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文档介绍
2020年陕西师大附中中考数学九模试卷
2020年陕西师大附中中考数学九模试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 在实数|−3|，−2，0，π中，最小的数是( ) A.|−3| B.−2 C.0 D.π 2. 如图是正方形切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线AB // CD，则下列结论正确的是( ) A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠1+∠3=180∘ D.∠3+∠4=180∘ 4. 如图，在▱ABCO中，A(3, 4)，C(5, 0)．若正比例函数y＝kx的图象经过点B，则k的值为（ ） A.12 B.−12 C.−2 D.2 5. 下列运算正确的是（ ） A.a2=a B.(x2⋅yx)3＝x3y3 C.−a−(b−a)＝2a−b D.(−x)2⋅x4＝−x6 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝1，CD=5，则BE＝（ ） A.5 B.22 C.52 D.10 7. 一次函数y＝kx+b的图象经过点(1, m)和(m, −1)，其中m<−1．则k、b的取值范围是（ ） A.k<0，b<0 B.k>0，b<0 C.k>0，b>0 D.k<0，b>0 8. 如图，菱形ABCD的对角线长分别为6和8，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，H两点重合，EF是折痕．若HE＝1.5，则CF的长为（ ） A.52 B.4 C.72 D.3 9. 如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，弧AD＝弧CD，若∠DAC＝25∘，则∠CAB的度数为（ ） A.30∘ B.40∘ C.50∘ D.60∘ 10. 已知抛物线y＝a(x−h)2−7，点A(1, −5)、B(7, −5)、C(m, y1)、D(n, y2)均在此抛物线上，且|m−h|>|n−h|，则y1与y2的大小关系是（ ） A.y1<y2 B.y1>y2 C.y1＝y2 D.不能确定 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 二、填空题（共4小题，每题3分，共12分） 与3最接近的整数是________． 如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l // CD，则∠1＝________． 在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的直角顶点A的坐标为(−1, 1)，点B在x轴正半轴上，点C在第三象限的双曲线y=7x上，则点C的坐标为________−72） ． 如图，在矩形ABCD和矩形ECGF中，ABBC=EFEC=2，AD＝1，点E为射线CD上一动点（不与C重合），直线BE、DG相交于点P．当点E运动到CD的中点时，BP长为________． 三、解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程） 计算：2×6−|3−2|+(−12)−1． 解方程：xx+2+84−x2=x+2x−2． 尺规作图： 如图，已知CD是△ABC的高线，在CD上找到一点E，使得点E到AC的距离等于线段ED的长．（保留作图痕迹，不写作法） 如图，四边形ABCD中，AB // CD，且AB＝CD．过BD的中点O做直线EF，分别交BA、DC的延长线于点E、F．求证：AE＝CF． 珍爱生命，安全出行，关注安全就是关注生命．为了了解同学们对防溺水知识的了解程度，增强同学们的安全意识，某校在七年级随机抽取了部分学生进行了相关知识的测试，现把调查结果分成A，B，C，D四组，绘制成如图不完整的统计图： 组别 分数/分 各组总分/分 A 60≤x<70 1320 B 70≤x<80 3650 C 80≤x<90 6930 D 90≤x<100 5600 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查总人数为________；m＝________；并补全条形统计图； 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 （2）这次测试成绩的中位数落在________组； （3）求本次测试成绩的平均数． 为了提高学生应用数学方法解决实际问题的能力，王老师组织学生开展了测量物体高度的实践活动，小刚与小亮所在小组的任务为测量公园古树AB的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部B，如图，栅栏CD＝29米，小刚和小亮研究需要两次测量，方法如下：小刚在DC延长线上放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线CD上的对应位置为点E，镜子不动，小刚看着镜面上的标记来回走动，走到点F时，看到树顶A与镜面上的标记重合，这时测量小刚眼睛与地面高度FG＝1.5米，EF＝2米，EC＝1米；同时，小亮在CD延长线上的H处安装了测倾器（测倾器高度忽略不计），测得树顶A的仰角为45∘，DH＝5米，请你根据题中提供的相关信息，求出古树AB的高度（小平面镜的大小忽略不计）． 今年，由于新冠肺炎的爆发，市场对口罩的需求量急剧增大．某口罩生产商自二月份以来，一直积极恢复产能，每日口罩生产量y（百万个）与天数x（x为正整数）的函数关系图象如图所示．而该生产商对口供应市场对口罩的需求量不断上升，且每日需求量z（百万个）与天数x满足一次函数关系．已知第1天需求1500万个口罩，第6天需求2000万个口罩． （1）求y与x的函数关系式； （2）当市场供应量不小于需求量时，市民买口罩才无需提前预约，那么二月份以来，市民无需预约即可购买口罩的天数共有多少天？ 今年年初的武汉疫情，牵动了全国人民的心．“一方有难，八方支援”，我市某医院呼吸科有5名医生主动报名援助武汉，其中3名男医生，2名女医生，小明的妈妈就是其中一位． （1）从中任抽一名医生，恰好是小明妈妈的概率是________； （2）从中任抽两名医生，恰好是一名男医生一名女医生的概率是多少？ 如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且BD为⊙O的直径，延长BA、CD交于点E，BD＝DE，过A作AF⊥CE于点F． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若AD＝5，sin∠ABC=45，求CD长． 已知抛物线L:y＝−ax2+2ax+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4． （1）求A、B两点的坐标； （2）将抛物线L沿x轴翻折后得到的新抛物线记为L′，且记L和L′的顶点分别记为M、M′，要使点A、B、M、M′为顶点的四边形是正方形，请求抛物线L的解析式． 问题提出 （1）如图①，点A在直线m上，点P在直线m外，请用尺规在直线m上找一点B，使得∠APB＝60∘（只作出满足条件一个图形即可）； 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 （2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90∘，AD＝CD，对角线BD＝10，求四边形ABCD的面积． 问题解决 （3）如图③，园林规划局想在正六边形草坪一角∠BOC内改建一个小型的儿童游乐场OMAN，其中OA平分∠BOC，OA＝100米，∠BOC＝120∘，点M、N分别在射线OB和OC上，且∠MAN＝90∘，为了尽可能的少破坏草坪，要使游乐场OMAN面积最小．你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场OMAN面积的最小值；若不能，请说明理由． 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 参考答案与试题解析 2020年陕西师大附中中考数学九模试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 【答案】 B 【考点】 实数大小比较 绝对值 【解析】 直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案． 【解答】 解：在实数|−3|，−2，0，π中， |−3|=3，则−2<0<|−3|<π， 故最小的数是：−2． 故选B． 2. 【答案】 C 【考点】 简单组合体的三视图 【解析】 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】 从左边看是一个正方形，正方形的左上角是一个三角形， 3. 【答案】 D 【考点】 平行线的判定与性质 【解析】 依据AB // CD，可得∠3+∠5=180∘，再根据∠5=∠4，即可得出∠3+∠4=180∘． 【解答】 解：如图， ∵ AB // CD， ∴ ∠3+∠5=180∘， 又∵ ∠5=∠4， ∴ ∠3+∠4=180∘. 故选D． 4. 【答案】 A 【考点】 平行四边形的性质 一次函数图象上点的坐标特点 【解析】 （方法一）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则△AOM≅△BCN，利用全等三角形的性质可得出CN的长，进而可得出点B的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出k值； （方法二）设点B的坐标为(m, n)，利用平行四边形对角线互相平分可找出点B的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出k值． 【解答】 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 （方法一）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，如图所示． ∵ 四边形ABCO为平行四边形， ∴ OA＝CB，AB // OC，OA // CB， ∴ AM＝BN，∠AOM＝∠BCN． 在△AOM和△BCN中，OA=CB∠AOM=∠BCNAM=BN ， ∴ △AOM≅△BCN(HL)， ∴ CN＝OM． 又∵ A(3, 4)，C(5, 0)， ∴ CN＝OM＝3， ∴ ON＝OC+CN＝5+3＝8， ∴ 点B的坐标为(8, 4)． ∵ 正比例函数y＝kx的图象经过点B， ∴ 8k＝4， 解得：k=12． 故选：A． （方法二）设点B的坐标为(m, n)， ∵ 四边形ABCO为平行四边形， ∴ 0+m=3+50+n=4+0 ， 解得：m=8n=4 ， ∴ 点B的坐标为(8, 4)． ∵ 正比例函数y＝kx的图象经过点B， ∴ 8k＝4， 解得：k=12． 故选：A． 5. 【答案】 B 【考点】 二次根式的性质与化简 同底数幂的乘法 幂的乘方与积的乘方 整式的加减 分式的乘除运算 【解析】 分别根据二次根式的性质，积的乘方运算法则，整式的加减运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可． 【解答】 A.a2=|a|，故本选项不合题意； B．(x2⋅yx)3＝x3y3，故本选项符合题意； C．−a−(b−a)＝−b，故本选项不合题意； D．(−x)2⋅x4＝x6，故本选项不合题意． 6. 【答案】 B 【考点】 直角三角形斜边上的中线 【解析】 首先，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得斜边AB＝2CD＝25，利用三角形中位线定理求得BC＝2DE＝2；则在Rt△ABC中由勾股定理求得线段AC＝4，最后，在Rt△BCE中，利用勾股定理来求线段BE的长度． 【解答】 如图，∵ 在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，点D是斜边AB的中点，CD=5， ∴ AB＝2CD＝25． ∵ ∠ACB＝90∘，DE⊥AC， ∴ DE // BC． ∵ 点D是斜边AB的中点， ∴ DE是△ABC的中位线， 又∵ DE＝1， ∴ BC＝2， ∴ AC=AB2−BC2=20−4=4． ∴ CE=12AC＝2， ∴ 在Rt△BCE中，BE=BC2+CE2=22+22=22． 7. 【答案】 A 【考点】 一次函数图象与系数的关系 一次函数图象上点的坐标特点 【解析】 依照题意，大致画出函数图象，由该函数图象经过第二、三、四象限，再利用一次函数图象与系数的关系即可得出k<0，b<0． 【解答】 依照题意画出图象，如图所示． 观察图形，可知：一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限， ∴ k<0，b<0． 8. 【答案】 C 【考点】 菱形的性质 翻折变换（折叠问题） 【解析】 连接AC、BD，利用菱形的性质得OC=12AC＝3，OD=12BD＝4，∠COD＝90∘，再利用勾股定理计算出CD＝5，由ASA证得△OBE≅△ODF得到DF＝BE，然后根据折叠的性质得BE＝HE＝1.5，则DN＝1.5，即可得出结果． 【解答】 连接AC、BD，如图， ∵ 点O为菱形ABCD的对角线的交点， ∴ OC=12AC＝3，OB＝OD=12BD＝4，∠COD＝90∘， 在Rt△COD中，CD=OC2+OD2=32+42=5， ∵ AB // CD， ∴ ∠EBO＝∠FDO， 在△OBE和△ODF中， ∠EBO=∠FDOOB=OD∠BOE=∠DOF ， ∴ △OBE≅△ODF(ASA)， ∴ DF＝BE， ∵ 过点O折叠菱形，使B，H两点重合，EF是折痕， ∴ BE＝HE＝1.5， ∴ DF＝1.5， ∴ CF＝CD−DF＝5−1.5=72． 9. 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 【答案】 B 【考点】 圆心角、弧、弦的关系 圆周角定理 【解析】 利用圆周角定理得到∠ABD＝∠DAC＝25∘，∠ADB＝90∘，然后利用三角形内角和计算∠CAB的度数． 【解答】 ∵ 弧AD＝弧CD， ∴ ∠ABD＝∠DAC＝25∘， ∵ AB是⊙O的直径， ∴ ∠ADB＝90∘， ∴ ∠DAB＝90∘−25∘＝65∘， ∴ ∠CAB＝∠DAB−∠DAC＝65∘−25∘＝40∘． 10. 【答案】 B 【考点】 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数的性质 【解析】 先求得抛物线的对称轴为x＝4，再抛物线开口向上，最后根据|m−h|>|n−h|判断C离对称轴比较远，从而判断出y1与y2的大小关系． 【解答】 ∵ 点A(1, −5)、B(7, −5)均在此抛物线上， ∴ h=1+72=4， ∴ 抛物线的顶点坐标为(4, −7)， ∴ a>0，开口向上， ∵ C(m, y1)、D(n, y2)均在此抛物线上，且|m−h|>|n−h|， ∴ y1>y2， 二、填空题（共4小题，每题3分，共12分） 【答案】 2 【考点】 估算无理数的大小 【解析】 直接利用3的取值范围进而得出答案． 【解答】 ∵ 1<3<4， ∴ 1<3<2， ∴ 与3最接近的整数是：2． 【答案】 36∘ 【考点】 多边形内角与外角 平行线的性质 【解析】 由已知l // CD，可得出∠1＝∠2，又由正五边形ABCDE得∠BAE＝540∘÷5＝108∘，从而求出∠1的度数． 【解答】 ∵ 多边形ABCDE是正五边形， ∴ ∠BAE=180×(5−2)5=108∘，∠ABE＝∠AEB， 又∵ ∠2＝∠ABE，∠1＝∠AEB， ∴ ∠1＝∠2=12(180∘−∠BAE)， 即2∠1＝180∘−108∘， ∴ ∠1＝36∘． 【答案】 (−2， 【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征 等腰直角三角形 【解析】 证明∴ △CHA≅△AGB得到：AN＝DG＝1＝AH，而AH＝BG＝1，即可求得m＝−2，从而求得C的坐标． 【解答】 设点C(m, 7m)， 如图所示，过C点作CH⊥x轴，过点A过x轴的平行线交AG于点H， ∵ ∠BAG+∠CAH＝∠ACH+∠CAH＝90∘， ∴ ∠BAG＝∠ACH， 又AC＝AB，∠CHA＝∠AGB＝90∘， ∴ △CHA≅△AGB(AAS)， ∴ HA＝BG，CH＝AG， ∵ A(−1, 1)， ∴ AH＝BG＝1， ∴ H(−2, 1)， ∴ C(−2, −72)， 【答案】 263 【考点】 矩形的性质 相似三角形的性质与判定 【解析】 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 由矩形的性质求出AB=2，EF＝1，证明△DEH≅△GFH(ASA)，得出EH＝HF=12EF=12，证明△PEH∽△PBC，由相似三角形的性质得出EHBG=EPBP，设BP＝x，得出方程122=x−62x，解方程即可得解． 【解答】 如图，设EF与DG交于点H， ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AD＝BC，AB＝CD， ∵ ABBC=EFEC=2，AD＝1， ∴ AB=2， ∵ E是DC的中点， ∴ CE＝DE=12CD=22， ∴ EF=2CE＝1， ∴ BG＝2，BE=BC2+CE2=1+12=62， ∵ 四边形ECGF是矩形， ∴ FG // EC，EC＝FG， ∴ ∠DEH＝∠GFH，∠EDH＝∠FGH，ED＝FG， ∴ △DEH≅△GFH(ASA)， ∴ EH＝HF=12EF=12， ∵ EH // BG， ∴ △PEH∽△PBC， ∴ EHBG=EPBP， 设BP＝x， ∴ 122=x−62x， 解得x=263． ∴ BP=263． 三、解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程） 【答案】 2×6−|3−2|+(−12)−1 ＝23−(2−3)+(−2) ＝23−2+3−2 ＝33−4． 【考点】 负整数指数幂 二次根式的混合运算 【解析】 利用二次根式的乘法法则、绝对值的意义和负整数指数幂的意义计算． 【解答】 2×6−|3−2|+(−12)−1 ＝23−(2−3)+(−2) ＝23−2+3−2 ＝33−4． 【答案】 方程两边同乘(x+2)(x−2)得， x(x−2)−8＝(x+2)2， 解这个方程，得x＝−2， 把x＝−2代入原来的分母，有一个分母等于0，所以x＝−2不是原分式方程的解， 即x＝−2是原方程的增根，原方程无解． 【考点】 解分式方程 【解析】 根据解分式方程的步骤解答即可． 【解答】 方程两边同乘(x+2)(x−2)得， x(x−2)−8＝(x+2)2， 解这个方程，得x＝−2， 把x＝−2代入原来的分母，有一个分母等于0，所以x＝−2不是原分式方程的解， 即x＝−2是原方程的增根，原方程无解． 【答案】 点E即为所求． 【考点】 作图—复杂作图 【解析】 作∠CAB的角平分线交CD于E，点E即为所求． 【解答】 点E即为所求． 【答案】 证明：∵ AB // CD，且AB＝CD， ∴ ∠E＝∠F 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 ，四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB＝CD， ∵ O是BD的中点， ∴ OB＝OD， 在△EBO和△FDO中，∠E=∠F∠BOE=∠DOFOB=OD ， ∴ △EBO≅△FDO(AAS)， ∴ BE＝DF， 又∵ AB＝CD， ∴ BE−AB＝DF−CD． 即AE＝CF． 【考点】 全等三角形的性质与判定 平行四边形的性质与判定 【解析】 证四边形ABCD是平行四边形，得出AB＝CD，再证△EBO≅△FDO(AAS)，得出BE＝DF，即可得出结论． 【解答】 证明：∵ AB // CD，且AB＝CD， ∴ ∠E＝∠F，四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB＝CD， ∵ O是BD的中点， ∴ OB＝OD， 在△EBO和△FDO中，∠E=∠F∠BOE=∠DOFOB=OD ， ∴ △EBO≅△FDO(AAS)， ∴ BE＝DF， 又∵ AB＝CD， ∴ BE−AB＝DF−CD． 即AE＝CF． 【答案】 200,36 C 本次测试成绩的平均数是87.5分． 【考点】 加权平均数 中位数 条形统计图 频数（率）分布表 【解析】 （1）根据B组的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可计算出m的值和D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据条形统计图中的数据，可以得到中位数落在哪一组； （3）根据频数分布表中的数据，可以计算出本次测试成绩的平均数． 【解答】 本次调查的学生有：48÷24%＝200（人）， m%=72200×100%＝36%， D组的人数为：200×30%＝60， 补全的条形统计图如右图所示， 故答案为：200，36； 由条形统计图中的数据，可得 这次测试成绩的中位数落在C组， 故答案为：C； (1320+3650+6930+5600)÷200＝87.5（分）， 答：本次测试成绩的平均数是87.5分． 【答案】 古树AB的高度是15米 【考点】 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【解析】 根据相似三角形的性质和解直角三角形即可得到结论． 【解答】 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 ∵ ∠H＝45∘，∠ABH＝90∘， ∴ AB＝BH， 设AB＝BH＝x， ∴ BC＝CH−BH＝29+5−x＝34−x， 根据题意得，∠FEG＝∠AEB，∠GFE＝∠ABE＝90∘， ∴ △EFG∽△EBA， ∴ FGAB=EFBE， ∴ 1.5x=234−x+1， 解得：x＝15， ∴ AB＝15（米）， 【答案】 当0≤x<18时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b， 由题意可得：46=18k+bb=10 ， ∴ k=2b=10 ， ∴ y＝2x+10， 当x≥18时，y＝46， 综上所述：y=y=2x+10(0≤x<18)46(x≥18) ； 设每日需求量z（百万个）与天数x满足一次函数关系为z＝mx+n， 由题意可得：15=m+n20=6m+n ， 解得：m=1n=14 ， ∴ z＝x+14， 当0≤x<18时，且y≥z， 则2x+10≥x+14， ∴ x≥4， 当x≥18时，且y≥z， ∴ x+14≤46， ∴ x≤32， ∴ 4≤x≤32， 且x为整数， ∴ 市民无需预约即可购买口罩的天数共有29天， 答：市民无需预约即可购买口罩的天数共有29天． 【考点】 一次函数的应用 【解析】 （1）分0≤x<18和x≥18，用待定系数法求解可得； （2）先求出z与x的函数关系式，由市场供应量不小于需求量，列出不等式，即可求解． 【解答】 当0≤x<18时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b， 由题意可得：46=18k+bb=10 ， ∴ k=2b=10 ， ∴ y＝2x+10， 当x≥18时，y＝46， 综上所述：y=y=2x+10(0≤x<18)46(x≥18) ； 设每日需求量z（百万个）与天数x满足一次函数关系为z＝mx+n， 由题意可得：15=m+n20=6m+n ， 解得：m=1n=14 ， ∴ z＝x+14， 当0≤x<18时，且y≥z， 则2x+10≥x+14， ∴ x≥4， 当x≥18时，且y≥z， ∴ x+14≤46， ∴ x≤32， ∴ 4≤x≤32， 且x为整数， ∴ 市民无需预约即可购买口罩的天数共有29天， 答：市民无需预约即可购买口罩的天数共有29天． 【答案】 15 列表如下： 由表可知，从中任抽两名医生，共有20种等可能结果，其中恰好是一名男医生一名女医生的有12种结果， 所以恰好是一名男医生一名女医生的概率为1220=35． 【考点】 列表法与树状图法 概率公式 【解析】 （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【解答】 ∵ 有5名医生主动报名援助武汉，其中3名男医生，2名女医生，小明的妈妈是其中一位， ∴ 从中任抽一名医生，恰好是小明妈妈的概率是15． 故答案为：15； 列表如下： 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 由表可知，从中任抽两名医生，共有20种等可能结果，其中恰好是一名男医生一名女医生的有12种结果， 所以恰好是一名男医生一名女医生的概率为1220=35． 【答案】 证明：连接OA， ∵ BD＝DE， ∴ ∠ABO＝∠E， ∵ OA＝OB， ∴ ∠ABO＝∠BAO， ∴ ∠BAO＝∠E， ∴ OA // DE， ∵ AF⊥DE， ∴ OA⊥AF， ∴ AF为⊙O的切线； ∵ BD为⊙O的直径， ∴ ∠BCD＝∠BAD＝90∘， ∴ ∠ADB+∠ABD＝90∘，∠ABC+∠E＝90∘， ∴ ∠ADB＝∠ABC， ∵ AD＝5，sin∠ABC=45， ∴ cos∠ADB=35=ADBD， ∴ BD＝DE=253， ∴ AB＝AE=203， ∴ BE=403， 在Rt△BCE中，sin∠EBC=CEBE=45， ∴ CE=323， ∴ CD＝CE−DE=323−253=73． 【考点】 圆周角定理 解直角三角形 圆内接四边形的性质 垂径定理 勾股定理 切线的判定与性质 【解析】 （1）连接OA，证明OA // DE，得出OA⊥AF，则可得出答案； （2）证得∠ADB＝∠ABC，求出BD＝DE=253，求出AB=203，可求出BE，CE，则可求出CD的长． 【解答】 证明：连接OA， ∵ BD＝DE， ∴ ∠ABO＝∠E， ∵ OA＝OB， ∴ ∠ABO＝∠BAO， ∴ ∠BAO＝∠E， ∴ OA // DE， ∵ AF⊥DE， ∴ OA⊥AF， ∴ AF为⊙O的切线； ∵ BD为⊙O的直径， ∴ ∠BCD＝∠BAD＝90∘， ∴ ∠ADB+∠ABD＝90∘，∠ABC+∠E＝90∘， ∴ ∠ADB＝∠ABC， ∵ AD＝5，sin∠ABC=45， ∴ cos∠ADB=35=ADBD， ∴ BD＝DE=253， ∴ AB＝AE=203， ∴ BE=403， 在Rt△BCE中，sin∠EBC=CEBE=45， ∴ CE=323， ∴ 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 CD＝CE−DE=323−253=73． 【答案】 ∵ 抛物线L:y＝−ax2+2ax+c的对称轴为x=−2a2×(−a)=1，且AB＝4， ∴ OB＝3，OA＝1， ∴ 点A(−1, 0)，点B(3, 0)， ∵ 点A、B、M、M′为顶点的四边形是正方形， ∴ MM′＝AB＝4， ∴ |4⋅(−a)c+(2a)24⋅(−a)|＝2，即|c+a|＝2， 当c+a＝2时，c＝2−a， ∴ 抛物线L为：y＝−ax2+2ax+2−a， 代入A(−1, 0)得，−a−2a+2−a＝0，解得a=12，c=32， ∴ 抛物线L的解析式为：y=−12x2+x+32； 当c+a＝−2时，c＝−2−a， ∴ 抛物线L为：y＝−ax2+2ax−2−a， 代入A(−1, 0)得，−a−2a−2−a＝0，解得a=−12，c=−32， ∴ 抛物线L解析式为：y=12x2−x−32， 综上，抛物线L的解析式为y=−12x2+x+32或y=12x2−x−32． 【考点】 二次函数的性质 抛物线与x轴的交点 正方形的判定 待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求二次函数解析式 二次函数图象与几何变换 【解析】 （1）根据抛物线的对称轴和AB＝4，即可求得A(−1, 0)，B(3, 0)； （2）根据题意得出|4⋅(−a)c+(2a)24⋅(−a)|＝2，即|c+a|＝2，即可得出c＝±2−a，即可得到y＝−ax2+2ax±2−a，把A的坐标代入解析式即可求得a，进而求得c，从而求得抛物线的解析式． 【解答】 ∵ 抛物线L:y＝−ax2+2ax+c的对称轴为x=−2a2×(−a)=1，且AB＝4， ∴ OB＝3，OA＝1， ∴ 点A(−1, 0)，点B(3, 0)， ∵ 点A、B、M、M′为顶点的四边形是正方形， ∴ MM′＝AB＝4， ∴ |4⋅(−a)c+(2a)24⋅(−a)|＝2，即|c+a|＝2， 当c+a＝2时，c＝2−a， ∴ 抛物线L为：y＝−ax2+2ax+2−a， 代入A(−1, 0)得，−a−2a+2−a＝0，解得a=12，c=32， ∴ 抛物线L的解析式为：y=−12x2+x+32； 当c+a＝−2时，c＝−2−a， ∴ 抛物线L为：y＝−ax2+2ax−2−a， 代入A(−1, 0)得，−a−2a−2−a＝0，解得a=−12，c=−32， ∴ 抛物线L解析式为：y=12x2−x−32， 综上，抛物线L的解析式为y=−12x2+x+32或y=12x2−x−32． 【答案】 如图①中，∠APB即为所求． 如图②中，如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F． ∵ ∠DEB＝∠DFB＝∠EBF 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 ＝90∘， ∴ 四边形DEBF是矩形， ∴ ∠EDF＝∠ADC＝90∘， ∴ ∠ADE＝∠CDF， ∵ ∠DEA＝∠DFC＝90∘，DA＝DC， ∴ △DEA≅△DFC(AAS)， ∴ AE＝CF，DE＝DF，S△DEA＝S△DFC， ∴ 四边形DEBF是正方形，S四边形ABCD＝S正方形DEBF， ∵ BD＝10， ∴ S四边形ABCD＝S正方形DEBF=12×10×10＝50． 如图③−1中，过点A作AB⊥OM于B，AC⊥ON于C， ∵ OA＝100米，OA平分∠MON，∠MON＝120∘， ∴ ∠AOB＝∠AOC＝60∘， ∵ AB⊥OM，AC⊥ON， ∴ AB＝AC＝OA⋅sin60∘＝503（米）， ∵ S四边形AMON＝S△AOM+S△AON=12(OM+ON)⋅AB＝253(OM+ON)， ∴ OM+ON最小时，四边形AMON的面积最小， 在CO上取一点D，使得BM＝CD，则△ABM≅△ACD(SAS)， ∴ ∠MAB＝∠DAC， ∵ ∠OAB＝∠OAC＝30∘， ∴ ∠MAB+∠CAN＝30∘， ∴ ∠DAN＝∠DAC+∠CAN＝30∘，AC＝503为定值， ∵ OM+ON＝2OB+BM+CN＝2OB+CD+CN＝2OB+DN＝100+DN， ∴ DN最小时，OM+ON定值最小， 如图③−2中，作AG // DN，作点N关于直线AG的对称点E，连接AE，DE，设AG交NE于点G． ∵ AD+AN＝AD+AE≥DE，DN=DE2−EN2=DE2−7500， ∴ 当DE最小时，DN的值最小，此时AD＝AN， 在AC上截取AJ＝DJ，连接DJ，设DC＝x，则DJ＝AJ＝2x，CJ=3x， ∵ AC＝503， ∴ 3x+2x＝503， ∴ x＝1003−150， ∴ DN＝2DC＝2003−300， ∴ OM+ON的最小值＝100+2003−300＝2003−200， ∴ 四边形AMON的面积最小值＝253×(2003−200)＝15000−50003． 【考点】 四边形综合题 【解析】 （1）以PA为边向右作等边△APC，延长PC交直线m于点B，∠APC即为所求． （2）如图②中，如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F．证明△DEA≅△DFC(AAS)，推出AE＝CF，DE＝DF，S△DEA＝S△DFC，推出四边形DEBF是正方形，S四边形ABCD＝S正方形DEBF即可解决问题． （3）如图③−1中，过点A作AB⊥OM于B，AC⊥ON于C，由题意S四边形AMON＝S△AOM+S△AON=12(OM+ON)⋅AB＝253(OM+ON)，推出OM+ON最小时，四边形AMON的面积最小，在CO上取一点D，使得BM＝CD，则△ABM≅△ACD(SAS)，由题意OM+ON＝2OB+BM+CN＝2OB+CD+CN＝2OB+DN＝100+DN，推出DN最小时，OM+ON定值最小，想办法求出DN的最小值即可解决问题． 【解答】 如图①中，∠APB即为所求． 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 如图②中，如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F． ∵ ∠DEB＝∠DFB＝∠EBF＝90∘， ∴ 四边形DEBF是矩形， ∴ ∠EDF＝∠ADC＝90∘， ∴ ∠ADE＝∠CDF， ∵ ∠DEA＝∠DFC＝90∘，DA＝DC， ∴ △DEA≅△DFC(AAS)， ∴ AE＝CF，DE＝DF，S△DEA＝S△DFC， ∴ 四边形DEBF是正方形，S四边形ABCD＝S正方形DEBF， ∵ BD＝10， ∴ S四边形ABCD＝S正方形DEBF=12×10×10＝50． 如图③−1中，过点A作AB⊥OM于B，AC⊥ON于C， ∵ OA＝100米，OA平分∠MON，∠MON＝120∘， ∴ ∠AOB＝∠AOC＝60∘， ∵ AB⊥OM，AC⊥ON， ∴ AB＝AC＝OA⋅sin60∘＝503（米）， ∵ S四边形AMON＝S△AOM+S△AON=12(OM+ON)⋅AB＝253(OM+ON)， ∴ OM+ON最小时，四边形AMON的面积最小， 在CO上取一点D，使得BM＝CD，则△ABM≅△ACD(SAS)， ∴ ∠MAB＝∠DAC， ∵ ∠OAB＝∠OAC＝30∘， ∴ ∠MAB+∠CAN＝30∘， ∴ ∠DAN＝∠DAC+∠CAN＝30∘，AC＝503为定值， ∵ OM+ON＝2OB+BM+CN＝2OB+CD+CN＝2OB+DN＝100+DN， ∴ DN最小时，OM+ON定值最小， 如图③−2中，作AG // DN，作点N关于直线AG的对称点E，连接AE，DE，设AG交NE于点G． ∵ AD+AN＝AD+AE≥DE，DN=DE2−EN2=DE2−7500， ∴ 当DE最小时，DN的值最小，此时AD＝AN， 在AC上截取AJ＝DJ，连接DJ，设DC＝x，则DJ＝AJ＝2x，CJ=3x， ∵ AC＝503， ∴ 3x+2x＝503， ∴ x＝1003−150， ∴ DN＝2DC＝2003−300， ∴ OM+ON的最小值＝100+2003−300＝2003−200， ∴ 四边形AMON的面积最小值＝253×(2003−200)＝15000−50003． 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页查看更多