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文档介绍
初中数学中考复习课件章节考点专题突破:第一章 数与式第一章第2讲整式及其运算
第 2 讲 整式及其运算 要点梳理 1 . 单项式: 由 或 相乘组成的代数式叫做单项式 , 所有字母指数的和叫做 __ , 数字因数叫做 .单独的数、字母也是单项式. 数与字母 字母与字母 单项式的次数 单项式的系数 要点梳理 2 . 多项式:由几个 组成的代数式叫做多项式 , 多项式里次数最高的项的次数叫做这个 , 其中不含字母的项叫做 . 3 . 整式: 统称为整式. 4 . 同类项: 多项式中所含 相同并且 也相同的项 , 叫做同类项. 单项式相加 多项式的次数 常数项 单项式和多项式 字母 相同字母的指数 要点梳理 5 . 幂的运算法则 (1) 同底数幂相乘: ; (2) 幂的乘方: ; (3) 积的乘方: ; (4) 同底数幂相除: . a m · a n = a m + n ( m , n 都是整数 , a ≠ 0 ) ( a m ) n = a mn ( m , n 都是整数 , a ≠ 0 ) ( ab ) n = a n · b n ( n 是整数 , a ≠ 0 , b ≠ 0 ) a m ÷ a n = a m - n ( m , n 都是整数 , a ≠ 0 ) 要点梳理 6 . 整式乘法 单项式与单项式相乘 , 把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式 , 只在一个单项式里含有的字母 , 连同它的指数一起作为积的一个因式. 单项式乘多项式: m ( a + b ) = ; 多项式乘多项式: ( a + b )( c + d ) = . ma + mb ac + ad + bc + bd 要点梳理 7 . 乘法公式 (1) 平方差公式 : ; (2) 完全平方公式: . ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 ( a±b ) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 要点梳理 8 . 整式除法 单项式与单项式相除 , 把系数、同底数幂分别相除 , 作为商的因式 , 对于只在被除式里含有的字母 , 连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式 , 将这个多项式的每一项分别除以这个单项式 , 然后把所得的商相加. 一座 “ 桥梁 ” 用字母表示数是从算术过渡到代数的桥梁 , 是后续学习的基础 , 用字母表示数能够简明地表示出事物的规律及本质特征.只有借助字母 , 才能把一些数量规律及数量更简洁、准确地表示出来.用字母表示数: (1) 注意字母的确定性; (2) 注意字母的任意性; (3) 注意字母的限制性. 二种思维方法 法则公式既可正向运用 , 也可逆向运用.逆向运用和灵活变式运用既可简化计算 , 又能进行较复杂的代数式的大小比较.当直接计算有较大困难时 , 考虑逆向运用 , 可起到化难为易的功效. 三种数学思想 (1) 观察、比较、归纳、猜想的数学思想 观察才能获取大量信息 , 成为智慧的源泉 , 比较才能发现信息的异同;通过归纳使共同点浮出水面 , 总结归纳的结果获得猜想、有所发现 , 这就是归纳的思想 , 也是数学发现的重要方法. (2) 整体思想 在进行整式运算或求代数式值时 , 若将注意力和着眼点放在问题的整体结构上 , 把一些紧密联系的代数式作为一个整体来处理.借助 “ 整体思想 ” , 可以拓宽解题思路 , 收到事半功倍之效.整体思想最典型的是应用于乘法公式中 , 公式中的字母 a 和 b 不仅可以表示单项式 , 也可以表示多项式 , 如 ( x - 2 y + z )( x + 2 y - z ) = [ x - (2 y - z )][ x + (2 y - z )] = x 2 - (2 y - z ) 2 = x 2 - 4 y 2 + 4 yz - z 2 . (3) 数形结合思想 在列代数式时 , 常常能遇到另外一种类型的题:给你提供一定的图形 , 通过对图形的观察探索 , 搜集图形透露的信息 , 并根据相关的知识去列出相应的代数式 , 也能用图形验证整式的乘法和乘法公式. 1 . ( 2014 · 河南 ) 下列各式计算正确的是 ( ) A . a + 2 a = 3 a 2 B . ( - a 3 ) 2 = a 6 C . a 3 · a 2 = a 6 D . ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 B 2 . ( 2014 · 江西 ) 下列运算正确的是 ( ) A . a 2 + a 3 = a 5 B . ( - 2 a 2 ) 3 =- 6 a 5 C . (2 a + 1)(2 a - 1) = 2 a 2 - 1 D . (2 a 3 - a 2 )÷ a 2 = 2 a - 1 D 3 . ( 2014 · 襄阳 ) 下列计算正确的是 ( ) A . a 2 + a 2 = 2 a 4 B . 4 x - 9 x + 6 x = 1 C . ( - 2 x 2 y ) 3 =- 8 x 6 y 3 D . a 6 ÷ a 3 = a 2 C 4 . ( 2014 · 湖州 ) 计算 2x(3x 2 + 1) 的结果是 ( ) A . 5 x 3 + 2 x B . 6 x 3 + 1 C . 6 x 3 + 2 x D . 6 x 2 + 2 x C 5 . ( 2014 · 枣庄 ) 如图 , 在边长为 2a 的正方形中央剪去一边长为 (a + 2) 的小正方形 (a > 2) , 将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形 , 则该平行四边形的面积为 ( ) A . a 2 + 4 B . 2 a 2 + 4 a C . 3 a 2 - 4 a - 4 D . 4 a 2 - a - 2 C 整式的加减运算 【 例 1】 (1)( 2014 · 邵阳 ) 下列计算正确的是 ( ) A . 2 x - x = x B . a 3 · a 2 = a 6 C . ( a - b ) 2 = a 2 - b 2 D . ( a + b )( a - b ) = a 2 + b 2 (2) ( 2014 · 威海 ) 已知 x 2 - 2 = y , 则 x(x - 3y) + y(3x - 1) - 2 的值是 ( ) A . - 2 B . 0 C . 2 D . 4 (3) 计算: 3(2 xy - y ) - 2 xy = . A B 4xy - 3y 【 点评 】 整式的加减 , 实质上就是合并同类项 , 有括号的 , 先去括号 , 只要算式中没有同类项 , 就是最后的结果. 1 . (1) ( 2014· 威海 ) 下列运算正确的是 ( ) A . 2 x 2 ÷ x 2 = 2 x B . ( - 1 2 a 2 b ) 3 =- 1 6 a 6 b 3 C . 3 x 2 + 2 x 2 = 5 x 2 D . ( x - 3) 3 = x 3 - 9 C ( 2 ) 化简 1 4 ( - 4 x + 8 ) - 3 ( 4 - 5 x ) , 可得下列哪一个结果 ( ) A . - 16 x - 10 B . - 16 x - 4 C . 56 x - 40 D . 14 x - 10 ( 3 ) ( 2014· 厦门 ) 先化简下式 , 再求值: ( - x 2 + 3 - 7x ) + ( 5x - 7 + 2x 2 ) , 其中 x = 2 + 1. D 同类项的概念及合并同类项 【 例 2】 若- 4 x a y + x 2 y b =- 3 x 2 y , 则 a + b = __ __ . 【 点评 】 (1) 判断同类项时 , 看字母和相应字母的指数 , 与系数无关 , 也与字母的相关位置无关 , 两个只含数字的单项式也是同类项; (2) 只有同类项才可以合并. 3 2 . ( 1 ) ( 2012· 毕节 ) 已知 1 2 x n - 2m y 4 与- x 3 y 2n 是同类项 , 则 ( mn ) 2010 的值为 ( ) A . 2010 B . - 2010 C . 1 D . - 1 ( 2 ) ( 2014· 济宁 ) 化简- 5ab + 4ab 的结果是 ( ) A . - 1 B . a C . b D . - ab C D 【 例 3】 (1)( 2014 · 济南 ) 下列运算中 , 结果是 a 5 的是 ( ) A . a 3 · a 2 B . a 10 ÷ a 2 C . ( a 2 ) 3 D . ( - a ) 5 (2) ( 2012 · 南京 ) 计算 (a 2 ) 3 ÷(a 2 ) 2 的结果是 ( ) A . a B . a 2 C . a 3 D . a 4 A B 【 点评 】 (1) 幂的运算法则是进行整式乘除法的基础 , 要熟练掌握 , 解题时要明确运算的类型 , 正确运用法则; (2) 在运算的过程中 , 一定要注意指数、系数和符号的 处理. 3 . (1) ( 2014 · 新疆 ) 下列各式计算正确的是 ( ) A . a 2 + 2 a 3 = 3 a 5 B . ( a 2 ) 3 = a 5 C . a 6 ÷ a 2 = a 3 D . a · a 2 = a 3 D ( 2 ) ( 2014· 随州 ) 计算 ( - 1 2 xy 2 ) 3 , 结果正确的是 ( ) A. 1 4 x 2 y 4 B . - 1 8 x 3 y 6 C. 1 8 x 3 y 6 D . - 1 8 x 3 y 5 B 整式的混合运算及求值 【 例 4 】 ( 2014· 绍兴 ) 先化简 , 再求值: a ( a - 3b ) + ( a + b ) 2 - a ( a - b ) , 其中 a = 1 , b =- 1 2 . 【 点评 】 注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏 , 应用乘法公式进行简便计算 , 另外去括号时 , 要注意符号的变化 , 最后把所得式子化简 , 即合并同类项 , 再代值计算. 4 . ( 2012 · 杭州 ) 化简 2[(m - 1)m + m(m + 1)][(m - 1)m - m(m + 1)] , 若 m 是任意整数 , 请观察化简后的结果 , 你发现原式表示一个什么数? 解: 2 [( m - 1 ) m + m ( m + 1 )][( m - 1 ) m - m ( m + 1 )] = 2 ( m 2 - m + m 2 + m )( m 2 - m - m 2 - m ) =- 8m 3 . 原式= ( - 2m ) 3 , 表示 3 个- 2m 相乘 , 或者说是一个立方数 , 8 的倍数等 乘法公式 【 例 5】 ( 2013 · 义乌 ) 如图 ① ,从边长为 a 的正方形纸片中剪去一个边长为 b 的小正方形,再沿着线段 AB 剪开,把剪成的两张纸片拼成如图 ② 的等腰梯形. (1) 设图 ① 中阴影部分面积为 S 1 , 图 ② 中阴影部分面积为 S 2 , 请直接用含 a , b 的代数式表示 S 1 和 S 2 ; (2) 请写出上述过程所揭示的乘法公式. 【 点评 】 (1) 在利用完全平方公式求值时 , 通常用到以下几种变形: ① a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 - 2 ab ; ② a 2 + b 2 = ( a - b ) 2 + 2 ab ; ③ ( a + b ) 2 = ( a - b ) 2 + 4 ab ; ④ ( a - b ) 2 = ( a + b ) 2 - 4 ab . 注意公式的变式及整体代入的思想. (2) 算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算 , 任何时候都要遵循先化简 , 再求值的原则. 5 . (1) 整式 A 与 m 2 - 2 mn + n 2 的和是 ( m + n ) 2 , 则 A = . 4mn (2) ( 2014 · 广州 ) 已知多项式 A = (x + 2) 2 + (1 - x)(2 + x) - 3. ① 化简多项式 A ; ② 若 (x + 1) 2 = 6 , 求 A 的值. 试题 一个两位数 , 将它的十位数字与个位数字对调 , 证明所得的数与原来的两位数之差是 9 的倍数. 审题视角 通过举例子的办法来理解题意,例如 28 ,将它的十位数字与个位数字对调,得 82 ,它与原来的两位数之差为 54 ,是 9 的倍数.但是,两位数很多,要一个一个去验证,显然很麻烦.为此想到利用字母去表示这个两位数的十位数字和个位数字,用式子表示这个两位数和对调数字后所得的新两位数,通过计算来证明一般的结论. 规范答题 证明:设两位数的十位数字是 a , 个位数字是 b , 那么这个两位数就等于 10 a + b . 将十位数字与个位数字对调 , 所得的新数的十位数字是 b , 个位数字是 a , 它等于 10 b + a . 于是 , 所得的新数与原来的两位数之差为: (10 b + a ) - (10 a + b ) = 10 b + a - 10 a - b = 9 b - 9 a = 9( b - a ) . 因为 b - a 是一个整数 , 所以 9( b - a ) 是 9 的倍数 , 即所得的新数与原来的两位数之差是 9 的倍数 . 答题思路 第一步:先考虑特殊的情形 , 写出任意一个两位 数 , 以此为立足点探索一般规律; 第二步:利用字母去表示两位数的十位数字和个位数字 , 用代数式表示原两位数与新两位数; 第三步:通过计算新两位数与原两位数的差 , 来证明一般的结论; 第四步:明确结论; 第五步:反思回顾 , 查看关键点、易错点 , 完善解题步骤. 试题 计算 ① x 3 · x 5 ; ② x 4 · x 4 ; ③ ( a m + 1 ) 2 ; ④ ( - 2 a 2 · b ) 2 ; ⑤ ( m - n ) 6 ÷( n - m ) 3 . 错解 ① x 3 · x 5 = x 3 × 5 = x 15 ; ② x 4 · x 4 = 2 x 4 ; ③ ( a m + 1 ) 2 = a 2 m + 1 ; ④ ( - 2 a 2 · b ) 2 =- 2 2 a 4 b 2 ; ⑤ ( m - n ) 6 ÷( n - m ) 3 = ( m - n ) 6 - 3 = ( m - n ) 3 . 剖析 幂的四种运算 ( 同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除 ) 是学习整式乘除的基础 , 对幂运算的性质理解不深刻 , 记忆不牢固 , 往往会出现这样或那样的错误.针对具体问题要分清问题所对应的基本形式 , 以便合理运用法则 , 对符号的处理 , 应特别引起重视. 正解 ① x 3 · x 5 = x 3 + 5 = x 8 ; ② x 4 · x 4 = x 4 + 4 = x 8 ; ③ ( a m + 1 ) 2 = a ( m + 1) × 2 = a 2 m + 2 ; ④ ( - 2 a 2 · b ) 2 = ( - 2) 2 a 4 b 2 = 4 a 4 b 2 ; ⑤ ( m - n ) 6 ÷( n - m ) 3 = ( n - m ) 6 ÷( n - m ) 3 = ( n - m ) 3 .查看更多