2019年四川省广安市中考数学试卷含答案

2019年四川省广安市中考数学试卷含答案

‎2019年四川省广安市中考数学试卷 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）﹣2019的绝对值是（　　）‎ A．﹣2019 B．2019 C．‎-‎‎1‎‎2019‎ D．‎‎1‎‎2019‎ ‎2．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2+a3＝a5 B．3a2•4a3＝12a6 ‎ C．5‎3‎‎-‎3‎=‎5 D．‎‎2‎‎×‎3‎=‎‎6‎ ‎3．（3分）第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于2019年4月25日至27日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款250000000000元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数字250000000000用科学记数法表示，正确的是（　　）‎ A．0.25×1011 B．2.5×1011 C．2.5×1010 D．25×1010‎ ‎4．（3分）如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．（3分）下列说法正确的是（　　）‎ A．“367人中必有2人的生日是同一天”是必然事件 ‎ B．了解一批灯泡的使用寿命采用全面调查 ‎ C．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是3 ‎ D．一组数据10，11，12，9，8的平均数是10，方差是1.5‎ ‎6．（3分）一次函数y＝2x﹣3的图象经过的象限是（　　）‎ A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四 ‎7．（3分）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（　　）‎ A．m+3＞n+3 B．﹣3m＜﹣3n C．m‎3‎‎＞‎n‎3‎ D．m2＞n2‎ ‎8．（3分）下列命题是假命题的是（　　）‎ A．函数y＝3x+5的图象可以看作由函数y＝3x﹣1的图象向上平移6个单位长度而得到 ‎ B．抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴有两个交点 ‎ C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ‎ D．垂直于弦的直径平分这条弦 ‎9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ A．‎4‎‎3‎π‎-‎‎3‎ B．‎2‎‎3‎π‎-‎‎3‎‎2‎ C．‎1‎‎3‎π‎-‎‎3‎‎2‎ D．‎1‎‎3‎π‎-‎‎3‎ ‎10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：‎ ‎①abc＜0②b＜c③3a+c＝0④当y＞0时，﹣1＜x＜3‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共6个小题，每小题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）点M（x﹣1，﹣3）在第四象限，则x的取值范围是　 　．‎ ‎12．（3分）因式分解：3a4﹣3b4＝　 　．‎ ‎13．（3分）等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为　 　cm．‎ ‎14．（3分）如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则∠AFE＝　 　度．‎ ‎15．（3分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y‎=-‎‎1‎‎12‎x2‎+‎‎2‎‎3‎x‎+‎‎5‎‎3‎，由此可知该生此次实心球训练的成绩为　 　米．‎ ‎16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为　 　．‎ 三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）‎ ‎17．（5分）计算：（﹣1）4﹣|1‎-‎‎3‎|+6tan30°﹣（3‎-‎‎27‎）0．‎ ‎18．（6分）解分式方程：xx-2‎‎-‎1‎=‎‎4‎x‎2‎‎-4x+4‎．‎ ‎19．（6分）如图，点E是▱ABCD的CD边的中点，AE、BC的延长线交于点F，CF＝3，CE＝2，求▱ABCD的周长．‎ ‎20．（6分）如图，已知A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数y＝kx+b和反比例函数y‎=‎mx的图象的两个交点．‎ ‎（1）求反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）求△AOB的面积．‎ 四、实践应用题（本大题共4个小题，第21题6分，第22、23、24题各8分，共30分）‎ ‎21．（6分）为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题：‎ ‎（1）本次调查共抽取了　 　名学生，两幅统计图中的m＝　 　，n＝　 　．‎ ‎（2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？‎ ‎（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．‎ ‎22．（8分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．‎ ‎（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？‎ ‎（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．‎ ‎23．（8分）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．‎ ‎（1）求古树BH的高；‎ ‎（2）求教学楼CG的高．（参考数据：‎2‎‎=‎1.4，‎3‎‎=‎1.7）‎ ‎24．（8分）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）‎ 请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）‎ 五、推理论证题（9分）‎ ‎25．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）求⊙O的半径r及∠3的正切值．‎ 六、拓展探索题（10分）‎ ‎26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．‎ ‎（1）求抛物线和直线l的解析式；‎ ‎（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；‎ ‎（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎2019年四川省广安市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）﹣2019的绝对值是（　　）‎ A．﹣2019 B．2019 C．‎-‎‎1‎‎2019‎ D．‎‎1‎‎2019‎ ‎【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019．‎ 故选：B．‎ ‎2．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2+a3＝a5 B．3a2•4a3＝12a6 ‎ C．5‎3‎‎-‎3‎=‎5 D．‎‎2‎‎×‎3‎=‎‎6‎ ‎【解答】解：A、a2+a3不是同类项不能合并；故A错误；‎ B、3a2•4a3＝12a5故B错误；‎ C、5‎3‎‎-‎3‎=‎4‎3‎，故C错误；‎ D、‎2‎‎×‎3‎=‎‎6‎，故D正确；‎ 故选：D．‎ ‎3．（3分）第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于2019年4月25日至27日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款250000000000元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数字250000000000用科学记数法表示，正确的是（　　）‎ A．0.25×1011 B．2.5×1011 C．2.5×1010 D．25×1010‎ ‎【解答】解：数字2500 0000 0000用科学记数法表示，正确的是2.5×1011．‎ 故选：B．‎ ‎4．（3分）如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：该组合体的俯视图为 故选：A．‎ ‎5．（3分）下列说法正确的是（　　）‎ A．“367人中必有2人的生日是同一天”是必然事件 ‎ B．了解一批灯泡的使用寿命采用全面调查 ‎ C．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是3 ‎ D．一组数据10，11，12，9，8的平均数是10，方差是1.5‎ ‎【解答】解：A．“367人中必有2人的生日是同一天”是必然事件，故本选项正确；‎ B．了解一批灯泡的使用寿命采用抽样调查，故本选项错误；‎ C．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是5，故本选项错误；‎ D．一组数据10，11，12，9，8的平均数是10，方差是2，故本选项错误；‎ 故选：A．‎ ‎6．（3分）一次函数y＝2x﹣3的图象经过的象限是（　　）‎ A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四 ‎【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3，‎ ‎∴该函数经过第一、三、四象限，‎ 故选：C．‎ ‎7．（3分）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（　　）‎ A．m+3＞n+3 B．﹣3m＜﹣3n C．m‎3‎‎＞‎n‎3‎ D．m2＞n2‎ ‎【解答】解：A、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A错误；‎ B、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故B错误；‎ C、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C错误；‎ D、如m＝2，n＝﹣3，m＞n，m2＜n2；故D正确；‎ 故选：D．‎ ‎8．（3分）下列命题是假命题的是（　　）‎ A．函数y＝3x+5的图象可以看作由函数y＝3x﹣1的图象向上平移6个单位长度而得到 ‎ B．抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴有两个交点 ‎ C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ‎ D．垂直于弦的直径平分这条弦 ‎【解答】解：A、函数y＝3x+5的图象可以看作由函数y＝3x﹣1的图象向上平移6个单位长度而得到，正确，是真命题；‎ B、抛物线y＝x2﹣3x﹣4中△＝b2﹣4ac＝25＞0，与x轴有两个交点，正确，是真命题；‎ C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，是假命题；‎ D、垂直与弦的直径平分这条弦，正确，是真命题，‎ 故选：C．‎ ‎9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ A．‎4‎‎3‎π‎-‎‎3‎ B．‎2‎‎3‎π‎-‎‎3‎‎2‎ C．‎1‎‎3‎π‎-‎‎3‎‎2‎ D．‎1‎‎3‎π‎-‎‎3‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，‎ ‎∴∠B＝60°，‎ ‎∴∠COD＝120°，‎ ‎∵BC＝4，BC为半圆O的直径，‎ ‎∴∠CDB＝90°，‎ ‎∴OC＝OD＝2，‎ ‎∴CD‎=‎‎3‎‎2‎BC＝2‎3‎，‎ 图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD‎=‎120⋅π×‎‎2‎‎2‎‎360‎-‎1‎‎2‎×‎2‎3‎‎×‎1‎=‎4π‎3‎-‎‎3‎，‎ 故选：A．‎ ‎10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：‎ ‎①abc＜0②b＜c③3a+c＝0④当y＞0时，﹣1＜x＜3‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解答】解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即ab＜0．‎ 抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．‎ ‎∴abc＜0．‎ 故①正确；‎ ‎②∵抛物线开口向下，‎ ‎∴a＜0．‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x‎=-b‎2a=‎1，‎ ‎∴b＝﹣2a．‎ ‎∵x＝﹣1时，y＝0，‎ ‎∴a﹣b+c＝0，‎ 而b＝﹣2a，‎ ‎∴c＝﹣3a，‎ ‎∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，‎ 即b＜c，‎ 故②正确；‎ ‎③∵x＝﹣1时，y＝0，‎ ‎∴a﹣b+c＝0，‎ 而b＝﹣2a，‎ ‎∴c＝﹣3a，‎ ‎∴3a+c＝0．‎ 故③正确；‎ ‎④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x轴的另一交点坐标是（3，0）．‎ ‎∴当y＞0时，﹣1＜x＜3‎ 故④正确．‎ 综上所述，正确的结论有4个．‎ 故选：D．‎ 二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共6个小题，每小题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）点M（x﹣1，﹣3）在第四象限，则x的取值范围是　x＞1　．‎ ‎【解答】解：∵点M（x﹣1，﹣3）在第四象限，‎ ‎∴x﹣1＞0‎ 解得x＞1，‎ 即x的取值范围是x＞1．‎ 故答案为x＞1．‎ ‎12．（3分）因式分解：3a4﹣3b4＝　3（a2+b2）（a+b）（a﹣b）　．‎ ‎【解答】解：3a4﹣3b4＝3（a2+b2）（a2﹣b2）‎ ‎＝3（a2+b2）（a+b）（a﹣b）．‎ 故答案为：3（a2+b2）（a+b）（a﹣b）．‎ ‎13．（3分）等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为　32　cm．‎ ‎【解答】解：由题意知，应分两种情况：‎ ‎（1）当腰长为6cm时，三角形三边长为6，6，13，6+6＜13，不能构成三角形；‎ ‎（2）当腰长为13cm时，三角形三边长为6，13，13，周长＝2×13+6＝32cm．‎ 故答案为32．‎ ‎14．（3分）如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则∠AFE＝　72　度．‎ ‎【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，‎ ‎∴∠EAB＝∠ABC‎=‎(5-2)×180°‎‎5‎=108°‎，‎ ‎∵BA＝BC，‎ ‎∴∠BAC＝∠BCA＝36°，‎ 同理∠ABE＝36°，‎ ‎∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝36°+36°＝72°．‎ 故答案为：72‎ ‎15．（3分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y‎=-‎‎1‎‎12‎x2‎+‎‎2‎‎3‎x‎+‎‎5‎‎3‎，由此可知该生此次实心球训练的成绩为　10　米．‎ ‎【解答】解：当y＝0时，y‎=-‎‎1‎‎12‎x2‎+‎‎2‎‎3‎x‎+‎5‎‎3‎=‎0，‎ 解得，x＝2（舍去），x＝10．‎ 故答案为：10．‎ ‎16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为　（﹣22017，22017‎3‎）　．‎ ‎【解答】解：由题意得，‎ A1的坐标为（1，0），‎ A2的坐标为（1，‎3‎），‎ A3的坐标为（﹣2，2‎3‎），‎ A4的坐标为（﹣8，0），‎ A5的坐标为（﹣8，﹣8‎3‎），‎ A6的坐标为（16，﹣16‎3‎），‎ A7的坐标为（64，0），‎ ‎…‎ 由上可知，A点的方位是每6个循环，‎ 与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，‎ 与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2‎3‎，‎ 与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2‎3‎，‎ 与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，‎ 与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2‎3‎，‎ 与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2‎3‎，‎ ‎∵2019÷6＝336…3，‎ ‎∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为22017‎3‎，‎ 故答案为：（﹣22017，22017‎3‎）．‎ 三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）‎ ‎17．（5分）计算：（﹣1）4﹣|1‎-‎‎3‎|+6tan30°﹣（3‎-‎‎27‎）0．‎ ‎【解答】解：原式＝1﹣（‎3‎‎-‎1）+6‎×‎3‎‎3‎-‎1‎ ‎＝1‎-‎3‎+‎1+2‎3‎‎-‎1‎ ‎＝1‎+‎‎3‎．‎ ‎18．（6分）解分式方程：xx-2‎‎-‎1‎=‎‎4‎x‎2‎‎-4x+4‎．‎ ‎【解答】解：xx-2‎‎-‎1‎=‎‎4‎x‎2‎‎-4x+4‎，‎ 方程两边乘（x﹣2）2得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，‎ 解得：x＝4，‎ 检验：当x＝4时，（x﹣2）2≠0．‎ 所以原方程的解为x＝4．‎ ‎19．（6分）如图，点E是▱ABCD的CD边的中点，AE、BC的延长线交于点F，CF＝3，CE＝2，求▱ABCD的周长．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF．‎ 又ED＝EC，‎ ‎∴△ADE≌△FCE（AAS）．‎ ‎∴AD＝CF＝3，DE＝CE＝2．‎ ‎∴DC＝4．‎ ‎∴平行四边形ABCD的周长为2（AD+DC）＝14．‎ ‎20．（6分）如图，已知A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数y＝kx+b和反比例函数y‎=‎mx的图象的两个交点．‎ ‎（1）求反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）求△AOB的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y‎=‎mx的图象的两个交点，‎ ‎∴4‎=‎m‎-1‎，得m＝﹣4，‎ ‎∴y‎=-‎‎4‎x，‎ ‎∴﹣2‎=-‎‎4‎n，得n＝2，‎ ‎∴点A（2，﹣2），‎ ‎∴‎2k+b=-2‎‎-k+b=4‎，解得k=-2‎b=2‎，‎ ‎∴一函数解析式为y＝﹣2x+2，‎ 即反比例函数解析式为y‎=-‎‎4‎x，一函数解析式为y＝﹣2x+2；‎ ‎（2）设直线与y轴的交点为C，当x＝0时，y＝﹣2×0+2＝2，‎ ‎∴点C的坐标是（0，2），‎ ‎∵点A（2，﹣2），点B（﹣1，4），‎ ‎∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC‎=‎1‎‎2‎×‎2×2‎+‎1‎‎2‎×‎2×1＝3．‎ 四、实践应用题（本大题共4个小题，第21题6分，第22、23、24题各8分，共30分）‎ ‎21．（6分）为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题：‎ ‎（1）本次调查共抽取了　200　名学生，两幅统计图中的m＝　84　，n＝　15　．‎ ‎（2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？‎ ‎（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．‎ ‎【解答】解：（1）68÷34%＝200，‎ 所以本次调查共抽取了200名学生，‎ m＝200×42%＝84，‎ n%‎=‎30‎‎200‎×‎100%＝15%，即n＝15；‎ ‎（2）3600×34%＝1224，‎ 所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人；‎ ‎（3）画树状图为：‎ 共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4，‎ 所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率‎=‎4‎‎6‎=‎‎2‎‎3‎．‎ ‎22．（8分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．‎ ‎（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？‎ ‎（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，‎ ‎3x+5y=50‎‎2x+3y=31‎‎，解得，x=5‎y=7‎，‎ 答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；‎ ‎（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（200﹣a）只，费用为w元，‎ w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400，‎ ‎∵a≤3（200﹣a），‎ ‎∴a≤150，‎ ‎∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50，‎ 答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．‎ ‎23．（8分）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．‎ ‎（1）求古树BH的高；‎ ‎（2）求教学楼CG的高．（参考数据：‎2‎‎=‎1.4，‎3‎‎=‎1.7）‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△EFH中，∠HEF＝90°，∠HFE＝45°，‎ ‎∴HE＝EF＝10，‎ ‎∴BH＝BE+HE＝1.5+10＝11.5，‎ ‎∴古树的高为11.5米；‎ ‎（2）在Rt△EDG中，∠GED＝60°，‎ ‎∴DG＝DEtan60°‎=‎‎3‎DE，‎ 设DE＝x米，则DG‎=‎‎3‎x米，‎ 在Rt△GFD中，∠GDF＝90°，∠GFD＝45°，‎ ‎∴GD＝DF＝EF+DE，‎ ‎∴‎3‎x＝10+x，‎ 解得：x＝5‎3‎‎+‎5，‎ ‎∴CG＝DG+DC‎=‎‎3‎x+1.5‎=‎‎3‎（5‎3‎‎+‎5）+1.5＝16.5+5‎3‎‎≈‎25，‎ 答：教学楼CG的高约为25米．‎ ‎24．（8分）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）‎ 请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）‎ ‎【解答】解：如图所示 五、推理论证题（9分）‎ ‎25．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）求⊙O的半径r及∠3的正切值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵ED⊥AD，‎ ‎∴∠EDA＝90°，‎ ‎∵AE是⊙O的直径，‎ ‎∴AE的中点是圆心O，‎ 连接OD，则OA＝OD，‎ ‎∴∠1＝∠ODA，‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠2＝∠1＝∠ODA，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∴∠BDO＝∠ACB＝90°，‎ ‎∴BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB‎=BC‎2‎+AB‎2‎=‎8‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎=‎10，‎ ‎∵OD∥AC，‎ ‎∴△BDO∽△BCA，‎ ‎∴ODAC‎=‎OBAB，即r‎6‎‎=‎‎10-r‎10‎，‎ ‎∴r‎=‎‎15‎‎4‎，‎ 在Rt△BDO中，BD‎=OB‎2‎-OD‎2‎=‎(10-r‎)‎‎2‎-‎r‎2‎=‎5，‎ ‎∴CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3，‎ 在Rt△ACD中，tan∠2‎=CDAC=‎3‎‎6‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∵∠3＝∠2，‎ ‎∴tan∠3＝tan∠2‎=‎‎1‎‎2‎．‎ 六、拓展探索题（10分）‎ ‎26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．‎ ‎（1）求抛物线和直线l的解析式；‎ ‎（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；‎ ‎（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：‎-k+n=0‎‎5k+n=-6‎，解得：k=-1‎n=-1‎，‎ 故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，‎ 将点A、D的坐标代入抛物线表达式，‎ 同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；‎ ‎（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，‎ 即：则PE＝PE，‎ 设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），‎ PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，‎ ‎∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，‎ 当x＝2时，其最大值为18；‎ ‎（3）NC＝5，‎ ‎①当NC是平行四边形的一条边时，‎ 设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点M（x，﹣x﹣1），‎ 由题意得：|yM﹣yP|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5，‎ 解得：x＝2‎±‎‎14‎或0或4（舍去0），‎ 则点P坐标为（2‎+‎‎14‎，﹣3‎-‎‎14‎）或（2‎-‎‎14‎，﹣3‎+‎‎14‎）或（4，﹣5）；‎ ‎②当NC是平行四边形的对角线时，‎ 则NC的中点坐标为（‎-‎‎1‎‎2‎，2），‎ 设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4）、则点M（n，﹣n﹣1），‎ N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，‎ 即：‎-‎1‎‎2‎=‎m+n‎2‎，2‎=‎‎-m‎2‎+3m+4-n-1‎‎2‎，‎ 解得：m＝0或﹣4（舍去0），‎ 故点P（﹣4，3）；‎ 故点P的坐标为：（2‎+‎‎14‎，﹣3‎-‎‎14‎）或（2‎-‎‎14‎，﹣3‎+‎‎14‎）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/6/30 9:57:20；用户：中考培优辅导；邮箱：p5193@xyh.com；学号：27411521‎