湖南省娄底市中考数学试题（含答案解析）
娄底市2018年初中毕业学业考试数学试题卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里)
1. 2018的相反数是（ ）
A. B. 2018 C. -2018 D.
【答案】C
【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得.
【详解】2018与-2018只有符号不同，
由相反数的定义可得2018的相反数是-2018，
故选C.
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.
2. 一组数据-3，2，2，0，2，1的众数是（ ）
A. -3 B. 2 C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】【分析】一组数据中次数出现最多的数据是众数，根据众数的定义进行求解即可得.
【详解】数据数据-3，2，2，0，2，1中，2出现了3次，出现次数最多，其余的都出现了1次，
所以这组数据的众数是2，
故选B.
【点睛】本题考查了众数的定义，熟练掌握众数的定义是解题的关键.
3. 随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】210万=2100000，
2100000=2.1×106，
故选B．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的法则逐项进行计算即可得.
【详解】A. ，故A选项错误，不符合题意；
B. ，故B选项错误，不符合题意；
C. ，故C选项错误，不符合题意；
D. ，正确，符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的运算法则是解题的关键.
5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两不相等实数根 B. 有两相等实数根
C. 无实数根 D. 不能确定
【答案】A
【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可.
【详解】，
△=[-(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+1)2+8，
∵(k+1)2≥0，
∴(k+1)2+8>0，
即△>0，
∴方程有两个不相等实数根，
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当
△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
6. 不等式组的最小整数解是（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，即可求出最小的整数解.
【详解】，
解不等式①得，x≤2，
解不等式②得，x>-1，
所以不等式组的解集是：-1
y），根据大正方形的面积为169，小正方形的面积为49可得关于x、y的方程组，解方程组求得x、y的值，然后利用正弦、余弦的定义进行求解即可得.
【详解】设直角三角形的直角边长分别为x、y（x>y），由题意得，
解得：或（舍去），
∴直角三角形的斜边长为13，
∴sinα-cosα=，
故选D.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出直角三角形的三边长是解题的关键.
12. 已知: 表示不超过的最大整数，例: ，令关于的函数 (是正整数)，例：=1，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D. 或1
【答案】C
【解析】【分析】根据新定义的运算逐项进行计算即可做出判断.
【详解】A. ==0-0=0，故A选项正确，不符合题意；
B. ===，=，
所以，故B选项正确，不符合题意；
C. =，= ，
当k=3时，==0，= =1，
此时，故C选项错误，符合题意；
D.设n为正整数，
当k=4n时，==n-n=0，
当k=4n+1时，==n-n=0，
当k=4n+2时，==n-n=0，
当k=4n+3时，==n+1-n=1，
所以或1，故D选项正确，不符合题意，
故选C.
【点睛】本题考查了新定义运算，明确运算的法则，运用分类讨论思想是解题的关键.
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)
13. 如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点是反比例函数图象上的一点， 轴于点，则的面积为___________.
【答案】1
【解析】【分析】设P点坐标为（m，n），根据三角形的面积公式以及点P在反比例函数图象上即可得.
【详解】设P点坐标为（m，n），则有mn=2，OA=|m|，PA=|n|，
S△POA=OA•PA=|m|•|n|=1，
故答案为：1.
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，有到的知识为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．
14. 如图， 是的内心，连接，的面积分别为，则___________.(填“<”或“=”或“>”)
【答案】＜
【解析】【分析】根据点P是△ABC的内心，可知点P到△ABC三边的距离相等，设这个距离为h，根据三角形的面积公式表示出S1、S2+S3，然后再根据三角形三边关系进行判断即可.
【详解】∵点P是△ABC的内心，
∴点P到△ABC三边的距离相等，
设这个距离为h，
∴S1=AB•h，S2+S3=BC•h+AC•h，
∵AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3，
故答案为：＜.
【点睛】本题考查了三角形内心的性质，三角形三边关系，熟知三角形的内心到三角形三边距离相等是解本题的关键.
15. 从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试.学生已选物理，还想从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科.若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为___________.
【答案】
【解析】【分析】列表格得出所有等可能的情况，然后再找出符合题意的情况，根据概率公式进行计算即可得.
【详解】列表格：
政治
历史
地理
化学
化学，政治
化学，历史
化学，地理
生物
生物，政治
生物，历史
生物，地理
从表格中可以看出一共有6种等可能的情况，选择地理和生物的有1种情况，
所以选择地理和生物的概率是，
故答案为：.
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16. 如图，中，，于点，于点，于点，，则__________.
【答案】6
【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得∠C ＝∠ABC， BD=DC=BC，再根据∠BED=∠CFB=90°，可证△BED∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得.
【详解】∵AB=AC，
∴∠C ＝∠ABC ，
又∵AD ⊥BC于 D 点，
∴ BD=DC=BC，
又 DE ⊥AB，BF ⊥AC，
∴∠BED=∠CFB=90°，
∴△BED∽△CFB，
∴DE：BF=BD：BC=1：2，
∴BF=2DE=2×3=6cm ，
故答案为：6.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，得到△BED∽△CFB是解本题的关键.
17. 如图，已知半圆与四边形的边都相切，切点分别为，半径，则___________.
【答案】1
【解析】【分析】连接 OE，由切线长定理可得∠AOE=∠DOE，∠BOE=∠EOC，再根据∠DOE+∠EOC=180°，可得∠AOB=90°，继而可证△AEO∽△OEB，根据相似三角形对应边成比例即可得.
【详解】连接 OE，
∵AD、AB与半圆 O 相切，
∴ OE⊥AB，OA平分∠DOE，
∴∠AOE=∠DOE，
同理∠BOE=∠EOC，
∵∠DOE+∠EOC=180°，
∴∠AOE+∠BOE=90°，
即∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠AOE=90°，
∴∠ABO=∠AOE，
∵∠OEA=∠BEO=90°，
∴△AEO∽△OEB，
∴AE：OE=OE：BE，
∴AE•BE=OE²=1，
故答案为：1.
【点睛】本题考查了切线长定理、相似三角形的判定与性质等，证得△AEO∽△OEB是解题的关键.
18. 设是一列正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)已知，.则___________.
【答案】4035
【解析】【分析】整理得，从而可得an+1-an=2或an=-an+1
，再根据题意进行取舍后即可求得an的表达式，继而可得a2018.
【详解】∵，
∴，
∴，
∴an+1=an+1-1或an+1=-an+1+1，
∴an+1-an=2或an=-an+1，
又∵是一列正整数，
∴an=-an+1不符合题意，舍去，
∴an+1-an=2，
又∵a1=1，
∴a2=3，a3=5，……，an=2n-1，
∴a2018=2×2018-1=4035，
故答案为：4035.
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出an+1-an=2.
三、解答题
19. 计算: .
【答案】10
【解析】【分析】先分别进行0次幂的计算、负指数幂的计算、二次根式以及绝对值的化简、特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】原式=1+9-+4
=10-+
=10.
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到0指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
20. 先化简，再求值: ，其中.
【答案】原式==3+2
【详解】原式=
=
=，
当x=时，原式==3+2.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键.
21. 为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为四个不同的等级，绘制成不完整统计图如下图，请根据图中的信息，解答下列问题；
(1)求样本容量；
(2)补全条形图，并填空: ；
(3)若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为级的人数为多少?
【答案】(1)60；(2)10；(3)2000
【解析】【分析】（1）根据B等级的人数为18，占比为30%即可求得样本容量；
（2）用样本容量减去A等级、B等级、D等级的人数求得C等级的人数，补全条形图，用D等级的人数除以样本容量再乘以100%即可求得n；
（3）用5000乘以A等级所占的比即可求得.
【详解】（1）样本容量为：18÷30%=60；
（2）C等级的人数为：60-24-18-6=12，补全条形图如图所示：
6÷60×100%=10% ，
所以n=10，
故答案为：10；
（3）估计本次测试成绩为级的人数为：5000×=2000（人）.
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体，能从统计图中得到必要信息是解题的关键.
22. 如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼高达，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼高，为了测量高楼上发射塔的高度，在楼底端点测得的仰角为α，，在顶端E测得A的仰角为，求发射塔的高度.
【答案】AB的高度为28米
【解析】【分析】设AB的高度为x米，过点E作EF⊥AC于F，则FC＝DE＝340米，继而可得BF＝112米，从而可得AF＝（112+x）米，在Rt△AEF中，根据等腰直角三角形的性质可得EF＝AF＝CD＝（112+x）米，Rt△ACD中，由sinａ= ，可得tanａ= ，再由tanａ＝得到关于x的方程，解方程即可求得AB的长.
【详解】设AB的高度为x米，
过点E作EF⊥AC于F，则FC＝DE＝340米，
∴BF＝452－340＝112米，
∴AF＝（112+x）米，
在Rt△AEF中，∠FAB＝∠AEF＝45°，
∴EF＝AF＝CD＝（112+x）米，
Rt△ACD中，sinａ= =，
设AC=24k，AD=25k(k>0)，由勾股定理则有CD==7k，
∴tanａ== ，
Rt△ACD中，AC=（452+x）米，tanａ＝=，
解得x=28，
答：发射塔AB的高度是28米..
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边角关系求解．
23. “绿水青山，就是金山银山”，某旅游景区为了保护环境，需购买两种型号的垃圾处理设备共10台，已知每台型设备日处理能力为12吨；每台型设备日处理能力为15吨，购回的设备日处理能力不低于140吨.
(1)请你为该景区设计购买两种设备的方案；
(2)已知每台型设备价格为3万元，每台型设备价格为4.4万元.厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问:采用(1)设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么?
【答案】（1）共有4种方案，具体方案见解析；（2）购买A型设备2台、B型设备8台时费用最少.
（2）针对（1）中的方案逐一进行计算即可做出判断.
【详解】（1）设该景区购买设计 A型设备为x台、则 B型设备购买（10-x）台，其中 0 ≤x ≤10，
由题意得：12x+15（10－x）≥140，
解得x≤ ，
∵0 ≤x ≤10，且x是整数，
∴x＝3，2，1，0，
∴B型相应的台数分别为7，8，9，10，
∴共有4种方案：
方案一：A型设备 3 台、B型设备 7 台；
方案二：A型设备 2 台、B型设备 8 台；
方案三：A型设备 1 台、B型设备 9 台；
方案四：A型设备 0 台、B型设备 10 台.
（2）方案二费用最少，理由如下：
方案一购买费用: 3 ×3+4.4 ×7=39.8 （万元）＜40 （万元）∴费用为 39.8（万元），
方案二购买费用: 2 ×3+4.4 ×8=41.2 （万元）＞40 （万元）
∴ 费用为 41.2 ×90%=37.08（万元）
方案三购买费用：3 ×1+4.4 ×9=42.6 （万元）＞40 （万元）
∴ 费用为 42.6 ×90%=38.34（万元）
方案四购买费用：4.4 ×10=44 （万元）＞40 （万元） ∴ 费用为 44 ×90%=39.6（万元）
∴方案二费用最少，即A型设备2台、B型设备8台时费用最少.
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、最优购买方案，弄清题意，找到不等关系列出不等式是解题的关键.
24. 如图，已知四边形中，对角线相交于点，且，，过点作，分别交于点.
(1)求证: ；
(2)判断四边形的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BED是菱形，理由见解析.
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，由已知可得四边形ABCD是平行四边形，继而可根据ASA证明ΔAOE≌ΔCOF；
（2）由ΔAOE≌ΔCOF可得OE=OF，再根据OB=OD可得四边形BEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证得四边形BEDF是菱形.
【详解】（1）∵OA=OC、OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵∠AOE=∠COF，OA=OC，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴平行四边形DEBF是菱形.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，熟记平行四边形的判定与性质定理、菱形的判定定理是解本题的关键.
25. 如图， 是以为直径的上的点，，弦交于点.
(1)当是的切线时，求证: ；
(2)求证: ；
(3)已知，是半径的中点，求线段的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE＝
【解析】【分析】（1）由AB是直径，可得∠DAB+∠ABD＝90°，再根据 PB是⊙O的切线，可得∠ABD+∠PBD＝90°，根据同角的余角相等即可证得∠PBD＝∠DAB；
（2）证明△BCE∽△DCB，根据相似三角形对应边成比例可得BC2＝CE•CD，再根据CD=CE+DE经过推导即可得BC2- CE2= CE•DE；
(3) 连接OC，由，AB是直径，可得∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理则有CE²=OE²+CO²， BC²=OB²+CO² ，再根据OA=4 ，E 是半径 OA 的中点，继而可得BC=4，CE=2，再根据（2）中 BC²-CE²=CE·DE，即可求得DE的长.
【详解】（1）∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，即∠DAB+∠ABD＝90°，
又 ∵ PB是⊙O的切线，
∴PB⊥AB，
∴∠ABP＝90°，即∠ABD+∠PBD＝90°，
∴∠PBD＝∠DAB；
（2）∵，
∴∠BDC＝∠EBC，
又∵∠BCE＝BCD，
∴△BCE∽△DCB，
∴BC：CE=CD：BC，
∴BC2＝CE•CD，
∴BC2＝CE(CE+DE)，
∴BC2＝CE2+CE•DE，
∴BC2- CE2= CE•DE；
(3)连接OC，
∵，AB是直径，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∴CE²=OE²+CO²， BC²=OB²+CO² ，
∵OA=4 ，E 是半径 OA 的中点，
∴BC=4，CE=2，
由（2）中 BC²-CE²=CE·DE，所以 DE=(BC²-CE²)÷CE=12÷2= ，
故 DE=.
【点睛】本题是综合题，考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理等，解题的关键是正确添加辅助线、熟练应用切线的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.
26. 如图，抛物线与两坐标轴相交于点，是抛物线的顶点， 是线段的中点.
(1)求抛物线的解析式，并写出点的坐标;
(2) 是抛物线上的动点；
①当时，求的面积的最大值；
②当时，求点的坐标.
【答案】（1）y=-x2+2x+3，D(1,4)； (2) ①当x=2时，S最大值=1；②F（－，－2－２）或（2－，－2+2）
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求得抛物线的解析式，然后再配方成顶点式即可得点D的坐标；
（2）①由x＞1，y＞0，可以确定点F是直线BD上方抛物线上的动点，F（x, -x2+2x+3），过点F作FH⊥x轴交直线BD于M，由B、D的坐标易得yBD=-2x+6，继而得M（x，-2x+6），从而得到FM=-(x-2)2+1，再根据S△BDF=S△DFM+S△BFM，从而可得S△BDF=-(x-2)2+1，根据二次函数的性质即可得；
②分点F在x轴上方抛物线上，点F在x轴下方、y轴左侧抛物线上两种情况进行讨论即可得.
【详解】（1）抛物线与两坐标轴相交于点
由题意得：，解得：，
所以抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3，
配方得 y=-(x-1)2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）；
（2） ①∵x＞1，y＞0，
∴点F是直线BD上方抛物线上的动点，
则F（x, -x2+2x+3），
过点F作FH⊥x轴交直线BD于M，
∵B（3，0）， D（1，4），
∴yBD=-2x+6，
则M（x，-2x+6），
∴FM=-x2+2x+3-(-2x+6)= -x2+4x-3=-(x-2)2+1，
∵S△BDF=S△DFM+S△BFM，
∴S△BDF=FM•（x-1|）+FM•（3-x）=FM•(x-1+3-x)=FM =-(x-2)2+1，
∴当x=2时，S最大值＝1；
②当 FE∥BD，且点F在x轴上方抛物线上时，
设FE的解析式为y=-2x+b，
∵直线FE过点E（1，0），
∴b=2，
yFE=-2x+2，
联立y=-2x+2与y=-x2+2x+3，
解得F（2－，－2+2）；
当F在x轴下方、y轴左侧抛物线上时，设直线EF与直线BD交于点N，
∵∠AEF=∠NEB，
又∵∠AEF＝∠DBE，
∴∠NEB＝∠DBE，
∴NE=NB，
∴点N的横坐标为2，
又∵点N在直线yBD=-2x+6上，
∴N（2，2），
∴yＥN＝2x-2，
联立y=2x-2与y=-x2+2x+3，
解得F（－，－2－2），
综上所述F（－，－2－2）或（2－，－2+2）.
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、解方程组、分类讨论等，解题的关键是正确添加辅助线.
