中考数学解题指导专题16：函数自变量取值范围的探讨

中考数学解题指导专题16：函数自变量取值范围的探讨

1 【2013 年中考攻略】专题 16：函数自变量取值范围的探讨 函数是初中数学中一个十分重要的内容，为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变 量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围。函数自变量的取值范围是函数成立的先决 条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题。 初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型，结合 2011 年和 2012 年全国各地中考的实 例，我们从这三方面进行函数自变量取值范围的探讨：（ 1）函数关系式中函数自变量的取值范围；（2）实 际问题中函数自变量的取值范围；（3）几何问题中函数自变量的取值范围。 一、函数关系式中函数自变量的取值范围：初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围 主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分 式形式：分母≠0；（ 3）函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；（ 4）函数关系式含 0 指数：底数≠0。 典型例题： 例 1： （2012 浙江衢州 3 分）函数 y= x 1 的自变量 x 的取值范围在数轴上可表示为【 】 A． B． C． D． 【答案】D。 【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式的解集。 【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出 x1 的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在 数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞” 要用空心圆点表示。 根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使 在实数范围内有意义，必须 x 1 0 x1。故在数轴上表示为： 。故选 D。 例 2：（2012 湖南郴州 3 分）函数 y= 1 x2 中自变量 x 的取值范围是【 】 A．x=2 B．x≠2 C．x＞2 D．x＜2 【答案】B。 【考点】函数自变量的取值范围，分式有意义的条件。 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为 0 的条件，要使 1 x2 在实数范围内有意义，必须 x 2 0 x 2    。故选 B。 2 例 3：（2012 湖南衡阳 3 分）函数 2y= x+2 中自变量 x 的取值范围是【 】 A．x＞﹣2 B．x≥2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2 【答案】A。 【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负 数和分式分母不为 0 的条件，要使 2 x+2 在实数范围内有意义，必须 x+2 0 x 2 x > 2x+2 0 x 2        。故选 A。 例 5：（2012 四川内江 3 分）函数 1yxx 的图像在【 】 A.第 一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限 【答案】A。 【考点】函数的图象，函数的定义域和值域，平面直角坐标系中各象限点的特征。 【分析】∵函数 1yxx 的定义域为 0x  ，∴ 0y  ，∴根据面直角坐标系中各象限点的特征知图像在 第一象限，故选 A。 练习题： 1. （2012 湖南怀化 3 分）在函数 y 2x 3中，自变量 x 的取值范围是【 】 A． 3x 2 B. 3x 2 C. 3x 2 D. 3x 2 2. （2012 山东威海 3 分）函数 1y= x3 的自变量 x 的取值范围是【 】 A. x＞3 B. x≥3 C. x≠3 D. x＜－3 3 3. （2012 四川德阳 3 分）使代数式 x 2x 1 有意义的 x 的取值范围是【 】 A. x0 B. 1x 2 C. x0 且 1x 2 D.一切实数 4. （2012 江苏无锡 2 分）函数 y=1+ 2x 4 中自变量 x 的取值范围是 ▲ ． 5. （2012 四川自贡 4 分）函数 1y 2 x x1    中，自变量 x 的取值范围是 ▲ ． 二、实际问题中函数自变量的取值范围：在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个 因素：（1）自变量自身表示的意义，如时间、路程、用油量等不能为负数；（2）问题中的限制条件，此时 多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。 典型例题： 例 1： （2012 上海市 10 分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为 10 吨，但不超过 50 吨时，每吨的 成本 y（万元/吨）与生产数量 x（吨）的函数关系式如图所示． （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当生产这种产品的总成本为 280 万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本=每吨的成本×生产数量） 【答案】解：（1）利用图象设 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx+b， 将（10，10）（ 50，6）代入解析式得： 10k+b=10 50k+b=6    ，解得： 1k= 10 b=11    。 ∴y 关于 x 的函数解析式为 y= 1 10 x+11（10≤x≤50）。 （2）当生产这种产品的总成本为 280 万元时， x（ x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去）。 ∴该产品的生产数量为 40 吨。 【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方 程。 4 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为 10 吨，但不超过 50 吨时， 得出 x 的定义域。 （2）根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可。 例 2：（2012 湖北鄂州 10 分）某私营服装厂根据 2011 年市场分析，决定 2012 年调整服装制作方案，准备 每周（按 120 工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共 360 件，且衬衣至少 60 件。已知每件服装的收入和 所需工时如下表： 服装名称 西服 休闲服 衬衣 工时/件 2 1 3 1 4 1 收入（百元）/件 3 2 1 设每周制作西服 x 件，休闲服 y件，衬衣 z 件。 （1） 请你分别从件数和工时数两个方面用含有 x,y 的代数式表示衬衣的件数 z。 （2） 求 y 与 x 之间的函数关系式。 （3） 问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？ 【答案】解：（1）从件数方面：z=360－x－y， 从工时数方面：由 1 2 x+ 1 3 y+ 1 4 z=120 整理得：z=480－2x－ 4 3 y。 （2）由（1）得 360－x－y=480－2x－ y，整理得：y=360－3x。 （3）由题意得总收入 s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720 由题意得 2x 60 x0 360 3x 0      ，解得 30≤x≤120。 由一次函数的性质可知，当 x=30 的时候，s 最大，即当每周生产西服 30 件，休闲服 270 件，衬衣 60 件时，总收入最高，最高总收入是 690 百元。 【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含 x，y 的关系式表示 z。 （2）由（1）整理得：y=360－3x。 （3）由题意得 s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于 x 的一次函数。由题意得 ， 解得 30≤x≤120，从而根据一次函数的性质作答。 5 例3：（2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价 定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种 新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购 买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元． (1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元? (2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并 写出自变量x 的取值范围． (3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量 的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应 将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变) 【答案】解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。 （2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x； 当10＜x≤50时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x； 当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x。 ∴ 2 600x(0 x 10 x ) y 10x 700x(10 x 50 x ) 200x(x 50 x ) < >        ，且 整 ，且 整 ，且 整 为 数 为 数 为 数 。 （3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当   700x 352 10   时，利润y有最大值， 此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元， 答：公司应将最低销售单价调整为 2750 元。 【考点】二次函数的应用。 【分析】（1）设件数为 x，则销售单价为 3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为 2600 元，列方程求解。 （2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种 情况列出函数关系式。 （3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确 定销售单价。 例 4：（2012 四川巴中 9 分）某商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200 件。如果 每件商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 72 元）。设每件商品的售价上涨 x 元 （x 为整数），每个月的销售利润为 y 元， （1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 6 【答案】解：（1）设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数），则每件商品的利润为：（60－50＋x）元， 总销量为：（200-10x）件， 商品利润为：y=（60－50＋x）（ 200－10x）=－10x2＋100x＋2000。 ∵原售价为每件 60 元，每件售价不能高于 72 元，∴0＜x≤12。 （2）∵y=－10x2＋100x＋2000=－10（x－5）2+2250， ∴当 x=5 时，最大月利润 y=2250。 答：每件商品的售价定为 5 元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是 2250 元。 【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。 【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出 y 与 x 的函数关系式。 （2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法），从而得出当 x=5 时得出 y 的 最大值。 例 5：（2012 辽宁锦州 10 分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是 20 元.调查发现：销售 单价是 30 元时，月销售量是 230 件，而销售单价每上涨 1 元，月销售量就减少 10 件，但每件玩具售价不 能高于 40 元. 设每件玩具的销售单价上涨．．了 x 元时（x．为正整数．．．．），月销售利润为 y 元. （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围. （2）每件玩具的售价．．定为多少元时，月销售利润恰为 2520 元？ （3）每件玩具的售价．．定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】解：（1）依题意得 2y (30 x 20)(230 10x) 10x 130x 2300        自变量 x 的取值范围是：0＜x≤10 且 x 为正整数。 （2）当 y=2520 时，得 210x 130x 2300 2520    ， 解得 x1=2,x2=11（不合题意，舍去）。 当 x=2 时，30+x=32。 ∴每件玩具的售价定为 32 元时，月销售利润恰为 2520 元。 （3） 22y 10x 130x 2300 10(x 6.5) 2722.5        ∵a=-10＜0 ∴当 x=6.5 时，y有最大值为 2722.5 。 ∵0＜x≤10 且 x 为正整数， ∴当 x=6 时，30+x=36,y=2720， 当 x=7 时，30+x=37,y=2720。 ∴每件玩具的售价定为 36 元或 37 元时，每个月可获得最大利润。 最大的月利润是 2720 元。 7 【考 点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。 【分析】（1）根据销售利润=销售量×销售单价即可得 y 与 x 的函数关系式。因为 x 为正整数，所以 x＞0； 因为每件玩具售价不能高于 40 元，所以 x≤40－30=10。故自变量 x 的取值范围是：0＜x≤10 且 x 为正整数。 （2）求出函数值等于 2520 时自变量 x 的值即可。 （3）将函数式化为顶点式即可求。 例 6：（2012 黑龙江龙东地区 10 分）国务院总理温家宝 2011 年 11 月 16 日主持召开国务院常务会议，会 议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区。现要把 228 吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、 小两种货车共 18 辆，恰好能一次性运完这批物资。已知这两种货车的载重量分别为 16 吨/辆和 10 吨/辆， 运往甲、乙两地的运费如下表： 运往地 车 型 甲 地（元/辆） 乙 地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 （1）求这两种货车各用多少辆？ （2）如果安排 9 辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为 a 辆，前往甲、乙两地的 总运费为 w 元，求出 w 与 a 的函数关系式（写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于 120 吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并 求出最少总运费。 【答案】解：（1）设大货车用 x 辆，则小货车用（18－x）辆，根据题意得 16x＋10（18－x）=228 ，解得 x=8， ∴18－x=18－8=10。 答：大货车用 8 辆，小货车用 10 辆。 （2）w=720a＋800（8－a）+500（9－a）+650[10－（9－a）]=70a＋11550， ∴w=70a＋11550（0≤a≤8 且为整数）。 （3）由 16a＋10（9－a）≥120，解得 a≥5。 又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8 且为整数。 ∵w=70a+11550，k=70＞0，w 随 a 的增大而增大， ∴当 a=5 时，w 最小，最小值为 W=70×5+11550=11900。 答：使总运费最少的调配方案是：5 辆大货车、4 辆小货车前往甲地；3 辆大货车、6 辆 小货车前往乙地．最少运费为 11900 元。 8 【考点】一元一次方程和一次函数的应用 【分析】（1）设大货车用 x 辆，则小货车用 18－x 辆，根据运输 228 吨物资，列方程求解。 （2）设前往甲地的大货车为 a 辆，则前往乙地的大货车为（8－a）辆，前往甲地的小货车为（9 －a）辆，前往乙地的小货车为[10－（9－a）]辆，根据表格所给运费，求出 w 与 a 的函数关系式。 （3）结合已知条件，求 a 的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案。 例 7：（2012 广西南宁 10 分）南宁市某生态示范村种植基地计划用 90 亩～120 亩的土地种植一批葡萄，原 计划总产量要达到 36 万斤． （1）列出原计划种植亩数 y（亩）与平均每亩产量 x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值 范围； （2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的 1.5 倍，总产量比原计划 增加了 9 万斤，种植亩数减少了 20 亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？ 【答案】解：（1）由题意知：xy=36，∴ 36y x （ 32x10 5）。 （2）根据题意得： 36 36 9 20x 1.5x ，解得：x=0.3。 经检验：x=0.3 是原方程的根。1.5x=0.45。 答：改良前亩产 0.3 万斤，改良后亩产 0.45 万斤。 【考点】反比例函数和分式方程的应用 【分析】（1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可。 （2）根据题意列出 后求解即可。 例 8：（2012 四川攀枝花 8 分）煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤 单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划．某煤矿现有 1000 吨煤炭要全部运往 A．B 两厂，通过了 解获得 A．B 两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/t•km”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）： 厂别 运费（元/t•km） 路程（km） 需求量（t） A 0.45 200 不超过 600 B a（a 为常数） 150 不超过 800 （1）写出总运费 y（元）与运往 A 厂的煤炭量 x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含 a 的 代数式表示） 9 例 9：（2012 湖北恩施 8 分）小丁每天从某报社以每份 0.5 元买进报纸 200 分，然后以每份 1 元卖给读者， 报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份 0.2 元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸 x 份，纯收 入为 y 元． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式（要求写出自变量 x 的取值范围）； （2）如果每月以 30 天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证每月收入不低于 2000 元？ 【答案】解：（1）y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（ 200﹣x）=0.8x﹣60（0≤x≤200）。 10 （2）根据题意得：30（0.8x﹣60）≥2000，解得 x≥ 11383 。 ∴小丁每天至少要买 159 份报纸才能保证每月收入不低于 2000 元。 【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。 【分析】（1）因为小丁每天从某市报社以每份 0.5 元买出报纸 200 份，然后以每份 1 元卖给读者，报纸卖 不完，当天可退回报社，但报社只按每份 0.2 元退给小丁，所以如果小丁平均每天卖出报纸 x 份，纯收入 为 y 元，则 y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣ 0.2）（ 200﹣x）即 y=0.8x﹣60，其中 0≤x≤200 且 x 为整数。 （2）因为每月以 30 天计，根据题意可得 30（0.8x﹣60）≥2000，解之求解即可。 练习题： 1. （2011 福建龙岩 12 分） 周六上午 8：O0 小明从家出发，乘车 1 小时到郊外某基地参加社会实践活动， 在基地活动 2.2 小时后，因家里有急事，他立即按原路以 4 千米/时的平均速度步行返回．同时爸爸开车从 家出发沿同一路线接他，在离家 28 千米处与小明相遇。接到小明后保持车速不变，立即按原路返回．设 小明离开家的时间为 x 小时，小名离家的路程 y (干米) 与 x (小时)之间的函致图象如图所示， (1)小明去基地乘车的平均速度是________千米/小时，爸爸开车的平均速度应是________千米/小时； (2)求线段 CD 所表示的函敛关系式； (3)问小明能否在 12：0 0 前回到家？若能，请说明理由：若不能，请算出 12：00 时他离家的路程， 2. （2011 宁夏自治区 10 分）甲、乙两人分别乘不同的冲锋舟同时从 A 地逆流而上前往 B 地，甲所乘冲 锋舟在静水中的速度为 11 12 km/min，甲到达 B 地立即返回；乙所乘冲锋舟在静水中的速度为 7 12 km/min．已 知 A、B 两地的距离为 20km，水流速度为 1 12 km/min，甲、乙乘冲锋舟行驶的距离 y(km)与所用时间 x(min) 之间的函数图象如图所示． (1) 求甲所乘冲锋舟在行驶的整个过程中，y 与 x(min)之间的函数关系式； (2)甲、乙两人同时出发后，经过多长时间相遇？ 11 3. （2011 山东日照 9 分）某商业集团新进了 40 台空调机，60 台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连 锁店销售，其中 70 台给甲连锁店，30 台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下 表： 空调机 电冰箱 甲连锁店 200 170 乙连锁店 160 150 设集团调配给甲连锁店 x 台空调机，集团卖出这 100 台电器的总利润为 y （元）． （1）求 关于 的函数关系式，并求出 的取值范围； （2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利 a 元销售，其他的销售利润不变，并且让利后 每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利 润达到最大？ 4. （2011 黑龙江龙东五市 8 分）汶川灾后重建工作受到全社会的广泛关注，全国各省对口支援四川省受 灾市县。我省援建剑阁县，建筑物资先用火车源源不断的运往距离剑阁县 180 千米的汉中市火车站，再由 汽车运往剑阁县。甲车在驶往剑阁县的途中突发故障，司机马上通报剑阁县总部并立即检查和维修。剑阁 县总部在接到通知后第 12 分钟时，立即派出乙车前往接应。经过抢修，甲车在乙车出发第 8 分钟时修复 并继续按原速行驶，两车在途中相遇。为了确保物资能准时运到，随行人员将物资全部转移到乙车上（装 卸货物时间和乙车掉头时间忽略不计），乙车按原速原路返回，并按预计时间准时到达剑阁县。下图是甲、 乙两车离剑阁县的距离 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数图象。请结合图象信息解答下列问题： （1）请直接在坐标系中的( )内填上数据。 （2）求直线 CD 的函数解析式，并写出自变量的取值范围。 （3）求乙车的行驶速度。 12 5. （2011 山东菏泽 9 分）我市一家电子计算器专卖店每只进价 13 元，售价 20 元，多买优惠；凡是一次 买 10 只以上的，每多买 1 只，所买的全部计算器每只就降低 0.10 元，例如，某人买 20 只计算器，于是每 只降价 0.10×（20﹣10）=1（元），因此，所买的全部 20 只计算器都按照每只 19 元计算，但是最低价为每 只 16 元． （1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？ （2）写出该专卖店当一次销售 x 时，所获利润 y （元）与 （只）之间的函数关系式，并写出自变量 的 取值范围； （3）若店主一次卖的只数在 10 至 50 只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？ 6. （2011 云南昆明 9 分）A 市有某种型号的农用车 50 辆，B 市有 40 辆，现要将这些农用车全部调往 C、 D 两县，C 县需要该种农用车 42 辆，D 县需要 48 辆，从 A 市运往 C、D 两县农用车的费用分别为每辆 300 元和 150 元，从 B 市运往 C、D 两县农用车的费用分别为每辆 200 元和 250 元． （1）设从 A 市运往 C 县的农用车为 x 辆，此次调运总费为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若此次调运的总费用不超过 16000 元，有哪几种调运方案？哪种方案的费用最小？并求出最小费用？ 三、几何问题中函数自变量的取值范围：几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还 需考虑几何图形的构成条件及运动范围，如在三角形中“两边之和大于第三边”。 典型例题： 例 1： （2012 黑龙江大庆 6 分）将一根长为 16 厘米的细铁丝剪成两段．并把每段铁丝围成圆，设所得 两圆半径分别为 1r 和 2r . （1）求 与 的关系式，并写出 的取值范围； （2）将两圆的面积和 S 表示成 的函数关系式，求 S 的最小值． 【答案】解：（1）由题意，有 2πr1+2πr2=16π，则 r1+r2=8。 ∵r1＞0，r2＞0，∴0＜r1＜8。 ∴r1 与 r2 的关系式为 r1+r2=8，r1 的取值范围是 0＜r1＜8 厘米。 （2）∵r1+r2=8，∴r2=8﹣r1。 又∵    222 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1S r + r = r + 8 r =2 r 16 r +64 =2 r 4 +32            ， ∴当 r1=4 厘米时，S 有最小值 32π 平方厘米。 【考点】二次函数的应用。119281 13 【分析】（1）由圆的周长公式表示出半径分别为 r1 和 r2 的圆的周长，再根据这两个圆的周长之和等于 16π 厘米列出关系式即可。 （2）先由（1）可 得 r2=8﹣r1，再根据圆的面积公式即可得到两圆的面积和 S 表示成 r1 的函数关 系式，然后根据函数的性质即可求出 S 的最小值。 例 2：（2012 江苏无锡 8 分）如图，在边长为 24cm 的正方形纸片 ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全 等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A．B．C．D 四个顶点正好 重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x （cm）． （1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积 V； （2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积 S 最大，试问 x 应取何值？ 【答案】解：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长 a= 2 x，EF= 2 a=2x， ∴x+2x+x=24，解得：x=6。则 a=6 ， ∴V=a3=（6 ）3=432 （cm3）； （2）设包装盒的底面边长为 acm，高为 hcm，则 a= x，  24 2xh 2 12 x 2    ， ∴S=4ah+a2=      2 224 2x 2 12 x 2x 6x 96x= 6 x 8 238         。 ∵0＜x＜12，∴当 x=8 时，S 取得最大值 384cm2。 【考点】二次函数的应用。 【分析】（1）根据已知得出这个正方体的底面边长 a= x，EF= a=2x，再利用 AB=24cm，求出 x 即 可得出这个包装盒的体积 V。 （2）利用已知表示出包装盒的表面，从而利用函数最值求出即可。 14 例 3：（2012 上海市 14 分）如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，∠AOB=90°，点 C 是弧 AB 上的一个动点 （不与点 A、B 重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为 D、E． （1）当 BC=1 时，求线段 OD 的长； （2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设 BD=x，△DOE 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域． 【答案】解：（1）∵点 O 是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD= 1 2 BC= 。 又∵OB=2，∴ 2 2 2 2 1 15OD= OB BD 2 22     。 （2）存在，DE 是不变的。 如图，连接 AB，则 22AB= OB +OA 2 2 。 ∵D 和 E 是中点，∴DE= 1 AB= 22 。 （3）∵BD=x，∴ 2OD 4 x。 ∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。 ∴∠2+∠3=45°。 过 D 作 DF⊥OE，垂足为点 F。∴DF=OF= 24x 2  。 由△BOD∽△EDF，得 BD OD=EF DF ，即 2 2 x 4 x=EF 4x 2   ，解得 EF= 1 2 x。 ∴OE= 2x+ 4 x 2  。 15 ∴ 2 2 2 21 1 4 x x+ 4 x 4 x +x 4 xy DF OE = 0 x 22 2 422 <<        （ ）。 例 4：（2012 广东梅州 11 分）如图，矩形 OABC 中，A（6，0）、 C（0，2 ）、 D（0，3 ），射线 l 过 点 D 且与 x 轴平行，点 P、Q 分别是 l 和 x 轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°． （1）①点 B 的坐标是 ；②∠CAO= 度；③当点 Q 与点 A 重合时，点 P 的坐标为 ；（直接写 出答案） （2）设 OA 的中心为 N，PQ 与线段 AC 相交于点 M，是否存在点 P，使△AMN 为等腰三角形？若存在， 请直接写出点 P 的横坐标为 m；若不存在，请说明理由． （3）设点 P 的横坐标为 x，△OPQ 与矩形 OABC 的重叠部分的面积为 S，试求 S 与 x 的函数关系式和相 应的自变量 x 的取值范围． 【答案】解：（1）①（6，2 3 ）。 ②30。③（3，3 ）。 16 （2）存在。m=0 或 m=3﹣ 3 或 m=2。 （3）当 0≤x≤3 时， 如图 1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x； 由题意可知直线 l∥BC∥OA， 可得 EF PE DC 3 1==OQ PO DO 333 ，∴EF= 1 3 （3+x）， 此时重叠部分是梯形，其面积为： EFQO 1 4 3 4 3S S EF OQ OC 3 x x 4 32 3 3      梯形 （ ） （ ）= 当 3＜x≤5 时，如图 2，   HAQEFQO EFQO 2 2 1S S S S AH AQ2 4 3 3 3 13 3 3x 4 3 x 3 x x3 2 2 3 2              = 梯形 梯形 。 当 5＜x≤9 时，如图 3， 12S BE OA OC 3 12 x23 23= x 12 33       （ ） （ ） 。 当 x＞9 时，如图 4， 1 1 18 3 54 3S OA AH 6 =2 2 x x     。 综上所述，S 与 x 的函数关系式为：         2 43x 4 3 0 x 33 3 13 3 3x x 3 x 52 3 2S 23x 12 3 5 x 93 54 3 x9x < < >                  。 【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解 直角三角形。 【分析】（1）①由四边形 OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求得点 B 的坐标： ∵四边形 OABC 是矩形，∴AB=OC，OA=BC， 17 ∵A（6，0）、 C（0，2 3 ）， ∴点 B 的坐标为：（6，2 ）。 ②由正切函数，即可求得∠CAO 的度数： ∵ OC 2 3 3tan CAO = =OA 6 3 ，∴∠CAO=30°。 ③由三角函数的性质，即可求得点 P 的坐标；如图：当点 Q 与点 A 重合时，过点 P 作 PE⊥OA 于 E， ∵∠PQO=60°，D（0，3 ）， ∴PE=3 。 ∴ 0 PEAE 3 tan60 。 ∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点 P 的坐标为（3，3 ）。 （2）分别从 MN=AN，AM=AN 与 AM=MN 去分析求解即可求得答案： 情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°， ∴∠MNO=60°。 ∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点 N 与 Q 重合。 ∴点 P 与 D 重合。∴此时 m=0。 情况②，如图 AM=AN，作 MJ⊥x 轴、PI⊥x 轴。 MJ=MQ•sin60°=AQ•sin600 3OA IQ OI sin60 3 m2      （ ） （ ） 又 1 1 3MJ AM= AN=2 2 2 ， ∴ 333m22（ ）= ，解得：m=3﹣ 。 情况③AM=NM，此时 M 的横坐标是 4.5， 过点 P 作 PK⊥OA 于 K，过点 M 作 MG⊥OA 于 G， ∴MG= 3 2 。 ∴ 00 PK 3 3 MG 1QK 3 GQ 2tan60 3 tan60     ， 。 ∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= 1 2 AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。 综上所述，点 P 的横坐标为 m=0 或 m=3﹣ 或 m=2。 （3）分别从当 0≤x≤3 时，当 3＜x≤5 时，当 5＜x≤9 时，当 x＞9 时去分析求解即可求得答案。 18 例 5：（2012 广东汕头 12 分）如图，抛物线 213y= x x 922与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，连 接 BC、AC． （1）求 AB 和 OC 的长； （2）点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动（点 E 与点 A、B 不重合），过点 E 作直线 l 平行 BC，交 AC 于点 D．设 AE 的长为 m，△ADE 的面积为 s，求 s 关于 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接 CE，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆 的面积（结果保留 π）． 【答案】解：（1）在 213y= x x 922中， 令 x=0，得 y=－9，∴C（0，﹣9）； 令 y=0，即 213x x 9=022 ，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、 B（6，0）。 ∴AB=9，OC=9。 （2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴ 2 AED ABC S AE S AB     ，即： 2sm 1 9992   。 ∴s= 1 2 m2（0＜m＜9）。 （3）∵S△AEC= AE•OC= 9 2 m，S△AED=s= m2， ∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED =﹣ m2+ m=﹣ （m﹣ ）2+ 81 8 。 ∴△CDE 的最大面积为 ， 此时，AE=m= ，BE=AB﹣AE= 。 19 又 22BC 6 +9 =3 13 ， 过 E 作 EF⊥BC 于 F，则 Rt△BEF∽Rt△BCO，得： EF BE OC BC ，即： 9 EF 2 9 3 13  。 ∴ 27EF 1326 。 ∴以 E 点为圆心，与 BC 相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2= 729 52  。 【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值， 勾股定理，直线与圆相切的性质。 【分析】（1）已知抛物线的解析式，当 x=0，可确定 C 点坐标；当 y=0 时，可确定 A、B 点的坐标，从而 确定 AB、OC 的长。 （2）直线 l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于 s、m 的函数关系式；根据题目条件：点 E 与点 A、B 不重合，可确定 m 的取值范围。 （3）①首先用 m 列出△AEC 的面积表达式，△AEC、△AED 的面积差即为△CDE 的面积，由此可 得关于 S△CDE 关于 m 的函数关系式，根据函数的性质可得到 S△CDE 的最大面积以及此时 m 的值。 ②过 E 做 BC 的垂线 EF，这个垂线段的长即为与 BC 相切的⊙E 的半径，可根据相似三角形△BEF、 △BCO 得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。 例 6：（2012 江苏徐州 8 分）如图 1，A、B、C、D 为矩形的四个顶点，AD=4cm，AB=dcm。动点 E、F 分别从点 D、B 出发，点 E 以 1 cm/s 的速度沿边 DA 向点 A 移动，点 F 以 1 cm/s 的速度沿边 BC 向点 C 移动，点 F 移动到点 C 时，两点同时停止移动。以 EF 为边作正方形 EFGH，点 F 出发 xs 时，正方形 EFGH 的面积为 ycm2。已知 y 与 x 的函数图象是抛物线的一部分，如图 2 所示。请根据图中信息，解答下列问题： （1）自变量 x 的取值范围是 ▲ ； （2）d= ▲ ，m= ▲ ，n= ▲ ； （3）F 出发多少秒时，正方形 EFGH 的面积为 16cm2？ 【答案】解：（1）0≤x≤4。 20 （2）3，2，25． （3）过点 E 作 EI⊥BC 垂足为点 I。则四边形 DEIC 为矩形。 ∴EI=DC=3，CI=DE=x。 ∵BF=x，∴IF=4－2x。 在 Rt△EFI 中，  22 2 2 2EF EI IF 3 4 2 x  ＋ ＋ 。 ∵y 是以 EF 为边长的正方形 EFGH 的面积， ∴  22y 3 4 2 x＋ 。 当 y=16 时，  223 4 2 x 16＋ ， 解得， 12 4 7 4 7xx22 ＋ ， 。 ∴F 出发 47 2 ＋ 或 47 2  秒时，正方形 EFGH 的面积为 16cm2。 【考点】动点问题，矩形的判定和性质，平行线间垂直线段的性质，勾股定理，解一元二次方程。 【分析】（1）自变量 x 的取值范围是点 F 从点 C 到点 B 的运动时间，由时间=距离÷速度，即可求。 （2）由图 2 知，正方形 EFGH 的面积的最小值是 9，而正方形 EFGH 的面积最小时，根据地两平 行线间垂直线段最短的性质，得 d=AB=EF=3。 当正方形 EFGH 的面积最小时，由 BF=DE 和 EF∥AB 得，E、F 分别为 AD、BC 的中点， 即 m=2。 当正方形 EFGH 的面积最大时，EF 等于矩形 ABCD 的对角线，根据勾股定理，它为 5，即 n=25。 （3）求出正方形 EFGH 的面积 y 关于 x 的函数关系式，即可求得 F 出发 或 秒时， 正方形 EFGH 的面积为 16cm2。 例 7：（2012 福建漳州 14 分）如图，在 OABC 中，点 A 在 x 轴上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．动 点 P 从点 O 出发，以 1c m／s 的速度沿线段 OA →AB 运动；动点 Q 同时．．从点 O 出发，以 acm／s 的速度沿线段 OC→CB 运动，其中一点先到达终点 B 时，另一点也随之停止运动． 设运动时间为 t 秒． (1)填空：点 C 的坐标是(______，______)，对角线 OB 的长度是_______cm； (2)当 a=1 时，设△OPQ 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出当 t 为何值时，S 的值最大? (3)当点 P 在 OA 边上，点 Q 在 CB 边上时，线段 PQ 与对角线 OB 交于点 M.若以 O、M、P 为顶点的 三角形与△OAB 相似，求 a 与 t 的函数关系式，并直接写出 t 的取值范围． 21 【答案】解：（1）C(2，2 3 )，OB=4 7 cm。 （2）①当 0

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