2020年甘肃省武威市中考数学试卷

2020年甘肃省武威市中考数学试卷

武威市 2020 年初中毕业、高中招生考试 数学试卷 一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1.下列实数是无理数的是（ ） A. -2 B. 1 6 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】 根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可． 【详解】解：-2 是负整数， 1 6 是分数， 9 =3 是整数，都是有理数. 11 开方开不尽，是无理数. 故选:D. 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以 及像 0.1010010001…，等有这样规律的数． 2.若 70  ，则 的补角的度数是（ ） A. 130 B. 110 C. 30° D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】 直接根据补角的定义即可得． 【详解】 70    的补角的度数是180 180 70 110α      故选：B． 【点睛】本题考查了补角的定义，熟记定义是解题关键． 3.若一个正方形的面积是 12，则它的边长是（ ） A. 2 3 B. 3 C. 3 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：由题意知：正方形的面积等于边长×边长，设边长为 a， 故 a²=12， ∴a=± 2 3 ，又边长大于 0 ∴边长 a= 2 3 ． 故选：A. 【点睛】本题考查了正方形的面积公式，开平方运算等，属于基础题． 4.下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解． 【详解】解：选项 A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项 A 错误； 选项 B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项 B 错误； 选项 C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项 C 正确； 选项 D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项 D 错误． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左边往 右边看，熟练三视图的概念即可求解. 5.下列各式中计算结果为 6x 的是（ ） A. 2 4x x B. 8 2x x C. 2 4x x D. 12 2x x 【答案】C 【解析】 【分析】 根据合并同类项，同底数幂的乘法、除法，即可解答． 【详解】解：A. 2 4x x， 不是同类项，不能合并，不符合题意； B 8 2x x， 不是同类项，不能合并，不符合题意； C． 2 4x x =x6,符合题意； D. 12 2x x =x10,不符合题意； 故选:C. 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法、除法，解决本题的关键是熟记合并同类项，同底数幂 的乘法、除法的法则． 6.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下 a 与全身b 的高度比值接近 0．618，可以增加视觉美感，若图中b 为 2 米，则 a 约为（ ） A. 1．24 米 B. 1．38 米 C. 1．42 米 D. 1．62 米 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 a:b≈0.618，且 b=2 即可求解． 【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入 b=2， ∴a≈2×0.618=1.236≈1.24． 故答案为：A 【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题． 7.已知 1x  是一元二次方程 2 2( 2) 4 0m x x m    的一个根，则 m 的值为（ ） A. -1 或 2 B. -1 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】 首先把 x=1 代入 2 2( 2) 4 0m x x m    ，解方程可得 m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得 m 的 值 【详解】解：把 x=1 代入 2 2( 2) 4 0m x x m    得： 2m 2+4 m－ － =0， 2m m 2 0  － ， 解得：m1=2，m2=﹣1 ∵ 2 2( 2) 4 0m x x m    是一元二次方程， ∴ m 2 0－ ≠ ， ∴ m 2 ， ∴ 1m   ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于 0． 8.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节 AE 间的距离，若 AE 间的 距离调节到 60 cm ，菱形的边长 20AB cm ，则 DAB 的度数是（ ） A. 90 B. 100 C. 120 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】 如图（见解析），先根据菱形的性质可得 , //AB BC AD BC ，再根据全等的性质可得 1 203AC AE cm  ， 然后根据等边三角形的判定与性质可得 60B   ，最后根据平行线的性质即可得． 【详解】如图，连接 AC  四边形 ABCD 是菱形 20 , //AB BC cm AD BC    如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成， 60AE cm 1 203AC AE cm   AB BC AC   ABC 是等边三角形 60B   //AD BC 180 60180 120DAB B         故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌 握菱形的性质是解题关键． 9.如图， A 是圆O 上一点， BC 是直径， 2AC  ， 4AB  ，点 D 在圆 O 上且平分弧 BC ，则 DC 的长为 （ ） A. 2 2 B. 5 C. 2 5 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】 由 BC 是圆 O 的直径，可得∠A=∠D=90°，又 D 在圆O 上且平分弧 BC ，则∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD 是等腰直角三角形.在 Rt△ABC 中，根据勾股定理求出 BC 长，从而可求 DC 的长. 【详解】解：∵ BC 是圆 O 的直径， ∴∠A=∠D=90°. 又 D 在圆O 上且平分弧 BC ， ∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD 是等腰直角三角形. 在 Rt△ABC 中， 2AC  ， 4AB  ，根据勾股定理，得 BC= 2 2AC AB =2 5 . ∵△BCD 是等腰直角三角形， ∴CD= 2 BC = 10 . 故选:D. 【点睛】此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合 思想的应用． 10.如图①，正方形 ABCD 中， AC ， BD 相交于点O ， E 是 OD 的中点，动点 P 从点 E 出发，沿着 E O B A   的路径以每秒 1 个单位长度的速度运动到点 A ，在此过程中线段 AP 的长度 y 随着运动 时间 x 的函数关系如图②所示，则 AB 的长为（ ） A. 4 2 B. 4 C. 3 3 D. 2 2 【答案】A 【解析】 【分析】 如图（见解析），先根据函数图象可知 2 5AE  ，再设正方形的边长为 4a ，从而可得 2 2OA OD a  ， 然后根据线段中点的定义可得 1 22OE OD a  ，最后在 Rt AOE 中，利用勾股定理可求出 a 的值，由 此即可得出答案． 【详解】如图，连接 AE 由函数图象可知， 2 5AE  设正方形 ABCD 的边长为 4a ，则 4AB AD a   四边形 ABCD 是正方形 1 , , 902OA OD BD AC BD BAD       2 2 4 2BD AB AD a    ， 2 2OA OD a  E 是 OD 的中点 1 22OE OD a   则在 Rt AOE ，由勾股定理得： 2 2 10AE OA OE a   因此有 10 2 5a  解得 2a  则 4 2AB  故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、函数图象等知识点，根据函数图象得出 2 5AE  是解题 关键． 二、填空题（本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分） 11.如果盈利 100 元记作+100 元，那么亏损 50 元记作__________元． 【答案】 50 【解析】 【分析】 根据正数与负数的意义即可得． 【详解】由正数与负数的意义得：亏损 50 元记作 50 元 故答案为： 50 ． 【点睛】本题考查了正数与负数的意义，掌握理解正数与负数的意义是解题关键． 12.分解因式： 2a a  __________ 【答案】  1a a  【解析】 【分析】 提取公因式 a ，即可得解. 【详解】  2 1a a a a   故答案为：  1a a  . 【点睛】此题主要考查对分解因式的理解，熟练掌握，即可解题. 13.暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动，某款式眼镜的广告如图，请你为广告牌填上原价．原价： _________元 【答案】200 【解析】 【分析】 设原价为 x 元，根据八折优惠，现价为 160 元，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出原价． 【详解】解：设原价为 x 元. 根据题意，得 0.8x=160. 解得 x=200. ∴原价为 200 元. 故答案为：200. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确“现价=原价×折扣”，本题属于基础题，难度 不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键． 14.要使分式 2 1 x x   有意义，则 x 应满足条件____． 【答案】x≠1． 【解析】 【分析】 当分式的分母不为零时，分式有意义，即 x−1≠0． 【详解】当 x﹣1≠0 时，分式有意义，∴x≠1． 故答案为：x≠1． 【点睛】本题考查分式有意义的条件；熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键． 15.在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入 3 个黑球（每个球除 颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球 试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.85 左右，则袋中红球约有_____个． 【答案】17 【解析】 【分析】 根据口袋中有 3 个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.85 左右，口袋中有 3 个黑球， ∵假设有 x 个红球， ∴ 3 x x  ＝0.85， 解得：x＝17， 经检验 x＝17 是分式方程的解， ∴口袋中有红球约有 17 个． 故答案为：17． 【点睛】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等 是解决问题的关键． 16.如图，在平面直角坐标系中， OAB 的顶点 A ， B 的坐标分别为 (3, 3) ， (4,0) ，把 OAB 沿 x 轴向 右平移得到 CDE ，如果点 D 的坐标为 (6, 3)，则点 E 的坐标为__________． 【答案】(7,0) 【解析】 【分析】 根据 B 点横坐标与 A 点横坐标之差和 E 点横坐标与 D 点横坐标之差相等即可求解． 【详解】解：由题意知：A、B 两点之间的横坐标差为： 4 3 1  ， 由平移性质可知：E、D 两点横坐标之差与 B、A 两点横坐标之差相等， 设 E 点横坐标为 a， 则 a-6=1，∴a=7， ∴E 点坐标为(7,0) ． 故答案为：(7,0) ． 【点睛】本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解 决此题的关键. 17.若一个扇形的圆心角为 60，面积为 2 6 cm ，则这个扇形的弧长为__________ cm （结果保留 ） 【答案】 3  【解析】 【分析】 先利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式即可得． 【详解】设扇形的半径为 rcm 则 260 360 6 πr π 解得 1( )r cm 或 1( )r cm  （不符题意，舍去） 则这个扇形的弧长为 60 1 ( )180 3 π π cm  故答案为： 3  ． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式，熟记公式是解题关键． 18.已知 2( 4) 5y x x    ，当分别取 1，2，3，……，2020 时，所对应 y 值的总和是__________． 【答案】 2032 【解析】 【分析】 先化简二次根式求出 y 的表达式，再将 x 的取值依次代入，然后求和即可得． 【详解】 2( 4) 5 4 5y x x x x        当 4x  时， 4 5 9 2y x x x      当 4x  时， 4 5 1y x x     则所求的总和为 (9 2 1) (9 2 2) (9 2 3) 1 1 1            7 5 3 1 2017     2032 故答案为： 2032 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键． 三、解答题（一）：本大题共 5 个小题,共 26 分． 19.计算： 0(2 3)(2 3) tan 60 ( 2 3)      【答案】 3 ． 【解析】 【分析】 先计算平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可． 【详解】原式 2 22 ( 3) 3 1    4 3 3 1    3 ． 【点睛】本题考查了平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂等知识点，熟记各运算法则是解题关键． 20.解不等式组： 3 5 1 2(2 1) 3 4 x x x x       … ，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】-2  x<3，解集在数轴上表示见解析. 【解析】 【分析】 先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【详解】解： 3 5 1 2(2 1) 3 4 x x x x       ① ②… 解不等式①，得 x<3. 解不等式②，得 x  -2. 所以原不等式组的解集为-2  x<3. 在数轴上表示如下： 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的 口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 21.如图，在 ABC 中， D 是 BC 边上一点，且 BD BA ． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作 ABC 的角平分线交 AD 于点 E ； ②作线段 DC 的垂直平分线交 DC 于点 F ． （2）连接 EF ，直接写出线段 EF 和 AC 的数量关系及位置关系． 【答案】（1）①作图见解析，②作图见解析；（2） 1/ / , .2EF AC EF AC 【解析】 【分析】 （1）①根据角平分线的作图方法直接作图即可；②根据垂直平分线的作图方法直接作图即可； （2）根据等腰三角形的性质与垂直平分线的定义证明 EF 是 DAC△ 的中位线，根据中位线的性质可得答 案． 【详解】解：（1）如图，① BE 即为所求作的 ABC 的角平分线， ②过 F 的垂线是所求作的线段 DC 的垂直平分线． （2）如图，连接 EF ， ,BA BD BE 平分 ,ABC ,AE DE  由作图可知： ,DF CF EF 是 DAC△ 的中位线， 1/ / , ,2EF AC EF AC  【点睛】本题考查的是角平分线与垂直平分线的尺规作图，同时考查了三角形的中位线的性质，掌握以上 知识是解题的关键． 22.图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于 1969 年 10 月出土于武威市的雷台汉 墓，1983 年 10 月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学 习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了 测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度 测量示意图 如图，雕塑的最高点 B 到地面的高度为 BA ，在测点C 用仪器测得点 B 的仰角为  ，前进一段距离到达测点 E ，再用该仪 器测得点 B 的仰角为  ，且点 A ，B ，C ， D ， E ，F 均在同一竖直平面内，点 A ， C ， E 在同一条直线上． 测量数据  的度数  的度数 CE 的长度 仪器 CD（ EF ）的 高度 31o 42 5 米 1.5米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参 考数据：sin 31 0.52 ，cos31 0.86 ，tan31 0.60 ，sin 42 0.67 ，cos42 0.74 ，tan 42 0.90 ） 【答案】10.5m 【解析】 【分析】 如图，延长 DF 交 AB 于G ，设 ,BG x 利用锐角三角函数表示 FG ，再表示 DG ，再利用锐角三角函数 列方程求解 x ，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长 DF 交 AB 于G ， 由题意得： 90 ,BGD BAC     5, 1.5,DF CE DC AG EF     设 ,BG x 由 tan tan 42 ,BG FG     9 ,10 x FG   10 ,9 xFG  105 ,9 xDG   由 tan tan31 ,BG DG     3 ,105 5 9 x x   5 15,3 x  9,x  经检验： 9x  符合题意， 9 1.5 10.5BA BG AG      “马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为10.5 .m 【点睛】本题考查的是解直角三角形所的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键． 23.2019 年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一，截至 2020 年 1 月，甘肃省已 有五家国家 5A 级旅游景区，分别为 A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景 区；D：敦煌鸣沙月牙泉景区：E：张掖七彩舟霞景区，张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区 游玩． （1）张帆一家选择 E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？ （2）若张帆一家选择了 E：张掖七彩丹霞景区，他们再从 A ，B ，C ，D 四个景区中任选两个景区去旅游， 求选 A ， D 两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）． 【答案】(1) 1 5 ；(2) 1 6 【解析】 【分析】 (1) 张帆一家共有 5 种可能的选择方式，由此即可出选择景区 E 的概率为 1 5 ； (2) 画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出选到 A，D 两个景区的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：(1)由题意可知：张帆一家共有 5 种可能的选择方式， 故选择张掖七彩丹霞景区的概率为 1 5 ， 故答案为 1 5 ． (2)由题意知，画出树状图如下： 共有 12 种等可能的结果数，其中选到 A，C 两个景区的结果数为 2， ∴所以选到 A，C 两个景区的概率= 2 1=12 6 ． 故答案为： 1 6 ． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求事件的概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再 从中选出符合事件 A 的结果数 m，然后利用概率公式计 ( )=A mP n ，即可求出事件 A 的概率． 四、解答题（二）：本大题共 5 个小题,共 40 分． 24.习近平总书记于 2019 年 8 月在兰州考察时说“黄河之滨也很美”，兰州是古丝绸之路商贸重镇，也是黄河 唯一穿城而过的省会城市，被称为“黄河之都”，近年来，在市政府的积极治理下，兰州的空气质量得到极大 改善，“兰州蓝”成为兰州市民引以为豪的城市名片，下图是根据兰州市环境保护局公布的 2013-2019 年各年 的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图． 请结合统计图解答下列问题： （1）2019 年比 2013 年的全年空气质量优良天数增加了 天； （2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是 天； （3）求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数； （4）《兰州市“十三五”质量发展规划》中指出：2020 年，确保兰州市全年空气质量优良天数比率达 80%以 上，试计算 2020 年（共 366 天）兰州市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标． 【答案】(1)26;（2）254；（3）261；（4）293. 【解析】 【分析】 （1）用 2019 年全年空气质量优良天数减去 2013 年全年空气质量优良天数即可； （2）把这七年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列，根据中位数的定义解答； （3）根据平均数的求解方法列式计算即可得解． （4）用 366 乘以 80%，即可解答． 【详解】解：（1）由折线图可知 2019 年全年空气质量优良天数为 296，2013 年全年空气质量优良天数为 270， 296-270=26， 故 2019 年比 2013 年的全年空气质量优良天数增加了 26 天； 故答案为：26. (2)这七年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列如下：213，233，250，254，270，296，313， 所以中位数是 254； 故答案为：254； （3）这七年的全年空气质量优良天数的平均数= 270 313 250 254 233 213 296 7        261 天； （4）366 80%=292.8 293 (天). 所以 2020 年（共 366 天）兰州市空气质量优良天数至少需要 293 天才能达标. 【点睛】本题考查了折线统计图，要理解中位数的定义，以及算术平均数的求解方法，能够根据计算的数 据进行综合分析，熟练掌握对统计图的分析和平均数的计算是解题的关键． 25.通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，下表是一个函数的自变量 x 与函数值 y 的部分对应 值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 6 3 2 1.5 1.2 1 … （1）当 x  时， 1.5y  ； （2）根据表中数值描点 ( , )x y ，并画出函数图象； （3）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质： ． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）函数图像与 x 轴无限接近，但没有交点． 【解析】 【分析】 （1）观察列表即可得出答案； （2）依照表格中的数据描出各个点，然后利用光滑的曲线连接各点即可； （3）观察函数图像，写出一条符合函数图像的性质即可． 【详解】解：（1）通过观察表格发现：当 3x  时， 1.5y  ， 故答案为：3； （2）如下图： （3）观察第（2）问中的图像可以得出一个结论：函数图像与 x 轴无限接近，但没有交点； 【点睛】本题考查的是函数图象，主要让学生通过描点画出函数图象，从图象中读取相关的信息． 26.如图，圆 O 是 ABC 的外接圆，其切线 AE 与直径 BD 的延长线相交于点 E ，且 AE AB ． （1）求 ACB 的度数； （2）若 2DE  ，求圆O 的半径． 【答案】（1） ACB 的度数为 60；（2）圆 O 的半径为 2． 【解析】 【分析】 （1）如图（见解析），设 E x  ，先根据等腰三角形的性质得出 ABE E x    ，再根据圆的性质可得 OA OB ，从而可得 OAB ABO x    ，然后根据圆的切线的性质可得OA AE ，又根据三角形的内 角和定理可求出 x 的值，从而可得 AOB 的度数，最后根据圆周角定理即可得； （2）如图（见解析），设圆 O 的半径为 r ，先根据圆周角定理得出 90BAD   ，再根据直角三角形的性质 可得 3AB r ，从而可得 3AE r ，然后在 Rt AOE 中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）如图，连接 OA 设 E x  AE ABQ ABE E x    OA OB OAB ABO x    ， 180 180 2AOB OAB ABO x       AE 是圆 O 的切线 OA AE  ，即 90OAE   90BAE OAB OAE x        在 ABE△ 中，由三角形的内角和定理得： 180ABE E BAE       即 90 180x x x      解得 30x   180 2 180 2 30 120AOB x         则由圆周角定理得： 1 1 120 602 2ACB AOB        故 ACB 的度数为 60； （2）如图，连接 AD 设圆 O 的半径为 r ，则 , 2OA OD r BD r   2DE  2OE OD DE r      BD 是圆 O 的直径 90BAD   由（1）可知， 30ABD   则在 Rt ABD△ 中， 2 21 , 32AD BD r AB BD AD r     3AE r  在 Rt AOE 中，由勾股定理得： 2 2 2OA AE OE  ，即 2 2 2( 3 ) ( 2)r r r   解得 2r = 或 2 3r   （不符题意，舍去） 则圆 O 的半径为 2． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题 （2），通过作辅助线，利用圆周角定理是解题关键． 27.如图，点 M ， N 分别在正方形 ABCD 的边 BC ，CD 上，且 45MAN   ，把 ADN△ 绕点 A 顺时 针旋转90 得到 ABE△ ． （1）求证： AEM△ ≌ ANM ． （2）若 3BM  ， 2DN  ，求正方形 ABCD 的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）正方形 ABCD 的边长为 6． 【解析】 【分析】 （1）先根据 旋转的性质可 得 ,AE AN BAE DAN    ，再根据 正方形的性质 、角的和差可得 45  MAE ，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形 ABCD 的边长为 x，从而可得 3, 2CM x CN x    ，再根据旋转的性质可得 2BE DN  ，从而可得 5ME  ，然后根据三角形全等的性质可得 5MN ME  ，最后在 Rt CMN 中， 利用勾股定理即可得． 【详解】（1）由旋转的性质得： ,AE AN BAE DAN     四边形 ABCD 是正方形 90BAD   ，即 90BAN DAN     90BAN BAE     ，即 90EAN   45MAN   90 45 45MAE EAN MAN         在 AEM△ 和 ANM 中， 45 AE AN MAE MAN AM AM         ( )ANMA S SEM A  ； （2）设正方形 ABCD 的边长为 x，则 BC CD x  3, 2BM DN  3, 2CM BC BM x CN CD DN x         由旋转的性质得： 2BE DN  2 3 5ME BE BM      由（1）已证： AEM ANM  5MN ME   又四边形 ABCD 是正方形 90C   则在 Rt CMN 中， 2 2 2CM CN MN  ，即 2 2 2( 3) ( 2) 5x x    解得 6x  或 1x   （不符题意，舍去） 故正方形 ABCD 的边长为 6． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较 难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 2y ax bx   交 x 轴于 A ， B 两点，交 y 轴于点C ，且 2 8OA OC OB  ，点 P 是第三象限内抛物线上的一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）若 / /PC AB ，求点 P 的坐标； （3）连接 AC ，求 PAC 面积的最大值及此时点 P 的坐标． 【答案】（1） 2 7 22y x x   ；（2）（ 7 2  ， 2 ）；（3） PAC 面积的最大值是 8；点 P 的坐标为（ 2 ， 5 ）． 【解析】 【分析】 （1）由二次函数的性质，求出点 C 的坐标，然后得到点 A、点 B 的坐标，再求出解析式即可； （2）由 / /PC AB ，则点 P 的纵坐标为 2 ，代入解析式，即可求出点 P 的坐标； （3）先求出直线 AC 的解析式，过点 P 作 PD∥y 轴，交 AC 于点 D，则 1 2PACS PD OA   ，设点 P 为（ x ， 2 7 22x x  ），则点 D 为（ x ， 1 22 x  ），求出 PD 的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大 值，再求出点 P 的坐标即可． 【详解】解：（1）在抛物线 2 2y ax bx   中， 令 0x  ，则 2y   ， ∴点 C 的坐标为（0， 2 ）， ∴OC=2， ∵ 2 8OA OC OB  ， ∴ 4OA  ， 1 2OB  ， ∴点 A 为（ 4 ，0），点 B 为（ 1 2 ，0）， 则把点 A、B 代入解析式，得 16 4 2 0 1 1 2 04 2 a b a b       ，解得： 1 7 2 a b   ， ∴ 2 7 22y x x   ； （2）由题意，∵ / /PC AB ，点 C 为（0， 2 ）， ∴点 P 的纵坐标为 2 ， 令 2y   ，则 2 7 2 22x x    ， 解得： 1 7 2x = - ， 2 0x  ， ∴点 P 的坐标为（ 7 2  ， 2 ）； （3）设直线 AC 的解析式为 y mx n  ，则 把点 A、C 代入，得 4 0 2 m n n       ，解得： 1 2 2 m n       ， ∴直线 AC 的解析式为 1 22y x   ； 过点 P 作 PD∥y 轴，交 AC 于点 D，如图： 设点 P 为（ x ， 2 7 22x x  ），则点 D 为（ x ， 1 22 x  ）， ∴ 2 21 72 ( 2) 42 2PD x x x x x         ， ∵OA=4， ∴ 2 21 1 ( 4 ) 4 2 82 2APCS PD OA x x x x           ， ∴ 22( 2) 8APCS x     ， ∴当 2x   时， APCS 取最大值 8； ∴ 2 27 72 ( 2) ( 2) 2 52 2x x          ， ∴点 P 的坐标为（ 2 ， 5 ）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二 次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．