二次函数22-1二次函数的图象和性质4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教学课件新版 人教版
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.4 二次函数y=ax2 +bx+c 的图象和性质(1)
学习目标：
1.会用描点法画二次函数的图象，并能根据图象归纳二次函数的性质。
2.会用配方法和公式法求二次函数图象的顶点坐标和对称轴。
3.会灵活运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题。
y=a(x-h)2 +k(a≠0) a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值
向上 向下
(h ,k) (h ,k)
x=h x=h
当x
h时，
y随着x的增大而增大。
当xh时，
y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=k x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.
回顾：二次函数y=a(x-h)2+k的性质
我们来画 的图象，
并讨论一般地怎样画
二次函数的图象．
2 0y ax bx c a
21 6 212y x x
我们知道，像 这样的函数，容易确
定相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函数
也能化成这样的形式吗？
khxay 2
2162
1 2 xxy
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
x ··· 3 4 5 6 7 8 9 ···
··· ···3 3.5 5 7.53.557.52162
1 2 xxy
x
y
O 5 10
5
10
配方可得
由此可知，抛物线 的顶点是（6，3），对称轴是直线 x = 6
2162
1 2 xxy 362
1 2 x
2162
1 2 xxy
2162
1 2 xxy
你知道吗?用配方法
吗？kh)a(xy改写成
cbxaxy你能把
2
2
+-=
++=
y=ax2+bx+c
=a(x2+ x+ )b
a
c
a
=｛x2+ x+（ ）2 -（ ）2 + ｝b
a
b
2a
b
2a
c
a
=a｛（x+ ）2 + ｝ b
2a
4ac-b2
4a2
=a(x+ )2 + b
2a
4ac-b2
4a
因此，抛物线 的对称轴是 顶点
坐标是
一般地，我们可以用配方求抛物线 y = ax2 + bx + c (a≠0)的顶点与对称轴
cbxaxy 2
a
bac
a
bxa 4
4
2
22
cbxaxy 2
a
bx 2
24,2 4
b ac b
a a
矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长
为 ，场地的面积
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化而变化，当 l 是多少时，
场地的面积S最大？
即
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数的图象的最高点，也
就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．由公式可求出顶点的横坐标．
ml
2
60
分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值．
S＝l ( 30－l )
S＝－l 2 +30l
( 0 < l < 30 )
l
s
O 5 10
100
200
15 20 25 30
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大（S＝225m2）
1512
30
2
a
bl 因此，当 时，
22514
30
4
4 22
a
bac S有最大
值 ，
S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 )
一般地，因为抛物线 的顶点是最低（高）点，
所以当 时，二次函数
有最小（大）值
cbxaxy 2
a
bx 2
a
bac
4
4 2
cbxaxy 2
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的值最小（大）？
xxy 23 2 xxy 22
882 2 xxy 342
1 2 xxy（4）（3）
（2）（1）
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
2 1
2 3 3x 顶
22 1
4 3 3y 顶
1 1,3 3
顶点坐标为
1
3x 对称轴
1 1
3 3x y 最小值当 时， ＝-
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
2 12 1x 顶
22 14 1y
顶
1,1 顶点坐标为
1x 对称轴
1 1x y 最大值当 时， ＝
xxy 22 （2）
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
8 22 2x 顶
24 2 8 8 04 2y
顶
2,0顶点坐标为
2x 对称轴
2 0x y 最大值当 时， ＝
882 2 xxy（3）
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
4 42 0.5x 顶
24 0.5 3 4 54 0.5y
顶
4, 5 顶点坐标为
4x 对称轴
4 5x y 最小值当 时， ＝-
342
1 2 xxy（4）
1.抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是 ，
与x轴的交点坐标是 。
(0,3)
(1,0)或（3，0）
抛物线与y轴的交点有什么特征？
抛物线与x轴的交点有什么特征？
y=ax2 +bx+c(a≠0) a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值
向上 向下
在对称轴的左侧，
y随着x的增大而减小。
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大。
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大。
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小。
x= - b
2a x= - b
2a
y最小值= 4ac-b2
4a
x= - b
2a
(- , )b
2a
4ac-b2
4a
(- , )b
2a
4ac-b2
4a
y最大值= 4ac-b2
4a
x= - b
2a
小结：二次函数y=ax2+bx+c的性质
