第4章 第1节 光的直线传播与反射-2021年初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破

第4章 第1节 光的直线传播与反射-2021年初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破

第四讲 光现象初步 第一节 光的直线传播与反射 一、光源与光速 光源：本身能够发光的物体叫做光源，例如太阳、点燃的蜡烛、发光的灯泡等。按照几何形状 不同，光源可以分为点、线、面、体光源。它们都是实际光源的抽象和近似。 点光源：凡是本身的大小与被它照到的物体间的距离大小相比可以忽略不计的光源，都可以看 做“点光源”。点光源是一种理想化模型。 光线：物理学中用来表示光传播的方向和路径的一条带箭头的射线叫做光线。光线是由一小光 束抽象而建立的物理模型。 光束：光束分为会聚、平行、发散光束。点光源发出的是发散光束，太阳发出的是平行光束。 光在不同介质中的传播速度不同。光可以在真空中传播，并且在真空中的传播速度最大，为 83.0 10 m / sc   。光在空气中的传播速度十分接近光在真空中的传播速度，通常也可以近似认为 是 83.0 10 m / s 。光速 c是速度的上限，任何物体的速度都不可能超过光速 c。 二、光的直线传播 光在同种均匀的介质中沿直线传播。阳光下树木、建筑物的影子，月食、日食以及小孔成像， 就是由于光的直线传播形成的。光在不同的或不均匀的介质中，则不一定沿直线传播。 根据光沿直线传播的性质，如果知道一个发光体 S 射出的两条光线，只要 把这两条光线向相反方向延长到它们的交点，就能确定发光体的位置，如图 2.1 所示。在人用眼睛观察物体的时候，根据两只眼睛对物体的视线间的夹角可以 判断物体的位置也是这个道理。 (一)影 点光源发出的光照射到不透明的物体上时，物体向光的表面被照亮，在背光面的后方形成一个 光照不到的黑暗区域，这就是物体的影。图 2.2 所示为点光源的影。 影区是发自光源并与被照物体的表面相切的光线围成的。如果用一个发光面比较大的光源来代 替点光源，影的情形就会不同。发光面上的每个发光点都可以看做一个点光源，它们都在物体的背 后造成影区，这些影共有的完全不会受到光照射的范围叫做本影。本影的周围还有一个能受到光源 发出的一部分光照射的区域，叫做半影。图 2.3 所示为面光源的本影与半影。光源的发光面越大， 本影区越小。 (二)日食和月食 发生日食时，太阳、月球和地球位于同一直线上，月球在中间。太阳发出的光线经月球遮挡后， 形成如图 2.4 所示的 a ，b ，c，d 四个影区，其中 a 为本影区，没有光线能够照射到该区域，b 为 伪本影区，只有太阳边缘发出的光线可以照射到该区域，c 和 d 为半影区。当地球上的观察者位于 a 区域内时，将观察到日全食，位于b 区域时，可以观察到日环食，位于 c 和 d 区域时则可以观察到 日偏食。 发生月食时，太阳、地球和月球位于同一直线上，地球在中间，如图 2.5 所示。当月球有一部 分进入地球的本影区时，在本影区的部分由于没有光线到达，因此该部分不能被看到，形成月偏食。 当月球全部进入地球的本影区 a 时，由于没有太阳的光线照射到月球表面，月球也不再反光，因此 地球上的观察者会看到月全食。在月食现象中，不可能出现月环食。 三、光的反射 光在入射到两种介质的分界面上时，又返回到原来介质中继续传播的现象叫做光的反射。反射 分为镜面反射和漫反射。无论哪种反射，对每一条光线而言，都遵从光的反射定律。 (一)光的反射定律 在反射现象中，反射光线和入射光线、法线在同一平面内，反射光线 和入射光线分别位于法线的两侧，反射角等于入射角(图 2.6)。在反射现象 中，光路是可逆的。 (二)平面镜对光线的反射作用平面镜可以使光线发生镜面反射，我们可以 用平面镜来控制和改变光路。 1．当入射光线方向不变时，平面镜旋转 角，反射光线将转过 2 角 例 1(上海第 27 届大同杯初赛)入射光线与平面镜的夹角为 70 ，若入射光线方向不变，使平面 镜绕入射点沿入射光线与法线构成的平面顺时针方向旋转 40 后，入射光线与反射光线的夹角为 ( )。 A． 40 B．80 C．120 D．160 分析与解 本题有两种情况，先分别画出示意图，如图 2.7(a)和(b)所示。在图 2.7(a)中，平面镜 顺时针转过 40 后，反射光线 OB 转过80 角至 OB 的位置，由几何关系知此时入射光线与反射光 线的夹角为120 ；在图 2.7(b)中，平面镜顺时针转过 40 后，反射光线OB 转过80 角至OB 的位 置，同样根据角度间关系知此时入射光线与反射光线的夹角为 40 。本题正确选项为 AC。 2．角镜反射问题 所谓角镜，是指两个平面镜反射面相对，互成一定夹角。当光线入射时，可以在两平面镜间发 生两次甚至多次反射。 两块互相垂直的平面镜是同学们所熟知的一种角镜，当有一条光线射入两个互相垂直的平面镜， 其反射光线必与入射光线平行。更一般的情况请看下面例题。 例 2 如图 2.8 所示，两平面镜 1OM ， 2OM 之间的夹角为 ，入射光与平面镜 2OM 平行，经 两个镜面两次反射后，出射光与 1OM 平行，那么 角应为( )。 A．30 B． 45 C． 60 D． 75 分析与解 如图 2.9 所示，入射光线平行于 2OM ，则 1   ，反射光线平行于 1OM ，则 4   。 又根据反射定律，反射角等于入射角，则反射光线与镜面的夹角也等于入射光线与镜面的夹角，即 1 2   ， 3 4   ，所以 ABC△ 为等边三角形， 60   。本题正确选项为 C。 例 3 到若使一束光先后经两平面镜反射后，出射光线与入射光线垂直，这两平面镜应如何放 置？ 分析与解 画出如图 2.10 所示的光路示意图，我们只要找到镜面夹角 与反射光线和入射光线夹角 的关系，并令 90  ，即可求得 的值。设 入射光线与镜面OM 的夹角为 ，则结合反射定律可知 OBC   ， 180 2ABC     则 180OCB       180 2 2 2 180BCD OCB           180 180 2ABC BCD        令 90  ，可得 45   。因此两镜面夹角应为 45 。 例 4 (上海第 29 届大同杯初赛)如图 2.11 所示，平面镜OM 与ON 之间夹角 为 ，在两平面镜角平分线上有一个点光源 S ，如果要保证 S 发出的任意一条光 线最多只能产生两次反射，则 的最小值是( )。 A．120 B．90 C． 72 D． 60 分析与解 画出光路图如图 2.12 所示，若经两次反射后，出射光线 BC 与镜面ON 的夹角 满 足 „ 时，第三次反射将不会发生。设入射光线 SA 与镜面 OM 夹角为 ，则 2 … 。根据光的反射原理并结合几何关系可得 OAB   ， 180OBA        又 „ ，即180     „ ，得 2 180  … ，当 2   时， 72 … ，因此 的最小值为 72 ，本题正确选项为 C。 值得说明的是，若要求从 S 发出的任意一条光线最多只能产生三次、四次……反射，解决方法 类似。 较之角镜的两次反射，多次反射问题要复杂一些，下面给出一些例题及解题方法。 例 5 如图 2.13 所示，平面镜 OM 与 ON 的夹角为 ，一条平 行于平面镜 ON 的光线经过两个平面镜的多次反射后，能够沿着原 来的光路返回，则平面镜之间的夹角不可能是( )。 A．1 B． 2 C．3 D． 4 分析与解 要使光线能够原路返回，就需要让光线最终能垂 直入射到某一镜面上。画出如图 2.14 所示的光路图，根据光的反 射定律及角度间的关系，可知 ABM   ， 2BCN   3CDM   ， 4DEC   ，…… 因此经过 N 次反射后，入射光线与平面镜的夹角变为 N ，只需 90N   ， 90 N   即可使 光线原路返回。因为 N 为 1，2，3，4，…等自然数，因此 不可能等于 4。本题正确选项为 D。 对于光线在角镜之间多次反射的问题，也可以进行如下处理： 如图2.15(a)所示，点光源 S 发出一条光线 SA ，在平面镜ON ，OM 上的 A ，B ，C 点发生三 次反射的情形( C 处的反射光线未画出)可以转化为图2.15(b)所示情形：以平面镜ON 为对称轴画出 平面镜OM 的对称图形 1OM 、光线 AB 的对称图形 1AB 、光线 BC 的对称图形 1B C ；然后，再以 1OM 为对称轴，画出平面镜 ON 的对称图形 1ON 和 1B C 的对称图形 1 1BC ，显然， S ， A ， 1B ， 1C 四点 共线，即光线相当于沿着直线从 S 到达 1C 点， 1SC 与ON ， 1OM ， 1ON ；亦有三个交点 A ， 1B ， 1C ，这代表了光线 SA 在角镜之间发生了三次反射。 在解题时，若能灵活运用上述规律，则可以省去寻找角度间的复杂关系的过程。 例 6 (上海第 29 届大同杯初赛)如图 2.16 所示，平面镜OM 与ON 镜面之间的夹角为 ，在 两平面镜角平分线上有一个点光源 S ，如果要保证 S 发出的任意一条光线最多只能产生四次反射， 则 的最小值是( )。 A．30 B． 40 C．50 D． 60 分析与解 由于入射光线在两平面镜间反射了4次不再与镜面相遇，说明我们从 OM 开始连续 沿逆时针作夹角为 的平面若干个(注意 OM 与ON 不是所作的平面)，如图2.17所示，当任意一条 入射光线与所作的第4个平面不再有交点时，就说明不再与镜面相遇了，由几何关系知 4 180 2   … ， 解得 40 … 。所以本题正确选项为B。 例 7 (上海第 28 届大同杯初赛)如图 2.18 所示，两平面镜OM 和ON 的夹角为 ，入射光线平 行于ON 镜且在两镜面间经 12 次反射后不再与镜面相遇，则两镜面之间的夹角 可能为( )。 A．13 B．14 C．15 D．16 分析与解 如图 2.19 所示，由于入射光线在两平面镜间反射了 12 次不再与镜面相遇，说明我 们从OM 开始连续沿逆时针作夹角为 的平面 12 个，当入射光线与 所作的最后一个平面不再有交点时，就说明不再与镜面相遇了，即 120 180 … ，解得 13.8 … ；当入射光线在两平面镜间反射 11 次时，11 180    ，解得 15   。故13.8 15  „ ，所以本题 正确选项为 B。 练习题 1．(上海第 8 届大同杯复赛)在阳光照射下，竖立的木杆 AB 在地面上的投影为 BC ，如图 2.20 所示。图中点 M 为木杆 AB 的中点， 3S C 为 BCA 的角平分线。由图可知，阳光的照射方向沿着 ( )。 A． 1S A B． 4S B C． 2S M D． 3S C 2．月球位于太阳和地球之间时，月球的影子如图2.21所示，下面说法中正确的是( )。 A．位于区域 a 和b 内的人可看到月全食 B．位于区域 c和 d 内的人可看到日全食 C．位于区域 b 内的人可看到日环食 D．位于区域c 和 d 内的人可看到日偏食 3．(上海第 28 届大同杯初赛)日食、月食是我们在地球上通过肉眼能直接观测到的天文现象，如 果定义月球的半径为 1，则地球的半径约为 3.7，太阳的半径约为 400，地、月距离约为 220，地、 日距离约为 48.6 10 ，参考上述数据可以判断，在地球上看不到的现象是( )。 A．月环食 B．月全食 C．日环食 D．日全食 4．(上海第25届大同杯初赛)地球的半径为 R ，地球的自转周期为 24h ，某地球同步卫星位于赤 道上空且离地面的高度约为5.6R ，卫星正下方地面上有一观察者，用天文望远镜观察被太阳光照射 的此卫星。若不考虑大气对光的折射，春分(即太阳光直射赤道)那天在日落的时间内，此人观察不到 卫星的时间约为( )。 A． 40 min B． 70 min C．100 min D．140 min 5．早在公元前 305 年，著名天文学家埃拉托色尼就已经测量出了地球的周长，与现代科学公认 的地球周长的真实值相差不到 0.1%。他在研究中发现，每年夏至这天，塞恩城(今埃及阿斯旺)正午 的太阳光正好直射到城内一口深井的底部。而远在 kmS 以外的亚历山大城，夏至这天正午的太阳光 却会使物体在地面上留下一个影子，他测得太阳光方向与竖直方向之间的夹角为 (单位：度)，由此 得出地球的周长为( )。 A． km360 S  B． 360 kmS   C． km180 S  D．180 kmS   6．(2007 年大同杯初赛)用转动八面镜法可以测光速，实验装置示意图如图 2.22 所示。 S 为发 光点，T 为望远镜，平面镜 O 与凹面镜 B 构成了反射系统。八面镜 M 距反射系统的距离 AB 为 L ( L 可长达几十千米，且远大于OB 以及 S 和T 到八面镜的距离)。调整八面镜的位置直到通过望远镜能 看到发光点 S ，然后使八面镜转动起来，并缓慢增大其转速(1 秒内转过的圈数)，当转速达到 0n 时， 恰能在望远镜中再一次看见发光点 S ，由此得到光速 c的表达式是( )。 A． 04c Ln B． 08c Ln C． 016c Ln D． 032c Ln 7．(2009 年大同杯初赛)如图 2.23 所示，平面镜OM 与ON 的夹角为 ，一条平行于平面镜ON 的光线经过两个平面镜的多次反射后，能够沿着原来的光路返回。则两平面镜之间的夹角不可能是 ( )。 A． 20 B．15 C．10 D．5 8．(上海第29届大同杯初赛)如图2.24所示，平面镜OM 与 ON 镜面之间夹角为 ，在两平面镜 角平分线上有一个点光源 S ，如果要保证 S 发出的任意一条光线最多只能产生7次反射，则 的最 小值是( )。 A．14 B． 24 C．34 D． 44 9．(上海第 11 届大同杯初赛)如图 2.25 所示，光屏和正在旋转着的六面镜都竖直放置，六面镜 的横截面为正六边形，一束光垂直通过光屏的小孔，正对六面镜的转轴OO 射来。如果镜与光屏之 间的距离为l ，六面镜的镜面宽度与 l 相比可以忽略不计，光屏足够大，那么这束光经镜面反射在光 屏上所成的光点轨迹，其最大距离是( )。 A． 2l B． 2 tan 60l  C． 2 tan 60 l  D． tan 60 l  10．(上海第 18 届大同杯初赛)如图 2.26 所示，两平面镜OA 和OB 之间的夹角 为9 ，自平面 镜 OB 上的某点 P 射出一条与 OB 镜面成  角的光线，在  角由 0至180 范围内(不包括0 )连续变化的过程中，发现当  取某角 度时，光线经镜面一次或多次反射后，恰好能返回到 P 点，则符合 该要求的  有( )。 A．1 个 B．2 个 C．6 个 D．9 个 11．(上海第18届大同杯初赛)如图2.27所示，两平面镜垂直放置，某光线 PA 以入射角 入射到 镜面OM 上，经平面镜OM 和ON 两次反射后反射光线 BQ 与 PA 平行。现将两平面镜以过 O 点且 垂直于纸面的直线为轴同时逆时针旋转一个角度     ，假设镜面足够大，则入射光线与反射 光线之间的距离将( )。 A．增大 B．减小 C．不变 D．无法判断 12．(上海第 5 届大同杯初赛)两个互相垂直的平面镜组成了激光反射器，如图 2.28 所示。如果 入射光线方向不变，反射器绕 O 点沿顺时针方向转过 30 ，那么经过反射器两次反射的光线将转过 ( )。 A．90 B．15 C．30 D． 0 13．如图 2.29(a)所示，平面镜OM 与ON 的夹角为 ，光线 AB 经过平面镜的两次反射后出射 光线为CD 。现将平面镜OM 与ON 同时绕垂直纸面且过 O 点的轴转过一个较小的角度  ，而入射 光线不变，如图 2.29(b)所示。此时经过平面镜两次反射后的出射光线将( )。 A．与原先的出射光线CD 平行 B．与原先的出射光线CD 重合 C．与原先的出射光线CD 之间的夹角为 2 D．与原先的出射光线CD 之间的夹角为  14．如图2.30所示，两平面镜OA 和OB 成15 夹角交于O 点，镜面足够长，从 C 点处垂直于OA 镜面射出一条光线，此光线在两镜间经多次反射后不再与镜面相遇。试问：有几次反射？而最后一 次反射发生在哪个镜面上？( ) A．5次，OB 镜 B．6次，OB 镜 C．5次，OA 镜 D．6次，OA 镜 15．(上海第 9 届大同杯复赛)如图 2.31 所示，两块平面镜互成 60 角放置，平行于角平分线的 两条光线 AO 和CO 分别射到两块平面镜上，它们的反射光线OB 的反向延长线与O D 的反向延长 线的夹角 为________。 16．如图 2.32 所示，从光源发出的光垂直射到平面镜上，经反射在正对着平面镜 3m 处的墙 上 A 处有一光斑。若使光斑向上移动1m 至 B 处，平面镜应以O 点为轴转过的角度为________。 17．如图 2.33 所示，平面镜 1OM 与 2OM 成 角，A 为 1OM 上一点，光线从 A 点出发，对于 2OM 的入射角是50 ，经过来回四次反射后跟 2OM 平行，则 角为________。 参考答案 1．A。根据光的直线传播，影子的末端 C 点应是 A 点挡住阳光留下的，因此 1S A为阳光照射 的方向。 2．CD。题中是月亮挡住了太阳的光，则位于 c和 d 区域的人可以看到日偏食，位于b 区域的 人可以看到日环食，位于 a 区域的人可以看到日全食。 3．A。日全食、日环食、日偏食以及月全食、月偏食都可以在地球上观察到，月环食不可能 观测到。 4．B。如图 2.34 所示，当阳光照射不到卫星时，地面上的 人就观察不到该卫星。可见，卫星随地球从 A 转到 B 的过程中， 人都看不到该卫星。结合题意，可知 1cos 6.6 OC OA    ，求得 81.3   ，则 180 2 17.4     。 因此看不到卫生的时间 24 60min360t    69.6min ，本题正确选项为 B。 5．B。题中所述深井与地球球心的连线和亚历山大城与球心的连线的夹角为 ，两地间的距 离 S 即为圆心角 所对应的弧长，设地球周长为 kmC ，则 360S C  ，解得 360 kmSC  。 6．C。光从 S 出发，经过一系列反射到达望远镜T ，总路程为 2L 。从图 2.22 所示位置开始， 到 望 远 镜 中 再 次 看 到 发 光 点 S ， 八 面 镜 转 过 了 1 8 圈 ， 用 时 0 1 8t n  。 因 此 光 传 播 的 速 度 0 2 16Lc Lnt   ，选项 C 正确。 7．A。略，可参照本节例5的解答。 8．B。仿照本节例 6 的解答，我们从OM 开始连续沿逆时针作夹角为 的平面若干个(注意OM 与ON 不是所作的平面)，当任意一条入射光线与所作的第 7 个平面不再有交点时，说明光线最多反 射 7 次后就不再与镜面相遇了，由几何关系知 7 180 2   … ，解得 24 … 。所以本题正确选项为 B。 9．B。光线由小孔垂直射向六面镜的某个反射面时，反射光线将回到 小孔，当六面镜由此位置转动30 时，光线恰入射到某反射面的边缘，此 时反射光线转过 60 ，如图2.35所示(俯视图)，光屏上的光斑离小孔的距离 达到最 大，设为 d ，则 tan 60d l   ，因此 光斑移动的最 大距离为 2 2 tan 60d l  。 10．D。要使光线最终能返回到 P 点，则需光线能垂直入射到某镜面 上。若光线直接由 P 点垂直射向OA 镜面，则由 几何关系可得 90   ，若光线经 OA 反射一次后，反射光线垂直于 OB 镜面，则 90 2   ，以此类推，当光线第 N 次与两镜面垂直时， 有 90 N    ，显然  应大于零，则 10N  ，  的值共有 9 个。 11．C。如图 2.36 所示，由于OM 和ON 两镜面垂直，所以入射光线 PA 和反射光线 BQ 平行。过 A 点作 AC 垂直 BQ 于C 点，根据光的反射定律 及 几 何 关 系 ， 在 直 角 OAB△ 中 ， ABO   ， 则 sin OAAB  。 在 直 角 ABC△ 中 ， 180 2ABC     ，则  sin 180 2 sin 2 2 cossin OAAC AB OA      将镜面转过  角后，入射光线与镜面 OM  交于 D 点，入射角变为  ，最终反射光线与入 射光线仍平行，设此时两光线的距离为 d ，则      sin 2 2 2sin ODd ODcso        又在 AOD△ 中，由正弦定理得    sin 90 sin 90 OD OA         解得   cos cos OSOD     ，则可得      2 cos2 cos 2 coscos OSd ODcso OA          可见，镜面转动后，最终的反射光线与入射光线平行，且距离并未改变。即最终的反射光线位置并 未改变。 12．D。光线射向两个互相垂直的平面镜，反射光线与原来的入射光线平行，只要入射光线位 置不变，反射光线位置也不变。这可由第 11 题得到佐证。 13．B。可参考第 11 题的解答进行证明。 14．A。我们从 OB 开始连续沿逆时针作夹角为15 的平面若干个，当作到第 6 个时，发现第 6 个平面已经与光线平行，因此，光线只能与OB 以及所作的 4 个平面相交，故只能反射 5 次，由于 第一次是在OB 镜反射，第二次在OA 镜反射，以此类推，第五次反射应在 OB 镜。 15．120 。 等于两镜面的夹角与两入射光线与各自镜面夹角的和。 16．15 。由几何关系可知反射光线转过了30 角，则平面镜转过了15 角。 17．10 。第一次反射时，反射光线与 2OM 镜面的夹角为 40 ；第二次反射时，反射光线与 1OM 镜面的夹角为 40   ；第三次反射时，反射光线与 2OM 镜面的夹角为 40 2  ；第四次反射时， 反射光线与 1OM 镜面的夹角为 40 3  ，则有 40 3    ， 10   。