弧长和扇形的面积

弧长和扇形的面积

‎3.7 弧长及扇形的面积 教学目标 ‎(一)教学知识点 ‎1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；‎ ‎2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．‎ ‎(二)能力训练要求 ‎1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．‎ ‎2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．‎ ‎(三)情感与价值观要求 ‎1．经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．‎ ‎2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．‎ 教学重点 ‎1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程．‎ ‎2．了解弧长及扇形面积计算公式．‎ ‎3．会用公式解决问题．‎ 教学难点 ‎1．探索弧长及扇形面积计算公式．‎ ‎2．用公式解决实际问题．‎ 教学方法 学生互相交流探索法 教具准备 ‎2．投影片四张 第一张：(记作§3．7A)‎ 第二张：(记作§3．7B)‎ 第三张：(记作§3．7C)‎ 第四张：(记作§3．7D)‎ 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 6‎ ‎[师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．‎ Ⅱ．新课讲解 一、复习 ‎1．圆的周长如何计算？‎ ‎2．圆的面积如何计算？‎ ‎3．圆的圆心角是多少度？‎ ‎[生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr2，圆的圆心角是360°．‎ 二、探索弧长的计算公式 投影片(§3．7A)‎ 如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm．‎ ‎(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？‎ ‎(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？‎ ‎(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？‎ ‎[师]分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的；转动轮转n°，传送带上的物品A被传送转1°时传送距离的n倍．‎ ‎[生]解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm；‎ ‎(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送cm；‎ ‎(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送n×＝cm．‎ ‎[师]根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗？请大家互相交流．‎ 6‎ ‎[生]根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长2πR，那么1°的圆心角对应的弧长为，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即n×．‎ ‎[师]表述得非常棒．‎ 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：‎ l＝．‎ 下面我们看弧长公式的运用．‎ 三、例题讲解 投影片(§3．7B)‎ 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)．‎ 分析：要求管道的展直长度，即求的长，根根弧长公式l＝可求得的长，其中n为圆心角，R为半径．‎ 解：R＝40mm，n＝110．‎ ‎∴的长＝πR＝×40π≈76.8mm．‎ 因此，管道的展直长度约为76.8mm．‎ 四、想一想 投影片(§3．7C)‎ 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．‎ ‎(1)这只狗的最大活动区域有多大？‎ ‎(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？‎ ‎[师]请大家互相交流．‎ 6‎ ‎[生](1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π；‎ ‎(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积，1°的圆心角对应圆面积的，即×9π＝，n°的圆心角对应的圆面积为n×＝．‎ ‎[师]请大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式．‎ ‎[生]如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面积为，n°的圆心角对应的扇形面积为n·．因此扇形面积的计算公式为S扇形＝πR2，其中R为扇形的半径，n为圆心角．‎ 五、弧长与扇形面积的关系 ‎[师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流．‎ ‎[生]∵l＝πR，S扇形＝πR2，‎ ‎∴πR2＝R·πR．∴S扇形＝lR．‎ 六、扇形面积的应用 投影片(§3．7D)‎ 扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)‎ 分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．‎ 6‎ 解：的长＝π×12≈25.1cm．‎ S扇形＝π×122≈150.7cm2．‎ 因此，的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2．‎ Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结 本节课学习了如下内容：‎ ‎1．探索弧长的计算公式l＝πR，并运用公式进行计算；‎ ‎2．探索扇形的面积公式S＝πR2，并运用公式进行计算；‎ ‎3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方．‎ Ⅴ．课后作业 习题3．10‎ Ⅵ．活动与探究 如图，两个同心圆被两条半径截得的的长为6π cm，的长为10π cm，又AC＝12cm，求阴影部分ABDC的面积．‎ 分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S＝lR，l已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．‎ 解：设OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，根据已知条件有：‎ 得．‎ 6‎ ‎∴3(R＋12)＝5R，∴R＝18．‎ ‎∴OC＝18＋12＝30．‎ ‎∴S＝S扇形COD－S扇形AOB＝×10π×30－×6π×18＝96π cm2．‎ 所以阴影部分的面积为96π cm2．‎ 板书设计 ‎§3．7 弧长及扇形的面积 一、1．复习圆的周长和面积计算公式；‎ ‎2．探索弧长的计算公式；‎ ‎3．例题讲解；‎ ‎4．想一想；‎ ‎5．弧长及扇形面积的关系；‎ ‎6．扇形面积的应用．‎ 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 6‎