2020年湖南省常德市中考数学试卷

2020年湖南省常德市中考数学试卷

2020 年湖南省常德市中考数学试卷 一、选择题（本大题 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1．（3 分）4 的倒数为 ( ) A． 1 4 B．2 C．1 D． 4 2．（3 分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是 ( ) A． B． C． D． 3．（3 分）如图，已知 / /AB DE ， 1 30   ， 2 35   ，则 BCE 的度数为 ( ) A． 70 B． 65 C．35 D． 5 4．（3 分）下列计算正确的是 ( ) A． 2 2 2( )a b a b   B． 2 4 6a a a  C． 10 5 2a a a  D． 2 3 5a a a 5．（3 分）下列说法正确的是 ( ) A．明天的降水概率为80% ，则明天80% 的时间下雨， 20% 的时间不下雨 B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式 D．一组数据的众数一定只有一个 6．（3 分）一个圆锥的底面半径 10r  ，高 20h  ，则这个圆锥的侧面积是 ( ) A．100 3 B． 200 3 C．100 5 D． 200 5 7．（3 分）二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象如图所示，下列结论： ① 2 4 0b ac  ；② 0abc  ；③ 4 0a b  ；④ 4 2 0a b c   ． 其中正确结论的个数是 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1 8．（3 分）如图，将一枚跳棋放在七边形 ABCDEFG 的顶点 A 处，按顺时针方向移动这枚跳 棋 2020 次．移动规则是：第 k 次移动 k 个顶点（如第一次移动 1 个顶点，跳棋停留在 B 处， 第二次移动 2 个顶点，跳棋停留在 D 处），按这样的规则，在这 2020 次移动中，跳棋不可 能停留的顶点是 ( ) A． C 、 E B． E 、 F C．G 、 C 、 E D． E 、 C 、 F 二、填空题（本大题 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分） 9．（3 分）分解因式： 2 4xy x  ． 10．（3 分）若代数式 2 2 6x  在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ． 11．（3 分）计算： 9 1 82 2    ． 12．（3 分）如图，若反比例函数 ( 0)ky xx   的图象经过点 A ，AB x 轴于 B ，且 AOB 的 面积为 6，则 k  ． 13．（3 分）4 月 23 日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了 30 名学生每周课外阅读的时间，统计如下： 阅读时间 (x 小时） 3.5x„ 3.5 5x „ 5 6.5x „ 6.5x  人数 12 8 6 4 若该校共有 1200 名学生，试估计全校每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数为 ． 14．（3 分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购 5 只．李红 出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回 5 只．已知李红家原有库存 15 只，出门 10 次购买后，家里现有口罩 35 只．请问李红出门没 有买到口罩的次数是 次． 15．（3 分）如图 1，已知四边形 ABCD 是正方形，将 DAE ， DCF 分别沿 DE ，DF 向内 折叠得到图 2，此时 DA 与 DC 重合 (A 、 C 都落在 G 点），若 4GF  ， 6EG  ，则 DG 的 长为 ． 16．（3 分）阅读理解：对于 3 2( 1)x n x n   这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： 3 2 3 2 2 2 2( 1) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( 1)x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx                    ． 理 解 运 用 ： 如 果 3 2( 1) 0x n x n    ， 那 么 2( )( 1) 0x n x nx    ， 即 有 0x n  或 2 1 0x nx   ， 因此，方程 0x n  和 2 1 0x nx   的所有解就是方程 3 2( 1) 0x n x n    的解． 解决问题：求方程 3 5 2 0x x   的解为 ． 三、（本大题 2 个小题，每小题 5 分，满分 10 分） 17．（5 分）计算： 0 112 ( ) 4 4tan 453    ． 18．（5 分）解不等式组 2 1 4 2 3 1 1 3 2 3 x x xx     ① ②„ ． 四、（本大题 2 个小题，每小题 6 分，满分 12 分） 19．（6 分）先化简，再选一个合适的数代入求值： 27 9 9( 1 )x xx x x     ． 20．（6 分）第 5 代移动通信技术简称 5G ，某地已开通 5G 业务，经测试 5G 下载速度是 4G 下载速度的 15 倍，小明和小强分别用 5G 与 4G 下载一部 600 兆的公益片，小明比小强所用 的时间快 140 秒，求该地 4G 与 5G 的下载速度分别是每秒多少兆？ 五、（本大题 2 个小题，每小题 7 分，满分 14 分） 21．（7 分）已知一次函数 ( 0)y kx b k   的图象经过 (3,18)A 和 ( 2,8)B  两点． （1）求一次函数的解析式； （2）若一次函数 ( 0)y kx b k   的图象与反比例函数 ( 0)my mx   的图象只有一个交点， 求交点坐标． 22．（7 分）如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图，图 2 是其示意图．汽车的车厢采用液 压机构、车厢的支撑顶杆 BC 的底部支撑点 B 在水平线 AD 的下方， AB 与水平线 AD 之间 的夹角是 5 ，卸货时，车厢与水平线 AD 成 60，此时 AB 与支撑顶杆 BC 的夹角为 45，若 2AC  米，求 BC 的长度．（结果保留一位小数） （参考数据：sin65 0.91  ，cos65 0.42  ，tan65 2.14  ，sin70 0.94  ，cos70 0.34  ， tan70 2.75  ， 2 1.41) 六、（本大题 2 个小题，每小题 8 分，满分 16 分） 23．（8 分）今年 2 4 月某市出现了 200 名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者 进行了免费治疗．图 1 是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整）， 图 2 是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题． （1）轻症患者的人数是多少？ （2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？ （3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？ （4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的 A 、B 、C 、D 、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中 B 、 D 两位患者的 概率． 24．（8 分）如图，已知 AB 是 O 的直径，C 是 O 上的一点，D 是 AB 上的一点，DE AB 于 D ， DE 交 BC 于 F ，且 EF EC ． （1）求证： EC 是 O 的切线； （2）若 4BD  ， 8BC  ，圆的半径 5OB  ，求切线 EC 的长． 七、（本大题 2 个小题，每小题 10 分，满分 20 分） 25．（10 分）如图，已知抛物线 2y ax 过点 9( 3, )4A  ． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线 l 过点 A ， 3(2M ， 0) 且与抛物线交于另一点 B ，与 y 轴交于点 C ，求证： 2MC MA MB  ； （3）若点 P ，D 分别是抛物线与直线 l 上的动点，以 OC 为一边且顶点为 O ，C ， P ，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的 P 点坐标． 26．（10 分）已知 D 是 Rt ABC 斜边 AB 的中点， 90ACB   ， 30ABC   ，过点 D 作 Rt DEF 使 90DEF   ， 30DFE   ，连接CE 并延长 CE 到 P ，使 EP CE ，连接 BE ， FP ， BP ，设 BC 与 DE 交于 M ， PB 与 EF 交于 N ． （1）如图 1，当 D ， B ， F 共线时，求证： ① EB EP ； ② 30EFP   ； （2）如图 2，当 D ， B ， F 不共线时，连接 BF ，求证： 30BFD EFP     ． 2020 年湖南省常德市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1．（3 分）4 的倒数为 ( ) A． 1 4 B．2 C．1 D． 4 【分析】根据倒数的意义，乘积是 1 的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的 分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答． 【解答】解：4 的倒数为 1 4 ． 故选： A ． 【点评】本题主要考查倒数的意义．解题的关键倒数的意义，注意求倒数的方法，把分子分 母互换位置． 2．（3 分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是 ( ) A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解： A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选： C ． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分折叠后完全可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分 完全重合． 3．（3 分）如图，已知 / /AB DE ， 1 30   ， 2 35   ，则 BCE 的度数为 ( ) A． 70 B． 65 C．35 D． 5 【分析】根据平行线的性质和 1 30   ， 2 35   ，可以得到 BCE 的度数，本题得以解决． 【解答】解：作 / /CF AB ， / /AB DE ， / /CF DE ， / / / /AB DE DE ， 1 BCF   ， 2FCE   ， 1 30   ， 2 35   ， 30BCF   ， 35FCE   ， 65BCE   ， 故选： B ． 【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 4．（3 分）下列计算正确的是 ( ) A． 2 2 2( )a b a b   B． 2 4 6a a a  C． 10 5 2a a a  D． 2 3 5a a a 【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出 判断． 【解答】解： A 、 2 2 22 ( )a ab b a b    ，原计算错误，故此选项不符合题意； B 、 2a 与 4a 不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； C 、 10 5 5a a a  ，原计算错误，故此选项不符合题意； D 、 2 3 5a a a ，原计算正确，故此选项符合题意； 故选： D ． 【点评】此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（3 分）下列说法正确的是 ( ) A．明天的降水概率为80% ，则明天80% 的时间下雨， 20% 的时间不下雨 B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式 D．一组数据的众数一定只有一个 【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案． 【解答】解： A 、明天的降水概率为80% ，则明天下雨可能性较大，故本选项错误； B 、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是 1 2 ，故本选项错误； C 、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确； D 、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误； 故选： C ． 【点评】本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练 掌握众数的定义以及求随机事件的概率． 6．（3 分）一个圆锥的底面半径 10r  ，高 20h  ，则这个圆锥的侧面积是 ( ) A．100 3 B． 200 3 C．100 5 D． 200 5 【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积． 【解答】解：这个圆锥的母线长 2 210 20 10 5   ， 这个圆锥的侧面积 1 2 10 10 5 100 52       ． 故选： C ． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底 面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 7．（3 分）二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象如图所示，下列结论： ① 2 4 0b ac  ；② 0abc  ；③ 4 0a b  ；④ 4 2 0a b c   ． 其中正确结论的个数是 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】先由抛物线与 x 周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为 2x  ，判断 出结论②，先由抛物线的开口方向判断出 0a  ，进而判断出 0b  ，再用抛物线与 y 轴的交 点的位置判断出 0c  ，判断出结论③，最后用 2x   时，抛物线在 x 轴下方，判断出结论 ④，即可得出结论． 【解答】解：由图象知，抛物线与 x 轴有两个交点， 方程 2 0ax bx c   有两个不相等的实数根， 2 4 0b ac   ，故①正确， 由图象知，抛物线的对称轴直线为 2x  ， 22 b a   ， 4 0a b   ，故②正确， 由图象知，抛物线开口方向向下， 0a  ， 4 0a b  ， 0b  ，而抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， 0c  ， 0abc  ，故③正确， 由图象知，当 2x   时， 0y  ， 4 2 0a b c    ，故④错误， 即正确的结论有 3 个， 故选： B ． 【点评】此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与 y 轴的交点，抛物线的对称 轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键． 8．（3 分）如图，将一枚跳棋放在七边形 ABCDEFG 的顶点 A 处，按顺时针方向移动这枚跳 棋 2020 次．移动规则是：第 k 次移动 k 个顶点（如第一次移动 1 个顶点，跳棋停留在 B 处， 第二次移动 2 个顶点，跳棋停留在 D 处），按这样的规则，在这 2020 次移动中，跳棋不可 能停留的顶点是 ( ) A． C 、 E B． E 、 F C．G 、 C 、 E D． E 、 C 、 F 【分析】设顶点 A ， B ，C ， D ， E ， F ，G 分别是第 0，1，2，3，4，5，6 格，因棋子 移动了 k 次后走过的总格数是 11 2 3 ( 1)2k k k     ，然后根据题目中所给的第 k 次依 次移动 k 个顶点的规则，可得到不等式最后求得解． 【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点 C ， E 和 F 棋子不可能停到． 设顶点 A ， B ， C ， D ， E ， F ， G 分别是第 0，1，2，3，4，5，6 格， 因棋子移动了 k 次后走过的总格数是 11 2 3 ( 1)2k k k     ，应停在第 1 ( 1) 72 k k p  格， 这时 P 是整数，且使 10 ( 1) 7 62 k k p „ „ ，分别取 1k  ，2，3，4，5，6，7 时， 1 ( 1) 7 12 k k p   ，3，6，3，1，0，0，发现第 2，4，5 格没有停棋， 若 7 2020k „ ， 设 7 ( 1k t t   ，2，3) 代入可得， 1 1( 1) 7 7 ( 1)2 2k k p m t t     ， 由此可知，停棋的情形与 k t 时相同， 故第 2，4，5 格没有停棋，即顶点 C ， E 和 F 棋子不可能停到． 故选： D ． 【点评】本题考查规律型：图形的变化类，理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找 到规律，然后得到不等式求解． 二、填空题（本大题 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分） 9．（3 分）分解因式： 2 4xy x  ( 2)( 2)x y y  ． 【分析】原式提取 x ，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式 2( 4) ( 2)( 2)x y x y y     ， 故答案为： ( 2)( 2)x y y  【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的 关键． 10．（3 分）若代数式 2 2 6x  在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 3x  ． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 2 6 0x   ，再解即可． 【解答】解：由题意得： 2 6 0x   ， 解得： 3x  ， 故答案为： 3x  ． 【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数 是非负数．分式分母不为零． 11．（3 分）计算： 9 1 82 2    3 2 ． 【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案． 【解答】解：原式 3 2 2 2 22 2    3 2 ． 故答案为： 3 2 ． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 12．（3 分）如图，若反比例函数 ( 0)ky xx   的图象经过点 A ，AB x 轴于 B ，且 AOB 的 面积为 6，则 k  12 ． 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题． 【解答】解： AB OB ， | | 62AOB kS   ， 12k   ， 反比例函数的图象在二四象限， 0k  ， 12k   ， 故答案为 12 ． 【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中 考常考题型． 13．（3 分）4 月 23 日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了 30 名学生每周课外阅读的时间，统计如下： 阅读时间 (x 小时） 3.5x„ 3.5 5x „ 5 6.5x „ 6.5x  人数 12 8 6 4 若该校共有 1200 名学生，试估计全校每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数为 400 人 ． 【分析】用总人数 每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论． 【解答】解： 6 41200 40012 8 6 4     （人 ) ， 答：估计全校每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数为 400 人． 【点评】本题考查了频数（率 ) 分布表，用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键． 14．（3 分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购 5 只．李红 出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回 5 只．已知李红家原有库存 15 只，出门 10 次购买后，家里现有口罩 35 只．请问李红出门没 有买到口罩的次数是 4 次． 【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是 x ，买到口罩的次数是 y ，根据买口罩的次数是 10 次和家里现有口罩 35 只，可列出关于 x 和 y 的二元一次方程组，求解即可． 【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是 x ，买到口罩的次数是 y ，由题意得： 10 15 1 10 5 35 x y y        ， 整理得： 10 5 30 x y y     ， 解得： 4 6 x y    ． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大． 15．（3 分）如图 1，已知四边形 ABCD 是正方形，将 DAE ， DCF 分别沿 DE ，DF 向内 折叠得到图 2，此时 DA 与 DC 重合 (A 、 C 都落在 G 点），若 4GF  ， 6EG  ，则 DG 的 长为 12 ． 【分析】设正方形 ABCD 的边长为 x ，由翻折及已知线段的长，可用含 x 的式子分别表示出 BE 、 BF 及 EF 的长；在 Rt BEF 中，由勾股定理得关于 x 的方程，解得 x 的值，即为 DG 的长． 【解答】解：设正方形 ABCD 的边长为 x ，由翻折可得： DG DA DC x   ， 4GF  ， 6EG  ， 6AE EG   ， 4CF GF  ， 6BE x   ， 6BF x  ， 6 4 10EF    ，如图 1 所示： 在 Rt BEF 中，由勾股定理得： 2 2 2BE BF EF  ， 2 2 2( 6) ( 4) 10x x     ， 2 212 36 8 16 100x x x x       ， 2 10 24 0x x    ， ( 2)( 12) 0x x    ， 1 2x   （舍 ) ， 2 12x  ． 12DG  ． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理及解一元二次方程，数形结合 并明确相关性质及定理是解题的关键． 16．（3 分）阅读理解：对于 3 2( 1)x n x n   这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： 3 2 3 2 2 2 2( 1) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( 1)x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx                    ． 理 解 运 用 ： 如 果 3 2( 1) 0x n x n    ， 那 么 2( )( 1) 0x n x nx    ， 即 有 0x n  或 2 1 0x nx   ， 因此，方程 0x n  和 2 1 0x nx   的所有解就是方程 3 2( 1) 0x n x n    的解． 解决问题：求方程 3 5 2 0x x   的解为 2x  或 1 2x    或 1 2x    ． 【分析】将原方程左边变形为 3 4 2 0x x x    ，再进一步因式分解得 ( 2)[ ( 2) 1] 0x x x    ， 据此得到两个关于 x 的方程求解可得． 【解答】解： 3 5 2 0x x   ， 3 4 2 0x x x     ， 2( 4) ( 2) 0x x x     ， ( 2)( 2) ( 2) 0x x x x      ， 则 ( 2)[ ( 2) 1] 0x x x    ，即 2( 2)( 2 1) 0x x x    ， 2 0x   或 2 2 1 0x x   ， 解得 2x  或 1 2x    ， 故答案为： 2x  或 1 2x    或 1 2x    ． 【点评】本题主要考查因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多 项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式 分解将式子变形，然后再进行整体代入． 三、（本大题 2 个小题，每小题 5 分，满分 10 分） 17．（5 分）计算： 0 112 ( ) 4 4tan 453    ． 【分析】先计算 02 、 4 、 11( )3  、 tan45 ，再按运算顺序求值即可． 【解答】解：原式 1 3 2 4 1     1 6 4   3 ． 【点评】本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整 数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 18．（5 分）解不等式组 2 1 4 2 3 1 1 3 2 3 x x xx     ① ②„ ． 【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集． 【解答】解： 2 1 4 2 3 1 1 3 2 3 x x xx     ① ②„ ， 由①得： 5x  ， 由②得： 1x … ， 不等式组的解集为： 1 5x „ ． 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同 小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 四、（本大题 2 个小题，每小题 6 分，满分 12 分） 19．（6 分）先化简，再选一个合适的数代入求值： 27 9 9( 1 )x xx x x     ． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的 值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解： 27 9 9( 1 )x xx x x     ( 1) (7 9) ( 3)( 3) x x x x x x x      2 7 9 ( 3)( 3) x x x x x      2( 3) ( 3)( 3) x x x    3 3 x x   ， 当 2x  时，原式 2 3 1 2 3 5    ． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 20．（6 分）第 5 代移动通信技术简称 5G ，某地已开通 5G 业务，经测试 5G 下载速度是 4G 下载速度的 15 倍，小明和小强分别用 5G 与 4G 下载一部 600 兆的公益片，小明比小强所用 的时间快 140 秒，求该地 4G 与 5G 的下载速度分别是每秒多少兆？ 【分析】首先设该地 4G 的下载速度是每秒 x 兆，则该地 5G 的下载速度是每秒15x 兆，根据 题意可得等量关系： 4G 下载 600 兆所用时间 5G 下载 600 兆所用时间 140 秒．然后根据 等量关系，列出分式方程，再解即可． 【解答】解：设该地 4G 的下载速度是每秒 x 兆，则该地 5G 的下载速度是每秒15x 兆， 由题意得： 600 600 14015x x   ， 解得： 4x  ， 经检验： 4x  是原分式方程的解，且符合题意， 15 4 60  ， 答：该地 4G 的下载速度是每秒 4 兆，则该地 5G 的下载速度是每秒 60 兆． 【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系， 设出未知数列出方程． 五、（本大题 2 个小题，每小题 7 分，满分 14 分） 21．（7 分）已知一次函数 ( 0)y kx b k   的图象经过 (3,18)A 和 ( 2,8)B  两点． （1）求一次函数的解析式； （2）若一次函数 ( 0)y kx b k   的图象与反比例函数 ( 0)my mx   的图象只有一个交点， 求交点坐标． 【分析】（1）直接把 (3,18) ， ( 2,8) 代入一次函数 y kx b  中可得关于 k 、b 的方程组，再 解方程组可得 k 、 b 的值，进而求出一次函数的解析式； （2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△ 0 ，解方程即可得到结 论． 【解答】解：（1）把 (3,18) ， ( 2,8) 代入一次函数 ( 0)y kx b k   ，得 3 18 2 8 k b k b      ， 解得 2, 12 k b    ， 一次函数的解析式为 2 12y x  ； （2）一次函数 ( 0)y kx b k   的图象与反比例函数 ( 0)my mx   的图象只有一个交点，  2 12y x my x    只有一组解， 即 22 12 0x x m   有两个相等的实数根， △ 212 4 2 ( ) 0m      ， 18m   ． 把 18m   代入求得该方程的解为： 3x   ， 把 3x   代入 2 12y x  得： 6y  ， 即所求的交点坐标为 ( 3,6) ． 【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一 次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 22．（7 分）如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图，图 2 是其示意图．汽车的车厢采用液 压机构、车厢的支撑顶杆 BC 的底部支撑点 B 在水平线 AD 的下方， AB 与水平线 AD 之间 的夹角是 5 ，卸货时，车厢与水平线 AD 成 60，此时 AB 与支撑顶杆 BC 的夹角为 45，若 2AC  米，求 BC 的长度．（结果保留一位小数） （参考数据：sin65 0.91  ，cos65 0.42  ，tan65 2.14  ，sin70 0.94  ，cos70 0.34  ， tan70 2.75  ， 2 1.41) 【分析】直接过点 C 作CF AB 于点 F ，利用锐角三角函数关系得出CF 的长，进而得出 BC 的长． 【解答】方法一：解：如图 1，过点 C 作CF AB 于点 F ， 在 Rt ACF 中， sin sin(60 5 ) sin65 CFCAB AC         ， sin65 2 0.91 1.82CF AC      ， 在 Rt BCF 中， 45ABC   ， CF BF  ， 2 1.41 1.82 2.5662 2.6BC CF      ， 答：所求 BC 的长度约为 2.6 米． 方法二：解：如图 2，过点 A 作 AE BC 于点 E ， 在 Rt ACE 中， 180 65 45 70C         ， cos cos70 CEC AC     ， 即 cos70 2 0.34 0.68CE AC      ， sin sin70 AEC AC    ， 即 sin70 2 0.94 1.88AE AC      ， 又在 Rt AEB 中， 45ABC  ， AE BE  ， 0.68 1.88 2.56 2.6BC BE CE       ， 答：所求 BC 的长度约为 2.6 米． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键． 六、（本大题 2 个小题，每小题 8 分，满分 16 分） 23．（8 分）今年 2 4 月某市出现了 200 名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者 进行了免费治疗．图 1 是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整）， 图 2 是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题． （1）轻症患者的人数是多少？ （2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？ （3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？ （4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的 A 、B 、C 、D 、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中 B 、 D 两位患者的 概率． 【分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数； （2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数； （3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可； （4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中 B 、D 两位同 学的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）轻症患者的人数 200 80% 160   （人 ) ； （2）该市为治疗危重症患者共花费钱数 200 (1 80% 15%) 10 100      （万元）； （3）所有患者的平均治疗费用 1.5 160 3 (200 15%) 100 2.15200       （万元）； （4）列表得： A B C D E A ( , )B A ( , )C A ( , )D A ( , )E A B ( , )A B ( , )C B ( , )D B ( , )E B C ( , )A C ( , )B C ( , )D C ( , )E C D ( , )A D ( , )B D ( , )C D ( , )E D E ( , )A E ( , )B E ( , )C E ( , )D E 由列表格，可知：共有 20 种等可能的结果，恰好选中 B 、 D 两位同学的有 2 种情况， P （恰好选中 B 、 2 1) 20 10D   ． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图的应用．注意树状图法与 列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法 适合两步或两步以上完成的事件；注意概率  所求情况数与总情况数之比． 24．（8 分）如图，已知 AB 是 O 的直径，C 是 O 上的一点，D 是 AB 上的一点，DE AB 于 D ， DE 交 BC 于 F ，且 EF EC ． （1）求证： EC 是 O 的切线； （2）若 4BD  ， 8BC  ，圆的半径 5OB  ，求切线 EC 的长． 【分析】（1）连接OC ，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得 90OCB ECF     ， 可证 EC 是 O 的切线； （2）由勾股定理可求 6AC  ，由锐角三角函数可求 5BF  ，可求 3CF  ，通过证明 OAC ECF ∽ ，可得 EC CF OA AC  ，可求解． 【解答】解：（1）连接 OC ， OC OB ， OBC OCB   ， DE AB ， 90OBC DFB     ， EF EC ， ECF EFC DFB     ， 90OCB ECF     ， OC CE  ， EC 是 O 的切线； （2） AB 是 O 的直径， 90ACB   ， 5OB  ， 10AB  ， 2 2 100 64 6AC AB BC      ， cos BD BCABC BF AB    ，  8 4 10 BF  ， 5BF  ， 3CF BC BF    ， 90ABC A     ， 90ABC BFD     ， BFD A   ， A BFD ECF EFC       ， OA OC ， OCA A BFD ECF EFC         ， OAC ECF ∽ ，  EC CF OA AC  ， 5 3 5 6 2 OA CFEC AC     ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，切线的判定和性质，锐角三 角函数等知识，证明 OAC ECF ∽ 是本题的关键． 七、（本大题 2 个小题，每小题 10 分，满分 20 分） 25．（10 分）如图，已知抛物线 2y ax 过点 9( 3, )4A  ． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线 l 过点 A ， 3(2M ， 0) 且与抛物线交于另一点 B ，与 y 轴交于点 C ，求证： 2MC MA MB  ； （3）若点 P ，D 分别是抛物线与直线 l 上的动点，以 OC 为一边且顶点为 O ，C ， P ，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的 P 点坐标． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）构建方程组确定点 B 的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． （3）如图 2 中，设 21( , )4P t t ，根据 PD CD 构建方程求出 t 即可解决问题． 【解答】解：（1）把点 9( 3, )4A  代入 2y ax ， 得到 9 94 a ， 1 4a  ， 抛物线的解析式为 21 4y x ． （2）设直线 l 的解析式为 y kx b  ，则有 9 34 30 2 k b k b        ， 解得 1 2 3 4 k b      ， 直线 l 的解析式为 1 3 2 4y x   ， 令 0x  ，得到 3 4y  ， 3(0, )4C ， 由 21 4 1 3 2 4 y x y x       ，解得 1 1 4 x y   或 3 9 4 x y    ， 1(1, )4B ， 如图 1 中，过点 A 作 1AA x 轴于 1A ，过 B 作 1BB x 轴于 1B ，则 1 1/ / / /BB OC AA ，  1 3 1 12 3 3 2 MBBM MC MO     ， 1 3 12 3 3( 3)2 MC MO MA MA      ，  BM MC MC MA  ， 即 2MC MA MB  ． （3）如图 2 中，设 21( , )4P t t OC 为一边且顶点为 O ， C ， P ， D 的四边形是平行四边形， / /PD OC ， PD OC ， 1 3( , )2 4D t t   ， 21 1 3 3| ( ) |4 2 4 4t t     ， 整理得： 2 2 6 0t t   或 2 2 0t t  ， 解得 1 7t    或 1 7  或 2 或 0（舍弃）， ( 1 7P   ， 72 )2  或 ( 1 7  ， 72 )2  或 ( 2,1) ． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质等知识， 解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 26．（10 分）已知 D 是 Rt ABC 斜边 AB 的中点， 90ACB   ， 30ABC   ，过点 D 作 Rt DEF 使 90DEF   ， 30DFE   ，连接CE 并延长 CE 到 P ，使 EP CE ，连接 BE ， FP ， BP ，设 BC 与 DE 交于 M ， PB 与 EF 交于 N ． （1）如图 1，当 D ， B ， F 共线时，求证： ① EB EP ； ② 30EFP   ； （2）如图 2，当 D ， B ， F 不共线时，连接 BF ，求证： 30BFD EFP     ． 【分析】（1）①证明 CBP 是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论； ②根据同位角相等可得 / /BC EF ，由平行线的性质得 BP EF ，可得 EF 是线段 BP 的垂直 平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得 30PFE BFE     ； （2）如图 2，延长 DE 到 Q ，使 EQ DE ，连接 CD ，PQ ，FQ ，证明 ( )QEP DEC SAS   ， 则 PQ DC DB  ， 由 QE DE ， 90DEF   ， 知 EF 是 DQ 的 垂 直 平 分 线 ， 证 明 ( )FQP FDB SAS   ，再由 EF 是 DQ 的垂直平分线，可得结论． 【解答】证明（1）① 90ACB   ， 30ABC   ， 90 30 60A      ， 同理 60EDF  ， 60A EDF    ， / /AC DE ， 90DMB ACB     ， D 是 Rt ABC 斜边 AB 的中点， / /AC DM ，  1 2 BM BD BC AB   ， 即 M 是 BC 的中点， EP CE ，即 E 是 PC 的中点， / /ED BP ， 90CBP DMB     ， CBP 是直角三角形， 1 2BE PC EP   ； ② 30ABC DFE     ， / /BC EF ， 由①知： 90CBP   ， BP EF  ， EB EP ， EF 是线段 BP 的垂直平分线， PF BF  ， 30PFE BFE    ； （2）如图 2，延长 DE 到 Q ，使 EQ DE ，连接CD ， PQ ， FQ ， EC EP ， DEC QEP   ， ( )QEP DEC SAS   ， 则 PQ DC DB  ， QE DE ， 90DEF   EF 是 DQ 的垂直平分线， QF DF  ， CD AD ， 60CDA A     ， 120CDB   ， 120 120 (60 ) 60 60FDB FDC EDC EDC EQP FQP                     ， ( )FQP FDB SAS   ， QFP BFD   ， EF 是 DQ 的垂直平分线， 30QFE EFD     ， 30QFP EFP     ， 30BFD EFP     ． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了平行线分线段成比理、勾股定理、三角形全等的性 质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，难度适中，属于中考常考题型．