一元二次方程讲义

一元二次方程讲义

第 23 章 一元二次方程 1．一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式方程叫做一元二次方程。 一般形式： 是已知数， 。其中 分别叫做二次项的 系数，一次项的系数，常数项。 例题： （1）下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是( ) A ＋x 2＝1 B － ＝1 C x 2－ ＋1＝0 D 2x 3－5xy－4y2＝0 （2）将方程 x2+ =x+ x 化成一般形式是____________，二次项系数是____________， 一次项系数是____________，常数项是____________。 （3）关于 x 的方程 m －3x= －mx+2 是一元二次方程，m 应满足什么条件？ （4）已知关于 x 的一元一次方程（m－2） +3x+ －4=0，有一个解是 0，求 m 的值。 习题： （1）下列方程 ①－x2+2=0 ②2x2－3x=0 ③ －3x2=0 ④ －3x2=0 ⑤ x2+ =0 ⑥ ＝5x ⑦ 2x2－3=（x－3）（x2+1）中是一元二次方程的有（ ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 （2）方程（m+1） －（2m+2）x+3m－1=0 有一个根为 0，则 m 的值为（ ） A B C － D － 作业： （1）若 是一元二次方程，则 m= 。 （2）一元二次方程 化成一般形式为 ，试求 （2a+b）·3c 的值。 2．一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 例题： （1）方程 =1 的实数根的个数是 。 （2）用直接开平方法解下列方程 cbacbxax ,,(02 =++ )0≠a cba ,, x 1 2 12 +x 2 1−x x 3 3 2x 2x 2x 2m x 1 2 32 +x 2x 3 2 3 1 3 2 3 1 ( ) 51 12 =− +mxm ( ) ( ) 011 2 =−+++ cxbxa 0134 2 =++ xx 2x ① 9 －25=0 ② 练习： 若方程 ，试说明方程根的情况。 （2）因式分解法 例题： （1）方程 －1=0 的根是 。 （2）用因式分解法解下列方程： ① 3 －6x=0 ② x(x+1) －5x=0 练习： （1）请你自己写出一道含有未知数 y 的一元二次方程，要求：①能够用因式分解法解；② 使方程的一个根是 2，并解这个方程。 （2）小明在解 =3x 时，将方程两边同除以 x，得到原方程的解为 x=3，这种做法对吗？为 什么？ 作业： （1）解方程 ① ②x(2x－1)=3(1－2x) （2）已知一元二次方程 +bx+c=0 的两个根分别是 ，则二次三项式 － bx+c 可分解为（ ） A ﹙x＋2﹚﹙x－3﹚ B ﹙x－2﹚﹙x－3﹚ C ﹙x＋2﹚﹙x＋3﹚ D ﹙x－2﹚﹙x＋3﹚ （3）配方法 例题： （1）填空 ① +3x+（ ）=（x+ ） ② +2x+5=（x+ ） +4 ③ － x+ =（x－ ） +（ ） ④ （ ）+6x+1=3（x+1） －2 （2）用配方法解下列方程 ① －6x－7=0 ② ＋3x+1=0 （3）用配方法说明－3 +12x－16 的值恒小于 0。 2x ( ) 42 2 =+x ( ) 02 1 2 =−− nmx 2x 2x 2x ( ) ( ) 032524 22 =+−− xx 2x 3,2 21 −== xx 2x 2x 2 3 2 2x 2 2x 2 1 4 3 4 1 2 2 2x 2x 2x 练习： （1）用配方法解一元二次方程时，配方有错误的是 （ ） A －2x－99＝0 化为 ＝100 B 2 －7x－4＝0 化为 ＝ C ＋8x＋9＝0 化为 ＝25 D 3 －4x－2＝0 化为 ＝ （2）已知三角形的两边长分别是 4 和 7，第三边是方程 －16x＋55＝0 的根，则第三边长 是（ ） A 5 B 11 C 5 或 11 D 6 （3）已知长方形的面积是 8，周长是 12，求这个长方形的长与宽。 作业： （1）已知 x －4x+y +6y+13=0，求 x +2y 的值。 （2）已知 a,b,c 是△ABC 的三边，且满足 a +b +c －ab－bc－ca=0，试判断△ABC 的形 状。 （4）公式法 3．一元二次方程的判别式， 当 时，方程有两个不等的实根。 当 时，方程有两个相等的实根。 当 时，方程没有实数根。 例题： （1）用公式法解方程 ① x －6x+1=0 ② 2x －x=6 ③ 4x －3x－1=x－2 ④ 3x﹙x－3﹚=2﹙x－1﹚﹙x＋1﹚ （2）方程 x －3x+2－m=0 有实根，则 m 的取值范围是（ ） A m＞－ B m≥ C m≥－ D m＞ （3）方程 中一根为 0，另一根不为 0，则 m、n 应满足（ ） A m=0,n=0 B m=0,n≠0 C m≠0,n=0 D m≠0, n≠0 2x ( )21−x 2x 2 4 7      −x 16 81 2x ( )24+x 2x 2 3 2      −x 9 10 2x 2 2 2 2 2 2 ( )042 4 2 2 ≥−−±−= acba acbbx acb 42 −=∆ 0>∆ 0=∆ 0<∆ 2 2 2 2 4 1 4 1 4 1 4 1 02 =++ nmxx 练习： （1）如果关于 x 的方程 3ax2－2 （a－1）x+a=0 有实数根，则 a 的取值范围是（ ） A a< 且 a≠0 B a≥ C a≤ 且 a≠0 D a≤ （2）若方程 2x（kx－4）－x2+6=0 没有实数根，则 k 的最小整数值是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 （3）已知关于 x 的方程 ax + bx + c = 0 的一个根是 1，则 a + b + c = 作业： （1）将方程 x2+ =x+ x 化成一般形式是____________，二次项系数是____________， 一次项系数是____________，常数项是____________， = ， 方程的根为 。 （2）已知关于 x 的方程 x －(k+2)x+2k=0，①试说明：无论 k 取任何实数值，方程总有实 数根。②若等腰三角形 ABC 的一边长 a=1，另外两边长 b,c 恰好是这个方程的两个根，求 △ABC 的周长。 （3）已知 x= –5 是方程 x +mx–10=0 的一个根，求 x =3 时，x +mx–10 的值。 4．一元二次方程的应用 （1）增长（降低）率问题 例题： 某药品经过两次降价，每瓶零售价由 56 元降为 31.5 元，已知两次降价的百分率相同， 求每次降价的百分率。 练习： 制造某种药品，计划经过两年使成本降低到 81%，则平均每年降低的百分率是________。 作业： 某镇产粮大户，2000 年粮食产量为 50 吨，由于加强了经营和科学种田，2002 年粮食 产量上升到 60.5 吨．求平均每年增长的百分率。 （2）数字问题 例题： 已知三个连续奇数的平方和是 371，求这三个奇数。 练习： 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少 9。如果把十位上的数字与个位上 的数字对调，得到的两位数比原来的两位数少 27，求原来两位数。 作业： 有一个两位数，两个数字的和味 6，数字积等于这个两位数的 ，求这个两位数。 （3）面积问题 例题： 如图在一个长为 35 米，宽为 26 米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直道路，其 它部分种花草，要使花草为 850㎡，问道路应为多宽？设道路宽为 x，得方程如下： 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 acb 42 − 2 2 2 3 1 26米 35米 （1）（35－x）（26－x）＝850； （2）850＝35×26－35x－26x＋x ； （3）35x＋x(26－x) ＝850－35×26； （4）35x＋26 x＝850－35×26 你认为符合题意的方程有 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 练习： 有一面积是 150 平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18 米），墙对面有一个 2 米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长 33 米．求鸡场的长和宽各多少米？ 作业： 在长方形钢片上冲去一个小长方形，制成一个四周宽相等的长方形框，已知长方形钢片 的长为 30cm，宽为 20cm，要使制成的长方形框的面积为 400cm2，求这个长方形框图边宽。 5． 例题： （1）一元二次方程一根比另一根大 8，且两根之和为 6，那么这个方程是（ ） A x －6x－7=0 B x －6x+7=0 C x +6x－7=0 D x +6x+7=0 （2）若 ，是方程 2x －7x+4=0 的两根，则 + 的值为____________。 （3）已知关于 x 的方程 x +ax+1－a =0 的两根之和等于 3a－8，则两根之积等于 ___________。 2 a cxxa bxx =⋅−=+ 2121 , 2 2 2 2 21,x x 2 2 1x 2 2x 2 2