北师版 九年级数学下册-2-1～2-3　阶段测试

北师版 九年级数学下册-2-1～2-3　阶段测试

2．1～2.3 阶段测试 (时间：120 分钟满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列函数属于二次函数的是(C) A．y＝－4xB．y＝13 x C．y＝－x2－xD．y＝－x－1 2．(岳阳中考)抛物线 y＝3(x－2)2＋5 的顶点坐标是(C) A．(－2，5) B．(－2，－5) C．(2，5) D．(2，－5) 3．对于二次函数 y＝－x2 所具有的性质，下列描述正确的是(B) A．图象与 x 轴无交点 B．对称轴是直线 x＝0 C．图象经过点(1 4 ， 1 16) D．在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大 4．(哈尔滨中考)将抛物线 y＝－5x2＋1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长 度，所得到的抛物线为(A) A．y＝－5(x＋1)2－1B．y＝－5(x－1)2－1 C．y＝－5(x＋1)2＋3D．y＝－5(x－1)2＋3 5．二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象上有两点(3，4)和(－5，4)，则此拋物线的对称轴是 直线(A) A．x＝－1B．x＝1C．x＝2D．x＝3 6．顶点在点 M(－2，1)，且图象经过原点的二次函数表达式是(B) A．y＝(x－2)2＋1B．y＝－1 4(x＋2)2＋1 C．y＝(x＋2)2＋1D．y＝1 4(x－2)2＋1 7．若一次函数 y＝ax＋b 的图象经过第一、二、四象限，则函数 y＝ax2＋bx 的图象只 可能是(D) 8．如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂 足分别为 G，H，设 AG＝x，图中阴影部分面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系式是(C) A．y＝3 3x2B．y＝4 3x2C．y＝8x2D．y＝9x2 ,第 8 题图) ,第 10 题图) 9．(黄冈中考)当 a≤x≤a＋1 时，函数 y＝x2－2x＋1 的最小值为 1，则 a 的值为(D) A．－1B．2C．0 或 2D．－1 或 2 10．如图，抛物线经过 A(1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，点 D 是直线 BC 上方的抛 物线上的一个动点，连接 DC，DB，则△BCD 的面积的最大值是(C) A．7B．7.5C．8D．9 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11．若关于 x 的函数 y＝(2－a)x2－x 是二次函数，则 a 的取值范围是 a≠2. 12.二次函数 y＝(k＋1)x2 的图象如图所示，则 k 的取值范围为 k＞－1. ,第 12 题图) ,第 13 题图) 13．如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象经过点(－1，0)，(3，0)和(0，2)，当 x＝2 时，y 的值为 2. 14．如果抛物线 y＝2x2 与抛物线 y＝ax2 关于 x 轴对称，那么 a 的值是－2. 15．二次函数 y＝mx2－2x＋1，当 x＜1 3 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则 m 的取值 范围是 0＜m≤3. 16．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的图象的对称轴是直线 x＝1，其图 象的一部分如图所示，对于下列说法：①abc＜0；②当－1＜x＜3 时，y＞0；③a－b＋c＜0； ④3a＋c＜0.其中判断正确的是①③④.(填序号) 三、解答题(共 72 分) 17．(6 分)求出抛物线 y＝1 2x2－x＋3 的开口方向、对称轴、顶点坐标． 解：∵y＝1 2x2－x＋3＝1 2(x－1)2＋2.5，∴抛物线开口向上，对称轴 x＝1，顶点坐标(1， 2.5) 18．(6 分)将抛物线 y＝x2＋2x＋5 沿 y 轴向下平移 m(m＞0)个单位，使平移后的抛物线 的顶点恰好落在 x 轴上，求 m 的值及平移后抛物线的表达式． 解：y＝x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4，∴将抛物线 y＝x2＋2x＋5 沿 y 轴向下平移 4 个单位， 使平移后的抛物线的顶点恰好落在 x 轴上，∴m＝4，∴平移后抛物线表达式为：y＝(x＋1)2 ＝x2＋2x＋1 19．(6 分)(湖州中考)已知抛物线 y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求 a，b 的值． 解：∵抛物线 y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，∴ a－b－3＝0， 9a＋3b－3＝0， 解得 a＝1， b＝－2， 即 a 的值是 1，b 的值是－2 20．(6 分)下表给出一个二次函数的一些取值情况： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3 … (1)请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)根据图象说明：当 x 取何值时，y 的值大于 0? 解：(1)画图略 (2)由函数图象可知：当 x＜1 或 x＞3 时，y＞0 21．(8 分)已知二次函数 y＝x2＋bx＋c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 n … (1)当 x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？ (2)若 A(m1，y1)，B(m＋1，y2)两点都在该函数的图象上，且 m＞2，试比较 y1 与 y2 的 大小． 解：(1)根据表可知：顶点坐标为(2，1)，即当 x＝2 时，y 有最小值，最小值是 1 (2) ∵函数的图象开口向上，顶点坐标为(2，1)，对称轴是直线 x＝2，∴当 m＞2 时，点 A(m1， y1)，B(m＋1，y2)都在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大，∵m＜m＋1，∴y1＜y2 22．(8 分)有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面 BC 的宽为 10 米，拱桥的最高点 D 到水面 BC 的距离 DO 为 4 米，点 O 是 BC 的中点，如图，以点 O 为原点，直线 BC 为 x， 建立直角坐标系． (1)求该抛物线的表达式； (2)如果水面 BC 上升 3 米(即 OA＝3)至水面 EF，点 E 在点 F 的左侧，求水面宽度 EF 的长． 解：(1)设抛物线表达式为 y＝ax2＋c，由题意可得图象经过(5，0)，(0，4)，则 c＝4， 25a＋4＝0， 解得 a＝－ 4 25 ，故抛物线表达式为 y＝－ 4 25x2＋4 (2)由题意可得：令 y＝3，则有 3＝－ 4 25x2 ＋4，解得 x＝±5 2 ，故 EF＝5，答：水面宽度 EF 的长为 5m 23．(10 分)如图，在直角坐标系中，已知直线 y＝－1 2x＋4 与 y 轴交于 A 点，与 x 轴交 于 B 点，C 点坐标为(－2，0)． (1)求经过 A，B，C 三点的抛物线的表达式； (2)如果 M 为抛物线的顶点，连接 AM，BM，求四边形 AOBM 的面积． 解：(1)当 x＝0 时，y＝－1 2x＋4＝4，则 A(0，4)，当 y＝0 时，－1 2x＋4＝0，解得 x＝8， 则 B(8，0)，设抛物线表达式为 y＝a(x＋2)(x－8)，把 A(0，4)代入得 a·2·(－8)＝4，解得 a＝－1 4 ，∴抛物线表达式为 y＝－1 4(x＋2)(x－8)，即 y＝－1 4x2＋3 2x＋4 (2)∵y＝－1 4(x－3)2 ＋25 4 ，∴M(3，25 4 )，作 MD⊥x 轴于 D，四边形 AOBM 的面积＝S 梯形 AODM＋S△BDM＝1 2 ×(4 ＋25 4 )×3＋1 2 ×5×25 4 ＝31 24．(10 分)(杭州中考)在平面直角坐标系中，设二次函数 y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中 a ≠0. (1)若函数 y1 的图象经过点(1，－2)，求函数 y1 的表达式； (2)若一次函数 y2＝ax＋b 的图象与 y1 的图象经过 x 轴上同一点，探究实数 a，b 满足的 关系式； (3)已知点 P(x0，m)和 Q(1，n)在函数 y1 的图象上，若 m＜n，求 x0 的取值范围． 解：(1)y1＝x2－x－2 (2)当 y＝0 时(x＋a)(x－a－1)＝0，解得 x1＝－a，x2＝a＋1，y1 的图象与 x 轴的交点是(－a，0)，(a＋1，0)，当 y2＝ax＋b 经过(－a，0)时，－a2＋b＝0，即 b＝a2；当 y2＝ax＋b 经过(a＋1，0)时，a2＋a＋b＝0，即 b＝－a2－a (3)当 P 在对称轴的左 侧(含顶点)时，y 随 x 的增大而减小，(1，n)与(0，n)关于对称轴 x＝1 2 对称，由 m＜n，得 0 ＜x0≤1 2 ；当 P 在对称轴的右侧时，y 随 x 的增大而增大，由 m＜n，得1 2 ＜x0＜1，综上所述： m＜n，所求 x0 的取值范围 0＜x0＜1 25．(12 分)(自贡中考)如图，抛物线 y＝ax2＋bx－3 过 A(1，0)，B(－3，0)，直线 AD 交抛物线于点 D，点 D 的横坐标为－2，点 P(m，n)是线段 AD 上的动点． (1)求直线 AD 及抛物线的表达式； (2)过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？ (3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使得 P，Q，D，R 为顶点的四边形 是平行四边形？若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由． 解：(1)y＝x－1；y＝x2＋2x－3 (2)设 P 点坐标为(m，m－1)，Q(m，m2＋2m－3)，l＝(m－1)－(m2＋2m－3)化简，得 l ＝－m2－m＋2 配方，得 l＝－(m＋1 2)2＋9 4 ，当 m＝－1 2 时，l 最大＝9 4 (3)由(2)可知，0＜PQ≤ 9 4.当 PQ 为边时，DR∥PQ 且 DR＝PQ.∵R 是整点，D(－2，－3)，∴PQ 是正整数，∴PQ＝ 1，或 PQ＝2.当 PQ＝1 时，DR＝1，此时点 R 的横坐标为－2，纵坐标为－3＋1＝－2 或－3 －1＝－4，∴R(－2，－2)或 R(－2，－4)；当 PQ＝2 时，DR＝2，此时点 R 的横坐标为－2， 纵坐标为－3＋2＝－1 或－3－2＝－5，即 R(－2，－1)或 R(－2，－5)．当 PQ 为对角线时， PD∥QR 且 PD＝QR.∵P，D 在直线 y＝x－1 上，∴直线 RQ 的 k 值为 1，可设直线 RQ 的 表达式为 y＝x＋k.由(2)知，点 Q 的坐标为(m，m2＋2m－3)，则 m2＋2m－3＝m＋k，解得 k ＝m2＋m－3，则直线 RQ 的表达式为 y＝x＋m2＋m－3.由题意可知，直线 RQ 在直线 AD 下 方，∴m2＋m－3＜－1，解得－2＜m＜1.设点 R 的坐标为(n，n＋m2＋m－3)，则 QR2＝2(m －n)2.又∵P(m，m－1)，D(－2，－3)，∴PD2＝2(m＋2)2，∴(m＋2)2＝(m－n)2，解得 n＝－ 2(不合题意，舍去)或 n＝2m＋2.∴点 R 的坐标为(2m＋2，m2＋3m－1)．∵R 是整点，－2 ＜m＜1，∴m＝0 或 1.∴当 m＝－1 时，点 R 的坐标为(0，－3)；当 m＝0 时，点 R 的坐标 为(2，－1)．综上所述，存在满足 R 的点，它的坐标为(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1) 或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)