2020年江苏省连云港市中考数学试卷

2020年江苏省连云港市中考数学试卷

2020 年江苏省连云港市中考数学试卷 一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3 分）3 的绝对值是 ( ) A． 3 B．3 C． 3 D． 1 3 2．（3 分）如图是由 4 个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是 ( ) A． B． C． D． 3．（3 分）下列计算正确的是 ( ) A． 2 3 5x y xy  B． 2( 1)( 2) 2x x x x     C． 2 3 6a a a D． 2 2( 2) 4a a   4．（3 分）“红色小讲解员”演讲比赛中，7 位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选 手成绩时，从 7 个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到 5 个有效评分．5 个有效 评分与 7 个原始评分相比，这两组数据一定不变的是 ( ) A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 5．（3 分）不等式组 2 1 3, 1 2 x x     „ 的解集在数轴上表示为 ( ) A． B． C． D． 6．（3 分）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的 A 处．若 24DBC   ，则 A EB 等于 ( ) A． 66 B． 60 C．57 D． 48 7．（3 分）10 个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内， A 、 B 、C 、 D 、 E 、 O 均是正六边形的顶点．则点 O 是下列哪个三角形的外心 ( ) A． AED B． ABD C． BCD D． ACD 8．（3 分）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上 匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程 ( )y km 与它们的行驶时间 ( )x h 之间的函数关 系．小欣同学结合图象得出如下结论： ①快车途中停留了 0.5h ； ②快车速度比慢车速度多 20 /km h ； ③图中 340a  ； ④快车先到达目的地． 其中正确的是 ( ) A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 二、填空题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上） 9．（3 分）我市某天的最高气温是 4 C ，最低气温是 1 C ，则这天的日温差是 C ． 10．（3 分）“我的连云港” APP 是全市统一的城市综合移动应用服务端．一年来，实名注 册用户超过 1600000 人．数据“1 600 000”用科学记数法表示为 ． 11．（3 分）如图，将 5 个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点 M 、 N 的坐标 分别为 (3,9) 、 (12,9) ，则顶点 A 的坐标为 ． 12．（3 分）按照如图所示的计算程序，若 2x  ，则输出的结果是 ． 13．（3 分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下， 可食用率 y 与加工时间 x（单位： )min 满足函数表达式 20.2 1.5 2y x x    ，则最佳加工时 间为 min ． 14．（3 分）用一个圆心角为 90 ，半径为 20cm 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥 的底面圆半径为 cm ． 15．（3 分）如图，正六边形 1 2 3 4 5 6A A A A A A 内部有一个正五边形 1 2 3 4 5B B B B B ，且 3 4 3 4/ /A A B B ， 直线 l 经过 2B 、 3B ，则直线 l 与 1 2A A 的夹角   ． 16．（3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的 O 与 x 轴的正半轴交于点 A ， 点 B 是 O 上一动点，点 C 为弦 AB 的中点，直线 3 34y x  与 x 轴、 y 轴分别交于点 D 、 E ，则 CDE 面积的最小值为 ． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 102 分.请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）计算 2020 1 31( 1) ( ) 645    ． 18．（6 分）解方程组 2 4 5, 1 x y x y       19．（6 分）化简 2 2 3 3 1 2 1 a a a a a a     ． 20．（8 分）在世界环境日 (6 月 5 日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部分 学生的成绩作为样本，按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，绘制了如 下尚不完整的统计图表． 测试成绩统计表 等级 频数（人数） 频率 优秀 30 a 良好 b 0.45 合格 24 0.20 不合格 12 0.10 合计 c 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）表中 a  ， b  ， c  ； （2）补全条形统计图； （3）若该校有 2400 名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的 学生约有多少人？ 21．（10 分）从 2021 年起，江苏省高考采用“ 3 1 2  ”模式：“3”是指语文、数学、外语 3 科为必选科目，“1”是指在物理、历史 2 科中任选 1 科，“2”是指在化学、生物、思想政 治、地理 4 科中任选 2 科． （1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是 ； （2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率． 22．（10 分）如图，在四边形 ABCD 中， / /AD BC ，对角线 BD 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别相交于点 M 、 N ． （1）求证：四边形 BNDM 是菱形； （2）若 24BD  ， 10MN  ，求菱形 BNDM 的周长． 23．（10 分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共 捐款 100000 元，乙公司共捐款 140000 元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： （1）甲、乙两公司各有多少人？ （2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 A 、B 两种防疫物资，A 种防疫物资每箱 15000 元， B 种防疫物资每箱 12000 元．若购买 B 种防疫物资不少于 10 箱，并恰好将捐款用完， 有几种购买方案？请设计出来（注: A 、 B 两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）． 24．（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 ( 0)my xx   的图象经过点 3(4, )2A ， 点 B 在 y 轴的负半轴上， AB 交 x 轴于点 C ， C 为线段 AB 的中点． （1） m  ，点 C 的坐标为 ； （2）若点 D 为线段 AB 上的一个动点，过点 D 作 / /DE y 轴，交反比例函数图象于点 E ， 求 ODE 面积的最大值． 25．（12 分）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道： “水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为 3m 的筒车 O 按逆时针方向每分钟转 5 6 圈，筒车 与水面分别交于点 A 、 B ，筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2.2m ，筒车上均匀分布 着若干个盛水筒．若以某个盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间． （1）经过多长时间，盛水筒 P 首次到达最高点？ （2）浮出水面 3.4 秒后，盛水筒 P 距离水面多高？ （3）若接水槽 MN 所在直线是 O 的切线，且与直线 AB 交于点 M ， 8MO m ．求盛水筒 P 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线 MN 上． （参考数据： 11cos43 sin 47 15     ， 11sin16 cos74 40     ， 3sin22 cos68 )8     26．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，把与 x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物 线”．如图，抛物线 2 1 1 3: 22 2L y x x   的顶点为 D ，交 x 轴于点 A 、B（点 A 在点 B 左侧）， 交 y 轴于点 C ．抛物线 2L 与 1L 是“共根抛物线”，其顶点为 P ． （1）若抛物线 2L 经过点 (2, 12) ，求 2L 对应的函数表达式； （2）当 BP CP 的值最大时，求点 P 的坐标； （3）设点 Q 是抛物线 1L 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若 DPQ 与 ABC 相似， 求其“共根抛物线” 2L 的顶点 P 的坐标． 27．（12 分）（1）如图 1，点 P 为矩形 ABCD 对角线 BD 上一点，过点 P 作 / /EF BC ，分别 交 AB 、 CD 于点 E 、 F ．若 2BE  ， 6PF  ， AEP 的面积为 1S ， CFP 的面积为 2S ， 则 1 2S S  ； （2）如图 2，点 P 为 ABCD 内一点（点 P 不在 BD 上），点 E 、 F 、 G 、 H 分别为各边 的中点．设四边形 AEPH 的面积为 1S ，四边形 PFCG 的面积为 2S （其中 2 1)S S ，求 PBD 的面积（用含 1S 、 2S 的代数式表示）； （3）如图 3，点 P 为 ABCD 内一点（点 P 不在 BD 上），过点 P 作 / /EF AD ， / /HG AB ， 与各边分别相交于点 E 、 F 、 G 、 H ．设四边形 AEPH 的面积为 1S ，四边形 PGCF 的面 积为 2S （其中 2 1)S S ，求 PBD 的面积（用含 1S 、 2S 的代数式表示）； （4）如图 4，点 A 、B 、C 、D 把 O 四等分．请你在圆内选一点 P （点 P 不在 AC 、BD 上），设 PB 、 PC 、 BC 围成的封闭图形的面积为 1S ， PA 、 PD 、 AD 围成的封闭图形的 面积为 2S ， PBD 的面积为 3S ， PAC 的面积为 4S ，根据你选的点 P 的位置，直接写出一 个含有 1S 、 2S 、 3S 、 4S 的等式（写出一种情况即可）． 2020 年江苏省连云港市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3 分）3 的绝对值是 ( ) A． 3 B．3 C． 3 D． 1 3 【解答】解：| 3| 3 ， 故选： B ． 2．（3 分）如图是由 4 个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解：从正面看有两层，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形． 故选： D ． 3．（3 分）下列计算正确的是 ( ) A． 2 3 5x y xy  B． 2( 1)( 2) 2x x x x     C． 2 3 6a a a D． 2 2( 2) 4a a   【解答】解： .2A x 与 3y 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B ． 2( 1)( 2) 2x x x x     ，故本选项符合题意； C ． 2 3 5a a a ，故本选项不合题意； D ． 2 2( 2) 4 4a a a    ，故本选项不合题意． 故选： B ． 4．（3 分）“红色小讲解员”演讲比赛中，7 位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选 手成绩时，从 7 个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到 5 个有效评分．5 个有效 评分与 7 个原始评分相比，这两组数据一定不变的是 ( ) A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【解答】解：根据题意，从 7 个原始评分中去掉 1 个最高分和 1 个最低分，得到 5 个有效评 分．5 个有效评分与 7 个原始评分相比，不变的是中位数． 故选： A ． 5．（3 分）不等式组 2 1 3, 1 2 x x     „ 的解集在数轴上表示为 ( ) A． B． C． D． 【解答】解：解不等式 2 1 3x  „ ，得： 2x„ ， 解不等式 1 2x   ，得： 1x  ， 不等式组的解集为1 2x „ ， 表示在数轴上如下： 故选： C ． 6．（3 分）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的 A 处．若 24DBC   ，则 A EB 等于 ( ) A． 66 B． 60 C．57 D． 48 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， 90A ABC     ， 由折叠的性质得： 90BA E A     ， A BE ABE   ， 1 1(90 ) (90 24 ) 332 2A BE ABE DBC             ， 90 90 33 57A EB A BE          ； 故选： C ． 7．（3 分）10 个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内， A 、 B 、C 、 D 、 E 、 O 均是正六边形的顶点．则点 O 是下列哪个三角形的外心 ( ) A． AED B． ABD C． BCD D． ACD 【解答】解：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等， 从 O 点出发，确定点 O 分别到 A ， B ， C ， D ， E 的距离，只有 OA OC OD  ， 点 O 是 ACD 的外心， 故选： D ． 8．（3 分）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上 匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程 ( )y km 与它们的行驶时间 ( )x h 之间的函数关 系．小欣同学结合图象得出如下结论： ①快车途中停留了 0.5h ； ②快车速度比慢车速度多 20 /km h ； ③图中 340a  ； ④快车先到达目的地． 其中正确的是 ( ) A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【解答】解：根据题意可知，两车的速度和为： 360 2 180( / )km h  ， 相遇后慢车停留了 0.5h ，快车停留了1.6h，此时两车距离为 88km ，故①结论错误； 慢车的速度为：88 (3.6 2.5) 80( / )km h   ，则快车的速度为100 /km h ， 所以快车速度比慢车速度多 20 /km h ；故②结论正确； 88 180 (5 3.6) 340( )km    ， 所以图中 340a  ，故③结论正确； (360 2 80) 80 2.5( )h    ， 5 2.5 2.5( )h  ， 所以慢车先到达目的地，故④结论错误． 所以正确的是②③． 故选： B ． 二、填空题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上） 9．（3 分）我市某天的最高气温是 4 C ，最低气温是 1 C ，则这天的日温差是 5 C ． 【解答】解： 4 ( 1) 4 1 5     ． 故答案为：5． 10．（3 分）“我的连云港” APP 是全市统一的城市综合移动应用服务端．一年来，实名注 册用户超过 1600000 人．数据“1 600 000”用科学记数法表示为 61.6 10 ． 【解答】解：数据“1600000”用科学记数法表示为 61.6 10 ， 故答案为： 61.6 10 ． 11．（3 分）如图，将 5 个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点 M 、 N 的坐标 分别为 (3,9) 、 (12,9) ，则顶点 A 的坐标为 (15,3) ． 【解答】解：如图， 顶点 M 、 N 的坐标分别为 (3,9) 、 (12,9) ， / /MN x 轴， 9MN  ， / /BN y 轴， 正方形的边长为 3， 6BN  ， 点 (12,3)B ， / /AB MN ， / /AB x 轴， 点 (15,3)A 故答案为 (15,3) ． 12．（3 分）按照如图所示的计算程序，若 2x  ，则输出的结果是 26 ． 【解答】解：把 2x  代入程序中得： 210 2 10 4 6 0     ， 把 6x  代入程序中得： 210 6 10 36 26 0      ， 最后输出的结果是 26 ． 故答案为： 26 ． 13．（3 分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下， 可食用率 y 与加工时间 x（单位： )min 满足函数表达式 20.2 1.5 2y x x    ，则最佳加工时 间为 3.75 min ． 【解答】解：根据题意： 20.2 1.5 2y x x    ， 当 1.5 3.752 ( 0.2)x     时， y 取得最大值， 则最佳加工时间为 3.75min ． 故答案为：3.75． 14．（3 分）用一个圆心角为 90 ，半径为 20cm 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥 的底面圆半径为 5 cm ． 【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为 r ， 根据题意得 90 202 180r   ， 解得 5( )r cm ． 故答案为：5． 15．（3 分）如图，正六边形 1 2 3 4 5 6A A A A A A 内部有一个正五边形 1 2 3 4 5B B B B B ，且 3 4 3 4/ /A A B B ， 直线 l 经过 2B 、 3B ，则直线 l 与 1 2A A 的夹角  48  ． 【解答】解：延长 1 2A A 交 4 3A A 的延长线于 C ，设 l 交 1 2A A 于 E 、交 4 3A A 于 D ，如图所示： 六边形 1 2 3 4 5 6A A A A A A 是正六边形，六边形的内角和 (6 2) 180 720      ， 1 2 3 2 3 4 720 1206A A A A A A       ， 2 3 2 3 180 120 60CA A A A C        ， 180 60 60 60C         ， 五边形 1 2 3 4 5B B B B B 是正五边形，五边形的内角和 (5 2) 180 540      ， 2 3 4 540 1085B B B    ， 3 4 3 4/ /A A B B ， 4 2 3 4 108EDA B B B     ， 180 108 72EDC       ， 180 180 60 72 48CED C EDC           ， 故答案为：48． 16．（3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的 O 与 x 轴的正半轴交于点 A ， 点 B 是 O 上一动点，点 C 为弦 AB 的中点，直线 3 34y x  与 x 轴、 y 轴分别交于点 D 、 E ，则 CDE 面积的最小值为 2 ． 【解答】解：如图，连接 OB ，取 OA 的中点 M ，连接 CM ，过点 M 作 MN DE 于 N ． AC CB ， AM OM ， 1 12MC OB   ， 点 C 的运动轨迹是以 M 为圆心，1 为半径的 M ，设 M 交 MN 于 C． 直线 3 34y x  与 x 轴、 y 轴分别交于点 D 、 E ， (4,0)D ， (0, 3)E  ， 4OD  ， 3OE  ， 2 23 4 5DE    ， MDN ODE   ， MND DOE   ， DNM DOE ∽ ，  MN DM OE DE  ，  3 3 5 MN  ， 9 5MN  ， 当点 C 与 C重合时，△ C DE 的面积最小，最小值 1 95 ( 1) 22 5      ， 故答案为 2． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 102 分.请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）计算 2020 1 31( 1) ( ) 645    ． 【解答】解：原式 1 5 4 2    ． 18．（6 分）解方程组 2 4 5, 1 x y x y       【解答】解： 2 4 5 1 x y x y      ① ② 把②代入①，得 2(1 ) 4 5y y   ， 解得 3 2y  ． 把 3 2y  代入②，得 1 2x   ． 原方程组的解为 1 2 3 2 x y      ． 19．（6 分）化简 2 2 3 3 1 2 1 a a a a a a     ． 【解答】解：原式 23 ( 1) 1 ( 3) a a a a a     23 (1 ) 1 ( 3) a a a a a     1 a a  ． 20．（8 分）在世界环境日 (6 月 5 日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部分 学生的成绩作为样本，按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，绘制了如 下尚不完整的统计图表． 测试成绩统计表 等级 频数（人数） 频率 优秀 30 a 良好 b 0.45 合格 24 0.20 不合格 12 0.10 合计 c 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）表中 a  0.25 ， b  ， c  ； （2）补全条形统计图； （3）若该校有 2400 名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的 学生约有多少人？ 【解答】解：（1）本次抽取的学生有： 24 0.20 120  （人 ) ， 30 120 0.25a    ， 120 0.45 54b    ， 120c  ， 故答案为：0.25，54，120； （2）由（1）知， 54b  ， 补全的条形统计图如右图所示； （3） 2400 (0.45 0.25) 1680   （人 ) ， 答：测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有 1680 人． 21．（10 分）从 2021 年起，江苏省高考采用“ 3 1 2  ”模式：“3”是指语文、数学、外语 3 科为必选科目，“1”是指在物理、历史 2 科中任选 1 科，“2”是指在化学、生物、思想政 治、地理 4 科中任选 2 科． （1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是 1 3 ； （2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率． 【解答】解：（1）在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科， 因此选择生物的概率为 1 3 ； 故答案为： 1 3 ； （2）用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有 12 种可能出现的结果，其中选中“化学”“生物”的有 2 种，   2 1 12 6P  化学生物 ． 22．（10 分）如图，在四边形 ABCD 中， / /AD BC ，对角线 BD 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别相交于点 M 、 N ． （1）求证：四边形 BNDM 是菱形； （2）若 24BD  ， 10MN  ，求菱形 BNDM 的周长． 【解答】（1）证明： / /AD BC ， DMO BNO   ， MN 是对角线 BD 的垂直平分线， OB OD  ， MN BD ， 在 MOD 和 NOB 中， DMO BNO MOD NOB OD OB         ， ( )MOD NOB AAS   ， OM ON  ， OB OD ， 四边形 BNDM 是平行四边形， MN BD ， 四边形 BNDM 是菱形； （2）解：四边形 BNDM 是菱形， 24BD  ， 10MN  ， BM BN DM DN    ， 1 122OB BD  ， 1 52OM MN  ， 在 Rt BOM 中，由勾股定理得： 2 2 2 25 12 13BM OM OB     ， 菱形 BNDM 的周长 4 4 13 52BM    ． 23．（10 分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共 捐款 100000 元，乙公司共捐款 140000 元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： （1）甲、乙两公司各有多少人？ （2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 A 、B 两种防疫物资，A 种防疫物资每箱 15000 元， B 种防疫物资每箱 12000 元．若购买 B 种防疫物资不少于 10 箱，并恰好将捐款用完， 有几种购买方案？请设计出来（注: A 、 B 两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）． 【解答】解：（1）设甲公司有 x 人，则乙公司有 ( 30)x  人， 依题意，得： 100000 7 140000 6 30x x    ， 解得： 150x  ， 经检验， 150x  是原方程的解，且符合题意， 30 180x   ． 答：甲公司有 150 人，乙公司有 180 人． （2）设购买 A 种防疫物资 m 箱，购买 B 种防疫物资 n 箱， 依题意，得：15000 12000 100000 140000m n   ， 416 5m n   ． 又 10n … ，且 m ， n均为正整数，  8 10 m n    ， 4 15 m n    ， 有 2 种购买方案，方案 1：购买 8 箱 A 种防疫物资，10 箱 B 种防疫物资；方案 2：购买 4 箱 A 种防疫物资，15 箱 B 种防疫物资． 24．（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 ( 0)my xx   的图象经过点 3(4, )2A ， 点 B 在 y 轴的负半轴上， AB 交 x 轴于点 C ， C 为线段 AB 的中点． （1） m  6 ，点 C 的坐标为 ； （2）若点 D 为线段 AB 上的一个动点，过点 D 作 / /DE y 轴，交反比例函数图象于点 E ， 求 ODE 面积的最大值． 【解答】解：（1）反比例函数 ( 0)my xx   的图象经过点 3(4, )2A ， 34 62m    ， AB 交 x 轴于点 C ， C 为线段 AB 的中点． (2,0)C ； 故答案为 6， (2,0) ； （2）设直线 AB 的解析式为 y kx b  ， 把 3(4, )2A ， (2,0)C 代入得 34 2 2 0 k b k b       ，解得 3 4 3 2 k b      ， 直线 AB 的解析式为 3 3 4 2y x  ； 点 D 为线段 AB 上的一个动点， 设 (D x ， 3 3)(0 4)4 2x x  „ ， / /DE y 轴， 6( , )E x x  ， 2 21 6 3 3 3 3 3 27( ) 3 ( 1)2 4 2 8 4 8 8ODES x x x x xx            ， 当 1x  时， ODE 的面积的最大值为 27 8 ． 25．（12 分）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道： “水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为 3m 的筒车 O 按逆时针方向每分钟转 5 6 圈，筒车 与水面分别交于点 A 、 B ，筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2.2m ，筒车上均匀分布 着若干个盛水筒．若以某个盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间． （1）经过多长时间，盛水筒 P 首次到达最高点？ （2）浮出水面 3.4 秒后，盛水筒 P 距离水面多高？ （3）若接水槽 MN 所在直线是 O 的切线，且与直线 AB 交于点 M ， 8MO m ．求盛水筒 P 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线 MN 上． （参考数据： 11cos43 sin 47 15     ， 11sin16 cos74 40     ， 3sin22 cos68 )8     【解答】解：（1）如图 1 中，连接 OA ． 由题意，筒车每秒旋转 5360 60 56     ， 在 Rt ACO 中， 2.2 11cos 3 15 OCAOC OA     ． 43AOC   ，  180 43 27.45   （秒 ) ． 答：经过 27.4 秒时间，盛水筒 P 首次到达最高点． （2）如图 2 中，盛水筒 P 浮出水面 3.4 秒后，此时 3.4 5 17AOP      ， 43 17 60POC AOC AOP           ， 过点 P 作 PD OC 于 D ， 在 Rt POD 中， 1cos60 3 1.5( )2OD OP m     ， 2.2 1.5 1.7( )m  ， 答：浮出水面 3.4 秒后，盛水筒 P 距离水面1.7m ． （3）如图 3 中， 点 P 在 O 上，且 MN 与 O 相切， 当点 P 在 MN 上时，此时点 P 是切点，连接 OP ，则 OP MN ， 在 Rt OPM 中， 3cos 8 OPPOM OM    ， 68POM   ， 在 Rt COM 中， 2.2 11cos 8 40 OCCOM OM     ， 74COM  ， 180 180 68 74 38POH POM COM            ， 需要的时间为 38 7.65  （秒 ) ， 答：盛水筒 P 从最高点开始，至少经过 7.6 秒恰好在直线 MN 上． 26．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，把与 x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物 线”．如图，抛物线 2 1 1 3: 22 2L y x x   的顶点为 D ，交 x 轴于点 A 、B（点 A 在点 B 左侧）， 交 y 轴于点 C ．抛物线 2L 与 1L 是“共根抛物线”，其顶点为 P ． （1）若抛物线 2L 经过点 (2, 12) ，求 2L 对应的函数表达式； （2）当 BP CP 的值最大时，求点 P 的坐标； （3）设点 Q 是抛物线 1L 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若 DPQ 与 ABC 相似， 求其“共根抛物线” 2L 的顶点 P 的坐标． 【解答】解：（1）当 0y  时， 21 3 2 02 2x x   ，解得 1x   或 4， ( 1,0)A  ， (4,0)B ， (0,2)C ， 由题意设抛物线 2L 的解析式为 ( 1)( 4)y a x x   ， 把 (2, 12) 代入 ( 1)( 4)y a x x   ， 12 6a   ， 解得 2a  ， 抛物线的解析式为 22( 1)( 4) 2 6 8y x x x x      ． （2）抛物线 2L 与 1L 是“共根抛物线”， ( 1,0)A  ， (4,0)B ， 抛物线 1L ， 2L 的对称轴是直线 3 2x  ， 点 P 在直线 3 2x  上， BP AP  ，如图 1 中，当 A ， C ， P 共线时， BP PC 的值最大， 此时点 P 为直线 AC 与直线 3 2x  的交点， 直线 AC 的解析式为 2 2y x   ， 3(2P ， 5) （3）由题意， 5AB  ， 2 5CB  ， 5CA  ， 2 2 2AB BC AC   ， 90ACB   ， 2CB CA ， 2 21 3 1 3 252 ( )2 2 2 2 8y x x x      ， 顶点 3(2D ， 25)8  ， 由题意， PDQ 不可能是直角， 第一种情形：当 90DPQ  时， ①如图 3 1 中，当 QDP ABC ∽ 时， 1 2 QP AC DP BC   ， 设 21 3( , 2)2 2Q x x x  ，则 3(2P ， 21 3 2)2 2x x  ， 2 21 3 25 1 3 92 ( )2 2 8 2 2 8DP x x x x         ， 3 2QP x  ， 2PD QP ， 21 3 92 3 2 2 8x x x     ，解得 11 2x  或 3 2 （舍弃）， 3(2P ， 39)8 ． ②如图 3 2 中，当 DQP ABC ∽ 时，同法可得 2QO PD ， 23 932 4x x x    ， 解得 5 2x  或 3 2 （舍弃）， 3(2P ， 21)8  ． 第二种情形：当 90DQP  ． ①如图 3 3 中，当 PDQ ABC ∽ 时， 1 2 PQ AC DQ BC   ， 过点 Q 作 QM PD 于 M ．则 QDM PDQ ∽ ，  1 2 QM PQ MD DQ   ，由图 3 1 可知， 3(2M ， 39)8 ， 11( 2Q ， 39)8 ， 8MD  ， 4MQ  ， 4 5DQ  ， 由 DQ PD DM DQ  ，可得 10PD  ， 3(2D ， 25)8  3(2P ， 55)8 ． ②当 DPQ ABC ∽ 时，过点 Q 作 QM PD 于 M ． 同法可得 3(2M ， 21)8  ， 5(2Q ， 21)8  ， 1 2DM  ， 1QM  ， 5 2QD  ， 由 QD PD DM DQ  ，可得 5 2PD  ， 3(2P ， 5)8  ． 27．（12 分）（1）如图 1，点 P 为矩形 ABCD 对角线 BD 上一点，过点 P 作 / /EF BC ，分别 交 AB 、 CD 于点 E 、 F ．若 2BE  ， 6PF  ， AEP 的面积为 1S ， CFP 的面积为 2S ， 则 1 2S S  12 ； （2）如图 2，点 P 为 ABCD 内一点（点 P 不在 BD 上），点 E 、 F 、 G 、 H 分别为各边 的中点．设四边形 AEPH 的面积为 1S ，四边形 PFCG 的面积为 2S （其中 2 1)S S ，求 PBD 的面积（用含 1S 、 2S 的代数式表示）； （3）如图 3，点 P 为 ABCD 内一点（点 P 不在 BD 上），过点 P 作 / /EF AD ， / /HG AB ， 与各边分别相交于点 E 、 F 、 G 、 H ．设四边形 AEPH 的面积为 1S ，四边形 PGCF 的面 积为 2S （其中 2 1)S S ，求 PBD 的面积（用含 1S 、 2S 的代数式表示）； （4）如图 4，点 A 、B 、C 、D 把 O 四等分．请你在圆内选一点 P （点 P 不在 AC 、BD 上），设 PB 、 PC 、 BC 围成的封闭图形的面积为 1S ， PA 、 PD 、 AD 围成的封闭图形的 面积为 2S ， PBD 的面积为 3S ， PAC 的面积为 4S ，根据你选的点 P 的位置，直接写出一 个含有 1S 、 2S 、 3S 、 4S 的等式（写出一种情况即可）． 【解答】解：（1）如图 1 中， 过点 P 作 PM AD 于 M ，交 BC 于 N ． 四边形 ABCD 是矩形， / /EF BC ， 四边形 AEPM ，四边形 MPFD ，四边形 BNPE ，四边形 PNCF 都是矩形， 2BE PN CF    ， 1 62PFCS PF CF     ， AEP APMS S  ， PEB PBNS S  ， PDM PFDS S  ， PCN PCFS S  ， ABD BCDS S  ， AEPM PNCFS S 矩形 矩形 ， 1 2 6S S   ， 1 2 12S S   ， 故答案为 12． （2）如图 2 中，连接 PA ， PC ， 在 APB 中，点 E 是 AB 的中点， 可设 APE PBES S a   ，同理， APH PDHS S b   ， PDG PGCS S c   ， PFC PBFS S d   ， AEPH PFCGS S a b c d     四边形 四边形 ， PEBF PHDGS S a b c d    四边形 四边形 ， 1 2AEPH PFCG PEBF PHDGS S S S S S     四边形 四边形 四边形 四边形 ， 1 2 1 2ABD ABCDS S S S   平行四边形 ， 1 1 2 1 1 2 1( ) ( )PBD ABD PBE PHDS S S S S S S S a S a S S                ． （3）如图 3 中，由题意四边形 EBGP ，四边形 HPFD 都是平行四边形， 2 EBPEBGPS S 四边形 ， 2 HPDHPFDS S四边形 ，    1 2 1 2 1 1 12 22 2 2ABD EBP HPD EBP HPDABCDS S S S S S S S S S             平行四边形 ， 1 2 1 1( ) ( )2PBD ABD EBP HPDS S S S S S S          ． （4）如图 4 1 中，结论： 2 1 3 4S S S S   ． 理由：设线段 PB ，线段 PA ，弧 AB 围成的封闭图形的面积为 x ，线段 PC ，线段 PD ，弧 CD 的封闭图形的面积为 y ． 由题意： 1 4 1 3S x S S y S     ， 3 4x y S S    ， 1 2 1 42( )S S x y S x S      ， 2 1 4 3 42S S x y S S S       ． 同法可证：图 4 2 中，有结论： 1 2 3 4S S S S   ． 图 4 3 中和图 4 4 中，有结论： 1 2 3 4| | | |S S S S   ．