中考数学专题复习练习：反比例函数

中考数学专题复习练习：反比例函数

例1 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为-4，求这两个函数的解析式．‎ 解： 依题意，由两个函数解析式得 所以一次函数和反比例函数的解析式分别为 注意：这是关于一次函数和反比例函数的综合题，解本题的关键是要抓住两图象交点这个主要矛盾，它既在一次函数图象上，又在反比例函数图象上，从而转化为解二元一次方程组，问题得以解决．‎ 例 2 已知y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x2成反比例，并且x=-1时，y=1；时，.求时y的值.‎ 解方程组 注意： 解本题的关键是正确理解什么叫y1与x+1成正比例，y2与x2成反比例，即把x+1与x2看成两个新的变量．‎ 典型例题四 例 （上海试题，2002）如图，直线分别交、轴于点、，是该直线上在第一象限内的一点，轴，为垂足，‎ ‎ （1）求点的坐标；‎ ‎（2）设点与点在同一个反比例函数的图象上，且点在直线的右侧．作轴，为垂足，当与相似时，求点的坐标．‎ 解：（1）由题意，得点，点. ‎ 设点的坐标为，其中 由题意，得 解得或（舍去）‎ 而当时，，∴点的坐标为. ‎ ‎ （2）设反比例函数的解析式为. ‎ ‎∵点在反比例函数的图象上，∴，. ‎ ‎∴反比例函数的解析式为. ‎ 设点的坐标为，点的坐标为，其中，‎ 那么，. ‎ ‎①当∽时，，即，‎ ‎∴，解得或（舍去）. ‎ ‎∴ 点的坐标为.‎ ‎②∽ 时，，即，‎ ‎∴，解得或（舍去）. ‎ ‎∴点的坐标为. ‎ 综上所述，点的坐标为或. ‎ 典型例题五 例 下面函数中，哪些是反比例函数？‎ ‎（1）；（2）；（3）；（4）；（5）‎ 解：其中反比例函数有（2），（4），（5）.‎ 说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，，它也可变形为及的形式，（4），（5）就是这两种形式.‎ 典型例题六 例 如图，双曲线与直线相交于A，过A作轴的垂线AB，垂足为B.如果：‎ ‎（1）求两个函数的解析式；‎ ‎（2）若直线交轴于C，求.（1998年甘肃省中考题）‎ 解 ：（1）设点A的坐标为(m,n)，那么.‎ ‎∵ ，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴.‎ ‎∴ 双曲线：，直线：.‎ ‎（2）解由，组成的方程组，得，；‎ ‎∵ 点A在第二象限，‎ ‎∴点A的坐标为（）.‎ ‎∴，.‎ 在中，y=0时,x=4,‎ ‎∴点C的坐标为(4,0)，OC=4.‎ ‎∴BC=OB+OC=.‎ ‎∴.‎ 典型例题七 例 已知：如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D..‎ ‎（1）求反比例函数的解析式：‎ ‎（2）设点A的横坐标为m，△ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；‎ ‎（3）当△OCD的面积等于时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3.如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由.‎ 解：（1）过点B作轴于点H.‎ 在中，‎ 由勾股定理，得.‎ 又，‎ ‎∴ 点B（－3，－1）.‎ 设反比例函数的解析式为.‎ ‎∵ 点B在反比例函数的图象上，‎ ‎∴ .‎ ‎∴ 反比例函数的解析式为.‎ ‎（2）设直线AB的解析式为.‎ 由点A在第一象限，得.‎ 又由点A在函数的图象上，可求得点A的纵坐标为.‎ ‎∵ 点B（－3，－1），点，‎ ‎∴ 解关于、b的方程组，得 ‎∴ 直线AB的解析式为.‎ 令 .‎ 求得点D的横坐标为.过点A作AG⊥x轴于点G.‎ 由已知，直线经过第一、二、三象限，‎ ‎∴ ，即.‎ 由此得 ‎ ‎∴ ‎ 即 ‎ ‎(3）过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3.‎ 证明如下：‎ 由，‎ 得 .‎ 解得 经检验，都是这个方程的根.‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ 不合题意，舍去.‎ ‎∴ 点A（1，3）.‎ 设过A（1，3）、B（－3，－1）两点的抛物线的解析式为.‎ ‎∴ 由此得 即 ‎ 设抛物线与x轴两交点的横坐标为.‎ 则 .‎ 令 ‎ 则 ‎ 整理，得 .‎ ‎∵ ‎ ‎∴ 方程无实数根.‎ 因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3.‎ 典型例题八 例 在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)．‎ ‎　　(1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 [ ]；‎ ‎　　(2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 [ ]；‎ ‎　　(3)圆面积与半径的关系 [ ]；‎ ‎　　(4)圆面积与半径平方的关系 [ ]；‎ ‎　　(5)三角形底边一定时，面积与高的关系 [ ]；‎ ‎　　(6)三角形面积一定时，底边与高的关系 [ ]；‎ ‎　　(7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 [ ]；‎ ‎　　(8)在圆中弦长与弦心距的关系 [ ]；‎ ‎　　(9)x越来越大时，y越来越小，y与x的关系 [ ]；‎ ‎　　(10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 [ ]．‎ 说明：本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义。‎ 答：‎ 典型例题九 例 已知函数是反比例函数，且当x＜0时，y随x的增大而减小，求m的值．‎ m2-m-6=0，(m-3)(m+2)=0．‎ 由此得m=3或m=-2．而当x＜0时，y随x的增大而减小，则k＞0．‎ 当m=3时，m2-5m-6=-12＜0；‎ 当m=-2时，m2-5m-6=8＞0．‎ 所以m=-2符合题意．‎ 说明：对于反比例函数的定义要记住，并要严格区分k＞0和k＜0的图象，掌握它们在不同象限内的增减性．数形结合是重要的数学方法．‎ 典型例题十 例 已知：关于x的方程x2-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不 象限内y随x的增大而减小．求满足上述条件的k的整数值．‎ 解： 因为关于x的方程x2-3x+2k-1=0有两个实数根，所以Δ=(-3)2-4(2k-1)≥0，解得 ‎ (1)‎ 设方程x2-3x+2k-1=0的两个根为x1，x2，所以 x1+x2=3，x1·x2=2k-1．‎ ‎≥0，解出 ‎ k≤2． (2)‎ 是 所以k的整数值为0，1．‎ 说明：要记清楚反比例函数图象的特点，分成一、三象限和二、四象限有两大类图象，要会区分不同情况．另外对反比例函数只能说两个分支在各自的象限内y随x的增大而增大(或减小)，不能说在自变量取值范围内y随x的增大而增大(或减小)。‎ 典型例题十一 例 （安徽省试题，2002）已知一次函数的图象与双曲线交于点，且过点．求该一次函数的解析式．‎ 解：设一次函数为，‎ 因为的图象过点，所以 . ‎ 又因为双曲线过点，所以. ‎ 由过点 得 ‎ 所以 这个一次函数为. ‎ 说明：两图象有交点，则交点坐标分别满足两条曲线的方程。 ‎ 典型例题十二 例 已知函数是反比例函数，且其函数图像在每一个象限内，随的增大而减小，求反比例函数的解析式。‎ 解：因为是的反比例函数，‎ 所以，所以或 因为此函数图像在每一象限内，随的增大而减小，‎ 所以，所以，所以，‎ 所以反比例函数的解析式为 说明：此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数 ，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大.‎ 典型例题十三 例 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的如果如下图所示放在桌上，对桌面的压强是，翻过来放，对桌面的压强是多少？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：由物理知识可知，压力，压强与受力面积之间的关系是因为是同一物体，的数值不变，所以与成反比例.‎ ‎ 设下底面是，则由上底面积是，‎ ‎ 由，且时，，‎ ‎ 有 ‎ 因为是同一物体，所以是定值.‎ ‎ 所以当时，‎ ‎ 因此，当圆台翻过来时，对桌面的压强是300帕.‎ ‎ 说明：本题与物理知识结合考查了反比例函数，关键是清楚对于同一个物体，它对桌面的压力是一定的。‎ 典型例题十四 例 已知一次函数和反比例函数 ‎（1）满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图像有两个交点？‎ ‎（2）设（1）中的两个交点为，，如图13-47所示，试比较与角的大小.‎ 解：（1）由题意得 得若函数图像有两个交点，则，‎ 即，故且 所以当且时，所给两个函数的图像有两个交点.‎ ‎（2）当时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，这时两个函数图像的两个交点，在第一象限，则；当时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限，这时两个交点和分别在第二、四象限，则.‎ 典型例题十五 例 （1）若函数是反比例函数，则m的值等于（ ）‎ A．±1 B．1 C． D．－1‎ ‎（2）如图所示正比例函数）与反比例函数的图像相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC.若的面积为S，则 A． B． C． D．S的值不确定 ‎（3）反比例函数的图像上有一点，其坐标是关于t的一元二次方程的两根，且P到原点的距离为，则该反比例函数的解析式为______.‎ 解：（1）依题意，得 解得.‎ 故应选D.‎ ‎（2）由双曲线关于O点的中心对称性，可知：.‎ ‎∴.‎ 故应选A.‎ ‎（3）在的图像上，故.又，∴.‎ 故， ∴.‎ ‎∴反比例函数的解析式为.‎ 故应填.‎ 典型例题十六 例 已知力F所作用的功是15焦，则力F与物体在力的方向通过的距离S的图象大致是（ ）.‎ 说明 本题涉及力学中作功问题，主要考查在力的作用下物体作功情况，由此，识别正、反比例函数，一次函数的图象位置关系.‎ 解 据，得15=，即，所以F与S之间是反比例函数关系，故选（B）.‎ 典型例题十七 例 如图，A、C是函数的图象上的任意两点，过A作轴的垂线，垂足为B；过C作轴的垂线，垂足为D.记的面积为，的面积为，则与的关系是（ ）.‎ ‎（A）> (B)<（C）=（D）与的大小关系不能确定.（2000年武汉市中考题）‎ 解 ：设点A的坐标为（a,b），点C的坐标为（c,d）.‎ ‎∵点A在第一象限，点C在第三象限，‎ ‎∴.‎ ‎∴=，‎ ‎=.‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∴=,应选C.‎ 说明：本题考查反比例函数的性质，图象上的点的坐标一定满足曲线方程，反过来，满足曲线方程的点一定在曲线上。‎ 典型例题十八 例 根据下列表格x与y的对应数值.‎ x ‎……‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1.5‎ ‎1.2‎ ‎1‎ ‎…‎ ‎（1）在直角坐标系中，描点画出图像；（2）试求所得图像的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.‎ 解：（1）图像如图所示.‎ ‎（2）根据图像，设，取代入，得. ∴.‎ ‎∴函数解析式为.‎ 说明：本例考查了函数的三种表示法之间的变换能力，即先由列表法通过描点画图转化为图像法，再由图像法通过待定系数法转化为解析法，题目新颖别致，有较强的趣味性.‎ 典型例题十九 例 （1）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ ）‎ ‎（2）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图像的大致位置是图中的（ ）‎ 解：的图像经过第一、二、四象限，故排除B、C；又的图像两支在第一、三象限，故排除D.∴答案应选A.‎ ‎（2）若，则直线经过第一、三、四象限，双曲线的图像两支在第一、三象限，而选择支A、B、C、D中没有一个相符；若，则直线经过第二、三、四象限，而双曲线的两支在第二、四象限，故只有C正确.应选C.‎ 选择题 ‎1．若y+b与成反比例，则y与x的函数关系是( )‎ ‎ (A) 正比例 (B) 反比例 (C) 一次函数 (D) 二次函数 ‎2．若与y成反比例，与z成正比例，则x与成( )比例.‎ ‎ (A) 正 (B) 反 (C)不成 (D) 有一次函数关系 ‎3．若反比例函数的图象在它所在的象限内，y随x的增大而增大则m的值是（ ）‎ ‎（A）-2． （B）2． （C）±2． （D）以上结果都不对．‎ ‎4．反比例函数在第一象限内的图象如图所示，P为该图象上任 意一点，PQ垂直于x轴，垂足为Q，设△POQ的面积为S，则S的值与k之间的关系是（ ）‎ ‎5．函数与在同一坐标系中的图像可能是( )‎ ‎6．如图，正比例函数y=x和y=ax（a>0）的图象,与反比例函数的图象,分别相交于A点和C点,若和的面积分别为和,则与的关系是( )‎ ‎（A）S1＞S2． （B）S1=S2 （C）S1＜S2． （D）不确定．‎ ‎7．若函数为反比例函数，则k=_______________.‎ ‎8．已知反比例函数与直线相交，那么交点是（）‎ A． B． ‎ C． D．和 ‎9．函数的图像与轴的交点的个数是（）‎ A．0 B．1 C．2 D．不能确定 ‎10．如果函数的图像在第二、四象限，那么的取值范围是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若，，那么直线不经过（）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎12．已知是反比例函数，则它的图像在（ ）‎ A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 ‎13．若点、、在反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎14．已知一次函数随的增大而减小，那么反比例函数（ ）‎ A．当时， B．在每个象限内，随的增大而减小 C．图像在第一、三象限 D．图像在第二、四象限 ‎15．已知反比例函数，当时，随的增大而增大，那么一次函数的图像经过（ ）‎ A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 ‎16．如图所示，在下列直角坐标中，反比例函数的图像大致是（ ）‎ ‎17．如果点P为反比例函数的图像上一点，轴，垂足为Q，那么的面积为（ ）‎ A．8 B．6 C．4 D．2‎ ‎18．如图所示，点在函数的图像上，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎19．已知函数，当时，，那么这个函数的解析式是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎20．如图所示，A、C是函数的图像上任意两点，过A作轴的垂线，垂足为D.记的面积为，的面积为，则（ ）‎ A． B． C． D．和的大小关系不能确定 ‎21．已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，则函数的图像在（ ）‎ A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 ‎22．如图所示，点A、B是函数 图像上关于原点对称的任意两点，轴，轴，的面积记为S，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎23．若，则函数与在同一平面直角坐标系中的图像大致是如图中的（ ）‎ ‎24．如图中，能表示函数和在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）‎ ‎25．若正比例函数与反比例函数的函数值都随的增大则增大，那么它们在同一直角坐标系内的图像大致是（ ）‎ ‎26．若与成反比例，与成正比例，则是的（ ）‎ A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 ‎27．如果不等式的解集是，点在双曲线上，那么函数的图像不经过（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎28．在函数（为常数）的图像上有三点，则函数值的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎29．已知双曲线在第二、四象限，则直线一定不经过（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：‎ ‎1．C 2. B 3.A 4.B 5.D 6. B .7. 1 8．D 9．A 10．A 11．D 12．B 13．C 14．D 15．B 16．B 17．D 18．C 19．B 20．C 21．B 22．A 23．B 24．D 25．D 26．B 27．B 28．D 29．A.‎ 填空题 ‎1．已知函数，当=_______时，它是正比例函数，且图像过第二、四象限；=________时，它是正比例函数，且函数值随的增大而增大；=______时，它是反比例函数且函数值随的增大而增大。‎ ‎2．已知是反比例函数，那么=______，它的图像在______象限。‎ ‎3．已知函数，当=________时，是的正比例函数，当=_____时，是的反比例函数。‎ ‎4．若点在双曲线上，则与的大小关系是_______.‎ ‎5．反比例函数 的图像经过点 ，其中 是一元二次方程 的两个根，那么点P的坐标是______.‎ ‎6．如果一次函数 与反比例函数 的图像相交于点 ，那么该直线与双曲线的另一个交点为______.‎ ‎7．已知与成反比例，当时，；那么当时，的值为______.‎ ‎8．对于函数，当时，（填“＞”或“＜”＝，这部分图像在第______象限.‎ ‎9．反比例函数，当时，随的______而增大.‎ ‎10．若反比例函数 的图像在第一、三象限，则一次函数的图像在象______限.‎ ‎11．已知点在反比例函数的图像上，其中（为实数），则这个函数的图像在第象______限.‎ 答案：‎ ‎1．－2；1；－1 2．－1；二、四 3． 4． 5．（－2，－2） ‎ ‎6．（－1，－1） 7． 8．＜，三 9．减小 10．第一、二、三 11．一、三.‎ ‎ ‎ 解答题 ‎1. 已知反比例函数 (m＞0)和一次函数，画出它们同一坐标系中的大致图象.‎ ‎2．如图所示，已知反比例函数的图像和一次函数的图像都经过点.（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD的顶点A，B在这个一次函数的图像上，顶点C，C在这个反比例函数的图像上，两底AD，BC与轴平行，且A和B的横坐标分别为和，求的值.‎ ‎3．如图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a(a>0)，轴，垂足为点C，且的面积为2.‎ ‎（1）求该反比例函数的解析式；‎ ‎（2）若点、在该反比例函数的图象上，试比较与的大小；‎ ‎（3）求的面积.‎ ‎4．如图，直线分别交于、轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，轴，B为垂足，.‎ ‎（1）求点P的坐标；‎ ‎（2）设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧.作轴，T为垂足，当与相似时，求点R的坐标.‎ 答案 ‎1. 略 2．（1）；（2）或2. 3 . （1） （2）< (3) 面积为3. 4 . （1）P(2,3) (2) R(3,2) 或.‎ 单元测试题（A）‎ 一、选择题（每小题5分，共40分）‎ ‎1、平面直角坐标系中的点（0，0），（-3，0），（0，-3.5）,(,0)‎ ‎，其中在x轴上的点有（ ）个；‎ ‎ （A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎2、点A（a，5）和（-2，b）是直线上的两点，a、b的值分别是（ ）；‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎3、在下列函数中，正比例函数是（ ）；‎ ‎ （A）y=kx （B） （C）y=kx+1 （D）‎ ‎4、函数的图象经过点（ ）‎ ‎ （A）（-1，1） （B）（1，1） （C）（0，1） （D）（1，0）‎ ‎5、在下列二次函数中，抛物线的开口向下的共（ ）个；‎ ‎①②③④‎ ‎ （A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎6、二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数解析式是则b与c的值分别是（ ）‎ ‎ （A）-4，1 （B）2，-2 （C）-6，6 （D）-8，14‎ ‎7、二次函数中，如果，那么这个二次函数的图象的顶点必在（ ）‎ ‎ （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 ‎8、函数的图象经过（2，-1）点，则这个函数的解析式为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题（每空5分，共25分）‎ ‎1、点A（-3，2）到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ，到原点的距离是 ；‎ ‎2、直线y=3（2-x）-8与y轴交点的纵坐标是 ，y随x的增大而 ；‎ ‎3、二次函数的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0， 0，‎ ‎ a+b+c 0；a-b+c 0‎ ‎4、函数的图象开口向 ，对称轴是 ；‎ ‎5、二次函数的顶点在y轴上，则k= ，若顶点在x轴上，则k= 。‎ 三、解答题（共35分）‎ 1、 已知二次函数，当x=2时有最小值-3，且的两根的立方和为124，求这个函数的解析式（15分）‎ 2、 在以点A（2，3），B（0，0），C（3，0）为顶点的三角形中，过底边BC上的点P（x，0），垂直于BC的直线分为两部分，把顶点B一侧的那一部分的面积y表示成x的函数（20分）‎ 答案与提示：‎ 一、1、C 2、A 3、B 4、D 5、B 6、C 7、D 8、A 二、1、 2，3，‎ ‎2、-2，减小 ‎3、> , > , <, > ,> ,<‎ ‎4、上，x=0‎ ‎5、-1，1或-3‎ 三、1、‎ ‎2、‎