P（﹣3，m2+1）在第二象限， ∴点 P（﹣3，m2+1）关于原点对称点在第四象限， 故选：D． 【点评】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特征，关于原点对称的两个点的 横、纵坐标均互为相反数． 6．（3分）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是 （ ） A．35° B．45° C．55° D．65° 【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有 【分析】求出∠3即可解决问题； 【解答】解： ∵∠1+∠3＝90°，∠1＝35°， ∴∠3＝55°， ∴∠2＝∠3＝55°， 故选：C． 【点评】此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．[来 源:学_科_网] 7．（3分）如图，点 B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条 件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ） A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC 【考点】KB：全等三角形的判定．菁优网版权所有 【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判 断即可． 【解答】解：选项 A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确； 选项 B、添加 AC＝DF可用 AAS进行判定，故本选项错误； 选项 C、添加 AB＝DE可用 AAS进行判定，故本选项错误； 选项 D、添加 BF＝EC可得出 BC＝EF，然后可用 ASA进行判定，故本选项错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟 练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较 典型． 8．（3分）如图，半径为 3的⊙A经过原点 O和点 C （0，2），B是 y轴左侧⊙A优弧上一 点，则 tan∠OBC为（ ） A． B．2 C． D． 【考点】D5：坐标与图形性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．菁优网版权所有 【分析】作直径 CD，根据勾股定理求出 OD，根据正切的定义求出 tan∠CDO，根据圆 周角定理得到∠OBC＝∠CDO，等量代换即可． 【解答】解：作直径 CD， 在 Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2， 则 OD＝ ＝4 ， tan∠CDO＝ ＝ ， 由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO， 则 tan∠OBC＝ ， 故选：D． 【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧 或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定 义是解题的关键． 9．（3分）如图，在菱形 ABCD中，按以下步骤作图： ①分别以点 C和点 D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧相交于 M、N两点； ②作直线 MN，且 MN恰好经过点 A，与 CD交于点 E，连接 BE． 则下列说法错误的是（ ） A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE C．若 AB＝4，则 BE＝4 D．sin∠CBE＝ 【考点】K3：三角形的面积；KG：线段垂直平分线的性质；KM：等边三角形的判定与 性质；L8：菱形的性质；N2：作图—基本作图；T7：解直角三角形．菁优网版权所有 【分析】利用基本作图得到 AE垂直平分 CD，再根据菱形的性质得到 AD＝CD＝2DE， AB∥DE，利用三角函数求出∠D＝60°，则可对 A选项进行判断；利用三角形面积公式 可对 B选项进行判断；当 AB＝4，则 DE＝2，先计算出 AE＝2 ，再利用勾股定理计算 出 BE＝2 ，则可对 C选项进行判断；作 EH⊥BC交 BC的延长线于 H，如图，设 AB ＝4a，则 CE＝2a，BC＝4a，BE＝2 a，先计算出 CH＝a，EH＝ a，则可根据正弦 的定义对 D选项进行判断． 【解答】解：由作法得 AE垂直平分 CD，即 CE＝DE，AE⊥CD， ∵四边形 ABCD为菱形， ∴AD＝CD＝2DE，AB∥DE， 在 Rt△ADE中，cosD＝ ＝ ， ∴∠D＝60°， ∴∠ABC＝60°，所以 A选项的结论正确； ∵S△ABE＝ AB•AE，S△ADE＝ DE•AE， 而 AB＝2DE， ∴S△ABE＝2S△ADE，所以 B选项的结论正确； 若 AB＝4，则 DE＝2， ∴AE＝2 ， 在 Rt△ABE中，BE＝ ＝2 ，所以 C选项的结论错误； 作 EH⊥BC交 BC的延长线于 H，如图， 设 AB＝4a，则 CE＝2a，BC＝4a，BE＝2 a， 在△CHE中，∠ECH＝∠D＝60°， ∴CH＝a，EH＝ a， ∴sin∠CBE＝ ＝ ＝ ，所以 D选项的结论正确． 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知 直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形． 10．（3分）如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c的图象与 x轴分别交于 A、B两点，与 y轴交 于 C点，OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论： ①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③a﹣b+c＞0；④ac+b+1＝0． 其中正确的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA： 抛物线与 x轴的交点．菁优网版权所有 【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a＞0，﹣1＜c＜0，b＜0，再对 各结论进行判断． 【解答】解：①观察图象可知，开口方上 a＞0，对称轴在右侧 b＜0，与 y轴交于负半轴 c＜0， ∴abc＞0，故正确； ②∵抛物线与 x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即 4ac﹣b2＜0，故错误； ③当 x＝﹣1时 y＝a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限， ∴a﹣b+c＞0，故正确 ④设 C（0，c），则 OC＝|c|， ∵OA＝OC＝|c|，∴A（c，0）代入抛物线得 ac2+bc+c＝0，又 c≠0， ∴ac+b+1＝0，故正确； 故正确的结论有①③④三个， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）， 二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小：一次项系数 b和二次项系数 a共同决定对 称轴的位置：常数项 c决定抛物线与 y轴交点：抛物线与 y轴交于（0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由△决定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分） 11．（4分）函数 y＝ 的自变量 x的取值范围是 x≥2 ． 【考点】E4：函数自变量的取值范围．菁优网版权所有 【分析】根据被开方数大于等于 0列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0， 解得 x≥2． 故答案为：x≥2． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数． 12．（4分）若实数 a、b满足|a+1|+ ＝0，则 a+b＝ 1 ． 【考点】16：非负数的性质：绝对值；23：非负数的性质：算术平方根．菁优网版权所有 【分析】先根据非负数的性质求出 a、b的值，再求出 a+b的值即可． 【解答】解：∵|a+1|+ ＝0， ∴ ， 解得 a＝﹣1，b＝2， ∴a+b＝﹣1+2＝1． 【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知几个非负数的和为 0 时，其中每一项必为 0 是解答此题的关键． 13．（4 分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的 半径 r＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线 l的长为 6 ． 【考点】MP：圆锥的计算．菁优网版权所有 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形 的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 2π×2＝ ，然后解关于 l的方程即可． 【解答】解：根据题意得 2π×2＝ ， 解德 l＝6， 即该圆锥母线 l的长为 6． 故答案为 6． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆 锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 14．（4分）某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达 36万千克，为了满足市场 需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的 1.5倍，总产量比原计划 增加了 9万千克，种植亩数减少了 20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？ 设原计划平均亩产量为 x万千克，则改良后平均每亩产量为 1.5x万千克，根据题意列方 程为 ﹣ ＝20 ． 【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有 【分析】设原计划平均亩产量为 x万千克，则改良后平均每亩产量为 1.5x万千克，根据 种植亩数＝总产量÷平均亩产量结合改良后的种植面积比原计划少 20亩，即可得出关于 x的分式方程，此题得解． 【解答】解：设原计划平均亩产量为 x万千克，则改良后平均每亩产量为 1.5x万千克， 依题意，得： ﹣ ＝20． 故答案为： ﹣ ＝20． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是 解题的关键． 15．（4分）如图，直线 l⊥x轴于点 P，且与反比例函数 y1＝ （x＞0）及 y2＝ （x＞0） 的图象分别交于 A、B两点，连接 OA、OB，已知△OAB的面积为 4，则 k1﹣k2＝ 8 ． 【考点】G4：反比例函数的性质；G5：反比例函数系数 k的几何意义；G6：反比例函数 图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 【分析】根据反比例函数 k的几何意义可知：△AOP的面积为 k1，△BOP的面积为 k2， 由题意可知△AOB的面积为 k1﹣ 2． 【解答】解：根据反比例函数 k的几何意义可知：△AOP的面积为 k1，△BOP的面积 为 k2， ∴△AOB的面积为 k1﹣ 2， ∴ k1﹣ 2＝4， ∴k1﹣k2＝8， 故答案为 8． 【点评】本题考查反比例函数 k的几何意义，解题的关键是正确理解 k的几何意义，本 题属于中等题型． 16．（4分）已知一组数据 x1，x2，x3，…，xn的方差为 2，则另一组数据 3x1，3x2，3x3，…， 3xn的方差为 18 ． 【考点】W7：方差．菁优网版权所有 【分析】如果一组数据 x1、x2、…、xn的方差是 s2，那么数据 kx1、kx2、…、kxn的方差 是 k2s2（k≠0），依此规律即可得出答案． 【解答】解：∵一组数据 x1，x2，x3…，xn的方差为 2， ∴另一组数据 3x1，3x2，3x3…，3xn的方差为 32×2＝18． 故答案为 18． 【点评】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数时，平均数也加上这个数，方差 不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数时，平均数也乘以这个数（不为 0）， 方差变为这个数的平方倍． 17．（4分）如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且 BA＝3，AC＝4，点 D是斜边 BC上 的一个动点，过点 D分别作 DM⊥AB于点 M，DN⊥AC于点 N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为 ． 【考点】J4：垂线段最短；LD：矩形的判定与性质．菁优网版权所有 【分析】由勾股定理求出 BC的长，再证明四边形 DMAN是矩形，可得 MN＝AD，根据 垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，且 BA＝3，AC＝4， ∴BC＝ ＝5， ∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°， ∴四边形 DMAN是矩形， ∴MN＝AD， ∴当 AD⊥BC时，AD的值最小， 此时，△ABC的面积＝ AB×AC＝ BC×AD， ∴AD＝ ＝ ， ∴MN的最小值为 ； 故答案为： ． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识， 解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18．（4分）如图，将从 1开始的自然数按下规律排列，例如位于第 3行、第 4列的数是 12， 则位于第 45行、第 7列的数是 2019 ． 【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有 【分析】观察图表可知：第 n行第一个数是 n2，可得第 45行第一个数是 2025，推出第 45行、第 7列的数是 2025﹣6＝2019 【解答】解：观察图表可知：第 n行第一个数是 n2， ∴第 45行第一个数是 2025， ∴第 45行、第 7列的数是 2025﹣6＝2019， 故答案为 2019 【点评】本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解 决问题． 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 88 分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤） 19．（8分）计算：（﹣2）﹣1﹣ +cos60°+（ ）0+82019×（﹣0.125）2019． 【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数 值．菁优网版权所有 【分析】分别根据负指数幂的性质、二次根式的性质、零指数幂以及积是乘方化简即可 解答． 【解答】解：原式＝﹣ ﹣3+ +1+（﹣0.125×8）2019＝ ﹣3+ ﹣1＝﹣3． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 20．（10分）先化简（1+ ）÷ ，再从不等式组 的整数解中选一个 合适的 x的值代入求值． 【考点】6D：分式的化简求值；CC：一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有 【分析】首先进行分式的加减运算，进而利用分式的混合运算法则进而化简，再解不等 式组，得出 x的值，把已知数据代入即可． 【解答】解：原式＝ × ＝ ， 解不等式组 得﹣2＜x＜4， ∴其整数解为﹣1，0，1，2，3， ∵要使原分式有意义， ∴x可取 0，2． ∴当 x＝0 时，原式＝﹣3， （或当 x＝2 时，原式＝﹣ ）． 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键． 21．（10分）安顺市某商贸公司以每千克 40元的价格购进一种干果，计划以每千克 60元的 价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y（千元） 与每千元降价 x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 y与 x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利 2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【考点】AD：一元二次方程的应用；FH：一次函数的应用．菁优网版权所有 【分析】（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b由题意得出：当 x＝2，y＝120；当 x＝4，y ＝140；得出方程组，解方程组解可； （2）由题意得出方程（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，解方程即可． 【解答】解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b 当 x＝2，y＝120；当 x＝4，y＝140； ∴ ， 解得： ， ∴y与 x之间的函数关系式为 y＝10x+100； （2）由题意得： （60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090， 整理得：x2﹣10x+9＝0， 解得：x1＝1．x2＝9， ∵让顾客得到更大的实惠， ∴x＝9， 答：商贸公司要想获利 2090元，则这种干果每千克应降价 9元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程 是解题的关键． 22．（10分）阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在 指数书写方式之前，直到 18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数 与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若 ax＝N（a＞0且 a≠1），那么 x叫做以 a为底 N的对数，记作 x ＝logaN，比如指数式 24＝16可以转化为对数式 4＝log216，对数式 2＝log525，可以转化 为指数式 52＝25． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下： 设 logaM＝m，logaN＝n，则 M＝am，N＝an， ∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得 m+n＝loga（M•N） 又∵m+n＝logaM+logaN ∴loga（M•N）＝logaM+logaN 根据阅读材料，解决以下问题： （1）将指数式 34＝81转化为对数式 4＝log381 ； （2）求证：loga ＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0） （3）拓展运用：计算 log69+log68﹣log62＝ 2 ． 【考点】1O：数学常识；46：同底数幂的乘法；48：同底数幂的除法．菁优网版权所有 【分析】（1）根据题意可以把指数式 34＝81写成对数式； （2）先设 logaM＝m，logaN＝n，根据对数的定义可表示为指数式为：M＝am，N＝an， 计算 的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论； （3）根据公式：loga（M•N）＝logaM+logaN和 loga ＝logaM﹣logaN的逆用，将所求式 子表示为：log3（2×6÷4），计算可得结论． 【解答】解：（1）4＝log381（或 log381＝4）， 故答案为：4＝log381； （2）证明：设 logaM＝m，logaN＝n，则 M＝am，N＝an， ∴ ＝ ＝am﹣n，由对数的定义得 m﹣n＝loga ， 又∵m﹣n＝logaM﹣logaN， ∴loga ＝logaM﹣logaN； （3）log69+log68﹣log62＝log6（9×8÷2）＝log636＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的 关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． 23．（12分）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我 国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度， 某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了 解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统 计图表． 对雾霾天气了解程度的统计表 对雾霾天气了解程 度 百分比 A．非常了解 5% B．比较了解 15% C．基本了解 45% D．不了解 n 请结合统计图表，回答下列问题： （1）本次参与调查的学生共有 400 ，n＝ 35% ； （2）扇形统计图中 D部分扇形所对应的圆心角是 126 度； （3）请补全条形统计图； （4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的 小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的 乒乓球分别标上数字 1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋 中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的 数字和为奇数，则小明去，否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公 平． 【考点】VA：统计表；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法； X7：游戏公平性．菁优网版权所有 【分析】（1）用 C等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用 1 减去其 它等级的百分比得到 n的值； （2）用 360°乘以 D等级所占的百分比得到扇形统计图中 D部分扇形所对应的圆心角； （3）先计算出 D等级的人数，然后补全条形统计图； （4）先画树状图展示所有 12种等可能的结果，找出和为奇数的结果有 8种，再计算出 小明去和小刚去的概率．然后比较两概率的大小可判断这个游戏规则是否公平． 【解答】解：（1）180÷45%＝400， 所以本次参与调查的学生共有 400人， n＝1﹣＝5%﹣15%﹣45%＝35%； （2）扇形统计图中 D部分扇形所对应的圆心角＝360°×35%＝126°， 故答案为 400；35%；126； （3）D等级的人数为 400×35%＝140（人）， 补全条形统计图为： （4）画树状图为： 共有 12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有 8种， ∴P（小明去）＝ ＝ P（小刚去）＝1﹣ ＝ ∵ ≠ ∴这个游戏规则不公平． 【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后 比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了统计图． 24．（12分）（1）如图①，在四边形 ABCD中，AB∥CD，点 E是 BC的中点，若 AE是∠ BAD的平分线，试判断 AB，AD，DC之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长 AE交 DC的延长线于点 F，易证△AEB≌△FEC得到 AB＝FC，从而把 AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断． AB，AD，DC之间的等量关系 AD＝AB+DC ； （2）问题探究：如图②，在四边形 ABCD中，AB∥CD，AF与 DC的延长线交于点 F， 点 E是 BC的中点，若 AE是∠BAF的平分线，试探究 AB，AF，CF之间的等量关系， 并证明你的结论． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 【分析】（1）由“AAS”可证△CEF≌△BEA，可得 AB＝CF，即可得结论； （2）延长 AE交 DF的延长线于点 G，由“AAS”可证△AEB≌△GEC，可得 AB＝CG， 即可得结论； 【解答】解：（1）AD＝AB+DC 理由如下：∵AE是∠BAD的平分线 ∴∠DAE＝∠BAE ∵AB∥CD ∴∠F＝∠BAE ∴∠DAF＝∠F ∴AD＝DF， ∵点 E是 BC的中点 ∴CE＝BE，且∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠CEF ∴△CEF≌△BEA（AAS） ∴AB＝CF ∴AD＝CD+CF＝CD+AB （2）AB＝AF+CF 理由如下：如图②，延长 AE交 DF的延长线于点 G ∵E是 BC的中点， ∴CE＝BE， ∵AB∥DC， ∴∠BAE＝∠G．且 BE＝CE，∠AEB＝∠GEC ∴△AEB≌△GEC（AAS） ∴AB＝GC ∵AE是∠BAF的平分线 ∴∠BAG＝∠FAG， ∵∠BAG＝∠G， ∴∠FAG＝∠G， ∴FA＝FG， ∵CG＝CF+FG， ∴AB＝AF+CF 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，添加 恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以 AB为直径的⊙O与边 BC，AC分别交于 D， E两点，过点 D作 DH⊥AC于点 H． （1）判断 DH与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：H为 CE的中点； （3）若 BC＝10，cosC＝ ，求 AE的长． 【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）连结 OD、AD，如图，先利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则根据等腰 三角形的性质得 BD＝CD，再证明 OD为△ABC的中位线得到 OD∥AC，加上 DH⊥AC， 所以 OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断 DH为⊙O的切线； （2）连结 DE，如图，有圆内接四边形的性质得∠DEC＝∠B，再证明∠DEC＝∠C，然 后根据等腰三角形的性质得到 CH＝EH； （3）利用余弦的定义，在 Rt△ADC中可计算出 AC＝5 ，在 Rt△CDH中可计算出 CH ＝ ，则 CE＝2CH＝2 ，[来源:学科网 ZXXK] 然后计算 AC﹣CE即可得到 AE的长． 【解答】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下： 连结 OD、AD，如图， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°，即 AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， 而 AO＝BO， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DH⊥AC， ∴OD⊥DH， ∴DH为⊙O的切线； （2）证明：连结 DE，如图， ∵四边形 ABDE为⊙O的内接四边形， ∴∠DEC＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠DEC＝∠C， ∵DH⊥CE， ∴CH＝EH，即 H为 CE的中点； （3）解：在 Rt△ADC中，CD＝ BC＝5， ∵cosC＝ ＝ ，[来源:学,科,网] ∴AC＝5 ， 在 Rt△CDH中，∵cosC＝ ＝ ， ∴CH＝ ， ∴CE＝2CH＝2 ， ∴AE＝AC﹣CE＝5 ﹣2 ＝3 ． 【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的判定定理和等腰三角形 的判定与性质；会利用三角函数的定义解直角三角形． 26．（14分）如图，抛物线 y＝ x2+bx+c与直线 y＝ x+3分别相交于 A，B两点，且此抛物 线与 x轴的一个交点为 C，连接 AC，BC．已知 A（0，3），C（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴 l上找一点 M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值； （3）点 P为 y轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P作 PQ⊥PA交 y轴于点 Q，问： 是否存在点 P使得以 A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合 条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）①将 A（0，3），C（﹣3，0）代入 y＝ x2+bx+c，即可求解； （2）分当点 B、C、M三点不共线时、当点 B、C、M三点共线时，两种情况分别求解即 可； （3）分当 时、当 时两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）①将 A（0，3），C（﹣3，0）代入 y＝ x2+bx+c得：[来源:学_科_网] ，解得： ， ∴抛物线的解析式是 y＝ x2+ x+3； （2）将直线 y＝ x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4， ∵A （0，3），∴B（﹣4，1） ①当点 B、C、M三点不共线时， |MB﹣MC|＜BC ②当点 B、C、M三点共线时， |MB﹣MC|＝BC ∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为 BC的长， 过点 B作 x轴于点 E，在 Rt△BEC中，由勾股定理得 BC＝ ＝ ， ∴|MB﹣MC|取最大值为 ； （3）存在点 P使得以 A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 设点 P坐标为（x， x2+ x+3）（x＞0） 在 Rt△BEC中，∵BE＝CE＝1，∴∠BCE＝45°， 在 Rt△ACO中，∵AO＝CO＝3，∴∠ACO＝45°， ∴∠ACB＝180°﹣450﹣450＝900，AC＝3 ， 过点 P作 PQ⊥PA于点 P，则∠APQ＝90°， 过点 P作 PQ⊥y轴于点 G，∵∠PQA＝∠APQ＝90° ∠PAG＝∠QAP，∴△PGA∽△QPA ∵∠PGA＝∠ACB＝90° ∴①当 时， △PAG∽△BAC， ∴ ＝ ， 解得 x1＝1，x2＝0，（舍去） ∴点 P的纵坐标为 ×12+ ×1+3＝6， ∴点 P为（1，6）； ②当 时， △PAG∽△ABC， ∴ ＝3， 解得 x1＝﹣ （舍去），x2＝0（舍去）， ∴此时无符合条件的点 P 综上所述，存在点 P（1，6）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、勾股定理运 用等知识点，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/29 12:01:04；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号： 7910509