2020年黑龙江省大兴安岭地区中考数学试卷

2020年黑龙江省大兴安岭地区中考数学试卷

2020 年黑龙江省大兴安岭地区中考数学试卷 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题 3 分，满分 30 分） 1．（3 分）2020 的倒数是（ ） A．2020 B．﹣2020 C． 쳌쳌 D． 쳌쳌2．（3 分）下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．（3 分）下列计算正确的是（ ） A．a+2a＝3a B．（a+b）2＝a2+ab+b2 C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a•2a2＝2a2 4．（3 分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”， 掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（ ） A． B． C． D． 5．（3 分）李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的 速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程 S 随时间 t 的变化规律的大致图象 是（ ） A． B． C． D． 6．（3 分）数学老师在课堂上给同学们布置了 10 个填空题作为课堂练习，并将全班同学的 答题情况绘制成条形统计图．由图可知，全班同学答对题数的众数为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．（3 分）若关于 x 的分式方程 5 的解为正数，则 m 的取值范围为（ ） A．m＜﹣10 B．m≤﹣10 C．m≥﹣10 且 m≠﹣6 D．m＞﹣10 且 m≠﹣6 8．（3 分）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支 2 元，百合每支 3 元．小明将 30 元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（ ） A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种 9．（3 分）有两个直角三角形纸板，一个含 45°角，另一个含 30°角，如图 ① 所示叠放， 先将含 30°角的纸板固定不动，再将含 45°角的纸板绕顶点 A 顺时针旋转，使 BC∥DE， 如图 ② 所示，则旋转角∠BAD 的度数为（ ） A．15° B．30° C．45° D．60° 10．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点（4，0），其对称轴为直线 x ＝1，结合图象给出下列结论： ① ac＜0； ② 4a﹣2b+c＞0； ③ 当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大； ④ 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 有两个不相等的实数根． 其中正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题（每小题 3 分，满分 21 分） 11．（3 分）2020 年初新冠肺炎疫情发生以来，近 4000000 名城乡社区工作者奋战在中国大 地的疫情防控一线．将数据 4000000 用科学记数法表示为 ． 12．（3 分）在函数 y 中，自变量 x 的取值范围是 ． 13．（3 分）如图，已知在△ABD 和△ABC 中，∠DAB＝∠CAB，点 A、B、E 在同一条直线 上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可） 14．（3 分）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，计算出这个几何体的侧面 积是 ． 15．（3 分）等腰三角形的两条边长分别为 3 和 4，则这个等腰三角形的周长是 ． 16．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB 在 y 轴上，点 C 坐标为（2， ﹣2），并且 AO：BO＝1：2，点 D 在函数 y （x＞0）的图象上，则 k 的值为 ． 17．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ① 沿 x 轴正半轴滚动并且按一定 规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点 A1（0，2）变 换到点 A2（6，0），得到等腰直角三角形 ② ；第二次滚动后点 A2 变换到点 A3（6，0）， 得到等腰直角三角形 ③ ；第三次滚动后点 A3 变换到点 A4（10，4 ），得到等腰直角三 角形 ④ ；第四次滚动后点 A4 变换到点 A5（10+12 ，0），得到等腰直角三角形 ⑤ ；依 此规律…，则第 2020 个等腰直角三角形的面积是 ． 三、解答题（本题共 7 道大题，共 69 分） 18．（10 分）（1）计算：sin30° （3 ）0+| | （2）因式分解：3a2﹣48 19．（5 分）解方程：x2﹣5x+6＝0 20．（8 分）如图，AB 为 ⊙ O 的直径，C、D 为 ⊙ O 上的两个点， ，连接 AD， 过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E． （1）求证：DE 是 ⊙ O 的切线． （2）若直径 AB＝6，求 AD 的长． 21．（10 分）新冠肺炎疫情期间，某市防控指挥部想了解自 1 月 20 日至 2 月末各学校教职 工参与志愿服务的情况．在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们 的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表．请根据两幅统计图表 中的信息回答下列问题： （1）本次被抽取的教职工共有 名； （2）表中 a＝ ，扇形统计图中“C”部分所占百分比为 %； （3）扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为 °； （4）若该市共有 30000 名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于 60 小时的教职 工大约有多少人？ 志愿服务时间（小时） 频数 A 0＜x≤30 a B 30＜x≤60 10 C 60＜x≤90 16 D 90＜x≤120 20 22．（10 分）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出 发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为 800km，在行驶过程中乙车速 度始终保持 80km/h，甲车先以一定速度行驶了 500km，用时 5h，然后再以乙车的速度行 驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程 y（km） 与所用时间 x（h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）甲车改变速度前的速度是 km/h，乙车行驶 h 到达绥芬河； （2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程 y（km）与所用时间 x（h）之间的函数解析式， 不用写出自变量 x 的取值范围； （3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有 km；出发 h 时，甲、 乙两车第一次相距 40km． 23．（12 分）综合与实践 在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下 册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步 发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验． 实践发现： 对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平；再一次折叠纸片， 使点 A 落在 EF 上的点 N 处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，把纸片展平，连接 AN， 如图 ① ． （1）折痕 BM （填“是”或“不是”）线段 AN 的垂直平分线；请判断图中△ABN 是什么特殊三角形？答： ；进一步计算出∠MNE＝ °； （2）继续折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的点 H 处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BG， 把纸片展平，如图 ② ，则∠GBN＝ °； 拓展延伸： （3）如图 ③ ，折叠矩形纸片 ABCD，使点 A 落在 BC 边上的点 A'处，并且折痕交 BC 边 于点 T，交 AD 边于点 S，把纸片展平，连接 AA'交 ST 于点 O，连接 AT． 求证：四边形 SATA'是菱形． 解决问题： （4）如图 ④ ，矩形纸片 ABCD 中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上 的点 A'处，并且折痕交 AB 边于点 T，交 AD 边于点 S，把纸片展平．同学们小组讨论后， 得出线段 AT 的长度有 4，5，7，9． 请写出以上 4 个数值中你认为正确的数值 ． 24．（14 分）综合与探究 在平面直角坐标系中，抛物线 y x2+bx+c 经过点 A（﹣4，0），点 M 为抛物线的顶点， 点 B 在 y 轴上，且 OA＝OB，直线 AB 与抛物线在第一象限交于点 C（2，6），如图 ① ． （1）求抛物线的解析式； （2）直线 AB 的函数解析式为 ，点 M 的坐标为 ，cos∠ABO＝ ； 连接 OC，若过点 O 的直线交线段 AC 于点 P，将△AOC 的面积分成 1：2 的两部分，则 点 P 的坐标为 ； （3）在 y 轴上找一点 Q，使得△AMQ 的周长最小．具体作法如图 ② ，作点 A 关于 y 轴 的对称点 A'，连接 MA'交 y 轴于点 Q，连接 AM、AQ，此时△AMQ 的周长最小．请求出 点 Q 的坐标； （4）在坐标平面内是否存在点 N，使以点 A、O、C、N 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 2020 年黑龙江省大兴安岭地区中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题 3 分，满分 30 分） 1．（3 分）2020 的倒数是（ ） A．2020 B．﹣2020 C． 쳌쳌 D． 쳌쳌【解答】解：2020 的倒数是 쳌쳌 ， 故选：C． 2．（3 分）下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（3 分）下列计算正确的是（ ） A．a+2a＝3a B．（a+b）2＝a2+ab+b2 C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a•2a2＝2a2 【解答】解：A．a+2a＝（1+2）a＝3a，此选项计算正确； B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，此选项计算错误； C．（﹣2a）2＝4a2，此选项计算错误； D．a•2a2＝2a3，此选项计算错误； 故选：A． 4．（3 分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”， 掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：∵掷小正方体后共有 6 种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有 2、 4、6 这 3 种可能， ∴朝上一面的数字出现偶数的概率是 ， 故选：A． 5．（3 分）李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的 速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程 S 随时间 t 的变化规律的大致图象 是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：因为登山过程可知： 先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度． 所以在登山过程中，他行走的路程 S 随时间 t 的变化规律的大致图象是 B． 故选：B． 6．（3 分）数学老师在课堂上给同学们布置了 10 个填空题作为课堂练习，并将全班同学的 答题情况绘制成条形统计图．由图可知，全班同学答对题数的众数为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【解答】解：由条形统计图可得， 全班同学答对题数的众数为 9， 故选：C． 7．（3 分）若关于 x 的分式方程 5 的解为正数，则 m 的取值范围为（ ） A．m＜﹣10 B．m≤﹣10 C．m≥﹣10 且 m≠﹣6 D．m＞﹣10 且 m≠﹣6 【解答】解：去分母得：3x＝﹣m+5（x﹣2）， 解得：x 쳌 ， 由方程的解为正数，得到 m+10＞0，且 m+10≠4， 则 m 的范围为 m＞﹣10 且 m≠﹣6， 故选：D． 8．（3 分）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支 2 元，百合每支 3 元．小明将 30 元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（ ） A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种 【解答】解：设可以购买 x 支康乃馨，y 支百合， 依题意，得：2x+3y＝30， ∴y＝10 x． ∵x，y 均为正整数， ∴ ， ， 㔳 ， ， ∴小明有 4 种购买方案． 故选：B． 9．（3 分）有两个直角三角形纸板，一个含 45°角，另一个含 30°角，如图 ① 所示叠放， 先将含 30°角的纸板固定不动，再将含 45°角的纸板绕顶点 A 顺时针旋转，使 BC∥DE， 如图 ② 所示，则旋转角∠BAD 的度数为（ ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【解答】解：如图，设 AD 与 BC 交于点 F， ∵BC∥DE， ∴∠CFA＝∠D＝90°， ∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD， ∴∠BAD＝30° 故选：B． 10．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点（4，0），其对称轴为直线 x ＝1，结合图象给出下列结论： ① ac＜0； ② 4a﹣2b+c＞0； ③ 当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大； ④ 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 有两个不相等的实数根． 其中正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解答】解：抛物线开口向上，因此 a＞0，与 y 轴交于负半轴，因此 c＜0，故 ac＜0， 所以 ① 正确； 抛物线对称轴为 x＝1，与 x 轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是 有 4a﹣2b+c＝0，所以 ② 不正确； x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，所以 ③ 正确； 抛物线与 x 轴有两个不同交点，因此关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 有两个不相等的 实数根，所以 ④ 正确； 综上所述，正确的结论有： ①③④ ， 故选：C． 二、填空题（每小题 3 分，满分 21 分） 11．（3 分）2020 年初新冠肺炎疫情发生以来，近 4000000 名城乡社区工作者奋战在中国大 地的疫情防控一线．将数据 4000000 用科学记数法表示为 4×106 ． 【解答】解：将数据 4000000 用科学记数法表示为 4×106， 故答案为：4×106． 12．（3 分）在函数 y 中，自变量 x 的取值范围是 x≥﹣3 且 x≠2 ． 【解答】解：由题可得， 쳌 쳌 ， 解得 ， ∴自变量 x 的取值范围是 x≥﹣3 且 x≠2， 故答案为：x≥﹣3 且 x≠2． 13．（3 分）如图，已知在△ABD 和△ABC 中，∠DAB＝∠CAB，点 A、B、E 在同一条直线 上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 AD＝AC（∠D＝∠C 或∠ABD＝ ∠ABC 等） ．（只填一个即可） 【解答】解：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB， ∴当添加 AD＝AC 时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC； 当添加∠D＝∠C 时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC； 当添加∠ABD＝∠ABC 时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC． 故答案为 AD＝AC（∠D＝∠C 或∠ABD＝∠ABC 等）． 14．（3 分）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，计算出这个几何体的侧面 积是 65 π ． 【解答】解：由三视图可知，原几何体为圆锥， S 侧 •2 π r•l 2 π ×5×13＝65 π ． 故答案为：65 π ． 15．（3 分）等腰三角形的两条边长分别为 3 和 4，则这个等腰三角形的周长是 10 或 11 ． 【解答】解： ① 3 是腰长时，三角形的三边分别为 3、3、4， ∵此时能组成三角形， ∴周长＝3+3+4＝10； ② 3 是底边长时，三角形的三边分别为 3、4、4， 此时能组成三角形， 所以周长＝3+4+4＝11． 综上所述，这个等腰三角形的周长是 10 或 11． 故答案为：10 或 11． 16．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB 在 y 轴上，点 C 坐标为（2， ﹣2），并且 AO：BO＝1：2，点 D 在函数 y （x＞0）的图象上，则 k 的值为 2 ． 【解答】解：如图，∵点 C 坐标为（2，﹣2）， ∴矩形 OBCE 的面积＝2×2＝4， ∵AO：BO＝1：2， ∴矩形 AOED 的面积＝2， ∵点 D 在函数 y （x＞0）的图象上， ∴k＝2， 故答案为 2． 17．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ① 沿 x 轴正半轴滚动并且按一定 规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点 A1（0，2）变 换到点 A2（6，0），得到等腰直角三角形 ② ；第二次滚动后点 A2 变换到点 A3（6，0）， 得到等腰直角三角形 ③ ；第三次滚动后点 A3 变换到点 A4（10，4 ），得到等腰直角三 角形 ④ ；第四次滚动后点 A4 变换到点 A5（10+12 ，0），得到等腰直角三角形 ⑤ ；依 此规律…，则第 2020 个等腰直角三角形的面积是 22020 ． 【解答】解：∵点 A1（0，2）， ∴第 1 个等腰直角三角形的面积 2， ∵A2（6，0）， ∴第 2 个等腰直角三角形的边长为 2 ， ∴第 2 个等腰直角三角形的面积 4＝22， ∵A4（10，4 ）， ∴第 3 个等腰直角三角形的边长为 10﹣6＝4， ∴第 3 个等腰直角三角形的面积 8＝23， … 则第 2020 个等腰直角三角形的面积是 22020； 故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）． 三、解答题（本题共 7 道大题，共 69 分） 18．（10 分）（1）计算：sin30° （3 ）0+| | （2）因式分解：3a2﹣48 【解答】解：（1）sin30° （3 ）0+| | 4﹣1 ＝4； （2）3a2﹣48 ＝3（a2﹣16） ＝3（a+4）（a﹣4）． 19．（5 分）解方程：x2﹣5x+6＝0 【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 则 x﹣2＝0 或 x﹣3＝0， 解得 x1＝2，x2＝3． 20．（8 分）如图，AB 为 ⊙ O 的直径，C、D 为 ⊙ O 上的两个点， ，连接 AD， 过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E． （1）求证：DE 是 ⊙ O 的切线． （2）若直径 AB＝6，求 AD 的长． 【解答】（1）证明：连接 OD， ∵ ， ∴∠BOD 180°＝60°， ∵ ， ∴∠EAD＝∠DAB BOD＝30°， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAB＝30°， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠EAD+∠EDA＝90°， ∴∠EDA＝60°， ∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE 是 ⊙ O 的切线； （2）解：连接 BD， ∵AB 为 ⊙ O 的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠DAB＝30°，AB＝6， ∴BD AB＝3， ∴AD 3 ． 21．（10 分）新冠肺炎疫情期间，某市防控指挥部想了解自 1 月 20 日至 2 月末各学校教职 工参与志愿服务的情况．在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们 的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表．请根据两幅统计图表 中的信息回答下列问题： （1）本次被抽取的教职工共有 50 名； （2）表中 a＝ 4 ，扇形统计图中“C”部分所占百分比为 32 %； （3）扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为 144 °； （4）若该市共有 30000 名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于 60 小时的教职 工大约有多少人？ 志愿服务时间（小时） 频数 A 0＜x≤30 a B 30＜x≤60 10 C 60＜x≤90 16 D 90＜x≤120 20 【解答】解：（1）本次被抽取的教职工共有：10÷20%＝50（名）， 故答案为：50； （2）a＝50﹣10﹣16﹣20＝4， 扇形统计图中“C”部分所占百分比为： 쳌 100%＝32%， 故答案为：4，32； （3）扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为：360°× 쳌 쳌 144°． 故答案为：144； （4）30000× 쳌 쳌 21600（人）． 答：志愿服务时间多于 60 小时的教职工大约有 21600 人． 22．（10 分）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出 发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为 800km，在行驶过程中乙车速 度始终保持 80km/h，甲车先以一定速度行驶了 500km，用时 5h，然后再以乙车的速度行 驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程 y（km） 与所用时间 x（h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）甲车改变速度前的速度是 100 km/h，乙车行驶 10 h 到达绥芬河； （2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程 y（km）与所用时间 x（h）之间的函数解析式， 不用写出自变量 x 的取值范围； （3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有 100 km；出发 2 h 时，甲、乙 两车第一次相距 40km． 【解答】解：（1）甲车改变速度前的速度为：500 出 5＝100（km/h），乙车达绥芬河是时 间为：800÷80＝10（h）， 故答案为：100；10； （2）∵乙车速度为 80km/h， ∴甲车到达绥芬河的时间为： 쳌쳌쳌쳌 쳌 쳌䁜 ， 甲车改变速度后，到达绥芬河前，设所求函数解析式为：y＝kx+b（k≠0）， 将（5，500）和（ ，800）代入得： ൅ 쳌쳌 ൅ 쳌쳌 ， 解得 쳌 ൅ 쳌쳌 ， ∴y＝80x+100， 答：甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程 y（km）与所用时间 x（h）之间的函数解析式为 y＝80x+100（ ）； （3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程为：800﹣80× 100（km）， 40÷（100﹣80）＝2（h）， 即出发 2h 时，甲、乙两车第一次相距 40km． 故答案为：100；2． 23．（12 分）综合与实践 在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下 册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步 发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验． 实践发现： 对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平；再一次折叠纸片， 使点 A 落在 EF 上的点 N 处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，把纸片展平，连接 AN， 如图 ① ． （1）折痕 BM 是 （填“是”或“不是”）线段 AN 的垂直平分线；请判断图中△ABN 是什么特殊三角形？答： 等边三角形 ；进一步计算出∠MNE＝ 60 °； （2）继续折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的点 H 处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BG， 把纸片展平，如图 ② ，则∠GBN＝ 15 °； 拓展延伸： （3）如图 ③ ，折叠矩形纸片 ABCD，使点 A 落在 BC 边上的点 A'处，并且折痕交 BC 边 于点 T，交 AD 边于点 S，把纸片展平，连接 AA'交 ST 于点 O，连接 AT． 求证：四边形 SATA'是菱形． 解决问题： （4）如图 ④ ，矩形纸片 ABCD 中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上 的点 A'处，并且折痕交 AB 边于点 T，交 AD 边于点 S，把纸片展平．同学们小组讨论后， 得出线段 AT 的长度有 4，5，7，9． 请写出以上 4 个数值中你认为正确的数值 7，9 ． 【解答】解：（1）如图 ① ∵对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合， ∴EF 垂直平分 AB， ∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°， ∵再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 N 处， ∴BM 垂直平分 AN，∠BAM＝∠BNM＝90°， ∴AB＝BN， ∴AB＝AN＝BN， ∴△ABN 是等边三角形， ∴∠EBN＝60°， ∴∠ENB＝30°， ∴∠MNE＝60°， 故答案为：是，等边三角形，60； （2）∵折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的点 H 处， ∴∠ABG＝∠HBG＝45°， ∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°， 故答案为：15°； （3）∵折叠矩形纸片 ABCD，使点 A 落在 BC 边上的点 A'处， ∴ST 垂直平分 AA'， ∴AO＝A'O，AA'⊥ST， ∵AD∥BC， ∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO， ∴△ASO≌△A'TO（AAS） ∴SO＝TO， ∴四边形 ASA'T 是平行四边形， 又∵AA'⊥ST， ∴边形 SATA'是菱形； （4）∵折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的点 A'处， ∴AT＝A'T， 在 Rt△A'TB 中，A'T＞BT， ∴AT＞10﹣AT， ∴AT＞5， ∵点 T 在 AB 上， ∴当点 T 与点 B 重合时，AT 有最大值为 10， ∴5＜AT≤10， ∴正确的数值为 7，9， 故答案为：7，9． 24．（14 分）综合与探究 在平面直角坐标系中，抛物线 y x2+bx+c 经过点 A（﹣4，0），点 M 为抛物线的顶点， 点 B 在 y 轴上，且 OA＝OB，直线 AB 与抛物线在第一象限交于点 C（2，6），如图 ① ． （1）求抛物线的解析式； （2）直线 AB 的函数解析式为 y＝x+4 ，点 M 的坐标为 （﹣2，﹣2） ，cos∠ABO ＝ ； 连接 OC，若过点 O 的直线交线段 AC 于点 P，将△AOC 的面积分成 1：2 的两部分，则 点 P 的坐标为 （﹣2，2）或（0，4） ； （3）在 y 轴上找一点 Q，使得△AMQ 的周长最小．具体作法如图 ② ，作点 A 关于 y 轴 的对称点 A'，连接 MA'交 y 轴于点 Q，连接 AM、AQ，此时△AMQ 的周长最小．请求出 点 Q 的坐标； （4）在坐标平面内是否存在点 N，使以点 A、O、C、N 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得： ൅ 쳌 ൅ ，解得 ൅ 쳌 ， 故直线 AB 的表达式为：y x2+2x； （2）点 A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点 B（0，4）， 由点 A、B 的坐标得，直线 AB 的表达式为：y＝x+4； 则∠ABO＝45°，故 cos∠ABO ； 对于 y x2+2x，函数的对称轴为 x＝﹣2，故点 M（﹣2，﹣2）； OP 将△AOC 的面积分成 1：2 的两部分，则 AP AC 或 AC， 则 或 ，即 或 ，解得：yP＝2 或 4， 故点 P（﹣2，2）或（0，4）； 故答案为：y＝x+4；（﹣2，﹣2）； ；（﹣2，2）或（0，4）； （3）△AMQ 的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M 最小， 点 A′（4，0）， 设直线 A′M 的表达式为：y＝kx+b，则 ൅ 쳌 ൅ ，解得 ൅ ， 故直线 A′M 的表达式为：y x ， 令 x＝0，则 y ，故点 Q（0， ）； （4）存在，理由： 设点 N（m，n），而点 A、C、O 的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0）， ① 当 AC 是边时， 点 A 向右平移 6 个单位向上平移 6 个单位得到点 C，同样点 O（N）右平移 6 个单位向上 平移 6 个单位得到点 N（O）， 即 0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6， 故点 N（6，6）或（﹣6，﹣6）； ② 当 AC 是对角线时， 由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0， 解得：m＝﹣2，n＝6， 故点 N（﹣2，6）； 综上，点 N 的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．