人教版八年级数学上册第十四章14.2乘法公式

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人教版八年级数学上册第十四章14.2乘法公式

第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2乘法公式 第2课时 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释.(重点) 2.灵活应用完全平方公式进行计算.(难点) 学习目标 导入新课 情境引入 直接求:总面积=(a+b)(a+b) 间接求:总面积=a2+ab+ab+b2 你发现了什么? (a+b)2=a2+2ab+b2 讲授新课 问题1 计算下列多项式的积,你能发现什么规律? (1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= .p2+2p+1 (2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= .m2+4m+4 (3) (p-1)2=(p-1)(p-1)= .p2-2p+1 (4) (m-2)2=(m-2)(m-2)= .m2-4m+4 问题2 根据你发现的规律,你能写出下列式子的答案吗? (a+b)2= .a2+2ab+b2 (a-b)2= .a2-2ab+b2 合作探究 完全平方公式 知识要点 完全平方公式 (a+b)2= .a2+2ab+b2 (a-b)2= .a2-2ab+b2 也就是说,两个数的和(或差)的平方,等于它们 的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.这两个 公式叫做(乘法的)完全平方公式. 简记为:“首平方,尾平方,积的2倍放中间” 问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗? 设大正方形ABCD的面积为S. S= =S1+S2+S3+S4= .(a+b)2 a2+b2+2ab S1 S2 S3 S4 几何解释: a a b b = ++ + a2 ab ab b2 (a+b)2= .a2+2ab+b2 和的完全平方公式: a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .=(a−b)2 a−b a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 几何解释: (a-b)2= .a2-2ab+b2 差的完全平方公式: (a+b)2= a2+2ab+b2. (a-b)2=a2-2ab+b2. 问题4 观察下面两个完全平方式,比一比,回答下列 问题: 1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗?与a,b有 什么关系? 3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项?与 a, b有什么关系?它的符号与什么有关? u 公式特征: 4.公式中的字母a,b可以表示数,单项式和 多项式. 1.积为二次三项式; 2.积中两项为两数的平方和; 3.另一项是两数积的2倍,且与两数中间的符 号相同. 想一想:下面各式的计算是否正确?如果不正确, 应当怎样改正? (1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2 (3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × × × (x +y)2 =x2+2xy +y2 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 典例精析 例1 运用完全平方公式计算: 解: (4m+n)2= =16m2 (1)(4m+n)2; (4m)2 +2•(4m) •n+n2 +8mn +n2; y2 =y2 -y + 1 . 4 解: = + 21 2       -2•y• 1 2 (2) 21 2 y     21 2 y     利用完全平方公式计算: (1)(5-a)2; (2)(-3m-4n)2; (3)(-3a+b)2. 针对训练 (3)(-3a+b)2=9a2-6ab+b2. 解:(1)(5-a)2=25-10a+a2; (2)(-3m-4n)2=9m2+24mn+16n2; (1) 1022; 解: 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404. (2) 992. 992 = (100 –1)2 =10000 -200+1 =9801. 例2 运用完全平方公式计算: 方法总结:运用完全平方公式进行简便计算,要熟 记完全平方公式的特征,将原式转化为能利用完全 平方公式的形式. 利用乘法公式计算: (1)982-101×99; (2)20162-2016×4030+20152. 针对训练 =(2016-2015)2=1. 解:(1)原式=(100-2)2-(100+1)(100-1) =1002-400+4-1002+1=-395; (2)原式=20162-2×2016×2015+20152 例3 已知x-y=6,xy=-8.求: (1) x2+y2的值; (2)(x+y)2的值. =36-16=20; 解:(1)∵x-y=6,xy=-8, (x-y)2=x2+y2-2xy, ∴x2+y2=(x-y)2+2xy (2)∵x2+y2=20,xy=-8, ∴(x+y)2=x2+y2+2xy =20-16=4. 方法总结:本题要熟练掌握完全平方公式的变式: x2+y2=(x-y)2+2xy=(x+y)2-2xy,(x-y)2=(x+y)2 -4xy. 1.已知x+y=10,xy=24,则x2+y2=_____52 变式:已知 则 _____,101  x x  2 2 1 x x 98 拓展训练 2.如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果, 则k=______ 8或-8 变式:如果x2+6x+m2是完全平方式,则m的值是_____3或-3 3.已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为______ 变式:若题目条件不变,则a-b的值为_____±1 1 a+(b+c) = a+b+c; a- (b+c) = a - b – c. a + b + c = a + ( b + c) ; a – b – c = a – ( b + c ) . 去括号 把上面两个等式的左右两边反过来,也就添括号: 添括号法则 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项 都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号(简记为“负变正不变”). 知识要点 添括号法则 例5 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2. 原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]解: (1) 典例精析 (2)原式 = [(a+b)+c]2 = x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. = (a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2. 方法总结:第1小题选用平方差公式进行计算,需 要分组.分组方法是“符号相同的为一组,符号相 反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个 整体,再按照完全平方公式进行计算. 计算:(1)(a-b+c)2; (2)(1-2x+y)(1+2x-y). 针对训练 =1-4x2+4xy-y2. 解:(1)原式=[(a-b)+c]2 =(a-b)2+c2+2(a-b)c =a2-2ab+b2+c2+2ac-2bc; (2)原式=[1+(-2x+y)][1-(-2x+y)] =12-(-2x+y)2 当堂练习 2.下列计算结果为2ab-a2-b2的是( ) A.(a-b)2 B.(-a-b)2 C.-(a+b)2 D.-(a-b)2 1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是(  ) A.a2-4a+4 B.a2-2a+4 C.a2-4 D.a2-4a-4 A D 3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=_______________; (2) (4x-3y)2=_______________ ; (3) (2m-1)2 =_______________; (4)(-2m-1)2 =_______________. 36a2+60ab+25b2 16x2-24xy+9y2 4m2+4m+1 4m2-4m+1 4.由完全平方公式可知:32+2×3×5+52=(3+5)2 =64,运用这一方法计算:4.3212+8.642×0.679+ 0.6792=________. 25 5.计算 (1)(3a+b-2)(3a-b+2); (2)(x-y-m+n)(x-y+m-n). (2)原式=[(x-y)-(m-n)][(x-y)+(m-n)] 解:(1)原式=[3a+(b-2)][3a-(b-2)] =(3a)2-(b-2)2 =9a2-b2+4b-4.  =(x-y)2-(m-n)2 =x2-2xy+y2-m2+2mn-n2. 6.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 7.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解:a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37; a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 解:∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①; ∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②; 由①-②得 4xy=48 ∴xy=12. 课堂小结 完全平方 公 式 法 则 注 意 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算的 式子,可能需要先添括号变形成 符合公式的要求才行 常 用 结 论 3.弄清完全平方公式和平方差公 式不同(从公式结构特点及结果 两方面) a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.
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