山西省2019年高中阶段教育学校招生统一考试数学试题

山西省2019年高中阶段教育学校招生统一考试数学试题

山西省2019年高中阶段教育学校招生统一考试数学 第Ⅰ卷　选择题(共30分)‎ 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)‎ ‎1. －3的绝对值是(　　)‎ A. －3　 　　B. 3　　 　C. －　　　 D. ‎2. 下列运算正确的是(　　)‎ A. 2a＋3a＝5a2 B. (a＋2b)2＝a2＋4b2‎ C. a2·a3＝a6 D. (－ab2)3＝－a3b6‎ ‎3. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对的面上的汉字是(　　)‎ A. 青 B. 春 C. 梦 D. 想 第3题图 ‎4. 下列二次根式是最简二次根式的是(　　)‎ A. B. C. D. ‎5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是(　　)‎ A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°‎ 第5题图 ‎6. 不等式组的解集是(　　)‎ A. x>4 B. x>－1 C. －10)的图象恰好经过点C，则k的值为________．‎ ‎15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10 cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6 cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm.‎ 第15题图 三、解答题(本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎16. (本题共2个小题，每小题5分，共10分)‎ ‎(1)计算：＋(－)－2－3tan 60°＋(π－)0.‎ ‎(2)解方程组： ‎17. (本题7分)‎ 已知：如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F.求证：BC＝DF.‎ 第17题图 ‎18. (本题9分)中华人民共和国第二届青年运动会(简称二青会)将于2019年8月在山西举行．太原市作为主赛区，将承担多项赛事．现正从某高校的甲，乙两班分别招募10人作为颁奖礼仪志愿者，同学们勇跃报名，甲，乙两班各报了20人，现已对他们进行了基本素质测评，满分10分，各班按测评成绩从高分到低分的顺序各录用10人．对这次基本素质测评中甲，乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图．‎ 第18题图 请解答下列问题：‎ ‎(1)甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分，请你分别判断小华，小丽能否被录用(只写判断结果，不必写理由)．‎ ‎(2)请你对甲，乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价(从“众数”，“中位数”或“平均数”中的一个方面评价即可)．‎ ‎(3)甲，乙两班被录用的第一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母A，B，C，D表示．现把分别印有A，B，C，D的四张卡片(除字母外，其余都相同)背面朝上，洗匀放好．志愿者小玲从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张．请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率．‎ ‎19. (本题8分)某游泳馆推出了两种收费方式．‎ 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．‎ 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．‎ 设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次，选择方式一的总费用为y1(元)，选择方式二的总费用为y2(元)．‎ ‎(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．‎ ‎(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．‎ ‎20. (本题9分)某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整).‎ 课题 测量旗杆的高度 成员 组长：× × ×‎ 组员：× × ×，× × ×，× × ×‎ 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示 意图 说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度AC＝BD＝1.5 m，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH上．‎ 测量项目 测量数据 第一次 第二次 平均值 ‎∠GCE的度数 ‎25.6°‎ ‎25.8°‎ ‎25.7°‎ ‎∠GDE的度数 ‎31.2°‎ ‎30.8°‎ ‎31°‎ A，B之间的距离 ‎5.4 m ‎5.6 m ‎…‎ ‎…‎ 任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是________m.‎ 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．‎ ‎(参考数据：sin 25.7°≈0.43，cos 25.7°≈0.90，tan 25.7°≈0.48, sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)‎ 任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？(写出一条即可)‎ ‎21. (本题8分)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：‎ 莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字 命名的重要常数，公式和定理．下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，‎ R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，‎ 则OI2＝R2－2Rr.‎ 如图①，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI＝d，则有d2＝R2－2Rr.‎ 下面是该定理的证明过程(部分)：‎ 延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.‎ ‎∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI(同弧所对的圆周角相等)， 第21题图①‎ ‎∴△MDI∽△ANI∴＝∴IA·ID＝IM·IN.①‎ 如图②，在图①(隐去MN，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF.‎ ‎∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°.‎ ‎∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI＝90°.‎ ‎∴∠DBE＝∠IFA.∵∠BAD＝∠E(同弧所对的圆周角相等)，‎ ‎∴△AIF∽△EDB.∴＝.∴IA·BD＝DE·IF.② 第21题图②‎ ‎…‎ 任务：(1)观察发现：IM＝R＋d，IN＝________(用含R，d的代数式表示)；‎ ‎(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；‎ ‎(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；‎ ‎(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5 cm，内切圆的半径为2 cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为________ cm.‎ ‎22. (本题11分)综合与实践 动手操作：‎ 第一步：如图①，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平．再沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上，此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为CE，CF，如图②.‎ 第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图③.‎ 第三步：在图③的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图④，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图⑤.图中的虚线为折痕．‎ 问题解决：‎ ‎(1)在图⑤中，∠BEC的度数是________，的值是________；‎ ‎(2)在图⑤中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；‎ ‎(3)在不增加字母的条件下，请你以图⑤中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形：________．‎ 第22题图 ‎23. (本题13分)综合与探究 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m(13得x>4，解不等式2－2x<4得x>－1，∴不等式组的解集为x>4.‎ ‎7. C　【解析】12万＝120000，“五一”小长假期间五台山门票总收入为120000×168＝20160000 (元)，将20160000 用科学记数法表示为2.016×107元．‎ ‎8. D　【解析】将一元二次方程x2－4x－1＝0，移项得x2－4x＝1，配方得(x－2)2＝5.‎ ‎9. B　【解析】根据函数图象可设抛物线型钢拱的函数表达式为y＝ax2.∵AB＝90米，最高点O到AB的距离为78，∴B(45，－78)．将B(45，－78)代入y＝ax2得－78＝a×452，解得a＝－，∴抛物线型钢拱的函数表达式为y＝－x2.‎ ‎10. A　【解析】如解图，连接OD，过点D作DE⊥AB于点E.∵在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝2，∴S△ABC＝AB·BC＝2.在Rt△ABC中，∵tan∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝30°，∴∠BOD＝60°.∵OA＝OB＝OD＝AB＝，∴S扇形BOD＝＝.∵DE＝OD·sin60°＝，∴S△AOD＝OA·DE＝.∴S阴影＝S△ABC－S△AOD－S扇形BOD＝－.‎ 第10题解图 二、填空题 ‎11. 　【解析】原式＝＋＝.‎ ‎12. 扇形统计图　【解析】扇形统计图能直观表示出各组占总体的百分比，故要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，最合适的统计图是扇形统计图．‎ ‎13. (12－x)(8－x)＝77或x2－20x＋19＝0　【解析】根据题意，剩余部分栽种花草的面积可转化成长为(12－x) m，宽为(8－x)m的矩形面积，∴可列方程为(12－x)(8－x)＝77，化简得x2－20x＋19＝0.‎ ‎14. 16　【解析】如解图，过点D作DE⊥x轴于点E.∵点A的坐标为(－4，0)，点D的坐标为(－1，4)，∴DE＝4，AO＝4，EO＝1，∴AE＝AO－EO＝3，∴AD＝＝5.∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝AD＝5，∴点C的坐标为(4，4)．∵反比例函数图象经过C(4，4)，∴将C(4，4)代入y＝，解得k＝16.‎ 第14题解图 ‎15. 10－2　【解析】如解图，过点A作AG⊥DE于点G.∵AD旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°.∵AG⊥DE，∴∠DAG＝45°.在Rt△ADG中，AD＝6 cm，∴AG＝AD·cos 45°＝3 cm.∵∠BAD＝15°，∠BAC＝90°，∴∠GAF＝∠BAC－∠BAD－∠DAG＝30°，∴在Rt△AGF中，AF＝＝2 cm.∵AC＝10 cm，∴CF＝AC－AF＝10－2 cm.‎ ‎　‎ 第15题解图 三、解答题 ‎16. 解：(1)原式＝3＋4－3＋1(4分)‎ ‎＝5；(5分)‎ ‎(2)①＋②得4x＝－8，(6分)‎ x＝－2.(7分)‎ 将x＝－2代入②得－2＋2y＝0，(8分)‎ y＝1.(9分)‎ ‎∴原方程组的解为(10分)‎ ‎17. 证明：∵AD＝BE，∴AD－BD＝BE－BD.‎ ‎∴AB＝DE.(2分)‎ ‎∵AC∥EF，∴∠A＝∠E.(4分)‎ 在△ABC和△EDF中，‎ ‎∠C＝∠F，∠A＝∠E，AB＝ED，(5分)‎ ‎∴△ABC≌△EDF.(6分)‎ ‎∴BC＝DF.(7分)‎ ‎18. 解：(1)小华：不能被录用，小丽：能被录用；(2分)‎ ‎【解法提示】∵甲，乙两班各报20人，且从每班分别招募10人作为颁奖礼仪志愿者，∴将甲，乙两班学生基本素质测评成绩按从小到大顺序排列，成绩排名后十位的学生能被录用，∴甲班学生基本素质测评成绩为8，9，10分的学生能被录用，乙班学生基本素质测评成绩为7，8，9，10分的学生能被录用．∵甲班小华和乙班小丽的基本素质测评成绩都为7分，∴小华不能被录用，小丽能被录用．‎ ‎(2)从众数来看：甲，乙两班各被录用的10名志愿者成绩的众数分别为8分，10分，说明甲班被录用的10名志愿者中8分最多，乙班被录用的10名志愿者中10分最多．‎ 从中位数来看：甲，乙两班各被录用的10名志愿者成绩的中位数分别为9分，8.5分，说明甲班录用的10名志愿者成绩的中位数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的中位数．‎ 从平均数来看：甲，乙两班各被录用的10名志愿者成绩的平均数分别为8.9分，8.7分，说明甲班被录用的10名志愿者成绩的平均数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的平均数； ‎ ‎(从“众数”，“中位数”或“平均数”中的一个方面评价即可)(3分)‎ ‎(3)根据题意列表如下：‎ A B C D A ‎(A，B)‎ ‎(A，C)‎ ‎(A，D)‎ B ‎(B，A)‎ ‎(B，C)‎ ‎(B，D)‎ C ‎(C，A)‎ ‎(C，B)‎ ‎(C，D)‎ D ‎(D，A)‎ ‎(D，B)‎ ‎(D，C)‎ 或画树状图如下：‎ 第18题解图 由列表(或画树状图)可知一共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中抽到“A”和“B”的结果有2种．(8分)‎ ‎∴P(抽到“A”和“B”)＝＝.(9分)‎ ‎19. 解：(1)y1＝30x＋200.(2分)‎ y2＝40x；(4分)‎ ‎(2)由y1＜y2，‎ 得30x＋200＜40x，(6分)‎ 解得x＞20.(7分)‎ 当x＞20时，选择方式一比方式二省钱．(8分)‎ ‎20. 解：任务一：5.5；(1分)‎ ‎【解法提示】A，B之间的距离的平均值为＝5.5 m.‎ 任务二：‎ 由题意可得：四边形ACDB，四边形ACEH都是矩形，‎ ‎∴EH＝AC＝1.5 m，CD＝AB＝5.5 m．(2分)‎ 设EG＝x m.‎ 在Rt△DEG中，∠DEG＝90°，∠GDE＝31°，‎ ‎∵tan 31°＝，‎ ‎∴DE＝.(3分)‎ 在Rt△CEG中，∠CEG＝90°，∠GCE＝25.7°，‎ ‎∵tan 25.7°＝，∴CE＝.(4分)‎ ‎∵CD＝CE－DE，∴－＝5.5.(5分)‎ ‎∴x＝13.2.(8分)‎ ‎∴GH＝GE＋EH＝13.2＋1.5＝14.7 m．(7分)‎ 答：旗杆GH的高度为14.7 m．(8分)‎ 任务三：没有太阳光旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的卡度遇到困难．(答案不唯一)(9分)‎ ‎21. (1)解：R－d；(1分)‎ ‎【解法提示】观察图可知IN＝ON－OI＝R－d.‎ ‎(2)解：BD＝ID.(2分)‎ 理由如下：∵点I是△ABC的内心，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI.(3分)‎ ‎∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD＋∠ABI，‎ ‎∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，‎ ‎∴∠BID＝∠DBI.(4分)‎ ‎∴BD＝ID；(5分)‎ ‎(3)证明：由(2)知：BD＝ID，‎ ‎∴IA·ID＝DE·IF.‎ 又∵IA·ID＝IM·IN，‎ ‎∴DE·IF＝IM·IN.(6分)‎ ‎∴2R·r＝(R＋d)(R－d)．‎ ‎∴R2－d2＝2Rr.‎ ‎∴d2＝R2－2Rr；(7分)‎ ‎(4).(8分)‎ ‎【解法提示】由(3)d2＝R2－2Rr可知△ABC的外心与内心之间的距离＝＝.‎ ‎22. 解：(1)67.5°，；(4分)‎ ‎【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD.∵正方形ABCD折叠使得点B，D都在对角线AC上的点N处，∠BCE＝∠ECN＝∠NCF＝∠DCF＝∠BCD＝22.5°，∴∠BEC＝∠CEN＝67.5°，∴∠AEN＝180°－2∠BEC＝45°.∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠EAN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴＝＝.‎ ‎(2)四边形EMGF是矩形．(5分)‎ 理由如下：如解图①，∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠B＝∠BCD＝∠D＝90°.‎ 由折叠可知∠1＝∠2＝∠3＝∠4，CM＝CG，‎ ‎∠BEC＝∠NEC＝∠NFC＝∠DFC， 第22题解图①‎ ‎∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝＝22.5°.‎ ‎∴∠BEC＝∠NEC＝∠NFC＝∠DFC＝67.5°.‎ 由折叠可知MH，GH分别垂直平分EC，FC，‎ ‎∴MC＝ME，GC＝GF.‎ ‎∴∠5＝∠1＝22.5°，∠6＝∠4＝22.5°.‎ ‎∴∠MEF＝∠GFE＝90°.(7分)‎ ‎∵∠MCG＝90°，CM＝CG，‎ ‎∴∠CMG＝45°.‎ 又∵∠BME＝∠1＋∠5＝45°，‎ ‎∴∠EMG＝180°－∠CMG－∠BME＝90°.(8分)‎ ‎∴四边形EMGF是矩形；(9分)‎ ‎(3)画出菱形如解图；‎ 第22题解图 ‎(答案不唯一，画出一个即可)．(10分)‎ 菱形FGCH(或菱形EMCH)．(11分)‎ ‎23. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A(－2，0)，B(4，0)，‎ ‎∴(1分)‎ 解得(2分)‎ ‎∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋6；(3分)‎ ‎(2)如解图①，过点D作直线DE⊥x轴于点E，交BC于点G.作CF⊥DE，垂足为点F.‎ ‎∵点A的坐标为(－2，0)，∴OA＝2.‎ 由x＝0，得y＝6.‎ ‎∴点C的坐标为(0，6)．‎ ‎∴OC＝6.‎ ‎∴S△AOC＝OA·OC＝×2×6＝6.(4分)‎ ‎∵S△BCD＝S△AOC，‎ ‎∴S△BCD＝×6＝.‎ 设直线BC的函数表达式为y＝kx＋n.由B，C两点的坐标得 解得 ‎∴直线BC的函数表达式为y＝－x＋6.(5分)‎ ‎∴点G的坐标为(m，－m＋6)．‎ ‎∴DG＝－m2＋m＋6－(－m＋6)‎ ‎＝－m2＋3m.(6分)‎ ‎∵点B的坐标为(4，0)，∴OB＝4.‎ ‎∴S△BCD＝S△CDG＋S△BDG ‎＝DG·CF＋DG·BE＝DG(CF＋BE)‎ ‎＝DG·BO ‎＝(－m2＋3m)×4＝－m2＋6m.(7分)‎ ‎∴－m2＋6m＝.(8分)‎ 解得m1＝1(舍去)，m2＝3.‎ ‎∴m的值为3；(9分)‎ 第23题解图①‎ ‎(3)存在以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为(8，0)或(0，0)或(－，0)或(，0)．(13分)‎ ‎【解法提示】由(2)可知m＝3，将m＝3代入抛物线解析式得y＝，∴D(3，)．‎ 设点N的坐标为(n，－n2＋n＋6)，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，分四种情况：‎ ‎①当DN∥BM时，此时N(n，)，‎ 可得－n2＋n＋6＝，‎ 解得n1＝－1，n2＝3(舍)，‎ ‎∴N(－1，)．‎ ‎(ⅰ)如解图②，以BD为对角线，‎ ‎∴M(8，0)；‎ 第23题解图 ‎(ⅱ)如解图③，以BD为边，‎ ‎∴M(0，0)；‎ ‎②当BD∥MN时，BD为边，BM为对角线，此时N(n，－)，即－n2＋n＋6＝－，‎ 解得n1＝1－，n2＝1＋.‎ ‎(ⅰ)当点M在点y轴左侧时，n＝1－，如解图④，‎ ‎∴N(1－，－)，‎ ‎∴M(－，0)；‎ ‎(ⅱ)当点M在y轴右侧时，n＝1＋，如解图⑤，‎ ‎∴N(1＋，－)，‎ ‎∴M(，0)．‎ 第24题解图 综上，存在以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标是(8，0)或(0，0)或(－，0)或(，0)．‎