人教版【新版】九年级数学上册第21章 一元二次方程 教学课件

人教版【新版】九年级数学上册第21章 一元二次方程 教学课件

21.1一元二次方程第二十一章一元二次方程 学习目标1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数.2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.（重、难点）3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点） 情景引入雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无私奉献的精神影响了一代又一代的中国人．在国内有多处雷锋雕像，那么你知道这些雕像是怎么设计的吗？导入新课 设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高AB为2m，下部BC=xm，请列出方程.ACB解：列方程得整理得x2+2x-4=0．①x2=2(2-x)，导入新课想一想，上述方程与以往我们学过的方程有什么联系和区别？xm(2-x)m等量关系：AC：BC=BC：AB即BC2=2AC 问题1有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？100cm50cmx3600cm2一元二次方程的概念一解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm，根据方盒的底面积为3600cm2，得化简，得②该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?解：根据题意，列方程：化简，得：该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？③ 观察与思考方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点:①都是整式方程;②都只含一个未知数;③未知数的最高次数都是2.x2-75x＋350=0②x2+2x-4=0①x2-x-56=0③ 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.知识要点一元二次方程的概念ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)ax2称为二次项，a称为二次项系数.bx称为一次项，b称为一次项系数.c称为常数项.一元二次方程的一般形式是 视频：一元二次方程一般式 想一想为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c可以为零吗？当a=0时bx＋c=0当a≠0，b=0时，ax2＋c=0当a≠0，c=0时，ax2＋bx=0当a≠0，b=c=0时，ax2=0总结：只要满足a≠0，b，c可以为任意实数. 典例精析例1下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含两个未知数化简整理成x2-3x+2=0化简整理成12x+10=0提示判断一元二次方程的步骤，首先看是不是整式方程；如果是，则进一步整理化简，看化简后的方程中是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2. 判断下列方程是否为一元二次方程？(2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=0××××××(1)x2+x=36注意：未限定a≠0 例2a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2－x=2x2；(2)(a－1)x|a|+1－2x－7=0.解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a|+1=2，且a－1≠0知，当a=－1时，原方程是一元二次方程.方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 变式：方程(2a－4)x2－2bx+a=0,（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？解：（1）当2a－4≠0，即a≠2时，是一元二次方程；（2）当a=2且b≠0时，是一元一次方程．方法点拨：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系：1.相同点：都是整式方程，只含有一个未知数；2.不同点：一元一次方程未知数最高次数是1，一元二次方程未知数最高次数是2. 例3将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常数项.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得3x2-8x-10=0.其中二次项系数是3；一次项系数是-8；常数项是-10.系数和项均包含前面的符号.注意 一元一次方程一元二次方程一般式相同点不同点思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ax=b(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是1未知数最高次数是2 一元二次方程的根二一元二次方程的根使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.试一试：下面哪些数是方程x2–x–6=0的解?-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4x-4-3-2-101234x2–x–61460-4-6-6-406 例4已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0,9+4a=0,4a=-9,方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程会得到一个关于这个字母的一元一次方程，求解即可得到字母的值. 变式：已知a是方程x2+2x－2=0的一个实数根，求2a2+4a+2018的值.解：由题意得：方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，代入求值． 问题在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？3220x建立一元二次方程模型三 1.若设小路的宽是xm，则横向小路的面积是______m2，纵向小路的面积是m2,两者重叠的面积是m2.32x2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？整理以上方程可得思考：2×20x32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=5702x2x2-36x＋35=03220x 想一想：还有其他的方法吗？试说明原因.(20-x)(32-2x)=57032-2x20-x3220 审建立一元二次方程模型的一般步骤设找列审题，弄清已知量与未知量之间的关系设未知数找出等量关系根据等量关系列方程 1.下列哪些是一元二次方程？√×√××√3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-1 2.填空：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项01313-540-53-2 3.关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，当k时，是一元二次方程．当k时，是一元一次方程．≠±1＝－1 4.（1）已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则m的值为___________;（2）若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0，求m的值.二次项系数不为零不容忽视解：将x=0代入方程得m2-4=0，解得m=±2.∵m+2≠0，∴m≠-2，综上所述：m=2. 5.(1)如图，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）；解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为3x2cm2.整理，得根据题意，得200cm150cm (2)如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x，整理，得根据题意，得 拓广探索已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为1，求a+b+c的值.解：由题意得思考：1.若a+b+c=0，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根吗?解：由题意得∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根是x=1.2.若a-b+c=0，4a+2b+c=0，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根吗?x=-1x=2 一元二次方程概念是整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数是2.一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；根使方程左右两边相等的未知数的值.建立一元二次方程模型审→设→找→列 21.2.1配方法第二十一章一元二次方程第1课时直接开平方法 学习目标1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程.(重点） 情景引入古代行军打仗，常常需要先探知敌方驻扎情况。某日，侦察兵汇报：“敌方驻扎在30里之外，营地形似正方形，约16方里”，将军立马说：“原来敌方营地长4里”。思考：将军是怎么知道敌方营地长的？ 1.如果x2=a，则x叫做a的.复习引入平方根2.如果x2=a(a≥0)，则x=.3.如果x2=64，则x=.±84.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数. 直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程一问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设一个盒子的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程10×6x2=1500，由此可得x2=25开平方得即x1=5，x2=－5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．x=±5， 试一试：解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解：根据平方根的意义，得x1=2，x2=-2.解：根据平方根的意义，得x1=x2=0.解：移项，得x2=-1，因为负数没有平方根，所以原方程无解. (2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根=0;(3)当p<0时，因为任何实数x，都有x2≥0，所以方程(I)无实数根.探究归纳一般的，对于可化为方程x2=p，(I)(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳 例1利用直接开平方法解下列方程：(1)x2=6；(2)x2－900=0.解：(1)x2=6，直接开平方，得(2)移项，得x2=900.直接开平方，得x=±30，∴x1=30，x2=－30.典例精析方法点拨：通过移项把方程化为x2=p的形式，然后直接开平方即可求解． 在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到：(x+3)2=5，②得对照上面的方法，你认为可以怎样解方程(x+3)2=5？探究交流于是，方程(x+3)2=5的两个根为直接开平方法解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程二 上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.解题归纳 例2解下列方程：（1）(x＋1)2=2；解析：第1小题中只要将(x＋1)看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.即x1=-1+，x2=-1-解：（1）∵x+1是2的平方根，∴x+1=典例精析 解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.（2）(x－1)2－4=0；即x1=3，x2=-1.解：（2）移项，得(x-1)2=4.∵x-1是4的平方根，∴x-1=±2. ∴x1=，x2=（3）12(3－2x)2－3=0.解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再将等式两边同时除以12，再同第1小题一样地去解.解：（3）移项，得12(3-2x)2=3，两边都除以12，得(3-2x)2=0.25.∵3-2x是0.25的平方根，∴3-2x=±0.5.即3-2x=0.5，3-2x=-0.5 解：方程的两根为解：方程的两根为例3解下列方程： 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？如果一个一元二次方程具有x2=p或(x＋n)2=p(p≥0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流 C.4(x-1)2=9，解方程，得4(x-1)=±3，x1=，x2=D.(2x+3)2=25，解方程，得2x+3=±5，x1=1，x2=-41.下列解方程的过程中，正确的是（）A.x2=-2，解方程，得x=±B.(x-2)2=4，解方程，得x-2=2，x=4D(1)方程x2=0.25的根是.(2)方程2x2=18的根是.(3)方程(2x-1)2=9的根是.x1=0.5，x2=-0.5x1＝3，x2＝-3x1＝2，x2＝－12.填空: 3.解下列方程：(1)x2-81＝0；(2)2x2＝50；(3)(x＋1)2=4.解：x1＝9，x2＝－9；解：x1＝5，x2＝－5；解：x1＝1，x2＝－3. 4.(请你当小老师)下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗？如果有错，指出具体位置并帮他改正.①②③④解：解：不对，从②开始错，应改为 解方程：挑战自我解：方程的两根为或 直接开平方法概念步骤基本思路利用平方根的定义求方程的根的方法关键要把方程化成x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0).一元二次方程两个一元一次方程降次直接开平方法 21.2.1配方法第二十一章一元二次方程第2课时配方法 学习目标1.理解配方法的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点）3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点） 复习引入(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.1.用直接开平方法解下列方程.2.你还记得完全平方公式吗？填一填：(1)a2+2ab+b2=()2；(2)a2-2ab+b2=()2.a+ba-b解：解： 3.下列方程能用直接开平方法来解吗?(1)x2+6x+9=5；(2)x2+4x+1=0.转化成(x+2)2=9的形式，再利用开平方 用配方法解方程一探究交流解：方程变形为(x+3)2=5，试一试解方程：x2+6x+9=5.开平方，得解得将方程左边因式分解，配成完全平方式用开平方法解方程如何配方呢？ 填上适当的数或式，使下列各等式成立.（1）x2+4x+=(x+)2（2）x2-6x+=(x-)2（3）x2+8x+=(x+)2（4）x2-x+=(x-)2你发现了什么规律？222323424填一填 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结填一填：x2+px+()2=(x+)2配方的方法 想一想怎样解方程:x2+4x+1=0(1)问题1方程(1)怎样变成(x+n)2=p的形式呢？解：x2+4x+1=0x2+4x=-1移项x2+4x+4=-1+4两边都加上4为什么在方程x2+4x=-1的两边加上4？加其他的数，行吗？(x+2)2=3左边写成完全平方形式 要点归纳像上面这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定义配方法解方程的基本思路把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． 例1解下列方程：分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法.(2)先移项，将方程化为一般式，再将二次项系数化为1，然后用配方法解方程.(3)与(2)类似，将二次项系数化为1后再配方.典例精析 解：移项，得x2－8x=－1，配方，得x2－8x+42=－1+42，(x－4)2=15由此可得即 配方，得由此可得二次项系数化为1，得解：移项，得2x2－3x=－1，即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢? 配方，得因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．解：移项，得二次项系数化为1，得为什么方程两边都加12？即 练一练解下列方程：(1)x2+8x+4=0；(2)4x2+8x=-4；(3)-2x2+6x-8=0.解：移项，得x2+8x=－4.配方，得(x+4)2=12.开平方，得解得解：整理得x2+2x+1=0.配方，得(x+1)2=0.开平方，得x+1=0.解得x1=x2=－1.解：整理得x2－3x=－4.配方，得所以原方程无实数根. 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p.①当p>0时，则，方程的两个根为②当p=0时，则(x+n)2=0，开平方得方程有两个相等的实数根x1=x2=-n.③当p<0时，则方程(x+n)2=p无实数根.方法总结 思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项时需注意改变符号.①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程. 例2试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=(k－2)2＋1因为(k－2)2≥0，所以(k－2)2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.配方法的应用二典例精析 应用配方法求最值.(1)2x2-4x+5的最小值；(2)-3x2+6x-7的最大值.练一练解：原式=2(x-1)2+3当x=1时，有最小值3.解：原式=-3(x-1)2-4当x=1时，有最大值-4.含有二项式的代数式求最值或证明恒为正(负)等问题，都要想到运用配方法，将含字母部分配成a(x+m)2+n的形式来解决.归纳 例3若a，b，c为△ABC的三边长，且试判断△ABC的形状.解：对原式配方，得由代数式的性质可知所以，△ABC为直角三角形. 归纳总结配方法的应用类别解题策略2.求最值或证明代数式的值恒为正（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.1.完全平方式中的配方如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.3.利用配方构成非负数和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2. 1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6，x2=-2；解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3，x2=1. 2.已知代数式x2+1的值与代数式2x+4的值相等，求x的值.解：根据题意得x2+1=2x+4整理得x2－2x－3=0，配方得(x－1)2=4，解得x1=－1，x2=3. 3.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.解：－x2－x－1=－(x2+x+)+－1所以－x2－x－1的值总是负数.当时，－x2－x－1有最大值 4.若，求(xy)z的值.解：对原式配方，得由代数式的性质可知 5.已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断△ABC的形状.解：对原式配方，得由代数式的性质可知所以，△ABC为等边三角形. 配方法定义通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.步骤一移常数项；二配方[配上]；三写成（x+n)2=p(p≥0);四直接开平方法解方程.特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.应用求代数式的最值或证明 21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2.2公式法 学习目标1.经历求根公式的推导过程.（难点）2.会用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 复习引入1.如何用配方法解方程2x2+4x-1=0?解：方程整理得配方得开平方得解得 想一想任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)能否也用配方法得出它的解呢？ 求根公式的推导一合作探究用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).二次项系数化为1，得解：移项，得配方，得即①问题：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？ ∵a≠0，∴4a2>0.式子b2-4ac的值有一下三种情况：（1）b2-4ac＞0，这时＞0，由①得方程有两个不等的实数根 （2）b2-4ac=0这时=0，由①可知，方程有两个相等的实数根x1=x2=-.（3）b2-4ac＜0这时＜0，由①可知＜0，而x取任何实数都不能使＜0，因此方程无实数根. 两个不相等的实数根两个相等的实数根没有实数根两个实数根判别式的情况根的情况我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“”表示，即=b2-4ac.>0=0<0≥0一元二次方程根的判别式二 按要求完成下列表格：练一练的值04根的情况有两个相等的实数根没有实数根有两个不相等的实数根 例1已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是()A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×(-1)=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.B典例精析 例2不解方程，判断下列方程的根的情况．（1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9；解：（1）3x2+4x－3=0，a=3，b=4，c=－3，∴b2－4ac=42－4×3×(－3)=52＞0.∴方程有两个不相等的实数根．（2）方程化为：4x2－12x+9=0，∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.∴方程有两个相等的实数根． （3）7y=5(y2+1).解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0，∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根．方法归纳判断一元二次方程根的情况的方法：b2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac＜0有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根 例3若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是()A.q≤4B.q≥4C.q<16D.q>16C解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0，即.解得q＜16，故选C.典例精析 【变式题】二次项系数含字母若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A.k>-1B.k>-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0B当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母的取值范围.归纳方程有两个不相等的实数根分析：二次项系数不为0k≠0k>-1且k≠0 【变式题】删除限制条件“二次”若关于x的方程kx2-2x-1=0有实数根，则k的取值范围是()A.k≥-1B.k≥-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0分析：分类讨论k=0k≠0原方程变形为-2x-1=0，有实数根b2-4ac≥0k≥-1A 由上可知，当≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.注意运用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，判定b2-4ac≥0时，才可以用求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.用公式法解方程三 例4用公式法解下列方程：典例精析（1）x2-4x-7=0;方程有两个不相等的实数根.解：a=1，b=-4，c=-7b2－4ac=(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.即 方程有两个相等的实数根x1=x2 （3）5x2－3x=x+1;方程有两个不相等的实数根=即a=5，b=－4，c=－1b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.解：方程化为5x2－4x－1=0 （4）x2+17=8x.方程无实数根.a=1，b=－8，c=17b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4＜0.解：方程化为x2－8x+17=0 要点归纳公式法解方程的步骤1.变形：化已知方程为一般形式；2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；3.计算：b2-4ac的值；4.判断：若b2-4ac≥0，则利用求根公式求出；若b2-4ac<0，则方程没有实数根. 1.不解方程，判断下列方程的根的情况．（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+=0；解：（1）2x2+3x-4=0，a=2，b=3，c=-4，∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．（2）x2-x+=0，a=1，b=-1，c=.∴b2-4ac=(-1)2-4×1×=0.∴方程有两个相等的实数根． （3）x2-x+1=0，a=1，b=-1，c=1.∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0.∴方程无实数根．（3）x2-x+1=0. 2.解方程：x2+7x–18=0.解：这里a=1，b=7，c=-18.∵b2-4ac=72–4×1×(-18)=121>0，即x1=-9，x2=2. 3.解方程：(x-2)(1-3x)=6.解：去括号，得x-2-3x2+6x=6，化为一般式3x2-7x+8=0，这里a=3，b=-7，c=8.∵b2-4ac=(-7)2–4×3×8=49–96=-47<0，∴原方程没有实数根. 4.解方程：2x2-x+3=0.解：这里a=2，b=-，c=3.∵b2-4ac=27-4×2×3=3>0, 5.(1)关于x的一元二次方程有两个实根，则m的取值范围是.（2）若关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=2有实数根．求m的取值范围.解：化为一般式（m-1）x2-2mx+m-2=0．△＝4m2−4(m−1)(m−2)≥0，且m-1≠0解得且m≠1. 6.不解方程，判断关于x的方程的根的情况.解：所以方程有两个实数根． 能力提升：在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长.解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，所以Δ=b2－4ac=(b+2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.由配方法解得b=-10或b=2.将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；所以△ABC的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13. 公式法求根公式步骤一化（一般形式）；二定（系数值）；三求（Δ值）；四判（方程根的情况）；五代（求根公式计算）.根的判别式b2-4ac务必将方程化为一般形式 21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2.3因式分解法 学习目标1.理解用因式分解法解方程的依据.2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点） 情境引入我们经常看到大学毕业的学生，穿着学士服，将学士帽高高抛起的样子，那么抛起的学士帽什么时候落下，什么时候抬头接才不会被砸到呢？一起看看吧！ 因式分解法解一元二次方程一引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?分析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即10x-4.9x2=0① 解：解：∵a=4.9,b=-10,c=0.∴b2－4ac=(－10)2－4×4.9×0=100.公式法解方程10x-4.9x2=0.配方法解方程10x-4.9x2=0.方程可化为4.9x2-10x=0. 因式分解如果a·b=0，那么a=0或b=0.两个因式乘积为0，说明什么？或降次，化为两个一次方程解两个一次方程，得出原方程的根这种解法是不是很简单？10x-4.9x2=0①x(10-4.9x)=0x=010-4.9x=0② 这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.要点归纳因式分解法的概念因式分解法的基本步骤一移-----方程的右边=0;二分-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;简记歌诀：右化零左分解两因式各求解 试一试：下列各方程的根分别是多少？(1)x(x-2)=0；(1)x1=0，x2=2；(2)(y+2)(y-3)=0；(2)y1=-2，y2=3；(3)(3x+6)(2x-4)=0；(3)x1=-2，x2=2；(4)x2=x.(4)x1=0，x2=1. 例1解下列方程：解：(1)因式分解，得于是得x－2＝0或x＋1=0,x1=2，x2=－1.(2)移项、合并同类项，得因式分解，得(2x＋1)(2x－1)=0.于是得2x＋1=0或2x－1=0,(x－2)(x＋1)=0.典例精析 练一练解下列方程：(1)(x+1)2=5x+5；∴x1=4，x2=-1．(2)x2-6x+9=(5-2x)2．解：∵(x+1)2=5(x+1)，∴(x+1)2-5(x+1)=0，则(x+1)(x-4)=0，∴x+1=0，或x-4=0，解：方程整理得(x-3)2-(5-2x)2=0，则[(x-3)+(5-2x)][(x-3)-(5-2x)]=0，∴-x+2=0，或3x-8=0，x1=2，x2=. 十字相乘法拓展提升(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab两个一次二项式相乘的积一个二次三项式整式的乘法反过来，得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)一个二次三项式两个一次二项式相乘的积因式分解如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解. 步骤：①竖分二次项与常数项②交叉相乘，积相加③检验确定，横写因式简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.试一试解方程：x2+6x-7=0.解：因式分解得(x+7)(x-1)=0.∴x+7=0,或x-1=0.∴x1=-7,x2=1. 练一练解下列方程：(1)x2-5x+6=0；解：分解因式，得(x-2)(x-3)=0，(3)(x+3)(x-1)=5；解：整理得x2+2x-8=0，(4)2x2-7x+3=0.(2)x2+4x-5=0；解：分解因式，得(x+5)(x-1)=0，解：分解因式，得(2x-1)(x-3)=0，解得x1=2，x2=3.解得x1=-5，x2=1．解得x1=-4，x2=2.分解因式，得(x+4)(x-2)=0，解得x1=，x2=3. 灵活选用方法解方程二例2用适当的方法解方程：(1)3x(x+5)=5(x+5)；(2)(5x+1)2=1；即3x-5=0或x+5=0.∴x1=0,x2=分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.解：化简(3x-5)(x+5)=0.分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.解：开平方,得5x+1=±1. (3)x2-12x=4;(4)3x2=4x+1.开平方，得解得x1=，x2=解：化为一般形式3x2-4x-1=0.∵Δ=b2-4ac=28>0,分析：二次项系数为1，一次项系数为偶数，可用配方法来解题较快.解：配方，得x2-12x+62=4+62,即(x-6)2=40.分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法. 1.一般地，当一元二次方程的一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法；2.若常数项为0(ax2+bx=0)，应选用因式分解法；3.若一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0)，先化为一般式，看左边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则选用公式法；4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.要点归纳解法选择基本思路 填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.一元二次方程的解法适用的方程类型直接开平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0(p2-4q≥0)(x+m)2＝n(n≥0)ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)(x+m)(x+n)＝0 ①x2-3x+1=0；②3x2-1=0；③-3t2+t=0；④x2-4x=2；⑤2x2-x=0；⑥5(m+2)2=8；⑦3y2-y-1=0；⑧2x2+4x-1=0；⑨(x-2)2=2(x-2).适合运用直接开平方法；适合运用因式分解法；适合运用公式法；适合运用配方法.1.填空⑥①②③④⑤⑦⑧⑨注意：每个题都有多种解法，选择更合适的方法，可以简化解题过程！ 2.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为；再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1=,x2=.x2+x-2=0-21 3.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.解方程(x-5)(x+2)=18.解：原方程化为：(x-5)(x+2)=3×6.①由x-5=3，得x=8；②由x+2=6，得x=4；③所以原方程的解为x1=8或x2=4.解:原方程化为：x2－3x－28=0，(x－7)(x+4)=0，x1=7，x2=－4. 解：化为一般式为因式分解，得x2－2x+1=0.(x－1)2=0.有x－1=0，x1=x2=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.有2x+11=0或2x－11=0，4.解方程： (4)x2+4x-2=2x+3；(3)2x2-5x+1=0；解：a=2，b=-5，c=1，∴△=(-5)2-4×2×1=17．解：整理，得x2+2x=5，∴x2+2x+1=5+1，即(x+1)2=6， (5)(3m+2)2-7(3m+2)+10=0．解法一：解：方程整理得9m2-9m=0.分解因式，得9m(m-1)=0.解得m1=0，m2=1．解法二：解：分解因式，得(3m+2-2)(3m+2-5)=0.∴3m+2-2=0，或3m+2-5=0，解得m1=0，m2=1．将(3m+2)当一个整体，进行因式分解 5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加到原来的2倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为r，根据题意(r+5)2×π=2r2π.因式分解，得于是得答：小圆形场地的半径为 挑战自我(2)一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2-13x+40=0的根，则此三角形的周长为________;(1)已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是________;(3)已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是________.11或121312与三角形结合时，要考虑三角形的三边关系！ 因式分解法概念步骤简记歌诀：右化零左分解两因式各求解如果a·b=0，那么a=0或b=0.原理当右边=0时，将方程左边因式分解.因式分解常见的方法有ma+mb+mc=m(a+b+c)；a2±2ab+b2=(a±b)2；a2-b2=(a+b)(a-b). 21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点） 韦达,1540年出生于法国的波亚图,他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用,人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.历史上流传着一个有关韦达的趣事:有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王,比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达,韦达当即得出一正数解,回去后很快又得出了另外的22个正数解(他舍弃了另外的22个负数解).消息传开,数学界为之震惊.同时,韦达也回敬了罗门一个问题,罗门一时不得其解,冥思苦想了好多天才把它解出来.韦达研究了方程根与系数的关系,在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理.情景引入 复习引入算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程两根关系x1x2x2+3x-4=0x2-5x+6=02x2+3x+1=0-4123-1x1+x2=-3x1·x2=-4x1+x2=5x1·x2=6想一想方程的两根x1和x2与系数a,b,c有什么关系？ 探索一元二次方程的根与系数的关系一猜一猜（1）若一元二次方程的两根为x1，x2，则有x-x1=0，且x-x2=0，那么方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？重要发现如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2,那么x1+x2=-p，x1·x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q. 猜一猜（2）通过上表猜想，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么，你可以发现什么结论？你能证明这个猜测吗？ 证一证： 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么注意满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系的应用二例1利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2–6x–15=0；解：这里a=1,b=–6,c=–15.Δ=b2-4ac=(–6)2–4×1×(–15)=96>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=–(–6)=6，x1x2=–15. （2）3x2+7x-9=0；x1+x2=-，x1x2=解：这里a=3,b=7,c=-9.Δ=b2-4ac=72–4×3×(-9)=157>0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么 （3）5x–1=4x2.解：方程可化为4x2–5x+1=0，这里a=4，b=–5，c=1.Δ=b2-4ac=(–5)2–4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可.归纳 例2已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.所以x1·x2=2x2=即x2=由于x1+x2=2+=得k=－7.答：方程的另一个根是，k=－7. 变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.所以x1+x2=1+x2=6，即x2=5.由于x1·x2=1×5=得m=15.答：方程的另一个根是5，m=15. 例3不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.解：根据根与系数的关系可知： 设x1，x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则：(1)x1+x2=，(2)x1·x2=，(3)，(4).411412练一练求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.归纳 总结常见的求值: 例4设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得Δ=4（k-1）2-4k2≥0即-8k+4≥0.由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4，解得k1=0，k2=4.经检验，k2=4不合题意，舍去.所以k=0. 根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母应该满足△≥0.归纳 1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则p=，q=.1-22.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____.-3 3.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x=1代入方程中3-19+m=0.解得m=16，设另一个根为x1，则：1×x1=∴x1= 4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4；(1)求k的值；(2)求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系得所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得k=-7.(2)因为k=-7,所以则： 5.设x1，x2是方程3x2+4x–3=0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1)；(2)解：根据根与系数的关系得：(1)(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=(2) 6.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.解：设方程两根分别为x1，x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1拓展提升由根与系数的关系，得 7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0.(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围.(2)若方程两根x1，x2满足|x1-x2|=1，求m的值.解：(1)方程有实数根∵m≠0，∴m的取值范围为m＞0.(2)∵方程有实数根x1，x2，∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，解得m=8.经检验m=8是方程的解． 根与系数的关系（韦达定理）内容如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么应用 21.3实际问题与一元二次方程第二十一章一元二次方程第1课时传播问题与一元二次方程 学习目标1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.（重点）2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.（难点）3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解决问题. 传播问题与一元二次方程一引例：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.传染源记作A，其传染示意图如下：合作探究 第2轮•••A12x第1轮第1轮传染后人数x+1A第2轮传染后人数x(x+1)+x+1注意：不要忽视A的二次传染 x1=,x2=.根据示意图，列表如下：解方程，得答：平均一个人传染了________个人.10-12(不合题意,舍去)10解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.(1+x)2=121注意：一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验.传染源人数第1轮传染后的人数第2轮传染后的人数11+x=(1+x)11+x+x(1+x)=(1+x)2根据题意，得 想一想：如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感?第2种做法以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331人.第一轮传染后的人数第二轮传染后的人数第三轮传染后的人数(1+x)1(1+x)2分析第1种做法以1人为传染源,3轮传染后的人数是：(1+x)3=(1+10)3=1331人.(1+x)3 例1某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支?主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2=133即x2+x-132=0解得，x1=11，x2=－12(不合题意，舍去)答：每个支干长出11个小分支. 交流讨论1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.2.解决这类传播问题有什么经验和方法？（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律. 方法归纳建立一元二次方程模型实际问题分析数量关系设未知数实际问题的解解一元二次方程一元二次方程的根检验运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 例2某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？解：设共有x个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，共要进行x(x－1)场比赛，但每两班之间只比赛一场，故根据题意得解得x1＝6，x2＝－5(舍去)．∴x＝6.答：共有6个班级参赛． 某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？解：设共有x人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手x(x－1)次，但每人都重复了一次，故根据题意得解得x1＝5，x2＝－4(舍去)．∴x＝5.答：共有5个人参加聚会．练一练握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了一次，所以要在总数的基础上除以2.归纳 【变式题】某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛)，计划安排72场比赛，则共有多少个班级参赛？解：设共有x个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，根据题意得解得x1＝9，x2＝－8(舍去)．∴x＝9.答：共有9个班级参赛．关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列等量关系.归纳 例3一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？解：设这个两位数个位数字为x，则十位数字为(x－3)，根据题意得解得x1＝5，x2＝6．答：这个两位数是25或36.∴x＝5时，十位数字为2，x＝6时，十位数字为3.解决这类问题关键要设数位上的数字，并能准确的表达出原数.归纳 1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（）A.x2=1980B.x(x+1)=1980C.x(x-1)=1980D.x(x-1)=19802.有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，根据题意可列方程为（）A.1+x+x(1+x)=73B.1+x+x2=73C.1+x2=73D.(1+x)2=73DB 3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（）A.10B.9C.8D.7D4.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.10 5.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，则初三有几个班？解：初三有x个班，根据题意列方程，得化简，得x2-x-12=0解方程，得x1=4，x2=-3（舍去）答：初三有4个班. 传染源本轮分裂成有益菌数目本轮结束有益菌总数第一轮第二轮第三轮分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌6060x60(1+x)60(1+x)60(1+x)x6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 解：（1）设每个有益菌一次分裂出x个有益菌60+60x+60(1+x)x=24000x1=19，x2=-21（舍去）∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？（2）三轮后有益菌总数为24000×(1+19)=480000（个）. 7.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位数的数字为(5－x)，解得x1=2，x2=3.答：原来的两位数是23或32.依题意得(10x+5－x)[10(5－x)+x]=736当x＝2时，5－x=3；当x＝3时，5－x=2； 列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解决实际问题基本相同.不同的地方要检验根的合理性.传播问题数量关系：第一轮传播后的量=传播前的量×(1+每次传播数量)第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×(1+每次传播数量)=传播前的量×(1+每次传播数量)2数字问题握手问题互赠照片问题关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数.甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2.甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以2.步骤类型 21.3实际问题与一元二次方程第二十一章一元二次方程第2课时平均变化率问题与一元二次方程 学习目标1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点）2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.（难点） 问题引入小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是75分，第二次月考增长了20%，第三次月考又增长了20%，问他第三次数学成绩是多少？第二次数学成绩：75×(1+20%)=90第三次数学成绩：90×(1+20%)=108或第三次数学成绩：75×(1+20%)2=108 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？探究归纳下降率=下降前的量-下降后的量下降前的量平均变化率问题与一元二次方程一 分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数). 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元，于是有5000(1-x)2=3000解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 设乙种药品成本的年平均下降率为y，则一年后甲种药品成本为6000(1-y)元，两年后乙种药品成本为6000(1-y)2元，于是有6000(1-y)2=3600解方程，得y1≈0.225，y2≈1.775.根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.由上可知，甲乙两种药品的下降额不同，但是下降率相同. 例1前年生产1吨甲产品的成本是3600元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲产品的成本是1764元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？解：设甲产品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得3600(1－x)2=1764，解方程，得x1=0.3，x2=1.7.根据问题的实际意义，甲产品成本的年平均下降率约为30％.注意下降率不可为负，且不大于1. 变式：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得解这个方程，得答：每次降价的百分率为29.3%. 例2为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，盐城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率.解：设增长率为x，根据题意，得20（1+x）2=24.2.解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．答：增长率为10%.注意增长率不可为负，但可以超过1. 问题你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？类似地，这种增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”). 例3某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．解：设这个增长率为x.根据题意，得答：这个增长率为50%.200+200(1+x)+200(1+x)2=950整理方程，得4x2+12x-7=0，解这个方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5=50%. 填空：假设某种商品的成本为每件2元，售价为3元时，可卖100件.(1)此时的利润w=元；(2)若售价涨了1元，每件利润为_____元，同时少卖了10件，销售量为_____件，利润w=_____元;(3)若售价涨了2元，每件利润为_____元，同时少卖了20件，销售量为____件，利润w=_____元;100290180380240合作探究营销问题与一元二次方程二 (4)若售价涨了3元，每件利润为____元，同时少卖了30件，销售量为____件，利润w=______元;(5)若售价涨了x元，每件利润为________元，同时少卖了____件，销售量为__________件，利润w=______________元.4(1+x)70(100-10x)10x280(1+x)(100-10x)想一想若想售卖这种商品获取利润300元，则每件商品应涨价多少元？解：设售价涨了x元，依题意得(1+x)(100-10x)=300，解得x1=4,x2=5.即当每件商品涨价4元或5元时，能获得300元利润. 变式训练假设某种糖的成本为每千克8元，售价为12元时，可卖100千克.若售价涨了1元，则少卖了5千克，要想售卖这种糖果获取利润640元，且售价不高于成本价的2.5倍，则每千克糖应涨价多少元？解：设售价涨了x元，依题意得(4+x)(100-5x)=640，解得x1=4,x2=12.∵售价不高于成本价的2.5倍，即x+12≤2.5×8.∴x≤8.∴x=4.题目中有限定条件时，要注意取舍.注意即每千克糖应涨价4元. 解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：（40-x)(20+2x)=1200整理得，x2-30x+200=0解方程得，x1=10，x2=20答：每件衬衫应降价10元或20元.例4某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 增加条件：为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？变式训练解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：（40-x)(20+2x)=1200整理得，x2-30x+200=0解方程得，x1=10，x2=20因为要尽快减少库存，所以x=10舍去.答：每件衬衫应降价20元. 1.设未知数x,用含x的代数式表示销量、单件利润；2.根据利润=销量×单件利润列方程；3.解方程；4.根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等条件，进行取舍；5.作答.要点归纳用一元二次方程解决营销问题的一般步骤 1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为.B2(1+x)+2(1+x)2=8 3.青山村种的水稻前年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,根据题意，得系数化为1得，直接开平方得，则答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.7200(1+x)2=8712(1+x)2=1.211+x=1.1，1+x=-1.1x1=0.1=10%，x2=-2.1，（舍去） 4.百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？根据每件商品的利润×件数=8000，分析：设每件商品涨价x元，则商品单价为_______元，则每个商品的利润为_______________元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少_____个，故销售量为___________个，可列方程为_______________________________.[(50+x)－40](500－10x)10x(50+x)(500－10x)·[(50+x)－40]=8000 解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则(500－10x)·[(50+x)－40]=8000，整理得x2－40x+300=0，解得x1=10，x2=30都符合题意.当x=10时，50+x=60，500－10x=400；当x=30时，50+x=80，500－10x=200.答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进货量应为400；若售价为80元，则进货量应为200个. 5.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率；解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2=3.2，解得x1=20%，x2=1.8（舍去）∴平均每次下调的百分率为20%. (2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠. 能力提升为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系．（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？ （2）依题知（x-25）（-5x+200）=130．整理方程，得x2-65x+1026=0．解得x1=27，x2=38．∵此设备的销售单价不得高于35万元，∴x2=38（舍），所以x=27．答：该设备的销售单价应是27万元．解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，依题意，得解得所以y与x的函数关系式为y=-5x+200． 平均变化率问题增长率问题a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.降低率问题a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.营销问题常用公式：总利润=单件利润×销量=（售价-进价）×销量 21.3实际问题与一元二次方程第二十一章一元二次方程第3课时几何图形与一元二次方程 学习目标1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点） (60+2x)(40+2x)=3500假如有一幅画长60cm，宽40cm，要给它四周裱上同样的宽度木框，使它总面积达到3500cm2，设木框宽度xcm，你能列出等式吗？ 几何图形与一元二次方程一引例：要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)27cm21cm合作探究 分析：这本书的长宽之比：，正中央的矩形长宽之比：.979727cm21cm设中央矩形的长和宽分别为9acm和7acm由此得到上下边衬宽度之比为： 27cm21cm设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm，则中央的矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm.要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三. 27cm21cm解方程得故上下边衬的宽度为:故左右边衬的宽度为:方程的哪个根合乎实际意义?为什么?试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？于是可列出方程整理，得16x2-48x+9=0 解：设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得27cm21cm解得故上下边衬的宽度为:故左右边衬的宽度为: 几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公式是等量关系.如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.方法点拨 2032xx解：设道路的宽为x米.例1如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为多少？典例精析还有其他解法吗？方法一： 2032xx解：设道路的宽为x米.20-x32-x(32-x)(20-x)=540整理，得x2-52x+100=0解得x1=2，x2=50当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.∴取x=2.答：道路的宽为2米.方法二： 在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米.(32-x)(20-x)=540可列方程为变式一 2032xxx20-x在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米.(32-2x)(20-x)=540可列方程为变式二32-2x 2032xxxx20322x2x32-2x20-2x在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米.(32-2x)(20-2x)=540可列方程为变式三 在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少？变式四32cm20cm2x3x 小路所占面积是矩形面积的四分之一剩余面积是矩形面积的四分之三解：设横、竖小路的宽度分别为3x、2x，于是可列方程(32-4x)(20-6x)=—×20×3220㎝32㎝3x2x32-4x20-6x433x2x6x4x32-4x20-6x 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.方法点拨 视频：平移求面积动态展示 解：设AB长是xm.(58-2x)x=200x2-29x+100=0x1=25，x2=4x=25时，58-2x=8x=4时，58-2x=50答：羊圈的边长AB和BC的长各是25m，8m或4m，50m.例2如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58m的围栏围成面积为200m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？DCBA 解：设AB长是xm.(80-2x)x=600x2-40x+300=0x1=10，x2=30x=10时，80-2x=60>25，(舍去)x=30时，80-2x=20<25，答：羊圈的边长AB和BC的长各是30m，20m.变式如图，要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈，用80m的围栏围成面积为600m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？DCBA25m 变式如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？住房墙1m解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm，由题意得x(25-2x+1)=80化简，得x2-13x+40=0解得x1=5，x2=8当x=5时，26-2x=16>12(舍去）当x=8时，26-2x=10<12故所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m.则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m. 围墙问题一般先设其中的一条边为x，然后用x表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解.方法点拨 1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x-1400=0B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0D．x2-65x-350=080cmxxxx50cmB 2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形， 然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000cm3，求铁板的长和宽．解：设铁板的宽为xcm,则长为2xcm.5(2x-10)(x-10)=3000x2-15x-250=0解得x1=25x2=-10(舍去）所以2x=50答：铁板的长50cm，宽为25cm. 3.如图，要设计一个宽20cm，长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？解：设横向彩条的宽度2xcm,竖向彩条的宽度3xcm.(20-6x)(30-4x)=4006x2-65x+50=0 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9cm²？根据题意得AP=xcm，PC=(6-x)cm，CQ=2xcm解：若设出发xs后可使△PCQ的面积为9cm².整理，得解得x1=x2=3答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².能力提升 几何图形与一元二次方程问题几何图形常见几何图形面积是等量关系类型课本封面问题彩条/小路宽度问题常采用图形平移能聚零为整方便列方程动点面积问题 小结与复习第二十一章一元二次方程 复习目标1.梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识.2.能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题.3.列一元二次方程解决实际问题.（重、难点）4.进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想（即降次）的理解与运用. 本章知识结构框图一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)abc二次项系数一次项系数常数项一元二次方程概念是整式方程只含一个未知数未知数的最高次数是2 根根的判别式Δ=b2-4acΔ>0,方程有两个不等的实数根Δ=0,方程有两个相等的实数根Δ<0,方程无实数根根与系数的关系 解法因式分解法：配方法：公式法：若A·B=0，则A=0或B=0形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式直接开平方一般形式的方程先配方为(mx+n)2=p(p≥0)的形式再求解 应用列一元二次方程解实际问题的步骤：审设列解验答几种常见类型传播问题单(双)循环问题增长率问题销售问题数字问题图形面积问题 考点一一元二次方程的有关概念例1下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）A．x2-x（x+3）=0B．ax2+bx+c=0C．x2-2x-3=0D．x2-2y-1=0解析A.将方程化简后，为一次方程；B.未限定二次项系数a不为0；D.含有两个未知数，只有C符合一元二次方程的定义，故选C.1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是，一次项系数是，常数项是.4-20针对训练C 解析根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.例2若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0，则m=.【易错提示】求出m值有两个1和-1，由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意.-1 针对训练2.（1）一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为.（2）若x=-2是方程ax2+bx+3=0（a≠0）的一个解，则代数式1-8a+4b的值是．（3）若x=a是方程x2-x-1=0的一个根，则-a3+2a+2020的值为_________.-120197 解析(1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；(2)先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系，得到符合题意的边长，进而求得三角形周长．【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1；(a-b)2与(a+b)2要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否构成三角形的好习惯.考点二一元二次方程的解法例3(1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（）A.(x-1)2=6B.(x+2)2=9C.(x+1)2=6D.(x-2)2=9(2)(易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（　）A.13B.15C.18D.13或18AA 针对训练3.解方程：(1)x2-4x-1=0; (1)x2-4x-1=0; (2)(2x-1)2=(3-x)2;直接开方法：2x-1=±(3-x)，即2x-1=3-x或2x-1=-3+x，所以x1=，x2=-2．因式分解法：移项得(2x-1)2-(3-x)2=0.分解因式，得(2x-1-3+x)(2x-1+3-x)=0.即3x-4=0，或x+2=0.所以x1=，x2=-2． 拓展：(x2-2x)2-5x2+10x+6=0．解：方程整理得(x2-2x)2-5(x2-2x)+6=0，设x2-2x=m，则原方程变为m2-5m+6=0，换元法解得m1=3，m2=2，当m=3时，x2-2x=3，解得x=3或-1，当m=2，x2-2x=2，解得x=1±，所以，原方程的解为x1=3，x2=-1，x3=1+，x4=1-． 考点三一元二次方程的根的判别式的应用例4已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.B.m<2C.m≥0D.m<0A【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a，b，c的值.解析：根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式>0，即(-4)2-4×1×(-3m)=16+12m>0，解得，故选A.Δ 4.下列所给方程中，没有实数根的是（）A.x2+x=0B.5x2-4x-1=0C.3x2-4x+1=0D.4x2-5x+2=05.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（写出一个即可）．D0针对训练 考点四一元二次方程的根与系数的关系例5已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝．25解析：根据根与系数的关系可知，m+n=4，mn=-3.m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3×(-3)=25.故填25.【重要变形】 针对训练解：(1)根据题意得Δ=(2m)2-4(m2+m)≥0，解得m≤0.6.已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)设x1，x2是方程的两根，且=12，求m的值．(2)根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=m2+m，故m的值是-2．∴(-2m)2-2(m2+m)=12，解得m1=-2，m2=3(不合题意，舍去)．∵=12，∴(x1+x2)2-2x1x2=12， 考点五一元二次方程的应用例6某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）A．x（x+1）=1260B．2x（x+1）=1260C．x（x-1）=1260×2D．x（x-1）=1260针对训练D7.有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮感染后共有121人患了流感，依题意可列方程为．1+x+x（1+x）=121 例7新冠肺炎疫情期间，某餐馆老板小王每日为一线抗疫医护人员免费提供3000份盒饭，各省医务人员纷纷驰援武汉之后，小王连续两次增加盒饭数量，每日提供5880份盒饭.求平均每次增加的盒饭数量的百分率.解：设平均每次增加的盒饭数量的百分率是x，根据题意得3000(1+x)2=5880解得x1=-2.4(舍去)，x2=0.4=40%.答：平均每次增加的盒饭数量的百分率是40%. 例8某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨1元，平均每天就少售出2件.(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？ 解析：本题为销售中的利润问题，其基本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.单件利润销售量（件）每天利润（元）正常销售涨价销售432x-2032-2(x-24)(x-20)[32-2(x-24)]其等量关系：总利润=单件利润×销售量.解：(1)32-(x-24)×2=80-2x.(2)由题意可得(x-20)(80-2x)=150.【易错提示】根据实际情况及题目限制条件，对根进行取舍.128解得x1=25，x2=35.由题意x≤28，∴x=25，即售价应当为25元. 针对训练8.2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包． （1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；即a的值是25.解：由题意得256(1+a%)2=400，解得a1=25，a2=-225(舍去)，即2、3这两个月的月平均增长率为25%， （2）若农产品礼包进价为每包25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？答：当农产品每袋降价4元时，该农产品在4月份可获利4620元．解：设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4620元．根据题意可得(40-25-m)(400+5m)=4620，解得m1=4，m2=-69(舍去)， 例9某单位准备将院内一个长为30m，宽为20m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应为多少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为平行四边形）解：设小道进出口的宽为xcm，根据题意得(30-2x)(20-x)=532x2-35x+34=0解得x1=1，x2=34（舍去）答：小道进出口的宽度应为1米. 解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解.（注意：这里的横竖斜小路的的宽度都相等）平移转化方法总结 实际问题设未知数，列方程一元二次方程ax2+bx+c=0实际问题的答案方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根解方程配方法公式法因式分解法降次检验