- 2021-11-01 发布 |
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文档介绍
8上导学案人教版八年级数学上册(全-有答案)
第一章 轴对称与轴对称图形 1.1我们身边的轴对称图形 教学目标： 1、 观察、感受生活中的轴对称图形，认识轴对称图形。 2、 能判断一个图形是否是轴对称图形。 3、 理解两个图形关于某条直线成轴对称的意义。 4、 正确区分轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称。 5、 理解并能应用轴对称的有关性质。 教学重点： 1、 能判断一个图形是否是轴对称图形。 2、 轴对称的有关性质。 难点： 1、 判断一个图形是否是轴对称图形。 2、 正确区分轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称。 教学过程： 一、情境导入 教师展示图片：五角星、脸谱、正方形、禁行标志、山水倒映等。 学生欣赏，思考：这些图形有什么特点？ 二、探究新知 1、 生活中有许多奇妙的对称，如从镜子里看到自己的像;把手掌盖在镜子上，镜子里的手与自己的手完全重合在一起；这些都是对称，你还能举出例子吗？ 学生分组思考、讨论、交流，选代表发言。 教师巡回指导、点评。 2、 动手做一做：用直尺和圆规在纸上作出一个梯形，并把纸上的梯形剪下来，沿上底和下底的中点的连线对折，直线两旁的部分能完全重合吗？ 学生活动：观察、小结特点。 3、 教师给出轴对称图形的定义。 问题： ⑴“完全重合”是什么意思？ ⑵这条直线可能不经过这个图形本身吗？ ⑶圆的直径是圆的对称轴吗? 学生分组思考、讨论、交流，选代表发言,教师点评。 ⑴指形状相同，大小相等。 ⑵不能，因为这条直线必须把这个图形分成能充分重合的两部分，则必然经过这个图形的本身。 - 189 - 河南实验中学资料 ⑶不是，因为圆的直径是线段，而不是直线，应说直径所在的直线或经过圆心的直线。 1、 猜想归纳： 正三角形有几条对称轴？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？从中可以得到什么结论？ 学生思考、讨论、交流。 2、 你还能举出生活中轴对称图形的例子吗？ 3、 教科书第五页图1-6⑴⑵两个图，问题：想一想，每组图形中，左边图形沿虚线对折后与右边的图形有着怎样的关系？ 4、 教师给出两个图形关于某条直线成轴对称的定义。 5、 你还能举出生活中两个图形关于某条直线成轴对称的例子吗？ 思考：轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称有什么异同？ 学生思考、分组讨论、交流。 教师引导小结。 三、巩固反馈 1、26个英文大写字母中，是轴对称图形的是________________________。 2、中华民族是一个有着五千年文明历史的古老民族，在她灿烂的文化中，汉字是其中一朵瑰丽的奇葩，请写出几个是轴对称的汉字 ______________________。 3、关于奥运会五环图案有下列各说法：①它不是轴对称图形；②它是轴对称图形，只有一条对称轴③它是轴对称图形，有无数条对称轴，其中正确的是______。 从轴对称的角度，你觉得哪些图形比较独特？简要说明你的理由。 5、画出一个只有三条对称轴的轴对称图形。 A B C D - 189 - 河南实验中学资料 6、上面哪一个选项的右边图形与左边图形成轴对称？ 四、课堂小结 学完本节，你有什么收获？ 五、作业设计 1、 必做题：教科书第6页练习题1-4题。 2、 选做题： A B G D C H K F E 把长方形纸片折叠，使边CD落在EF处，折痕为KH，则与梯形CDGH成轴对称的图形是（ ）。 A、梯形ABHG B、梯形ABKG C、梯形EFGH D、梯形EFKH 1.2 线段的垂直平分线 教学目标： 1、 通过折叠的方式认识线段的轴对称性。 2、 理解并能运用线段垂直平分线的性质。 教学重点：引导学生了解有关线段垂直平分线的知识。 难点：运用线段垂直平分线的性质解决问题。 教学过程： 一、自主探索 A B M N O - 189 - 河南实验中学资料 在纸上画一条线段AB,通过对折使点A与点B重合，独立解决以下问题： 1、 将纸展开后铺平，记折痕所在的直线为MN，直线MN与线段AB的交点为O，线段AO与BO的长度有什么关系？ ________________________________________ 2、 直线MN与线段AB有怎样的位置关系？ _______________________________________ 3、 由以上1、2，直线MN叫做线段AB的______________。 4、 线段AB是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ ______________________________________________ 5、 在直线MN上任取一点P，连接PA与PB，如果把这张纸沿直线MN对折，PA与PB重合吗？ __________________________________________________ 6、 在直线MN上再取另一点Q，连接QA与QB，把这张纸沿直线MN对折，QA与QB重合吗？ ________________________________________________ 7、 由以上5、6，你有什么结论？ _______________________________________ 8、 尝试用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线。 ________________________________________________ 二、小组合作 任意画一个三角形，用圆规和直尺作出它的三条边的垂直平分线，有什么发现？ _________________________________________________________________ 三、学以致用 N M A B C P D 1、 点P、C、D是线段AB的垂直平分线上的三点，分别连接PA、PB，AC、BC，AD、BD，指出图中所有相等的线段。 2、 任意画一条线段，用直尺和圆规把它四等分。 3、 A B 要在A、B、C三个村庄之间修一座变电站，使它到三个村 - 189 - 河南实验中学资料 庄的距离 相等， 你能在图中找出点O的位置吗？ C 四、 达标反馈，当堂训练 M A N C B D A B C N M D P E 1、如上左图，直线MN和DE分别是线段AB、BC的垂直平分线，它们交于点P，请问：PA和PC相等吗？ 2、 如上右图，AB=AC，MN垂直平分AB,若AB=6，BC=4,求△DBC的周长。 A E C D B A B 3、 如上左图，在直线上求作一点P，使PA=PB. 4、 如上右图，∠BAC=120°, ∠C=30°,DE是线段AC的垂直平分线，求∠BAD的度数。 五、 课堂小结 本节课主要学习了： 1、线段垂直平分线的知识。 2、线段的垂直平分线的点到线段两短点的距离相等。 - 189 - 河南实验中学资料 3、利用线段的垂直平分线的点到线段两短点的距离相等解决实际问题。 六、作业设计 1、 必做题：教科书第10页习题A组1-2题,B1-2题。 2、 选做题： C B A a) 用直尺和圆规分别作出线段AB与BC的垂直平分线； b) 你有什么发现？ 1.3 角的平分线 教学目标： 1、通过折叠的方式认识角的轴对称性。 2、理解并能运用角的平分线的性质。 3、会画已知角的平分线。 教学重点：引导学生了解有关线角平分线的知识。 难点：运用角平分线的性质解决问题。： 教学过程： 一、自主探索 A B C D 在纸上画∠BAC ,把它剪下来并对折，使角的两边重合，然后把纸铺平，独立解决以下问题： 1、 角是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ _______________________________________________ 2、 尝试用尺规作图的方法作出∠BAC的平分线AD。 ___________________________________________________ 3、在AD上任取一点P，作出点P到∠BAC 两边的垂线段PM与PN，垂足分别为点M和点N，如果把∠ - 189 - 河南实验中学资料 BAC沿AD折叠，线段PM与PN重合吗？由此，你能得出什么结论？ ___________________________________________________________ 4、在AD上另取另一点Q，重复上述操作，你还能得出同样的结论吗？ ___________________________________________________________ 二、 小组合作 1、 任意作一个锐角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线，你有什么发现？ ___________________________________________________________ 2、 任意作一个直角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线，你有什么发现 ___________________________________________________________ 3、 任意作一个钝 角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线，你有什么发现？ 猜想结论：___________________________________________________________ 三、学以致用 天泉农副产品集散地M位于三个村庄A、B、C之间，其位置到三条公路AB、AC、BC的距离相等，你能找到M的位置吗？ A B C 四、 达标反馈，当堂训练 O D B A y x - 189 - 河南实验中学资料 N A M B a) 如上左图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D到AB的距离是2，求点D的坐标。 b) 如上右图，若点M在∠ANB的角平分线上，∠A=∠B=90°,那么你有怎样的结论？________________________________________________ 若点N在∠AMB的角平分线上，∠A=∠B=90°,那么你有怎样的结论？ _____________________________________________________ C B O A D B C D A 3、如上左图，△ABC中, ∠A=90°,BD平分 ∠ABC,AD=3cm,BC=10cm, 求△BDC的面积。 4、如上右图，已知∠AOB和C、D两点，是否能找到一点P，使得点P到OA、OB的距离相等，而且P点到C、D两点的距离相等。 五、课堂小结 这节课你有哪些收获？ - 189 - 河南实验中学资料 ___________________________________________________________ 六、 作业设置 1、 必做题：教科书第12页A组、B组。 2、 选做题： M区 铁路 公路 P §1.4 等腰三角形导学案 （泰山版八年级上册） 一、 学习目标 1、 经历探索等腰三角形的性质的过程，掌握等腰三角形的轴对称性、等腰三角形“三线合一”、等腰三角形的两个底角相等等性质。 2、 经历探索等边三角形的轴对称性和内角性质的过程，掌握这个性质，并会作出合理的说明。 3、 掌握已知底边和底边上的高用尺规作等腰三角形的方法。 二、 学习重点、难点 重点：等腰三角形与等边三角形的性质 难点：等腰三角形的性质的运用 三、 学习过程 （一） 情境导入 瓦工师傅盖房时，看房梁是否水平，有时就用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边的中点，房梁就是水平的。为什么？你想知道其中的奥秘吗？学了本节后你将恍然大悟。 （二） 自主学习 自学课本P13——P16“挑战自我”，解答下列问题： D A B C 1. 我们知道等腰三角形是轴对称图形，它底边上的高线所在的直线式它的对称轴，那么沿着对称轴将等腰三角形对折，对称轴两旁的部分能重合，如下图，仔细观察，你能得到哪些结论？说说你的想法. - 189 - 河南实验中学资料 1. 等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？等边三角形是等腰三角形吗？它与等腰三角形相比有何特别之处？ A B C 2. 如图，∠B=∠C,AB=3.6cm，则AC=————————. （一） 合作探究 探究点一：等腰三角形的性质 例1 等腰三角形中有一个角为80º.求另外两个角的度数. 总结： 探究点二：等边三角形的性质 例2 试说明“等边三角形的每个内角都等于60º” 小组合作：用一张正方形的纸折出一个等边三角形. 探究点三：尺规作等腰三角形 例3 已知一个等腰三角形的底边和腰，你能作出这个三角形吗？如果一直底边和底边上的高呢？ - 189 - 河南实验中学资料 （一） 练习达标 1. 等腰三角形的两边长分别是6cm、3cm，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 9 cm B. 12 cm C. 12 cm或15 cm D. 15 cm 2. 等腰三角形的一个角为30º，则它的底角为（ ） A. 30º B. 75º C. 30º或75º D. 15º 3如图，在ΔABC中，D、E是BC边上的两点，且AD=BD=DE=AE=CE，求∠B、∠BAC的度数. A B C E D （二） 课堂小结 这一节你学会了什么？ （三） 拓展提升 A B C D 1. 如图所示，∠B=∠C ，AD平分∠BAC交BC于D，ΔABC的周长为36cm，ΔADC的周长为30cm，那么AD的长为——————cm. 2、如图，ΔABC为等边三角形，∠1=∠2=∠3，试说明 ΔDEF为等边三角形. - 189 - 河南实验中学资料 3 2 1 F D E A B C 四. 作业 §1.5 成轴对称图形的性质导学案 （泰山版八年级上册） 一、学习目标 1、经历探索轴对称图形的性质的过程，理解连接对应点的线 被对称轴平分、对应线段相等、对应角相等的性质. 2、会画出与已知图形关于某条直线对称的图形. 二、学习重点、难点 重点：轴对称图形的性质 难点：利用轴对称图形的性质作对称图形 三、学习过程 （一）情景导入 同学们，今年的10月1日是我们伟大的祖国60周岁的生日， - 189 - 河南实验中学资料 全国上下正洋溢在一片欢歌笑语的海洋里，都在为母亲的生日积极地做准备，你做了什么准备呢？不如我们现在来叠五角星吧。你还记得怎么叠吗？跟老师一起做……好了，五角星叠好了.请同学们想一想，这种折纸叠正五角星的方法，其中隐含着什么数学道理？ （二）自主学习 自学课本P17----P19例二，完成下列问题： 1.——————————的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 2.成轴对称的两个图形，在大小和形状方面有怎样的关系？你是怎么知道的？ A 3.请你画出下图中点A关于直线的对称点A‘. 4.轴对称图形的对应线段、对应角有怎样的关系？ （三）合作探究 探究点一：成轴对称图形的性质 要求：明确成轴对称图形的对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. 同桌合作解决课本P18例1. 探究点二：运用轴对称的性质作一个图形关于某条直线的轴对称图形. 自学例二，然后小组交流纠错. 【动手实践】画出下列图案的另一半，直线l是对称轴. l A B C - 189 - 河南实验中学资料 （四） 练习达标 利用10分钟的时间完成课本P18练习和P19练习 （五）课堂小结 谈谈你的收获. （六）拓展提升 1.课本P20习题A组 2. 将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形， 已知∠CED’=80º,则∠AED的大小是（ ） A 40º B 50º C 60º D 80º B D A C E D’ 3.如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，是补画后的图形为轴对称图形. 四、作业 §1.6镜面对称导学案 - 189 - 河南实验中学资料 （泰山版八年级上册） 一、学习目标 1、结合现实生活中的实例，了解镜面对称及其应用，欣赏镜面对称图形； 2、思考并探索镜面对称下图形的变化. 二、学习重点、难点 重点：镜面对称及其应用 难点：镜面对称下图形的变化 三、学习过程 （一）情景导入 自远古以来，对称的形式被认为是和谐、美丽并且真实的.不论在自然界里还是在建筑中，不论在艺术中还是在科学中，甚至最普通的日常生活用品中，对称的形式都随处可见.山倒影在湖中，这是多么令人难忘的对称景象. 学好对称，对我们认识图形来说是很重要.（此处建议老师们适当准备一些相关的图片，以激发学生的学习兴趣。） （二）自主学习 自学课本P21——P22，解决下列问题： 1、物体与它在镜子里的像成镜面对称，它们的大小、形状相同吗？ 2、一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把式子 2+3=8变成一个真正的等式？”你能吗？ （三）合作探究 探究点：镜面对称的原理及判断方法 认真阅读课本的“小资料”、“实验与探究”，结合自己的生活经历，同桌互助总结镜面对称的原理. （四）练习达标 1、课本“挑战自我”. 2、P24练习与习题A组 （五）课堂小结 说说镜面对称的原理及判别方法 （六）拓展提升 1、课本P22习题B组 2、宋代理学家邵康写有一首五言绝句：“一去二三里，烟村四五家，楼台七八座，八九十枝花.” - 189 - 河南实验中学资料 把这首诗写在一张纸上，并将写字的一面平行对折镜面.在这首诗的所有字中中，镜子中的像与原字一样的是———————————. 四、作业 §1.7 简单的图案设计导学案 （泰山版八年级上册） 一、学习目标 1、欣赏生活中的轴对称图案，能分析它是由哪些简单几何图形组成的. 2、能利用简单几何图形设计轴对称图案，体验数学活动的乐趣，培养学生的创新意识. 二、学习重点、难点 设计图案 三、学习过程 （一）情境导入 同学们都知道，我们潍坊是一个风筝之都。同学们你放过吗？ 回想一下你玩的风筝的样子，在于其他同学交流一下，你会有更多的发现。其实，这些美丽的风筝你都能设计出来，甚至有可能还要美。怎么样，想不想自己做一个风筝？想，那就来好好的学习一下本节知识吧。 （二）自主学习 看课本P25-------P26,依次解决相关问题. (三)合作探究 利用轴对称进行简单的图案设计 （四）练习达标 课本P25————P26练习和习题. （五）拓展提升 练习册5、6两题 （六）作业 第一章综合检测 - 189 - 河南实验中学资料 一、选择题（每题3′，共30′） 1、下列图形中一定是轴对称的图形是（ ）。 A、梯形 B、直角三角形 C、角 D、平行四边形 2、等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（ ）。 A、65° 65°B、50°80°C、65°65°或50°80°D、50° 50° 3、如果等腰三角形的两边长是6和3，那么它的周长是（ ）。 A、9 B、12 C、12或 15 D、15 4、到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）。 A、三条角平分线的交点B、三条中线的交点 C、三条高的交点 D、三条边的垂直平分线的交点 5、等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ）。 A、40° 40°B、80°20° C、50°50°D、 50° 50°或 80°20 ° 6、∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5,Q是OB上任一点，则（ ）。 A、PQ>5 B、PQ≥5 C、PQ<5 D、PQ≤5 7、下列轴对称的图形中，对称轴最少的是（ ）。 A、等边三角形 B、等腰梯形C、正方形 D、圆 8、已知等腰△AOB的底边=8cm，且︱AC-BC︱=5cm，则腰AC的长为（ ）。 A、13 cm或3 cm B、3 cm C、13 cm D、8 cm或6 cm 9、如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°,BD、CE 分别是∠ABC 、∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ）。 A、6 个 B、7个 C、8 个 D、9个 A B C D E 10、下列说法错误的是（ ） A、等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴 - 189 - 河南实验中学资料 B、等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴 C、等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴 D、等腰三角形定有三条对称轴 二、填空题（每题3′，共30′） 1、△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于点E ，与BC交于点D，∠ C=15，∠BAD=60，则△ABC是 三角形。 2、∠AOB 内部有一点P，分别作出点P关于OA、OB的对称点 P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB、于点M、N，若P1P2=5cm，则△PMN的周长为 。 3、已知点P到X轴Y轴的距离分别是2 和3，且点P关于X轴对称的点在第四象限，则点P的坐标是 。 4、等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个三角形的底角为 。 5、数轴上表示1和3的点分别为点A 和点B，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是 。 6、已知点P、Q关于直线x=1对称，点P的横坐标为-2，点Q的纵坐标是-3, 则点P的纵坐标为 ,点Q的横坐标是（ ），PQ= 。 A B C D 7、如图，已知，D是BC边上的一点，若AD=BD,AB=AC=CD,则∠BAC= . 8、如果△ABC和△A’B’C’关于直线l成轴对称，且∠A=50°,∠B’=70°,那么∠C= 。 9、△ABC中,AD为角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， AB=10厘米，AC =8厘米，△ABC的面积为45平方厘米，则DE的长为 。 10、△ABC中，D为AB的中点，且CD=AD=BD，则∠ACB= 。 三、解答题(每题10′，共40′） 1、如下左图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC于点D，连接BD. ⑴如果CE=4,△BDC的周长为18，求BD的长。 ⑵如果∠ADM=50°，∠ABD=20°，求∠A的度数。 C M B N A P B A N M - 189 - 河南实验中学资料 2、如上右图，△PAB中，MN是AB的垂直平分线，比较PA、PB。 E 3、如左上图，在△ABC中，AB=AC,E在CA的延长线上，∠AEF=∠AFE，AD是高，是说明EF与BC的位置关系，并说明理由。 C A D B F E 4、如右上图，在等边△ABC中，E为AC边上的中点CE=CD，试确定EB和DE的大小关系，并说明理由。 B BBB C D E A 参考答案 1.1 - 189 - 河南实验中学资料 巩固反馈答案： 1、 略。2、田、山、串、王等3、②。4、第5、9、10个不是轴对称图形。5、略。6、B。 作业设计答案： 1、 略。2、C。 1.2 达标反馈，当堂训练答案： 1、 PA=PC。2、10。3、90°。 作业设计答案：2、PA=PC 1.3 达标反馈，当堂训练答案： 1、 D（2，0）。2、AM=BM；NA =NB。3、15cm2。4、略。 1.4 “自主学习|”第3题AC=3.6cm “练习达标”1.D 2.C 3.∠B=30º ∠BAC=120º “拓展提升”1.AD=12cm 2.提示：利用三角形的外角性质 1.5 “拓展提升”2.B 3.开放题，答案不唯一. 1.6 “拓展提升” 2.一，二，三，十 第一章综合检测答案部分 一、1、C2、C3、D4、A5、D6、B7、B8、C9、C10、D 二、1、直角 2、5 3、P（3，2） 4、62、5°或22、5° 5、-1 6、-3，2，4 7、108° 8、60° 9、5 10、90° 三、1、⑴、BD=5⑵80°2、PA>PB 3、EF⊥BC 4、EB=DE 第二章 乘法公式与因式分解 2.1 平方差公式 - 189 - 河南实验中学资料 【教学内容】：17.1 平方差公式 【学习目标】： 1．记住平方差公式并会进行运用。 2．能用几何拼图的方式验证平方差公式。 【学习重点和难点】： 重点：平方差公式，平方差公式的几何拼图验证及其应用。 难点：平方差公式的几何拼图验证及其应用 【教学方法】：创设情境—自主探究—合作交流—拓展提高． 【教学准备】:多媒体课件＋导学案 【导学流程】： 一、 创设问题情境，引入新课。 请同学们与我一起观看这幅图片，它是有一些美丽的长方形花坛组成，如果每幅图案的长方形的长为（a+b）米，宽为（a-b）米，它的面积为多少呢？ 同学们会很快地回答为：（a+b）(a-b),那么如何计算呢？ 这是初一我们学习的内容，多项式乘以多项式。为了更好 地巩固以前学过的内容，同学们拿出我们刚发的导学案，做一下导学案上的题目。 【温故知新】请同学们用3分钟的时间独立完成下列问题。通过计算，你能发现它们的规律吗？ （1）(x+1)(x-1)= （2）(m+2)(m-2)= （3）(2x+1)(2x-1)＝ 根据大家作出的结果，你能猜想（a+b）（a－b）的结果是多少吗？小组讨论交流，大胆猜测。 为了验证大家猜想的结果，我们再计算： （a+b）（a－b）=a2－ab+ab－b2=a2－b2． 得出平方差公式 - 189 - 河南实验中学资料 （a+b）（a－b）= a2－b2． 即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差． 引出本节课的学习内容 2.1 平方差公式 明确本节的学习目标。 一、 自主学习一： 自学任务： 1、 学生自学课本34页。 2、 通过自学，能通过所计算的式子总结规律，推导公式，进而找出公式的结构特点。 3、 能够通过图形验证公式。 在学习过程中，学生互相之间探索交流，教师精讲点拨。 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。 平方差公式结构特征：（引导学生探索归纳，大胆发言） 教师归纳概括： ① 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。 ② 右边是乘式中两项的平方差。即相同的平方与相反项的平方的差。 为了更好地证明该定理的正确性，设计用动画的形式直观地说明平方差公式的正确性。（见多媒体课件） - 189 - 河南实验中学资料 学生观察图形，计算阴影部分的面积．经过思考可以发现： 左边图形的面积：（a+b）（a－b）． 右边旋转以后的图形的面积为：（a2－b2）． 这两部分面积应该是相等的，即（a+b）（a－b）= a2－b2． 教师活动: 引导学生细心观察，自主探索，发现规律，进行归纳，初步感受平方差公式． 在本活动中教师主要关注： （1）学生能否自己主动参与探索过程； （2）学生在交流中所投入的情感和态度． 学生活动: 为了让学生进一步理解该公式，能更好地运用该公式，我又设计了下面的练习。（见多媒体课件） - 189 - 河南实验中学资料 会填会选我最棒： 1. 参照平方差公式“（a+b）（a－b）= a2－b2．”填空 （1）(t+s)(t-s)= (2) (3m+2n)(3m-2n)= (3) (1+n)(1-n)= (4) (10+5)(10-5)＝ 2、判断下列式子是否可用平方差公式。 (1) (-a+b)(a+b) (2) (-2a+b)(-2a-b) (3) (-a+b)(a-b) (4) (a+b)(a-c) 三、自主学习二： 请同学们用5分钟的时间看课本35页的例1和例2.要求如下： （1）记住利用平方差公式进行计算的方法和步骤。 （2）理解只有符合公式要求的乘法才能运用公式简化运算。其余的运算仍按乘法法则计算。 （3）看完后，用８分钟的时间独立完成导学案上的1和2两题。 1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ） A.（x+1）（1+x）； B.（2x-5）(2x+5) C.（－a+b）（a－b）； D.（x2－y）（x+y2）； 2.运用平方差公式进行计算： （1）（3x+4）(3x-4) （2） (3a+2b)(2b-3a) （3）(-4x-3y)(-4x+3y) （4）51×49 （5） (a+1)(4a-1)-(2a+1)(2a-1) 学生活动： 【合作交流】：先小组内交流，由组长公布解题步骤和答案，小组内解决不了的问题由组长提交班内交流，如再有疑问由老师点拨精讲 。 - 189 - 河南实验中学资料 【归纳总结】:由学生总结本节学习内容,并归纳出知识要点。以便于同学在做题时能正确运用平方差公式. 四、知识应用 【题组训练】：(学生用8分钟时间独立完成下列题目)： 1. 下面各式的计算对不对，如果不对，应当怎样改正？ （1） （x＋2）(x-2)=x2-2 ( ) （2） (-3a-2)(3a-2)=9a2-4 ( ) 2. 运用平方差公式进行计算： （1）（a+3b）(a-3b) (2) (3+2a)(-3+2a) (3) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) (4) 58×62 (5) (m+3)(m-3)(m2+9) 五、归纳总结： 通过本节课的学习我有哪些收获？由学生总结解题步骤，不全 面的老师点拨。进一步加深对平方差公式的记忆和理解。 【达标测评】: 学生用5分钟独立完成，然后同位互改试卷。 运用平方差公式计算下列公式： 1. (2x-3y)(2x+3y) 2. (-2m-5)(2m-5) 3. 105×95 4. (ab+1)(ab-1) 六、应用提高、拓展创新： 【拓展提高】：运用平方差公式计算： (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) 七、布置作业： 1、课本35页练习1题。 2、课本36页习题A组。 3、课本36页习题B组。（选作） - 189 - 河南实验中学资料 2．2 完全平方公式（一） 【学习目标】 1、记住完全平方公式并会灵活应用。 2、能用几何拼图的形式验证完全平方公式。 【学习重点】 完全平方公式的灵活应用。 【学习难点】 理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算． 【学习准备】 多媒体课件 【教学方法】 创设情境—自主探究—合作交流—拓展提高 【导学流程】 一、提出问题，创设情境 [师]请同学们探究下列问题： 一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，… （1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？ 学生互相讨论交流。 [生]（1）第一天老人一共给了这些孩子a2糖． （2）第二天老人一共给了这些孩子b2糖． （3）第三天老人一共给了这些孩子（a+b）2糖． （4）孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较，应用减法．即： （a+b）2-（a2+b2） 我们上一节学了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2 - 189 - 河南实验中学资料 ，现在遇到了两个数的和的平方，这正是我们这节课要研究的问题。 明确本节的学习目标。 计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______； （2）（m+2）2=_______； （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________； （4）（m-2）2=________； （5）（a+b）2=________； （6）（a-b）2=________． 学生独立尝试，大胆猜测。 二、独立探究，探索交流 自学任务： 1、 自学课本36页。 2、 通过自学，掌握完全平方公式的推导过程、结构特点。 3、 会用几何图形解释完全平方公式。 学生自学，自学过程中小组之间互相交流。6分钟后检查自学效果。 自学检测： 1、 完全平方公式文字叙述： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． 符号叙述：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2 2、从几何角度去解释完全平方差公式． 你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？ 小组讨论交流，积极发言。 三、精讲点拨，提高升华 请同学们总结完全平方公式的结构特征。 - 189 - 河南实验中学资料 公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。 我们还要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式。 四、达标检测： 1、下列式子符合完全平方公式形式的是（ ） A、a2+ab+b2 B、a2+2a+2 C、a2-2b+b2 D、a2+2a+1 五、自主学习二： 1、自学课本37页、38页。 2、通过自学，会灵活应用完全平方公式进行计算。 达标检测：： 1、判断下列各式是否正确，如果错误并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; （2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (-a−1)2＝-a2−2a−1. 2、应用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2 （2）（y-）2 （3）（-a-b）2 （4）（b-a）2 3、运用完全平方公式计算： （1）1022 （2）992 六、课堂总结： 你学会了什么？完全平方公式与平方差公式有什么区别？讨论交流。 完全平方公式和平方差公式不同： 1、形式不同 2、结果不同： 完全平方公式的结果 是三项， 即 (a ±b)2＝a2 ±2ab+b2; 平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2. 七、拓展应用： １、计算(2a+b+c)2 2、要使x2+6x+a成为形如(x-b)2的完全平方公式，求a,b. 八、作业： 1、课本38页练习1、2、3题 。 - 189 - 河南实验中学资料 2、习题40页A组。 3、习题40页B组3、4题。（选作） 2.2乘法公式复习课 【学习目标】 1、 熟记平方差公式和完全平方公式。 2、综合应用平方差公式和完全平方公式进行多项式的运算。 【重点】乘法公式的综合应用 【难点】乘法公式的综合应用 【学习准备】多媒体课件 【学习方法】自主探究学习法 【导学流程】 一、 创设情境，复习引入 回顾与思考： 1、 平方差公式及结构特征，应用平方差公式应注意什么问题？ 2、 完全平方公式及结构特征，在什么情况下可以应用？ 3、练一练： - 189 - 河南实验中学资料 本节课继续乘法公式的学习，引出课题，明确本节的学习目标。 一、 学生自学： 自学任务： 1、 自学课本38页。 2、 通过自学明确平方差公式和完全平方公式的选择应用及综合应用。 自学检测： 1、 想一想：(a+b+c)2= 2、 想一想：(a+b+c)(a+b-c)= 根据自学情况，互相讨论交流，大胆尝试。 二、 展示反馈： 展示经过学生探索交流后的结果，不同小组的学生分别展示。 (a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+c2+2(a+b)c=a2+b2+2ab+c2+2ac+2bc (a+b+c)(a+b-c)=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b)2-c2=a2+b2+2ab-c2 三、 精讲点拨： 1、平方差公式的结构特点：左边是两个二项式的积，两个二项式中，一项相同，另一项互为相反数；右边是两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方。 2、完全平方公式的结构特点：左边是两数和或差的平方，右边是两个数的平方和加上（或减去）这两数乘积的2倍。 3.运用公式计算时，先将要计算的代数式写成公式的原始形式，然后再一步步计算. 4.解题时，要认真分析题目的结构特点，合理安排运算顺序，灵活运用公式，可使解题时快速、简洁。 五、达标测评： 1、下列等式是否成立? 说明理由． (1) (-4a+1)2=(1−4a)2； (2) (-4a−1)2=(4a+1)2； (3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2； (4) (4a−1)(-1−4a)＝(4a−1)(4a+1). 2、指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (-a−1)2＝-a2−2a−1. 3、计算： （1）98×102 （2）20042-2003×2005 （3）若x2-y2=12,x+y=6,求x,y的值。 - 189 - 河南实验中学资料 六、课堂小结：引导学生对本节知识进行总结。 七、拓展提高: 1、回答下列问题： （1）a2+b2加上什么式子可以得到(a+b)2？ (2)a2+b2加上什么式子可以得到(a-b)2？ (3)a2+ab+b2加上什么式子可以得到(a-b)2？ 2、已知（a+b）2=1，（a-b）2=25，求a2+b2+ab的值. 八、布置作业： 1、课本40页练习1、2题。 2、课本40页习题B组1、2题。（选作） 2.3用提公因式法进行因式分解 【学习目标】 1、掌握因式分解、公因式的定义，能够透彻理解。 2、会用提公因式法分解因式。 3、在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法． 【学习重点】 会用提公因式法分解因式 【学习难点】 如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式 【教学准备】 多媒体课件 【学习方法】自主探究学习法 【导学流程】 一、提出问题，创设情境 [师]请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快。 （1）20×（-3）2+60×（-3） （2）1012-992 （3）572+2×57×43+432 （学生在运算与交流中积累解题经验，复习乘法公式） - 189 - 河南实验中学资料 [师]在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解。引入新课，同时明确本节的学习目标。 二、自主学习： 自学任务： 1、学生自学课本41页。 2、通过自学，明确因式分解的定义，公因式的定义。 学生自学，分析讨论，探究新知． 把下列多项式写成整式的乘积的形式 （1）x2+x=_________ （2）x2-1=_________ （3）am+bm+cm=__________ [生]根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算： （1）x2+x=x（x+1） （2）x2-1=（x+1）（x-1） （3）am+bm+cm=m（a+b+c） 三、精讲点拨： 教师精讲点拨因式分解的定义。 像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式． 可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维． 再观察上面的第（1）题和第（3）题，你能发现什么特点． [生]我发现（1）中各项都有一个公共的因式x，（2）中各项都有一个公共因式m，是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢？ [师]你分析得合情合理． 因为ma+mb+mc=m（a+b+c）． 于是就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法． 四、应用检测： 1、把8a3b2-12ab3c分解因式． 2、把2a（b+c）-3（b+c）分解因式． 3、把3x3-6xy+x分解因式． 4、把-4a3+16a2-18a分解因式． 5、把6（x-2）+x（2-x）分解因式． - 189 - 河南实验中学资料 （让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成，然后与同伴交流解题心得，教师深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结） 1、解：8a3b2+12ab2c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2（2a2+3bc）． 总结：提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行．可以概括为一句话：括号里面分到“底”，这里的底是不能再分解为止． 2、 解：2a（b+c）-3（b+c）=（b+c）（2a-3）． 总结：公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出． 3、解：3x2-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1=x（3x-6y+1）． 总结：1作为项的系数，通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，可以概括为：某项提出莫漏1． 4、解：-4a3+16a2-18a =-（4a3-16a2+18a） =-2a（2a2-8a+9） 注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．可以用一句话概括：首项有负常提负． 5、 解：6（x-2）+x（2-x） =6（x-2）-x（x-2） =（x-2）（6-x）． 总结：有时多项式的各项从表面上看没有公因式，但将其中一些项变形后，但可以发现公因式，然后再提取公因式． 五、课堂小结： 今天我们学习了提公因式法分解因式．同学们在理解的基础上，可以用四句顺口溜来总结记忆用提公因式法分解因式的技巧． 各项有“公”先提“公”， 首项有负常提负． 某项提出莫漏1． 括号里面分到“底”．引导学生归纳。 六、拓展提高： 3200-43199+103198是7的倍数吗？为什么？ 七、布置作业： 1、课本42页练习。 2、课本42页习题A组1、2、3题。（3题选作） - 189 - 河南实验中学资料 2.4用公式法进行因式分解（一） 【学习目标】 1．能说出平方差公式的特点。 2．能较熟练地应用平方差公式分解因式。 【重点】 应用平方差公式分解因式。 【难点】 灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求． 【教学准备】多媒体课件 【教学方法】自主探究学习法 【导学流程】 一、提出问题，创设情境 出示投影片，让学生思考下列问题． 问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？ 问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？ 问题3：你能将a2-b2分解因式吗？你是如何思考的？ 二、学生自学，尝试探究 自学任务： 1、自学课本43页和44页的例1. 2、通过自学，掌握因式分解的平方差公式的结构特点。 3、会应用平方差公式进行多项式的因式分解。 结合提出的问题，学生自学。教师进行适当的点拨指导。 说明： 1．多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式． 2．提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解． 3 - 189 - 河南实验中学资料 ．对不能使用提公因式法分解因式的多项式，不能说不能进行因式分解． 4、要将a2-b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式： a2-b2=（a+b）（a-b）． 多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法。今天我们就来学习利用平方差公式分解因式，明确本节的学习目标。 自学检测，展示反馈： 1、观察平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？ （让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论） 2、 填空： （1）4a2=（ ）2； （2）b2=（ ）2； （3）0.16a4=（ ）2； （4）1.21a2b2=（ ）2； （5）2x4=（ ）2； （6）5x4y2=（ ）2． [做以上填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式．也可以对积的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间的复习，避免出现4a2=（4a）2这一类错误] 3、分解因式 （1）4x2-9 （2）（x+p）2-（x+q） 三、教师精讲，达标检测 因式分解的平方差公式的结构特点： （1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反． （2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差． 在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方差”是得分解因式的多项式． 由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式． - 189 - 河南实验中学资料 达标检测： 1、把下列各式分解因式 （1）36（x+y）2-49（x-y）2 （2）（x-1）+b2（1-x） （3）（x2+x+1）2-1 （4）-． 2、分解因式 （1）x4-y4 （2）a3b-ab 解：（1）x4-y4 =（x2+y2）（x2-y2） =（x2+y2）（x+y）（x-y）．× （2）a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）． 学生解题中可能发生如下错误： （1）系数变形时计算错误； （2）结果不化简； （3）化简时去括号发生符号错误． 最后教师归纳： （1）多项式分解因式的结果要化简： （2）在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项。 四、课堂小结： 引导学生总结本节的学习内容，强调注意的问题。 1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式。 2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式。 3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式因式都不能分解为止。 五、拓展提高： 给出下列算式， 32-12=8×1,52-32=16=8×2,72-52=24=8×3,92-72=32=8×4,--- （1）观察上面一系列式子你能发现什么规律？用含n的式子表示出来。 （2）根据你发现的规律，求20092-20072的值。 六、课后作业 1．课本44页练习1题。 2、课本46页习题A组1、4题。（4题选作） - 189 - 河南实验中学资料 2．预习“用完全平方公式分解因式”。 2.4用公式法进行因式分解（二） 【学习目标】 1、理解完全平方公式的结构特点。 2、能较熟悉地运用完全平方公式分解因式。 3、能灵活应用提公因式法、公式法分解因式。 4、通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力． 【重点】 用完全平方公式分解因式． 【难点】 灵活应用完全平方公式分解因式． 【教学方法】自主探究合作学习法 【学习准备】多媒体课件 【导学流程】 一、提出问题，创设情境 问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？ 问题2：把下列各式分解因式． （1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2 引入本节的课题，明确本节的学习目标。 二、学生自学，独立探究 自学任务： 1、自学课本43页、44页例2。 2、通过自学，掌握因式分解的完全平方公式的结构特点。 3、会应用完全平方公式把多项式因式分解。 自学检测： 1、因式分解的完全平方公式的表述： 两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍， - 189 - 河南实验中学资料 等于这两个数的和（或差）的平方． 2、完全平方公式的符号表示．即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2． 3、下列各式是不是完全平方式？ （1）a2-4a+4 （2）x2+4x+4y2 （3）4a2+2ab+b2 （4）a2-ab+b2 （5）x2-6x-9 （6）a2+a+0.25 （放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的）。 4、把3题中是完全平方式的进行因式分解。 结果： （1）a2-4a+4=a2-2×2·a+22=（a-2）2 （3）4a2+2ab+b2=（2a）2+2×2a·b+（b）2=（2a+b）2 （6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2 （2）、（4）、（5）都不是． 三、精讲点拨，拓展提高。 方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方。从而达到因式分解的目的。 应用展示： 1、分解因式： （1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y2 2、分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2 （2）（a+b）2-12（a+b）+36 学生有前一节学习公式法的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验． 解：（1）16x2+24x+9 =（4x）2+2·4x·3+32 =（4x+3）2． 解：（2）-x2+4xy-4y2=-（x2-4xy+4y2） =-[x2-2·x·2y+（2y）]2 =-（x-2y）2． - 189 - 河南实验中学资料 练一练： 把下列多项式分解因式： （1）6a-a2-9； （2）-8ab-16a2-b2； （3）2a2-a3-a； （4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2 四、课堂小结 学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系，做个总结吗？ （引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后出示投影片，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解） 五、达标测评： 1、把下列各式因式分解： (1)m4+2m2+1 (2)14a-1-49a2 (3)(x2-2x)2+2(x2-2x)+1 2、若(m-1)2与n2-8n+16互为相反数，求m,n的值。 六、拓展提高: 在多项式4x2+1中，添加一个单项式使之能用完全平方公式来分解因式，试一下，看有几种添法？（至少写两种） 七、课后作业 1、课本44练习2题。 2、习题46页A组2、3题。（3题选作） 2.4因式分解复习课 【学习目标】 - 189 - 河南实验中学资料 1.使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法。 2.提高学生因式分解的基本运算技能。 3.能熟练使用几种因式分解方法分解多项式。 【学习重点】复习综合应用提公因式法，运用公式法分解因式。 【学习难点】利用分解因式进行计算。 【学习准备】多媒体课件 【学习方法】采用讲练结合法，以学生练习为主，教师作适当讲解。 【导学流程】 一、课前准备，复习回顾 1、你学过哪些因式分解的方法？举一个例子说明其中用到了 哪些方法？ 2、你认为分解因式与整式的乘法之间有什么关系？ 二、学生自学，探索提高: 课本45页。通过自学，复习回顾因式分解的各种方法，会进行综合应用。 三、知识点展示及反馈： （一）、因式分解的意义： 1、下列各等式中，哪些从左边到右边的变形属于因式分解？ ⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ ． 让生观察思考，互相交流讨论，口答完成．解：⑷ ． 通过本题练习，让生明确：因式分解是将“整式和”化为“整式积”的恒等变形，它与整式乘法是互为逆变形关系． 2、检验下列因式分解是否正确： ⑴ ；⑵ ； ⑶ ． 让生观察思考，同桌互查，口答完成．解：⑴ ⑵错，⑶正确． - 189 - 河南实验中学资料 通过本题练习，让生明确：因式分解必须保证使等式成立（如⑴就不正确），且当各个因式不能继续分解时才能结束解题（如⑵还需继续进行分解．） （二）、因式分解的方法： 3、下列各式变形正确的是（ ） A． B． C． D． 让生观察思考后，师指定个别生回答．解：B． 通过本题练习，让生明确：对一个式子添了带负号的括号，也就是对该式提取了． 让生进一步理解二项式的变号法则：，． 4、 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 让生观察思考后，自主发言回答．解：B． 精讲：通过本题练习，让生明确，如果一个多项式可以转化为的形式，那么这个多项式就可以用平方差公式分解因式． 5、在等式左边的括号内填上适当的代数式，使之成为完全平方式，再在等式右边的括号内填入适当的代数式： ⑴ ． ⑵ ． 生各自尝试解答后再作发言交流． - 189 - 河南实验中学资料 解：⑴ ． ⑵ ． 精讲：通过本题练习，让生进一步明确，形如的多项式叫做完全平方式，完全平方式可以用完全平方公式分解因式． 6、分解因式： ⑴ ． ⑵ ． ⑶ ． ⑷ ． ⑸ . 或. ⑹ ． ⑺ ． ⑻ . - 189 - 河南实验中学资料 各题都由生自愿上台板演，其余生笔练完成．然后师引导生评析、纠错． 在评析、纠错过程中，师应结合各题的具体情况落实所运用的有关知识，并强调注意点． 对于⑴，师可让生说明如何确定应提取的公因式以及提取公因式法的一般步骤． 对于⑵，师应强调：当多项式的首项的系数为负时，通常应当提取负因数，此时剩下的各项都要改变符号． 对于⑶，师应让生明确对于一个无公因式且不是完全平方式的三项式，常考虑用十字相乘法分解因式． 对于⑸，师应强调：分解因式的一般步骤是先考虑用提取公因式法，再考虑用别的方法． 对于⑺，师应让生明确对于一个无公因式且项数超过三的多项式，常考虑用分组分解法分解因式．本题的分解过程中用了整体思想． 对于⑻，师应强调：当原多项式中含有括号时，应先考虑保留括号是否有用．另外每个因式必须分解彻底．本题的分解过程中也用了整体思想． 最后，师可引导生归纳因式分解的一般思路步骤： 一看有无公因式，二对乘法各公式，三用十字相乘凑，四想如何来分组．每个因式细检点，分解必须到最末． 通过本题练习，让生进一步明确因式分解的思路步骤，进一步掌握因式分解的方法． （三）、因式分解的作用： 7、已知，，求的值． 选两个生自愿上台板演，其余生笔练，完成后师引导生评析、纠错． - 189 - 河南实验中学资料 一解：∵，∴． ∵，∴．∴．∴．∴或． ∴当时， 二解：∵，， ∴ 师可引导生对不同的解法作出比较，体会因式分解在求代数的值方面的妙用． 通过本题练习，让生进一步明确：利用因式分解有时可使求代 数的值更简便． 四、小结： 先由生畅谈本节课的收获，师作适当引导或补充。 五、达标检测： 1、辨析题 下列哪些式子的变形是因式分解？ （1）x2–4y2=（x+2y）（x–2y） （2）x（3x+2y）=3x2+2xy （3）4m2–6mn+9n2 =2m（2m–3n）+9n2 （4）m2+6mn+9n2=（m+3n）2 2、把下列各式因式分解： （1）x2+14x+49 （2）7x2–63 （3）y2–9（x+y）2 （4）（x+y）2–14（x+y）+49 （5）16–（2a+3b）2 （6）a4–8a2b2+16b4 3、在一个半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆． - 189 - 河南实验中学资料 （1）用代数式表示剩余部分的面积； （2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积． 六、拓展提升： 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4–y4，因式分解的结果是（x–y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是（x–y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162” 作为一个六位数的密码。对于多项式4x3–xy2，取x=10，y=10时，上述方法产生的密码可以是 ． 七、作业： 1、课本46页练习1、2题。 2、课本46页习题B组1、2题。（2题选作） 第二章 学情检测 （总分：120分） 一、相信你的选择（每题3分，共30分） 1、下列各式中可以运用平方差公式计算的是（ ） A.（-a+4c）（a-4c） B.（x-2y）（2x+y） C.（-3a-1）(1-3a) D.（-x-y）（x+y） 2、若4x2+12xy+m是一个完全平方式，则m的值为（ ） A..y2 B..3y2 C．9y2 D．36y2 3、计算（a+b）（-a-b）的结果是（ ） A．a2-b2 B．-a2-b2 C．a2-2ab+b2 D．-a2-2ab-b2 - 189 - 河南实验中学资料 4、设（3m+2n）2=（3m-2n）2+P，则P的值是（ ） A．12mn B．24mn C．6mn D．48mn 5、若x2-kxy+9y2是一个完全平方式，则k值为（ ） A．3 B．6 C．±6 D．±81 6、已知a2+b2=25，且ab=12，则a+b的值是（ ） A． B．± C．7 D．±7 7、从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（ ） A． B． C． D． 8、下列分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 9、若为整数，则一定能被（ ）整除 A． B． C． D． 10、无论x,y取何值，x2+y2-2x+12y+40的值都是( ) A 、正数 B、负数 C 、零 D、非负数 二、试试你的身手（每小题4分，共20分） 11、计算（a+3b）2-（a-3b）2=________________. 12、分解因式：＝ ________________. 13、如果（2a＋2b＋1）(2a＋2b－1)=63，那么a＋b的值为 ． 13、多项式4x2+1加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，请你写出符合条件的这个单项式是___________． 15、若x2+4x-4的值为0，则3x2+12x-5的值为___________. 三、挑战你的技能（共70分） 16．(24分)计算： - 189 - 河南实验中学资料 （1）（a-）2（a2+）2（a+）2 （2） （3）（3a-b+c）（3a+b-c）； （4）（a+b）2（a2-2ab+b2） 17．分解因式(18分) ① ② ③ 18. (8分)把20cm - 189 - 河南实验中学资料 长的一根铁丝分成两段，将每一段围成一个正方形，如果这两个正方形的面积之差是5cm2，求这两段铁丝的长． 19．（8分）探索： ．．．．．． ①试求的值 ②判断的值的个位数是几？ 20、（6分）已知m+n=10,mn=24,求（1）m2+n2；（2）（m-n）2的值． 21、（6分）观察1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52 …… （1）根据以上规律，猜测1+3+5+7+…+（2n-1）=__________． （2）用文字语言叙述你所发现的规律：___________． - 189 - 河南实验中学资料 附答案： 2.1 自主学习一： 1、（1）t2-s2(2)9m2-4n2(3)1-n2(4)75 2、（1）（2）可用平方差公式 自主学习二: a) B b) （1）9x2-16（2）4b2-9a2（3）16x2-9y2(4)2499(5)3a 知识应用： 1、(1)× 应为x2-4 (2)× 应为4-9a2 2、（1）a2-9b2(2)4a2-9(3)3x2-5x-10(4)3596(5)m4-81 达标测评： - 189 - 河南实验中学资料 1、4x2-9y2 2、25-4m2 3、9975 4、a2b2-1 拓展提高：216-1 2.2.1 达标检测： 1、 D 自主学习二： 达标检测： 1、（1）×（2）×（3）× 2、（1）16m2+n2+8mn (2)y2+0.25-y (3)a2+b2+2ab (4)b2+a2-2ab 3、（1）10404 （2）9801 拓展应用： （1）4a2+b2+c2+4ab+4ac+2bc (2)a=9 b=-3 2.3 拓展提高： 3200-43199+103198 =3198（32-4×3+10） =3198×7 所以3200-43199+103198是7的倍数。 2.4.1 达标检测： （1）(13x-y)(-x+13y) (2)(x-1)(1-b)(1+b) (3)x(x+1)(x2+x+2) (4)-xy 拓展提高： （1）(2n+1)2-(2n-1)2=8n （2）8032 - 189 - 河南实验中学资料 第二章 乘法公式与因式分解学情检测答案 一、1、C 2、C 3、D 4、B 5、C 6、D 7、A 8、B 9、A 10、A 二、11、4ab 12、(2a+3b)(2a-3b) 13、+4,-4 14、4x或-4x或4x4 15、7 1 1 三、16、（1）a8+ — - — a4 256 8 3 （2）9999 — (3)a2-b2-c2+2bc 4 (4) a4+b4-2a2b2 17、（1） a(x+4y)(x-4y) (2) -2a(a-3)2 (3) (a-b-1)(a-b+1) 18、81 79 —cm， —cm 8 8 19、(1)27-1 (2)22009-1 个位数字是1 20、（1）52 （2）4 21、（1）n2 (2)从1开始的连续几个奇数的和等于这些奇数的个数的平方。 第三章 分式 3.1分式的基本性质（1）导学案 学习目标：1. 能用分式表示现实情景中的数量关系，体会分式的模型思想。 2.了解分式的概念，明确分式与整式的区别。 3.学生掌握分式有意义、无意义和值为零的识别方法，并能熟练解决有关问题。 教学重点、难点：正确理解分式的意义，分式是否有意义的条件及分式的值为零的条件。 导学流程： 一、情景导航 - 189 - 河南实验中学资料 1、2004年4月全国铁路进行了第5次提速，如果列车原来行驶的平均速度为千米／时，自2004年4月起提速20千米／时。 请回答下列问题（用代数式表示）。 （1）火车原来行驶的平均速度为___________千米／时，提速后火车行驶的平均速度为______________千米／时。 (2)已知甲乙两地相距千米，提速后这列火车从甲地到乙地共行驶的时间是___________时，原来所用的时间是__________时. (3)火车提速后，从甲地驶往乙地的时间缩短了________时。2、青藏铁路是世界上海拔最高的高原铁路，据新华网（www.xinhuanet.com）2003年12月18日报道，铁路建设者已经在海拔4905米的风火山上顺利修建了隧道，并铺设了铁轨，风火山隧道全长1338米，施工时如果甲、乙两个工程队分别从隧道两端同时掘进，甲队每天掘进米，乙队每天掘进b米。 请回答下列问题（用代数式表示）。 （1）、甲、乙两队每天共掘进________米. （2）、经过______天可以将隧道打通。 二、合作探究（一） 1、（1）以上两个问题中出现的代数式中整式有______________;不是整式的是__________________________. （2）这几个不是整式的代数式与整式有什么区别？他们有什么共同特点？与同学交流自己的发现。 2、请你填一填：（1）如果A、B都是整式可以把A÷B表示成的形式，当B中含有___________ 时，把叫做分式，其中A叫做分式的____________，B叫做分式的__________________。 （2）试举出三个分式的例子_________ 、_______________ 、_______________。 合作探究（二） 小组讨论交流： （1）对于一个分式，其分母的取值是否可以为0？为什么？ （2）对于一个分式，其分子的值是否可以为0？若可以，应满足什么条件？ - 189 - 河南实验中学资料 小小展示台： A、 是分式的条件是： B、 有意义的条件是： C、 的值为0的条件是： 3、自学例1、例2.要注意解题步骤。 三、当堂训练 1、天泉村修建一条长480米的渠道，原计划每天挖x米，开工后每天比原计划少挖20米，完成这项任务实际用了多少天？ 2、填空：在代数式2 － ； ＋ ； ； ； ； 中______________________________是整式，________________________是分式。 3、当取什么值时，下列分式有意义？当取什么值时，下列分式的值是0？ （1） （2） 3、当=-4，=-2时，求分式的值。 四、谈谈自己的收获 这节课我学到了（小组内交流）： 五、达标检测： 1、下列代数式 ； ； ； ； —中分式有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、下列说法正确的是（ ） - 189 - 河南实验中学资料 A、如果A,B都是整式，那么就是分式 B、只要分式的分子为零，则分式的值就为零 C、只要分式的分母为零，则分式必无意义 D、不是分式，而是整式 3、要使分式 有意义，则的取值范围应是（ ） A、 1 B、—1 C、1 D、任意实数 4、要使分式无意义，应满足的条件是______________；要使分式的值为零，的值应为_________________________.。 六、能力提高 1、当取什么值时，分式的值为零？ 2、轮船在静水中的航行速度是千米/时，水的流速是千米/时，轮船逆水航S千米需要多长时间？如果=20，=2，=120，计算轮船逆水航行需要的时间。 3.1分式的基本性质（2） 学习目标：1、理解分式的基本性质。 2、会用分式的基本性质进行简单恒等变形。 3、比较分数与分式的基本性质，体会类比思想方法。 教学重点：分式的基本性质及简单运用是本节重点。 教学难点：利用分式的基本性质进行恒等变形。 - 189 - 河南实验中学资料 导学流程： 一、学习与探究 （一）知识回顾：1、下列代数式－；+；；； ；中整式有__________________________分式有_______________________. 2、当=_________时，分式无意义；当=____________时分式的值为零；当=_________时分式有意义。(同桌交流自己的结果) 探究一： 1、 观察下列等式的右边是怎样从左边得到的？你能用分数的基本性质解释吗? （1）等式=的右边是怎样从左边得到的？（ ） （2）等式=的右边是怎样从左边得到的？（ ） 2、若、、都是不为0的数，将的分子与分母都乘以，得到，则分式与相等吗？ 将分式的分子与分母都除以，得到，分式与相等吗？ 结论是： ___________________________________________________________ 思考：类比分数的基本性质，你能得到分式的基本性质吗？思考后，小组内交流自己的观点。 小小展示台：分式的分子与分母都____________________同一个______________________的整式，分式的值_________,这个性质叫做分式的基本性质。用式子表示是=； = （其中M是____________的整式）。 对应训练一：看谁学得好 - 189 - 河南实验中学资料 下列各式相等吗？为什么？ （1 ） 与 （2）与 探究二： 1、下列变换中，括号内填入的是什么？ （1） = 观察等式的分母从左边到右边乘以，由分式的基本性质可知，分子也乘以，所以空内应填。 （2）= 观察等式的分母是怎样由左边变换到右边的？ 小小展示台：解答这类分母变换，求分子怎样变换的题的一般方法是_____________________________________________.。 （3） = 观察等式的分子是怎样由右边变换到左边的？ （4） = 观察等式的分子是怎样由左边变换到右边的？ 与同学讨论后归纳总结：解答这类分子变换，求分母怎样变换的题的一般方法是 _____________________________________________.。 （二）自学P54例4 自学要求：1、弄清符号是怎样变化的及变化的理论根据。 1、 自学后归纳总结：（1）当分子、分母都含有负号时，分子、分母应同________________,使分式的值不变，且分子分母都不含负号。 （1） 当分子或分母含有负号时，利用分式的基本性质及有关法则，把分子或分母的符号变为___________的符号。（与同学交流自己的发现） 对应训练二：不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号。（口答） - 189 - 河南实验中学资料 （1） （2） （3） 二、当堂训练 1、下面各组中的分式相等吗？为什么？ （1） 与 （2）与 （3）与 （4）与 2、下面的式子正确吗？为什么？ （1） = （2）= 3、在下面的括号内填上适当的整式，使等式成立。 （1）= （2）= （3）= 四、交流提高：比一比谁的收获大。 我学到了： 五、当堂检测 1、分式的基本性质是：分式的分式的分母都_________________________,分式的值不变。 2、如果把分式中的正数都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ） A、不变 B、扩大到原来的2倍 C、缩小到原来的 D、缩小到原来的 3、下列各式变形正确的有 （ ） （1） （2） （3） A、 0个 B、1个 C、2个 D、3个 4、不改变分式的值，将的分子、分母中各项的系数都化为整数为___________________.。 六、拓展提升 - 189 - 河南实验中学资料 不改变分式的值，使的分子、分母的最高次项的符号为正。 3.2分式的约分 学习目标：1、理解分式的约分和最简分式的意义，明确分式约分的理论依据。 2、能够熟练掌握约分的方法。 3、通过与分数的约分作比较，进一步体会类比的思想方法。 教学重点难点：掌握约分的方法及最简分式的意义。 导学过程： 一、知识回顾: 在下面的括号内填上适当的整式使等式成立： （1）= （2）= 二、合作探究 探究一 1、把下列分数化简 =______________-- (2)=____________ 这种化简的方法是分数的约分，分数约分的关键是确定分子、分母的________________________。 2、依照分数约分的方法，化简下列分式： （1）=__________ (2)=___________ (3)=___________ 这样做的依据是____________________________________。 思考：请类比分数的约分试着说出什么是分式的约分，分式约分的依据是什么？（与同学交流自己的发现） 小小展示台：分式的约分是根据_____________________________，把一个分式的分子、分母中的____________约去。 - 189 - 河南实验中学资料 探究二（试一试，你准行！） 导学例1 （1）分子、分母的最大公约数是_______，与的公因式是___________,因此分子、分母的公因式是____________。 所以== 你能归纳分子分母是单项式时约分的步骤吗？ 小小展示台：分子分母都是单项式的分式约分时，先约简系数，再约去相同字幕的最低次幂。 （2）分子分解因式为__________________； 分母分解因式为_________________； 分子分母的公因式为_____________________。 所以 = = = 请总结规律：分式的分子分母是多项式约分时，先分解因式，再找出分子分母的___________________，最后约去________________。 （阅读）：在这节课我们得到的分式：，，，它们的分子分母，除以1以外都没有其他的公因式，像这样的分式叫做最简分式。 对应训练一： - 189 - 河南实验中学资料 1、下面的约分正确的吗？如果不正确请说明理由。 （1）= （2）= （3）= 2、下列分式中最简分式是（ ） A、 B、 C、 D、 三、自学P57例2 自学要求：1、注意解题步骤。 2、不明白的问题小组内讨论解决。 对应训练二：做下列整式的除法。 （1） （2） 四、课堂小结：小组内交流看谁的收获多。 五、达标检测： 1、下面约分正确的是（ ） （1）=3 （2）=0 （3）= 2、在分式，，，中，最简分式有___________________________。 3、约分： （1） （2） （3） 能力提高： - 189 - 河南实验中学资料 请判断下列约分正确吗？ （1）= (2) = (3) 归纳总结：= = = ― 练习约分：（1） (2)• 3.3分式的乘法与除法 学习目标：1、使学生理解并掌握分式的乘除法则运用法则进行运算。 2、经历探索分式乘除法运算法则，进一步渗透类比转化思想。 教学重点：掌握分式的乘除法运算。 教学难点：分子、分母为多项式的分式乘除法运算。 导学过程 一、合作探究： 1、观察下列运算： 请回想：分数的乘法法则是_______________________________； 分数的除法法则是_____________________________________。 2、类比分数乘除法的运算法则，计算下列各式： （1） （2） - 189 - 河南实验中学资料 请猜想：分数的乘、除法则和分式的乘法、除法法则类似，你能说出分式的乘法与除法法则吗？（小组内讨论） 小小展示台： 1、 两个分式相乘，把分子相乘的__________作为积的_________，把分母相乘的_________作为积的__________。 用符号表示： 2、 两个分式相除，把除式的分子和分母__________位置后再与被除式__________________。 用符号表示; =_________=__________ 快乐体验： 1、 请自己设计两个分式。 2、 尝试求你所设计的两个分式的积和商。 二、例题讲解 （一）例1、计算 （1）• (2) 解：（1）• =（分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母） =（约分） （2） 请说出每一步的依据 =•( ) =- ( ) - 189 - 河南实验中学资料 =- ( ) 对应训练一：（开心练习） 计算 ： （1）• (2) (3) (4)••• （二）自学例2.计算： （1）•• （2） （提示：在进行分式的乘法运算时，如果分子与分母是多项式，应当先进行因式分解，再按照分式的乘法运算） 自学要求：1、自己试着写出解题过程。 2、说出每一步的依据。 对应训练二： 计算：（1） (2)• 3、有疑难问题小组内讨论解决。 三、当堂训练 1、计算：（1）• （2）• - 189 - 河南实验中学资料 (3)(-4ab) (4) 2、（1） （2） 四、能力提高 1、阅读（）=••== ===(k为正整数) 以上两式是分式的乘方运算，仔细观察所得的结果，试总结出分式的乘方法则：______________________________________________. 2、计算 （1） (2) 3.4分式的通分 学习目标：1、理解通分和最简公分母的意义。 2、会将几个分母不同的分式通分。 教学重点：确定最简公分母。 教学难点：分母是多项式的分式通分。 - 189 - 河南实验中学资料 学习与探究： 一、知识回顾 1、约分（1） （2） 想一想上面的两道题是怎样进行约分的，约分的依据是______________________________（与同桌交流自己的结果） 二、新知学习 探究一、1、回忆分数计算+的分析。 将分母不相同的、根据分数性质通分变形为分母相同的、 2、你能不改变分式的值，使分式与的分母相同吗?相同的分母是____________。你是怎样找的，把你找的相同分母与同位比较，一样吗？把你的找法说给同桌听。 上面我们进行的：不改变分式的值，使两个（或多个）分式的分母相同，这样的分式变形叫分式的通分。 问题：你能类比分数的通分，不改变分式的值，使分式与的分母相同吗？小明找的公分母是，小丽找的公分母是，小红说他她们两个找的都对。你同意小红的看法吗？（小组内讨论） 小小展示台：小红说的对。因为分式与的公分母有很多，是其中最简单的一个，叫做分式的最简公分母。我们在以后通分的过程中要找分式的最简公分母。 例题，把下列各题中的分式通分： （1）与 (2) 与 - 189 - 河南实验中学资料 分析（阅读）：（1）由分母和找最简公分母，因为两个分母的系数分别为2和3，所以最简公分母的系数是6（系数的最小公倍数）(找系数)；两个分母中，出现的所有字母、、（找字母）；字母的最高次数分别是2、2（找指数）；所以最简公分母是，其中乘以变为，乘以变为。 解：分式与 的最简公分母是 == == 仿照（1）题的分析与解答，完成（2）题。 总结你的方法：（1）确定最简公分母的方法是____________________。 (2)与分数的通分作比较，看看有什么共同点（完成后同桌交流） 对应训练一： 填空：分式与的最简公分母是____________,通分后这两个分式分别是____________与_________. 探究二、把下列各组分式通分： （1）与 (2)与 分析：分母是多项式的两个分式通分，能分解因式的先分解因式。分解因式为_______________,所以最简公分母的系数是_____________,两个分母中出现的因式有（找因式），因式的最高次数分别是1、1（找指数），所以最简公分母是。 - 189 - 河南实验中学资料 解：分式与的最简公分母是 = == 仿照（1）的分析与解答完成（2）题。 总结你的方法：（1）分母是多项式的分式通分时首先要_____________,把每个因式当做一个因数（或一个字母），再按照单项式求最简公分母的方法通分。 对应训练二： 把下列各式中的分式进行通分： （1）与 （2）与 三、谈谈自己的收获：小组内交流。 四、达标检测 1、填空、 分式与的最简公分母是________,通分后这两个分式分别是___________与__________。 2、求最简公分母时，若各分母的系数都是整数，则最简公分母的系数通常取____________。 A、各分母系数的最小者 B、各分母系数的最小公倍数 C、各分母系数的公倍数 D、各分母系数的最大公约数 3、把下列各式中的分母进行通分： - 189 - 河南实验中学资料 （1）,, (2), (3)， （4）， 拓展提升：通分 与 3.5分式的加法与减法（1） 目标：1、了解并掌握同分分式加减法法则。 2、会利用同母分式加减法法则熟练的进行同母分式加减法计算。 重点：了解并掌握异分母加减法法则。 难点：把绝对值相等的分母变换为同分母。 导学过程： 学习与探究 一、情景导航： 思考下面的问题并填空： 甲、乙两捆相同型号的电线，质量分别为m和n千克（m>n），如果这种电线每米的质量为a千克，那么这两捆电线的长度相差___________米。（你怎样计算的，与同学交流） 问题：怎样把上题的最后结果写成一个分式的形式呢？ 探究一： 1、知识回顾、探求新知 计算： 请想一想：同分母分数相加减的法则是：分母________，子______________。 - 189 - 河南实验中学资料 2、请仿照同分母分数相加减法则，尝试计算： ，，并分别取a=3,x=4,检验你的计算方法是否正确。 你能类比得到同分母的分式相加减的法则吗？说给你的同桌听。 小小展示台：同分母的分式相加减，分母___________,分子___________。用式子表示是： 对应练习一：理解应用、体验成功 计算：(1)+ (2) (3) （4） 探究二、（1）分式与分母相同吗？怎样变换后可化为同分母？ （2）分式与呢？与呢？ 思考后小组内交流 小小展示台： - 189 - 河南实验中学资料 归纳总结： = 1、讲解例题 （1）+ （2） 分析：分母与 相同吗？把变换为可化为同分母。 解：+ =（把变换为，同时把负号变为分式本身的符号） =（分子相加减时，注意把分式的分子加括号） =（化简分子） = 仿照例1的分析与解答完成（2）总结你的解题方法（小组内交流） 对应练习二：（1） （2） 小小展示台： 1、分母是互为相反数时，通过变号转换。 2、“分子相加减” - 189 - 河南实验中学资料 是指分子的整体相加减；分子是多项式时，减式一定要加上括号。 3、计算的结果必须化简。 例2、计算： （1）+ （2） 解：（1）+=+（把看做一个整体，分母为1） =+（通分） = （分式加法法则） = =（化简结果） 仿照（1）的解答完成（2）总结你的经验方法（与同桌交流） 我的方法是：分式和整式相加减，可将整式看成分母为1，然再通分进行加减。 对应训练三： 1、计算（1）1 （2） 2、把情景导航题的最后结果写成一个分式的形式_________________。 三、清点收获（小组内交流） - 189 - 河南实验中学资料 四、当堂检测（看谁学的好） 1、下列计算正确的是（ ） A B C D + 2、化简的结果是（ ） A B C D 3、计算（1） （2） 五、能力提高 计算： 3.5 分式的加法和减法（2） 学习目标：1、了解并掌握异分母分式加减法法则 - 189 - 河南实验中学资料 2、会利用异分母分式加减法法则熟练的进行异分母分式加减法计算。 重点：了解并掌握异分母加减法法则。 难点：确定最简公分母。 导学过程： 一、情景导航 小亮和小营练习用电脑打字，小亮每分钟打a个字，小营每分钟比小亮多打20个字，当他们都打完3000字时，小亮比小营多用了_________分钟？你是怎样计算的，与同学家交流。 问题：怎样把此题的最后结果写成一个分式的形式呢？ 二、探究一 （一）知识回顾 1、通分（1）， （2）， 回想：怎样确定最简公分母。 2、计算; 想一想：异分母分数相加减的法则是：异分母分数相加减，先________,变为同分母的分数，后再加减。 3、请仿照异分母分数相加减的法则计算情景导航中问题的结果，并取a=30,检验你的计算方法是否正确。 你能类比同分母分数加减法法则，试着说出异分母分式相加减的法则吗？（说给你的同桌听） 小小展示台：异分母的分式相加减，先把它们___________然后再加减。 用式子表示： （二）探究新知 1、自学P65例2 自学要求：1、先确定最简公分母再通分 2、分子相加减后要化简分子 - 189 - 河南实验中学资料 3、最后结果为最简分式或整式 对应练习一：计算 （1） （2） （3） 2、例题分析 例3（1） (2) 分析：先确定最简公分母，再通分，最后计算。 （1） =（把分母中的多项式提负号变换，并把分母因式分解） =（通分） =（同分母分式相减法则） =（化简分子） =（化简分子） =（化为最简分式） - 189 - 河南实验中学资料 仿照（1）的方法解答（2）并说出每一步的依据。 总结你的方法 （1）解题的步骤是___________________________。 （2）常出现的错误是__________________________________。 思考后小组内讨论交流。 对应训练二： 1、 （2） 三、当堂训练： 计算：（1） （2） （3） 四、清点收获：（看谁的收获大，包括你的“得”与“失”，小组内交流） 五、达标检测： 1、异分母分式加减法关键是确定___________后通分 2、多项式分母能分解因式的应先___________ 3、计算：（1） （2） 4、神舟号客轮在静水中航行的平均速度为千米／时，长江水流的速度为千米／时 - 189 - 河南实验中学资料 ，武汉到上海的水上距离为s千米，如果这艘客轮从武汉开往上海后停留6个小时，然后返回武汉，那么往返一次所用时间是多少？ 六、拓展提升 阅读后解答问题： 分式进行混和运算时，要注意运算顺序；在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减；有括号要按小括号，再中括号，然后大括号的顺序，混合运算后的分子分母要进行约分。 先化简，再求值： 其中= ，=-. 3.6 比和比例 （1） 学习目标：1、理解比和比例的意义。 2、会化简比，求比值，根据比值解决问题。 3、掌握比例的基本性，初步会用它进行简单的比例变形。 教学重点：会化简比，求比值,掌握比例的基本性 教学难点：根据比例的基本性质进行简单的比例变形。 导学过程： 一、情景导航 某种消毒液的说明书上注明：当对水果、蔬菜消毒时，该消毒液与所加清水的比为1：1000，你知道这里1：1000的含义吗？ 八年级一班男、女人数的比是4：3，你知道这4：3的含义吗？请猜想，讨论。 - 189 - 河南实验中学资料 二、合作探究 （一）1、预习导学：自学课本P69；例1上面的内容，并完成下列问题。 （1）举例说明，什么是比、比的前项、比的后项。 （2）怎样表示a与b的比？自学完毕后与同学交流。 探究一1、观察下列两式的计算 （1）5：10= （2)0.9：0.6= 想一想：我们在小学学过的求两个数的比的方法是：先把两个数的比写成两个数_____________的形式，再约分、化简。 3、请仿照求两个数的比值的方法求下列各式的比 （1）18a：16b (2)50x：15 总结你的方法是：（1）先把比写称分式的形式 （2）确定公因式 （3）约分 4、例题讲解：把下面比写成分式的形式，并化简。 （2x+2y）：() (2)a:() 解：（1）（2x+2y）：() =（写成分式的形式） =（分子分母因式分解） = （约分） 仿照（1）的方法解答(2) - 189 - 河南实验中学资料 对应训练一、把下面的比写成分式的形式，并化简。 （1）35： (2): (3)():() 5、按照自学要求自学P69例1、例2 要求：（1）认真读题，先自己试着解答。 （2）注意例题的解题步骤。 对应训练二 1、解答情景导航中的两题 2、小亮家每月收入为2800元，如果日常生活开支的款项与储蓄款项的比为3；2，那么小亮家每月储蓄多少元？ 3、已知圆的半径=2，圆的半径=3，回答下列问题： （1）圆的周长=_____________，圆的周长=_____________ （2）：=__________ (3) :=_____________。 由（2）的结果你发现了什么？与同学交流。 （二）1、自学课本P70例3上面的内容后回答问题。 （1）什么是比例？ （2）在比例式a:b=c:d或=中，比例的外项是_________,比例的内项是________. （3）比例的基本性质是_________. 2、探究。一 （1）比例的基本性质：如果a:b=c:d那么ad=bc(ad - 189 - 河南实验中学资料 0)观察等式中的a、d是比例的__________项，b、c是比例的_____项。 由此你能用一句话来表达比例的基本性质吗？ （2）比例式=，由比例的基本性质得3x=2y。如果把等式3x=2y的两边同时除以3y，那么你的结论是_________________. 请仿照上面的方法把等积式ad=cb写成比例式为_______.请你再举例验证你的结论。 （3）已知比例式=，由比例的基本性质得_______________。当比例的内项都是b时，我们一般的把b叫做a、c的比例中项。（小组内交流，展示上题结果） 小小展示台: (1)比例的基本性质可用一句话表示为：比例的两内项之积等于两外项之积。 （2）如果ad=bc，那么 （3）如果=，那么 对应训练三：看谁学得好 （1）已知，则=_________。 （2）已知x是5和6的比例中项，则=________。 （3）把写成比例式为_____________。 探究二 做上面的（3）题时，小红的比例式是，小丽的比例式是，你能判断谁做得对吗？ - 189 - 河南实验中学资料 分析（阅读）：他们两人做得都对。由等积式写成比例式后，再用比例的基本性质能变为原来的等积式就写对了。 由等积式可以写出八种比例形式。请你试一试相信你能行。（提示：变形时要按照左：右=右：左的方式写出四个，再由等式的对称性写出四个） 对应训练四： 1、请由快速说出四个比例式。 2、若a、b、c、d表示四条线段，请判断下列各条线段对应成比例吗？ （1）a=12 ,b=8,c=15,d=10 (2)a=4,b=6,c=5,d=10 3、已知2a=3b，则=_____。 三、清点收获：（这节课学习了很多知识，请认真清点，小组内相互补充，相互提示） 四、当堂检测： 1、如果，那么________________.（等积式） 如果，那么________________.（等积式） 如果ad=bc，那么_________________.(比例式) 如果,那么________________.(比例式) 2、某班有30名男生，24名女生，男、女生人数的比是__________男生与全班人数的比是___________. 3、填空：（1）若，则. (2)若，则. 拓展提升: - 189 - 河南实验中学资料 如果两个三角形的三条边分别对应成比例，那么这两个三角形相似，和的边长AB=8,BC=10,AC=6;DE=4,EF=5,DF=3，则和相似吗？ A B C D E F 3.6比和比例（2） 学习目标：1、了解比例的合、分比性质及等比性质。 2、能够熟练运用比例的基本性质进行计算。 3、培养学生将比例式看成是关于未知数的方程的观点，利用方程思想解决问题。 教学重点：比例基本性质的应用。 教学难点：比例其他性质的探究。 导学过程： 一、知识回顾： 1、什么是比例？ 2、比例的基本性质是： 如果a：b=c：d,那么______________, 如果a：b=b：c，那么____________, 如果 ad=bc，那么________________, 如果 ，那么_____________。 二、探究新知： （一）问题：你能由得到和吗？ - 189 - 河南实验中学资料 解：把两边同时加1，得 等式两边分别通分得： 所以 当a=2,b=4,c=3,d=6时请验证上面的等式是否成立？ 仿照上面方法求：，并验证。 归纳总结：由得到和，我们分别把它们叫做合比性质和分比性。 对应训练一 1、已知，求 （二）自学P70例3 要求：1、注意解题步骤 2、想一想例3能否利用其他方法解答？ 小小展示台：（1）的新解法由2a=3b,得 所以a：b=a：=3:2 2、（2）的新解法： 解法一：可以用（1）的新解法，变形代换求值。 解法二：可以用分比性质， - 189 - 河南实验中学资料 由=得 所以 所以a:b=2:1 对应训练二： 填空：1、如果3b-4a=0,且b0,那么a:b=____. 2、，求的值。 （三）讲解例4：人在月球上和在地球上的重力是不同的，二者的比是1：6，如果一名宇航员在地球上的重力为750牛，那么他在月球上的重力为多少？ 分析：月球上的重力：地球上的重力=1：6 ，则宇航员在月球上的重力：宇航员在地球上的重力=x:750 所以可列式为1：6= x:750，或x:750=1：6 要注意比的顺序不能颠倒。 解：设该宇航员在月球上的重力为x牛，由题意得： x:750=1：6 根据比例的基本性质得 6x=750 解得 x=125 所以，该宇航员在月球上的重力是125牛。 对应练习三 在一张放大的蜻蜓图片上，量得蜻蜓双翼伸展开的宽度是a cm,已知该图片的比例尺是1：0.2，求蜻蜓双翼伸展开的实际宽度。 - 189 - 河南实验中学资料 （四）学习例5（2）题 （2）已知且a、b、c都是正数，求的值 解：设=k,可以看出k>0 那么，， 所以a=2k,b=3k,c=4k(把a、b、c用k来代换) 所以=（比的前项和后项变为只含有k的态式） =（化简） =（约分） 试一试，你准行! 仿照例题解答下题： 已知其中b、d、f均不为零，且，比与相等吗？（把你的解题过程，展示给小组内的同学听） 对应练习四：1、已知=，且a+b+c0. (1)求的值 （2）求的值。 - 189 - 河南实验中学资料 三、清点收获（小组内讨论看谁的收获多） 四、达标检测: 1、已知x的与y的值相等，求x:y 2、已知求的值。 3、已知且a+b+c0.求 4、在比例尺为1：8000000的中国地图上，量得上海与福州的距离是7.5cm,这两地的实际距离大约是多少千米？ 拓展提高： P72挑战自我的结果是=，你能仿照这个题的做法来推导比例的另一性质——等比性质吗？ - 189 - 河南实验中学资料 已知=…= 其中0，求 3.6比和比例（3） 学习目标：1、理解连比的意义。 2、能够熟练的解决连比问题。 教学重点: 熟练的运用连比解决问题。 导学过程： 一、情境导入，探求新知。 1、甲、乙、丙三人合伙经营水果，去年底按投资的比例进行分红，甲分红得5万元，乙分红得4万元，丙分红得3万元。思考下列问题： （1）甲的分红:乙的分红=________； 乙的分红:丙的分红=________. （2）按照上面的结果，可以把甲、乙、丙三人的分红比写成 甲的分红: 乙的分红:丙的分红=____:____:____。 你知道这种写法有什么优点吗？与同学讨论。 在“甲的分红:乙的分红”与“乙的分红：丙的分红”这两个比例中，“乙的分红”相同的，也就是说前一个比例的后项与后一个比例的前项是相同的，因而可以把这两个比例连起来写在一起，得到 甲的分红: 乙的分红:丙的分红=5：4：3 这种形式叫做连比。 请举出现实生活中应用连比的例子，与同学交流。 2、求连比 学习例6：如果a:b=4:5,b:c=2:1,求连比a:b:c. 分析：在比4;5与2：1中，前一个比例的后项与后一个比例的前项不同，这时要确定5与2的最小公倍数是10，即可解答。 - 189 - 河南实验中学资料 解法一：因为a:b=4:5=8：10，（比例的前项和后项同乘以2） b:c=2:1=10:5 （比例的前项和后项同乘以5） 所以a:b:c=8:10：5 解法二：把a、c都用b来代换。（请自己尝试解答） 总结求连比的方法：（小组内讨论） (1)求最小公倍数法 （2）变形代换法 第一种解法较为简洁，建议用第一种解法。 对应练习一 已知x:y=2:3 y:z=4:7 求连比x:y:z 3、连比的应用 自学例7 自学要求：（1）读题后先自己解答。 （2）然后看课本上的解题过程，找出自己的不足之处。 三角形的周长为52cm，三边长的比是3：4：6，求三边的长。 对应练习二： 今年植树节，七、八、九年级的同学共植树480棵，已知三个年级植树棵数的比是4：5：7，三个年级各植树多少棵？ 二、当堂训练： 1、已知a:b=:,b:c=:，求a:b:c - 189 - 河南实验中学资料 2、在数理化竞赛中，小亮三科成绩的总分为240分，各科分数的比例为9：8：7,小亮各科成绩分别为多少？ 三、清点收获：小组内讨论 四、达标检测; 1、已知a:b=5:4,b:c=6：2，求a:b:c。 2、三角形三个内角度数的比为1：2：3，则这个三角形是（ ） A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定 3、纸箱里有红黄绿三色球，红球与黄球的比是1：2，黄球与绿球的比是5：4，纸箱内共有66个球，问三色球个有多少个？ 能力提高：制作某种蛋糕的原料有面粉、鸡蛋、和糖，如果这几种原料的比为11：8.5：4.5，现在有面粉600克，需要鸡蛋和糖各多少？ 分式单元复习 学习目标：1、复习梳理本章的主要知识点，及应注意的问题。 2、通过典型例题讲解和对应练习，使学生对本章知识达标。 - 189 - 河南实验中学资料 教学重点：知识梳理及典型例题讲解。 教学难点：解题时应注意的问题。 导学过程： 一、知识梳理（请回想下列问题，若想不起来，可以查找课本） 1、五个概念： （1）分式： （2）最简分式： （3）最简公分母： （4）比例： （5）分式方程： 2、两个性质 （1）分式的基本性质： （2）比例的基本性质： 3、两个法则 （1）分式的乘除法则 （2）分式的加法、减法则 二、解题时应注意的问题 1、分式的“值为零”与分式“无意义”。 分式的值为零一定要满足两个条件（1）_________________________； （2）_________________________________. 2、分式的运算过程中一定要注意符号的变化 3、利用比例的基本性质解决实际问题时，一定要注意比的顺序 4、解分式方程一定要验根。 三、典型例题讲解 例1 当a取何值时，分式 （1）值为零 （2）分式有意义 解：= 即a=4或a=时，分式的值为零。 （2）当=0时即时，分式无意义。 - 189 - 河南实验中学资料 故当时分式有意义。 变式训练一 当a为何值时的值（1）为正（2）为零。 例2 计算（1） （2） （1）题分析：当出现态式和分式混和运算时，一般把整式看做分母是_____的式子，然后通分进行计算。 解： 原式= = = = = = （2）题分析：解此题时，一定要注意_____________的变化，以免出现错误。 解：原式= = = - 189 - 河南实验中学资料 = 对应训练一： 计算： 例3、计算 分析：分式的混和运算一般是按顺序进行计算。 解：原式= = = = 你还能用其他方法计算吗？(小组内讨论) 小组展示：利用乘法的分配率计算更简便。 请你试着用上述方法来计算。 对应训练二：计算（用两种方法计算） 四、反思交流：（小组内讨论） 1、说出本章的主要知识点； 2、总结出自己的易出错的地方； - 189 - 河南实验中学资料 3、说出自己在学习本章后好的经验、思想、方法。 五、当堂检测 1、当x____时，分式有意义。 2、当式子的值为零时，x的值是（ ） A、5 B、 C、或5 D、或5 3、计算：=________ 4、计算：=________ 5、在分式（1） （2） （3） （4）中，最简分式的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 6、将分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ） A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、扩大2倍 D、不变 7、已知，求. 8、化简：的结果是________。 9、已知a：b=3：7，b：c=2：5,求连比a:b:c=_______ 10、方程的解是______。 11、某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比为1：8，今年夏天由于家电销售量明显增多，家电部经理从销售人员中调了22人去送货，结果送货人员与销售人员的人数之比为2：5，求这个商场家电部原来各有多少名送货人员和销售人员？ - 189 - 河南实验中学资料 能力提升：化简求值 ，其中a满足：=0 3.7分式方程（1） 学习目标：1、理解分式方程的概念。 2、掌握分式方程去分母的方法、体会转换思想方法。 3、会解分式方程。 学习重点：分式方程的解法。 学习难点：把分式方程转换为整式方程。 导学流程： 一、知识回顾 （1）是什么方程？ （2）怎样解这个方程？ （3）怎样检验求出的x的值是不是方程的解？ 二、探究新知 (一)探究一 问题一：王师傅承担了310个工件的焊接任务，加工了100个工件后开始采用焊接新工艺，功效提高到原来的1.5倍，共用八天完成了任务，如果不采用新工艺，王师傅还有多少天才能完成任务？ 分析：如果设采用新工艺前王师傅每天焊接x个工件，那么加工100个工件需要______天，采用新工艺后王师傅每天加工_____个工件，加工剩余的工件用了_____天，根据题中的等量关系，可得出方程_________________。 - 189 - 河南实验中学资料 问题二：甲乙两班的同学参加植树，乙班每小时比甲班多植3棵树，甲班植60棵树时，乙班植了66棵树，甲乙两班每小时各植多少棵？ 若设甲班每小时植树x棵，那么根据题中的等量关系可列出方程 _________________________。 思考：（1）这两个方程是一元一次方程吗？ （2）这两个方程有什么共同点？ 与你的同伴交流你的探究结果。 总结：___________________________________________的方程式是分式方程。 对应训练一 下列方程中，哪些是分式方程？ （1） （2） （3） （4） （二）类比方程的解法 （1）你认为上面问题1中的分式方程+，应先怎样做呢？ （2）试试看，你能否求出未知数的值 （3）怎样检验你求出的未知数的值是否是分式方程的解？ 思考后与小组内的同伴讨论。 （三）自学P77-78例1、例2 自学要求：1、掌握解分式方程 2、自学后归纳总结：解分式方程的基本思路是将分式方程化为________方程。具体做法是“____________________”即方程两边同乘以_______________。 对应训练二 解下列分式方程 （1） （2） - 189 - 河南实验中学资料 当堂训练： 1、下列分式哪些是分式方程？ （1）x+y=5 （2） （3） （4） （5） 2、解下列分式方程 见课本P78 2、3 3、一个分数的分子比分母小2，当分子分母都加上3时，这个分数等于，求这个分数（只列出方程） 四、反思交流：比一比谁的收获大。 五、当堂检测： 1、关于x的方程（1） （2） （3） （4） （5） （6）中，分时方程有_____________（填序号）。 2、解分式方程 （1） （2） - 189 - 河南实验中学资料 3、在正数范围内定义一种运算*，其规则为a*b=,则当x*(x+1)时，x=__________. 六、拓展提升： 已知：x=3是方程的解，求m的值。 3.7分式方程（2） 学习目标：1、了解分式方程可能产生增根的原因，并掌握验根的方法。 2、掌握解分式方程的步骤，会解可化为一元一次方程的分式方程。 学习重点：分式方程的解法。 学习难点：解分式方程可能产生增根原因的理解。 导学流程： 一、知识回顾: 1、什么是分式方程？ 2、解下列分式方程： （1） （2） 二、探求新知： （一）议一议：1、解方程（2），求出x的值是多少？ 2、求出的x的值是否是方程的解？你遇到了什么问题？ 3、出现这种结果的原因是什么？ 思考后小组内讨论 - 189 - 河南实验中学资料 小小展示台： 在方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做____________，产生的原因是_______________________，所以在解分式方程时必须要__________________，具体方法是______________________________，如果出现增根要___________________________。 （二）自学P79 例4 自学后完成思考：1、怎样找最简公分母？ 2、解分是方程的步骤是怎样的？ 对应训练一： 解下列分式方程 （1）= （2） （3） （4） （三）补充例题 例：如关于x的方程有增根，求m的值。 思考：1、方程有增根，增根一定是___________。 - 189 - 河南实验中学资料 2、能把增根带入原方程求m的值吗？那应该怎样求m的值？与小组内的同伴讨论交流，然后自己完成解答过程。 小结：解决这类问题一般分为三步，（1）先确定分式方程可能有的增根，（2）把原方程化为整式方程，（3）把增根带入整式方程求解。 对应训练二、 若方程无解，求m的值。 三、交流反思：比一比谁的收获大。 四、当堂检测： 1、选择一组a、b的值，写出一个关于x的形如的分式方程，使它的解为0.这样的方程可以是___________________。 2、解下列方程： （1） （2） 3、分式方程有增根，求m的值。 五、拓展提高： 关于x的分式方程，下列说法正确的是（ ） A、方程的解为x=m+5 B、m>-5时，方程的解是正数 - 189 - 河南实验中学资料 C、m<-5时，方程的解是负数 D、无法确定 3.7分式方程（3） 学习目标：能用分式方程表示实际问题中的等量关系，并会解决一些简单的实际问题。 学习重点：会列分式方程解决实际问题。 学习难点：用分式方程表示实际问题中的等量关系 导学流程： 一、知识回顾：列方程解应用题的步骤是什么？ 二、探究新知 （一）自学P80 例5 自学要求：1、注意解题步骤 2、从条件出发，还可以探求哪些未知量？ 3、设出其中的一个未知量，列出方程求解。 学生思考，讨论交流 （二）例6：阳光小区有A型和B型两种住宅出售，A型与B型住宅每平米的价格分别是全楼每平方米平均价格的1.1倍与0.9倍，而且A型比B型的面积少40平方米。如果A型与B型两种住宅的售价分别为33万元与36万元，求全楼每平方米的平均价格。 按照题意，思考下面的问题，并与同学交流。 （1）如果设全楼每平方米的平均价格为x元，那么A型住宅与B型住宅每平方米的价格分别是多少？ （2）A型住宅与B型住宅的面积分别是多少？ （3）根据“A型比B型的面积少40平方米”这个等量关系，列出的方程是________________________________。 （4）你会解这个方程吗？试一试。 去分母，即两边都乘_____________________， 得到______________________。 解这个方程，得x= _________________。 （5）怎样检验它是不是方程的根？ （6）你得到的答案是什么？ - 189 - 河南实验中学资料 （7）列分式方程解应用题的步骤是怎样的？ 根据例6提供的信息编制另外一个用分式方程解决的问题，并做出解答与你同学交流 三、反思交流：比一比谁的收获大 四、当堂检测 1、、2见P82练习：1、2 2、甲制作180个机器零件与乙制作240个机器零件的时间相同，如果两人每小时制作机器零件的个数是70个，那么每小时两人各制多少个？ 五、拓展提高： 大刚家、王老师家与学校在同一条马路上，大刚家距离汪老师家3千米，王老师家距学校0.5千米，大刚腿摔伤以后，王老师每天骑自行车接大刚上学，已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的三倍，他每天比平时步行上班多用20分钟，求王老师步行的速度与骑自行车的速度。 - 189 - 河南实验中学资料 第3章分式达标检测试卷 （时间：90分钟，满分120分） 一、选择题 1、将分式中的都扩大3倍，那么分式的值 （ ） A、变为原来的3倍 B、不变 C、变为原来的9倍 D、无法确定 2、无论取何值，下列分式总有意义的是 （ ） A、 B、 C、 D、 3、下列代数式：。其中整式和分式的个数分别为 （ ） A、5，5 B、6，4 C、8，2 D、7，3 4、下列所求最简公分母错误的是 （ ） A、与的最简公分母是10 B、与的最简公分母是 C、与的最简公分母是9 D、与的最简公分母是 5、下列约分正确的是 （ ） A、 B、 C、 D、=0 6、化简的结果是 （ ） - 189 - 河南实验中学资料 A、 B、 C、 D、 7、某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道。为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了25%，结果提前了8天完成任务。设原计划每天铺设管道米，根据题意，则下列方程正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 8、若，则的值是 （ ） A、1 B、 C、 D、 9、甲从A地到B地要走h,乙从B地到A地要走h,甲、乙二人同时从A、B两地想相向而行，相遇需 （ ） A、h B、h C、h D、h 10 、关于的分式方程，下列说法正确的是 （ ） A方程的解是 B、>-5时，方程的解是正数 C、<-5时，方程的解为负数 D、无法确定 二、填空题 11、已知当时，分式无意义， 当时，此分式的值为零；则____________. 12、化简：_____________. 13、若分式方程有增根，则___________. 14、如果+，那么A=________,B=_________，c= 。 - 189 - 河南实验中学资料 15、若分式的值为正数，则整数_________. 16、某校进行爱国主义教育，组织八年级学生到距学校15千米的烈士陵园参观学习。一部分学生骑自行车先走40分钟，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是自行车的3倍，求骑自行车的速度。如果设自行车的速度为千米/时，那么所列的方程为__________________. 17、若，，则_____________,________。 18、若，则_________. 19、已知：：,：：,则：：=__________________ 20、观察下列各式：,…，想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设为正整数，用关于的代数式表示这个规律为__________________________________。 三、解答题 21、计算下列各题： （1） （2） 22、解分式方程： 23、已知，求的值。 - 189 - 河南实验中学资料 24、为了支援四川人民抗震救灾，休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成。 （1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷_________顶； (2)生产两天后，公司又从其他部门抽调了50名工人参加帐篷生产,同时，通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务。求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？ 25、观察下列各式：；… （1）猜想它的规律，把表示出来； （2）用你得到的规律，计算…+的值 - 189 - 河南实验中学资料 答案 分式的基本性质1 当堂训练： 1、 2、整式：，，，；分式：， 3、（1）x3时分式有意义，x=6时分式的值为0， （2）x时分式有意义，x=18时分式的值为0. 4、 达标检测：1、B 2、C 3、D 4、，x=2 能力提高：1、x= 2、， 分式的基本性质2 知识回顾： 1、整式有：，，，；分式：， 2、2， ， 对应训练一：（1）相等 （2）相等 对应训练二：1、（1） （2） （3） 当堂训练： 1、（1）相等 （2）相等 （3）相等 （4）相等 2、（1）不对 （2）不对 3、（1） （2） （3）pa 当堂检测： 1、乘（或除以）同一个不等于0的整式 2、A 3、A 4、 - 189 - 河南实验中学资料 拓展提升： 3.2分式的约分 知识回顾：1、（1） （2）a 练一练：1、（1）不正确 （2）不正确 （3）正确 2、B 练一练：（1） （2） 达标检测： 1、（1） 2、， 3、（1） （2） （3） 能力提高：（1）正确 （2）正确 （3）不正确 3.3分式的乘法与除法 对应训练一：（1）1 （2） （3） （4） 对应训练二：（1）2 （2） 当堂训练： 1、（1） （2） （3） （4） 2、（1） （2） 3.4分式的通分 知识回顾：1、 2、 对应训练一： ；， 对应训练二： 1、（1）与（2）与 达标检测： - 189 - 河南实验中学资料 1、；， 2、B 3、（1），， （2）， （3）， （4）， 拓展提升：， 3.5分式的加减（1） 对应训练一：（1） （2） （3）1 对应训练二：（1）1 （2）3 对应训练三：1、（1） （2） 2、（1） （2） 当堂检测：1、B 2、D 3、（1） （2） 能力提高：a 3.5分式的加法与减法（2） 知识回顾： 1、（1）， （2）， 对应训练一：（1） （2） （3） 对应训练二：1、（1） （2） - 189 - 河南实验中学资料 当堂训练：（1） （2） （3） 达标检测： 1、最简公分母 2、因式分解 3、（1） （2） 4、 拓展提升：化简： 代入求值得 3.6比和比例（1） 对应训练一： （1）= （2） （3） 对应训练二： 1、稀释后消毒液的清水占，消毒液占稀释后消毒液的；男生占总人数的，女生占总人数的。 2、（元） 3、（1）4，6 （2）2：3， 2：3 对应训练三：1、20 2、30 3、a：b：c 对应训练四： 1、 ， ， ， 2、（1）能 （2）不能 3、 当堂检测： 1、，，， 2、 5：4 3、(1) （2） - 189 - 河南实验中学资料 拓展提升：因为,, 所以 所以与相似。 比和比例2 对应训练一： 对应训练二：1、3：4 2、3 对应训练三：0.2a cm 对应训练四：1、（1） （2）7 达标检测：1、3：2 2、 3、 4、600km 比和比例3 对应练习一：8：12：21 对应练习二：120、150、210 当堂检测：1、6：4：5 2、90、80、70 3、， 达标检测：1、5：4：12 2、B 3、12、24、30 分式单元复习 变式训练一：8：12：21 对应训练二： 当堂检测：1、1 2、B 3、1 4、 5、B 6、D 7、 8、 9、15：35：14 10、 11、14、112 能力提升：化简得 因为 所以 所以原式=1 分式方程1 对应训练一：（1） （2） （3） （4） 对应训练二：（1） （2） - 189 - 河南实验中学资料 当堂训练：1、（3）（4）（5） 3、设分子为x列方程 当堂检测：1、（2）（4）（5） 2、（1）x=1 （2）x=0 3、 拓展提升：m= 分式方程2 对应训练一：（1） （2）x=3 （3）x=10 （4）x=5 对应训练二： 当堂检测：2、（1） （2）x=12 3、m=0 分式方程3 当堂检测：3、甲30个 乙40个 第3章分式达标检测试卷 一、1—5 ADCBA 6—10ABCDC 二、11、2；12、；13、2；14、0，-2，2；15、2或3；16、； 17、；18、；19、1：2：10 ；20、 三、21、（1）、 （2）、；22、；23、化简得； 求值得；24、（1）2000（2）750名。25、（1）（为正整数）（2） 第4章 样本与估计 4.1 普查与抽样调查 学习目标 1.了解并掌握：普查、抽样调查、总体、个体、样本、样本容量， - 189 - 河南实验中学资料 这些基本概念. 2. 在调查中，会选择合理的调查方式。 学习重点 选择合适的调查方式解决问题，同时了解有关概念。 学习难点 能根据普查与抽样的特点结合具体的问题选择合适的调查方式收集数据 导学过程 一、情境导入 这里有红、黄、绿、蓝、黑、白六种颜色的积木，哪一种颜色最受你们班同学们的喜爱?恐怕有的同学会说“红”，有的同学会说“蓝”或其它颜色，意见不一.怎么办?开展调查，让数据说话吧！ 二、请你自学 1.自学内容：阅读课本P90———P91第七自然段 2.自学时间：5分钟 3.自学要求： （1）知道调查一般有两种方式：普查、抽样调查。 （2）明确以下概念： 普查；抽样调查；总体；个体；样本；样本容量。 三、疑难展示：自学过程中你有疑惑吗？把它说给大家听一听 四、小组合作交流： 活动1： - 189 - 河南实验中学资料 如果你在潍坊市的市长办公室工作，因政策需要，市长要了解全市的家庭月平均收入情况。 甲提议：组织人员到全市所有的家庭中调查； 乙提议：到市区调查100户人家。 （1）你认为它们的方案合理吗？为什么？ （2）请你也设计一个收集数据的方案，（其中要说明你调查的方式和家庭数量）你有信心完成这个任务吗？ （3）指出问题中你刚才所设计的方案属于哪种调查方式？总体与个体分别是什么？如果是抽样调查，样本是什么，样本容量是多少？ 活动2： 1、独立完成后小组内交流 2、小组代表对问题学习情况进行发言。 五、精讲点拨： 全面调查具有普遍性，调查结果准确等优点，但花费的时间长，消耗的人力、物力大，另外，有些不能进行全面调查，如调查灯泡的使用寿命，火柴的质量，炮弹的杀伤半径等具有破坏性的调查， 都不能进行全面调查。 抽样调查只考察总体中的一部分个体，因此它的优点是调查的范围小，节省时间、人力、物力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确.因此，要选择合适的方式开展调查。 六、课堂小结 1.给你一项调查的任务，你将如何选择调查的方式？ 2.通过本课的学习你还有什么体会？ 七、达标测评 - 189 - 河南实验中学资料 1、在下列调查中，分别采用哪种调查方法。 （1）我国每五年对全国1％的人口进行一次调查。 （2）为了了解八（5）班同学的视力情况，对全班同学进行视力检测。 （3）调查一批炮弹的杀伤半径。 2、某省有7万名学生参加初中毕业考试，要想了解这7万名学生的数学成绩，从中抽取了1000名学生的数学成绩进行统计分析，这个问题中 总体是 样本是 个体是 样本容量是 3、下列调查中，采用了“抽样调查”方式的是 （ ） A、为了了解某次考试试卷的质量，对全班所有学生的试卷进行分析 B、调查某一品牌5万袋包装鲜奶是否符合卫生标准 C、调查我国所有城市中哪些是第一批沿海开放城市 D、了解全班学生100米短跑的成绩 4、下列调查方式中，采用了“普查”方式的是 （ ） A、调查某品牌电视机的市场占有率 B、调查某电视连续剧在全国的收视率C、调查七年级一班的男女同学的比例 D、调查某型号炮弹的射程 八、拓展提高 - 189 - 河南实验中学资料 每天你是如何醒来的？假设你校有2000名学生，从不同班级不同层次抽取了400名学生进行调查，下表是这400名学生早晨起床方式的统计表： 起床方式 人数 别人叫醒 闹钟 自己醒来 其它 完成上表并回答下列问题： 1） 该问题中总体是 2） 样本是 ；样本的容量是 3） 个体是 4） 估计全校学生中自己醒来的人数为 人。 九、作业布置 必做题：课本p92练习1、2 选做题 在下列问题中为了得到数据是采用普查还是抽样调查 1） 为了买校服，了解每个学生衣服的尺寸。 2） 某养鱼专业户为了了解鱼塘中鱼的平均质量。 3） 商检人员在某超市检查出售的饮料的合格率 4） 某班拟组织一次春游活动，为了确定春游的地点，向全班同学进行调查。 4.2 样本的选取 学习目标：1.进一步明确抽样调查的意义。 2.知道怎样选取一个样本。 3.在抽样调查中，会设计调查方案，发展统计意识。 - 189 - 河南实验中学资料 学习重点：样本选取的合理性。 学习难点：在抽样调查中调查方案设计。 导学过程 一、情境导入 为了了解你所在地区老年人的健康状况，你准备怎样收集数据？采用全面调查还是抽样调查？若采用抽样调查，如何使样本的选取有广泛性和代表性，如何使所收集到的数据更真实、可靠地反映总体情况？ 二、合作交流 为了了解你所在地区老年人的健康状况，小明、小颖、小华三位同学分别采取了下列调查方式： 小明：在公园里调查了1000名老年人，他们一年中生病的次数如下表： 生病次数 人数 1~2次 831 3~6次 146 7次以上 23 小颖：在医院调查了1000名老年病人，他们一年中生病的次数如下表所示： 生病次数 人数 1~2次 56 3~6次 233 7次以上 711 - 189 - 河南实验中学资料 问题1：比较一下小明与小颖所得数据的差别，是什么原因造成的？ 小华：调查了10名老年邻居，他们一年中生病的次数如下表所示： 生病次数 人数 1~2次 4 3~6次 5 7次以上 1 问题2：你同意他们三个人的做法吗？说明你的理由. 你认为抽样调查时应注意什么？ 三、展示反馈： 把你们小组讨论的结果说给大家听一听 小组讨论过程中你还有疑惑吗？提出来大家共同讨论 四、精讲点拨： 抽样调查要具有广泛性和代表性，即样本容量要恰当。样本容量过少，那么不能很好地反映总体的情况；如果抽取的样本过多，必然花费大量的时间、精力，达不到省时省力的目的。 为了使样本能较好地反映总体的情况，除了有合适的样本容量外，抽取时还要尽量使每一个个体都有相等的机会被抽到，所谓随机就是机会相等。 - 189 - 河南实验中学资料 总体说来抽样调查最大的优点就是在抽样过程中避免了人为的干扰和偏差，因此随机抽样是最科学、应用最广泛的抽样方法，一般情况下，样本容量越大，估计精确度就越高。 五、课堂小结 本节课主要学习的是样本的选取，选取的样本要具有广泛性和代表性，还要注到有随机性，根据精度，确定样本容量的大小，一般地说样本容量越大，精度越高 六、达标测评 1、电视台需要在本市调查某节目的收视率，每个看电视的人都要被问到吗？对一所中学学生的调查结果能否作为该节目的收视率？你认为不同地区、不同年龄、不同文化背景的人所作的调查结果一样吗？ 2.课本习题2 七、拓展提高. 设计一个方案，了解你所在地区所有八年级学生最喜欢的学科. 八、作业布置 必做题：课本p95练习1、2 选做题：课本p95习题4、2 B组第4题 4.3 加权平均数(1) 学习目标：1.掌握算术平均数，加权平均数的概念. 2.会求一组数据的算术平均数和加权平均数. 教学重点：1.掌握算术平均数、加权平均数的概念. 2.会求一组数据的算术平均数和加权平均数. - 189 - 河南实验中学资料 教学难点：理解加权平均数的概念，会求一组数据的加权平均数. 导学过程 一、情境导入 为了考察八年级一班学生的视力情况，随机抽取了10名学生，测得他们的视力如下：5.0，4.1，4.2，5.2，3.6，4.0，4.2，4.1，3.8，3.7，你能计算这个样本的平均数，并由此估计八年级一班学生的视力情况吗？ 二、自主学习（一） 1.自学内容：阅读课本P96———P97 2.自学时间：5分钟 3.自学要求：（1）掌握算术平均数的定义及计算公式（2）了解数据的频数 （3）理解加权平均数的概念 三、展示反馈 自学过程中你有疑惑吗？把它说给大家听一听 四、自主学习（二） 1.自学内容：自学课本P98例题 2.自学时间：2分钟 3.自学要求：仿照例题会求一组数据的加权平均数 五、学习效果展示 把你的自学情况说给同桌听一听 六、精讲点拨： - 189 - 河南实验中学资料 1.一般地，对于n个数x1,x2,…,xn，我们把= (x1+x2+…xn)叫做这n个数的算术平均数(mean)，简称平均数，其中，读作“x拔”. 2. 加权平均数的概念 在一组数据中，一个数据重复出现的次数叫做该数据的频数。 一般地在n个数据中，如果数据x1，x2，……，xk的频数分别为f1，f2，……fk,其中f1+f2+……+fk=n,那么这n个数据的平均数为 =，这个平均数叫做这组数据的加权平均数，频数f1，f2，……fk,分别叫做数据x1，x2，……，xk的权数 七、课堂小结 回顾本节课所学内容：算术平均数、加权平均数的概念及计算. 八、达标测评 1.据有关资料统计，1978~1996年的18年间，我国有13.5万学生留学美国，请计算这18年间平均每年留学美国的人数. 2.某校八年级二班一次数学测试成绩如下：100分7人，99分5人，98分6人，95分4人，88分5人，85分5人，80分8人，79分2人，78分4人，65分2人，50分2人，试计算全班的平均成绩. 3.如果一班50名学生数学成绩的平均分为70分，二班40 - 189 - 河南实验中学资料 名学生数学成绩的平均分为80分，则两班的总平均分为多少？（保留两位小数） 九、拓展提高 某班进行个人投篮比赛，下表记录了在规定时间内投进n个球的人数分布情况： 进球数n 0 1 2 3 4 5 投进n球的人数 0 2 5 2 3 3 求该班这次投篮的平均数 十、作业布置 必做题：课本p99练习1、2 选做题：课本p105习题4、3第4题 4.3 平均数(2) 学习目标 ：1.会求加权平均数，并体会权的差异对结果的影响. 2.理解算术平均数和加权平均数的联系和区别，并能利用它们解决一些现实问题. 教学重点： - 189 - 河南实验中学资料 1.会求加权平均数，并体会权的差异对结果的影响，认识到权的重要性. 2.探索算术平均数和加权平均数的联系和区别. 教学难点：探索算术平均数和加权平均数的联系和区别. 导学过程 一、.情境导入 某市一公园在取消售票之前对游园人数进行10天统计，结果3天是每天800人，有2天是每天120人，有5天是660人，问这10天平均每天游园的人数是多少？估计本月共有多少人游园？(按30天算) 除了表示频数以外，权数还有其他的表现形式吗 二、自主学习 1.自学内容：阅读课本P99例题---- P100第二自然段 2.自学时间：5分钟 3.自学要求：（1）掌握加权平均数的计算公式 （2）仿照例题会求一组数据的加权平均数 三、展示反馈 自学过程中你有疑惑吗？把它说给大家听一听 四、合作交流 某学校对各个班级的教室卫生情况的考查包括以下几项：黑板、门窗、桌椅、地面. 一天，三个班级的各项卫生成绩分别如下： - 189 - 河南实验中学资料 黑板 门窗 桌椅 地面 一班 95 90 90 85 二班 90 95 85 90 三班 85 90 95 90 (1)小明将黑板、门窗、桌椅、地面这四项得分依次按15%，10%，35%，40%的比例计算各班的卫生成绩，那么哪个班的成绩最高？ (2)小华将黑板、门窗、桌椅、地面这四项得分依次按25%，25%，25%，25%的比例计算各班的卫生成绩，那么哪个班的成绩最高？ （3)你认为上述四项中，哪一项更为重要？请你按自己的想法设计一个评分方案.根据你的方案，哪一个班的卫生成绩最高？与同伴进行交流. （4）你认为算术平均数和加权平均数有什么联系和区别？ 五、展示反馈 从上面计算出的结果看，大家有何体会？小组代表展示答案 六、精讲点拨 - 189 - 河南实验中学资料 1.因为大家的想法不同，所以这四项所占的比份就不同，即权有差异，得出的结果就会不同，也就是说权的差异对结果有影响. 2.算术平均数和加权平均数的联系和区别： 算术平均数是加权平均数的一种特殊情况.即各项的权相等. 七、课堂小结 1.巩固加权平均数的概念及计算，体会由于权数的不同导致结果的不同. 2.体会算术平均数和加权平均数的联系和区别： 算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，即算术平均数是加权平均数.加 权平均数不一定是算术平均数. 八、达标测评 1.某市七月中旬各天的最高气温统计如下： 气温 35 ℃ 34 ℃ 33 ℃ 32 ℃ 28 ℃ 天数 2 3 2 2 1 求该市七月中旬的最高气温的平均数. 2.某校招聘学生会干部一名，对A、B、C三名候选人进行了四项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩 A B C 语言 85 95 90 - 189 - 河南实验中学资料 综合知识 90 85 95 创新 95 95 85 处理问题能力 95 90 95 根据实际需要，学校将语言、综合知识、创新、处理问题能力按20%、30%、30%、20%的比例计算成绩，此时谁将被录用？ 九、拓展提高： .某商场经理为了了解两个不同产地的同一种水果的销售情况，收集了10个省会城市的销售批发价格如下表： 产地 长沙 武汉 广州 海口 福州 昆明 南宁 南昌 南京 郑州 甲 0.85 0.83 0.90 0.90 0.88 0.86 0.82 0.81 0.95 0.84 乙 0.80 0.82 0.95 0.91 0.86 0.82 0.83 0.79 0.84 0.80 (1)哪种水果的平均批发价较高？ (2)如果你是商场经理，你将作出怎样的经营决策？ 十、作业布置 必做题：课本p100练习1 选做题：课本p101习题4、3 第5题 - 189 - 河南实验中学资料 4.4 中位数 学习目标 ：1、理解中位数的含义。 2、会正确计算一组数据的中位数 学习重点：中位数的简单运用。 学习难点：理解平均数与中位数的特点 导学过程： 一、 情境导入 问题：草地上有6个人在玩游戏，他们的平均年龄是15岁，请你想象一下是怎样年龄的6个人在玩游戏? 只有平均数能恰当地描述这个例子吗? 二、自主学习（一）1.自学内容：课本P102---103第4自然段 2.自学时间：3分钟 3.自学要求：（1）了解中位数的概念（2）会求一组数据的中位数 三、展示反馈 自学过程中你有疑惑吗？把它说给大家听一听 四、自主学习（二） 1.自学内容：课本P103例12.自学时间：3分钟 3.自学要求：（1）仿照例题会求一组数据的中位数（2）写出例1（2）的解题过程 - 189 - 河南实验中学资料 小组交流讨论：比较例1中（1）与（2）的结果你有什么发现？ 五 、展示反馈 根据小组讨论的结果，由小组代表说明平均数和中位数的特点 六、精讲点拨 描述一组数据，可以用平均数，也可以用中位数，但平均数容易受到个别极端数据的影响，而中位数则不容易受到这种影响。 七、课堂小结 （1）中位数的概念及怎样求中位数 （2）你还有什么体会？ 八、达标测评 1、在一次英语考试中,10名同学得分如下：80 70 100 60 80 70 90 50 80 70 请指出这次英语考试中,10名同学得分的中位数和平均数。 2、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：分别求这些运动员成绩的中位数与平均数（平均数的计算结果保留到小数点后第2位）. 九、拓展提高 - 189 - 河南实验中学资料 我市部分学生参加了2004年全国初中数学竞赛决赛，并取得优异成绩。已知竞赛成绩分数都是整数，试题满分为140分，参赛学生的成绩分数分布情况如下： 分数段 0－19 20－39 40－59 60－79 80－99 100－119 120－140 人数 0 37 68 95 56 32 12 请根据以上信息解答下列问题： （1）全市共有多少人参加本次数学竞赛决赛？最低分和最高分在什么分数范围？ （2）经竞赛组委会评定，竞赛成绩在60分以上(含60分)的考生均可获得不同等级的奖励，求我市参加本次竞赛决赛考生的获奖比例； （3）决赛成绩分数的中位数落在哪个分数段内？ 十、作业布置 必做题：课本p104练习1、2、3 选做题： 10名工人某天生产同一零件,生产的件数是:13 15 10 14 19 17 16 14 12 你能说出这一天10名工人所生产零件数的平均数和中位数吗？ 4.5 众数 - 189 - 河南实验中学资料 学习目标： 1、理解众数的含义2、会正确计算一组数据的众数 学习重点：众数的简单运用。 学习难点：理解平均数、中位数、众数的特点 导学过程 一、情境导入 请你当厂长 某鞋厂生产销售了一批女鞋３０双，其中各种尺码的销售量如下表所示： 计算３０双女鞋尺寸的平均数、中位数 从实际出发，请回答这两种统计特征量对指导本厂的生产是否有实际意义？ 二、自主学习（一） 1.自学内容：课本P107--108第3自然段2.自学时间：3分钟 3.自学要求：（1）了解众数的概念（2）会求一组数据的众数 同桌交流讨论：一组数据中一定会有众数吗？ 三、展示反馈 把同桌交流的疑惑说一说 四 、自主学习（二）1.自学内容：课本P108例题1、2 2.自学时间：5分钟 3.自学要求：会求一组数据的平均数、众数和中位数 - 189 - 河南实验中学资料 小组交流讨论：在什么情况下人们最关心众数、平均数、中位数 小组讨论中的疑惑，教师点拨 五、精讲点拨： 在实际问题中，平均数是最常用的指标，但不能一味的使用平均数来确定数据的特征，根据不同的实际需要，确定用平均数、中位数还是众数反映数据的特征。平均数、中位数、和众数各有所长，也各有其短。 1、用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，因而其应用也最为广泛，特别是在进行统计推断时有重要的作用，但计算时比较繁琐，并且容易受到极端数据的影响。 2、用众数作为一组数据的代表，着眼于对数据出现的频数的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响。当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量。 3、用中位数作为一组数据的代表，可靠性也比较差，但中位数也不受极端数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用他来描述其集中趋势。 六、课堂小结 1、众数的概念 2、平均数、中位数、众数各自的特点 七、达标测评 1、某商场进了一批苹果，每箱苹果质量约5千克，进仓库前，从中随机抽出10箱检查，称得10箱苹果的质量如下（单位：千克） 4.8，5.0，5.1，4.8，4.9，4.8，5.1，4.9，4.7，4.7 - 189 - 河南实验中学资料 请指出这10箱苹果质量的中位数和众数 2、某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地产西瓜600个，在西瓜上市前该瓜农随机摘下了10个成熟的西瓜，称重如下： 西瓜质量(单位：千克) 5.4 5.3 5.0 4.8 4.4 4.0 西瓜数量(单位：个) 1 2 3 2 1 1 （1）这10个西瓜质量的众数和中位数分别是 和 ； （2）计算这10个西瓜的平均质量，并根据计算结果估计这亩地共可收获西瓜约多少千克？ 八、拓展提高： 某公司职工的月工资及人数如下： 你认为该公司总经理、工会主席、普通职工将分别关心职工月工资数据的平均数、中位数和众数中的那一个？说说你的理由，并相互交流。 月工资元 10000 8000 5000 2000 1000 900 800 700 500 - 189 - 河南实验中学资料 人数 总经理1 副总2 经理3 5 12 18 23 5 2 九、作业布置 必做题：课本p109练习1、2 选做题：课本p110习题4、5 第4题 4、6 用计算器求平均数 学习目标：1、掌握用计算器求平均数的操作步骤 2、能熟练地用计算器求平均数 学习重点：熟练地用计算器求平均数 学习重点：用计算器求平均数的操作步骤 导学过程 一、情境导入 怎样用最快的方法，求下列一组数据的平均值：105，126，132，198，521，265，326，412，201，203，236，221，329，114，520 一、 自主学习1.自学内容：课本P112—113 2.自学时间：8分钟 3.自学要求：（1）掌握用计算器求平均数的操作步骤（2）会用计算器求平均数 - 189 - 河南实验中学资料 三、展示反馈 把自己的学习体会与同桌交流 四、达标检测 1、利用计算器计算下列数据的平均数： 12.8,12.9,13.4,13.0,14.1,13.5,13.7,12.4，13.9,13.8 2、英语老师布置了10道选择题作为课堂练习，小丽将全班同学的解题情况绘成了下面的条形统计图。根据图表，求平均每个学生做对了几道题？ 五、拓展提高 同桌之间各写出一组数据，交换用计算器求平均数 - 189 - 河南实验中学资料 六、作业布置 选做题：课本p116练习1、2 必做题： 利用计算器求下列数据的平均数 210、208、200、205、202、218、206、214、215、207、195、207、218、192、202、216、185、227、187、215的平均数 第4章 样本与估计（小结与复习） 复习目标： 1、掌握普查、抽样调查、总体、个体、样本、加权平均数、中位数、众数等概念。 2、知道普查与抽样调查的联系与区别，感受抽样的必要性，选取样本应注意的问题。 3、会求一组数据的加权平均数、中位数和众数 4、会用计算器求平均数 复习重点、难点： 1、 普查、抽样调查的区别与联系 2、 求一组数据的加权平均数、中位数和众数 复习流程 一、知识结构 - 189 - 河南实验中学资料 二、自主复习 复习课本第四章内容，完成下列问题 1、为一特定目的对所有考察对象所作的全面调查叫做 2、为一特定目的而对部分考察对象所作的调查叫做 3、我们将所考察的对象的 叫做总体，把组成总体的 叫做个体，从总体中所抽取的 叫做总体的一个样本，样本中 叫做样本的容量。 4、在一组数据中，一个数据重复出现的次数叫做该数据的 。 一般地在n个数据中，如果数据x1，x2，……，xk的频数分别为f1，f2，……fk,其中f1+f2+……+fk=n,那么这n个数据的平均数为 ，这个平均数叫做这组数据的加权平均数，频数f1，f2，……fk,分别叫做数据x1，x2，……，xk的权数 5、一般地，将一组数据按大小次序排列，如果数据的个数为奇数，那么位于 是这组数据的中位数； 如果数据的个数为偶数，那么位于 ，是这组数据的中位数； - 189 - 河南实验中学资料 6、一组数据中出现次数最多的数，叫做这组数据的 三、典例分析 例1 2005中考潍坊 某年北京与巴黎的年降水量都是630毫米，它们的月降水量占全年降水量的百分比如下表： （1）计算两个城市的月平均降水量 （2）写出两个城市的降水量的中位数和众数 （3）通过观察北京与巴黎两个城市的降水情况，用你所学过的统计知识解释北京地区干旱与缺水的原因。 例2、某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语、听力、笔试成绩按照2：3：5的比例来确定学生的英语成绩，小路的上述成绩分别为95分、85分、82分，则小路这学期的英语成绩是多少？ 例3 - 189 - 河南实验中学资料 ：（关于标准日产量的定额）某车间为了改变管理松散的状况，准备采取每天任务定额，超产有奖的措施，提高工作效率，下面是该车间15名工人过去一天中各自装备机器的数量（单位：台）6，7，7，8，8，8，8，9，10，10，13，14，16，16，17，管理者应确定每人标准日产量为多少台最好？ 四、巩固练习 1、某灯泡厂对生产的1000只灯泡的使用寿命进行调查，采用哪种调查方式较为合理？为什么 2、为了考察某公园一年中每天进园的人数，在其中的30天里对进园的人数进行了统计. 总体： 个体： 样本： 调查方式： 3、2005年 宁波 在航天知识竞赛中包括甲同学在内的6名同学的平均分为74分，其中甲同学考了89分，则除甲以外的5名同学的平均分为 分 4、2005年 广东 若数据8，9，7，8，x，3的平均数是7，则这组数据的众数是 5、2005年 盐城 某移动公司为了调查手机发短信的情况，在本区域内的1000位用户中抽取了10位用户来统计他们某月发送短信息的条数，结果如下表所示： 则本次调查中抽取的样本容量是 中位数是 众数是 - 189 - 河南实验中学资料 6、2005年泉州 小林在初三第一学期的数学书面测验成绩分别为：平时考试第一单元得84分，第二单元得76分，第三单元得92分，期中考试得82分，期末考试得90分，如果按照平时、期中、期末的权重分别为10%，30%，60%计算，那么小林该学期数学书面测验的总评成绩应为多少分？ 五、拓展提升 某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如 （1）求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数； 每人销售件数 1800 510 250 210 150 120 人 数 1 1 3 5 3 2 （2）假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为平均数，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由。 - 189 - 河南实验中学资料 参考答案 4、1 普查与抽样调查 达标测评： 1、（1）抽样调查（2）普查(3)抽样调查 2、某省7万名初中毕业生的数学成绩的全体；抽取1000名学生的数学成绩是总体中抽取的一个样本；某省每一名初中毕业生的数学成绩；1000 3、B 4、C 拓展提高： 填表略 （1）该校2000名学生早晨起床的方式 （2）抽取的400名学生早晨起床的方式；400 （3）该校每名学生早晨起床的方式 （4）略 4、2样本的选取 达标测评： 1、答：不需要问到每个人.对一所中学学生的调查不能作为该节目的收视率，因为他只代表了中学生这个群体的收视率，没有广泛性.对不同地区、不同年龄、不同文化背景的人所作的调查结果一定不一样.所以在调查中要注意2点：（1）样本的广泛性.（2）样本的大小. 2、略 拓展提高：略 4、3加权平均数（1） 达标测评： - 189 - 河南实验中学资料 1、解：= （人） 答：略 2、解：100×7+99×5+98×6+95×4+88×5+85×5+80×8+79×2+78×4+65×2+50×2 =4368（分） 4368÷（7+5+6+4+5+5+8+2+4+2+2）=4368÷50=87.36（分） 答：略 3、解：=≈74.44（分） 答：略 拓展提高： 解：==3（个）答：略 19、3加权平均数（2） 达标测评： 1、 解：=（℃）答：略 2、 解：A成绩：（分） B成绩：（分） C成绩：（分） 所以A将被录用。 拓展提高： 解：（1）甲产地： 0.85+0.83+0.90+0.90+0.88+0.86+0.82+0.81+0.95+0.84=8.64（元） 8.64÷10=0.864（元） 乙产地： - 189 - 河南实验中学资料 0.80+0.82+0.95+0.91+0.86+0.82+0.83+0.79+0.84+0.80=8.42（元） 8.42÷10=0.842（元） 所以，甲产地的水果平均批发价较高。 （2）尽量多进乙产地的水果，降低成本。 4.4中位数 达标测评： 1、解:中位数是75分，平均数是75分 2、解：中位数是1.7米，平均数约是1.63分 拓展提高 解：（1）300人 （2） （3）决赛成绩分数的中位数落在60－79分数段内。 4.5众数 达标测评： 1、解：中位数：4.85千克；众数：4.8千克 2、解：（1）5.0千克；5.0千克 （2）（千克） 4.9×600=2940（千克）答：略 拓展提高 解：根据上表，可得到公司职工月工资这组数据的平均数、中位数和众数分别为1387.14元、900元、800元，这三个数据分别反映职工月工资的“平均水平”、“中等水平”和“多数水平” - 189 - 河南实验中学资料 。由于各人的工作岗位、任务与性质不同，所以每人对这3个数据关注的程度也不同，比如总经理关心职工月工资，所以他感兴趣的是平均数，工会主席关心众多职工利益，他看重的是众数，而普通职工关心的是自己的收入在本公司职工群体中的位置，中位数能帮助职工了解自己的工资收入是“中上”还是“中下”水平。 4.6用计算器求平均数 达标检测 1、13.35 2、≈8 答：略 拓展提高：略 小结与复习 巩固练习 1、抽样调查。因为调查灯泡的使用寿命等具有破坏性的调查， 都不能进行全面调查。 2、总体：某公园一年进园的人数 个体：某公园每天进园的人数 样本30天进园的人数. 调查方式是抽样调查 3、71 4、7和8 5、10；84.5；85 6、87 拓展提升 （1） 平均数： =（件） 中位数：210件；众数：210件 （2）不合理。因为，平均数与这组数据中的每一个数都有关系，容易受到极端数据的影响。把众数或中位数定为 - 189 - 河南实验中学资料 每位营销员的月销售额较为合理，这是因为众数和中位数只与这组数据中的部分数据有关，不受极端数据的影响。当一组数据中的个别数据变动较大时，可用他来描述其集中趋势。 第五章 实数 5.1 算术平方根 （导学案） 一、学习目标： 1、掌握算术平方根的定义、表示和性质。（重点） 2、会求所给数的算术平方根。（难点） 二、导学过程： （一）情境导入： 问题：已知一正方形装饰板的面积是12平方米，你能帮助工人师傅算出该装饰板的边长吗？ 师：同学们，以往已知正方形的边长，我们会计算它的面积。现在的问题是知道了正方形的面积，如何去求它的边长？这些问题，在我们学习了算术平方根以后，就迎刃而解了。 （二）让我们来看本节的学习目标： （三）自主学习：（用10分钟时间自学课本126页—127页练习上部分） 自学后回答下列问题： 1、 你能叙述算术平方根的定义吗？你能找出定义中的关键词语吗？ 2、 算是平方根的表示方法，读法分别怎样？ 3、 负数有没有算术平方根？为什么？0的算术平方根是什么？ 4、 你能仿照例题求一个正数的算术平方根吗？ 提出你的疑惑： （四）展示自己 1、定义：一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记作“”，读作“根号a”。 - 189 - 河南实验中学资料 师：关键词语：“正数”，例如：3=9，实际上（-3）也等于9，但是只有正数3才叫做9的算术平方根。 2、算术平方根的表示方法：9的算术平方根表示为 4的算术平方根表示为 2的算术平方根表示为 a的算术平方根表示为(a0) 3、负数为什么没有算术平方根？ 师：因为x=a，其中a是平方运算的结果，要么是正数，要么是零，所以负数没有算术平方根。因为零的平方等于零，所以零的算术平方根零。 （五）精讲点拨 例1、求下列各数的算术平方根： ⑴、16 ⑵、0.81 ⑶、 ⑷、6 ⑸、2 点拨1：由于开平方与平方互为逆运算，因此求一个数的算术平方根主要采用平方的方法，要注意书写方法并熟记1—20的平方。 解：⑴ 4=16 16的算术平方根表示为=4 ⑸ 因为找不到一个准确数的平方等于2，所以2的算术平方根表示为 巩固练习：课本127页练习1、2 例2 求下列各式的值： ⑴ ⑵ ⑶ — ⑷ 师：I 、因为正数a的算术平方根表示为，所以（）=a - 189 - 河南实验中学资料 II、中有两个非负数（a0, 0） （六）、课堂小结：（学生自行完成） （七）、达标测评： 1、（－3）=9，那么9的算术平方根是－3吗？︱ 2、表示的意义是什么？结果是什么? －表示的意义是什么？结果是什么? 3、下列各数是否有算术平方根？ ⑴、（－2） ⑵、（－3） ⑶、0 ⑷、 －2 ⑸、－a 4、求下列各数的算术平方根： ⑴．144 ⑵、－（－3.61） ⑶、(－7) ⑷、8+(－) （八）.拓展提升： 1.填空：4的算术平方根是2. 2=4 2的算术平方根是. （ ）=２ 非负数ａ的算术平方根是．（ ）=ａ ２．当ｘ为何值时，有意义？ ３.已知︱ｘ－１︱＋（ｙ＋３）＋＝０，求ｘ、ｙ、ｚ的值。 - 189 - 河南实验中学资料 布置作业： 课本１２７页练习第１题 ，习题Ａ组第２题 5.2 勾股定理 〈导学案〉 一、学习目标： 1、了解一种勾股定理的验证方法。（难点） 2、掌握勾股定理的定义、表示、变形及应用。（重点） 二、导学过程： （一)、情境导入：（如图所示），大树高7米，小树高1米，两颗树之间的水平距离8米，一只小鸟从小树顶飞到大树顶飞了多少米？（假设小鸟飞行的路线是直线） 师：这个问题其实就是求两颗树的树顶之间的距离 AB，只要我们学好了勾股定理就容易解决了。首先看本节的学习目标（见上） 三、自主学习：请同学们自学课本P上部分（15分钟），同时完成下列自学要求: 1、你能按照课本图5-1的方法去拼一下吗？动动你的手吧！你还有其他的拼法吗? 2、图中的a+b=c是怎样得出来的？推导一下！ 3、与同学交流一下你的方法！ 4、你能叙述勾股定理的定义吗？用式子如何表示？ 写下你的疑惑： - 189 - 河南实验中学资料 四、合作交流；展示你的成果： 成果1： 如图，4ab+c=(a+b) 2ab+ c= a+b+2ab 所以 a+b=c 成果2：如图，c=4ab+（b-a） c=2ab+ a-2ab+b 所以 a+b=c 请同学们完成P的“挑战自我” 成果3：①勾股定理的定义：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 ②勾股定理的表示：对于任意直角三角形，若它的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么一定有a+b=c。 - 189 - 河南实验中学资料 ③勾股定理的变形： ④勾股定理的应用： 师：自学例1、例2 小巩固：课本P练习1 五、精讲点拨： 师：例1 是知道直角三角形两条直角边的长，求斜边。 例2 是根据勾股定理列方程解应用题。实际上，再生产和生活中，有很多图形是直角三角形或者可以构造直角三角形，因此在计算中常常要利用勾股定理。 例3 一圆柱形铁桶的底面半径为12cm，高为10cm，若铁桶里放有一细铁棒，则铁棒最长不超过多少？ 六、课堂小结：（学生完成） 七、达标测评： 判断下列解题过程是否正确？若不正确，如何改正。 1、 已知ABC的三边长为整数，AC=4cm，BC=3cm，AB>AC，求AB的长。 解： AC=4cm BC=3cm AB===5(cm) 2.RTABC中A=90.a=13cm. .b=5cm , 求第三边c. 解：根据勾股定理a+b=c得 C===（cm） (八)、拓展提高： 1、若一直角三角形两直角边的比是3:4，斜边长是20，则此直角三角形的面积为-----。 - 189 - 河南实验中学资料 2、菱形的两条对角线长分别是6cm、8cm,它的高为多少？ 3、如图，p是正方形ABCD内一点，将ABP绕B点顺时针旋转90，到达CBP的位置，若BP=a,求pp的长 （九）、布置作业：习题5.2A组 5.3 是有理数吗?<导学案> 一、学习目标： 1、掌握无理数的定义（重点） 2、掌握无理数与数轴的关系（难点） 3、理解有理数与无理数的区别 二、导学流程： （一）情境导入： 如果一个正方形凉亭的占地面积为10平方米，那么你能求出它的边长吗？ 同学们不难求出它的边上为米，再如、、等等这些数既不是整数，也不是分数，那究竟叫什么呢？这就是我们这节学的5.3 是有理数吗？ 先来看本节的学习目标：（见导学案） - 189 - 河南实验中学资料 （二）自主学习： 同学们利用10分钟时间学习课本133页、134页、135页并回答下列问题： 1、叫做什么数？ 2、无理数的概念是如何叙述的？关键词是什么？ 3、与有理数的区别是什么？ 4、位于那两个整数之间？你是如何估算出来的？ 写下你的疑惑： （三）合作交流;展示成果： 成果一 叫做无理数；无理数是无限不循环小数，关键词是“无限”，“不循环”；有理数都可以化为有限小数或无限循环小数。 成果二 位于哪两个整数之间呢？ 因为<< 所以2<<3，是位于2和3之间的数。 巩固练习：课本p练习1、2、3 （四）自学课本p（5分钟） 你能在数轴上作出长度为、、、的线段吗？将你的自学成果展示给同学们看一下吧！ （五）精讲点拨： p 例1 分析：要判断有没有等腰三角形，须根据勾股定理，求各线段的长。 - 189 - 河南实验中学资料 （六）课堂小结：（学生自行完成） （七）达标测评： 1、在下列各数，0.31，，，，0.90108中，无理数有（ ）个 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、下列说法：①零是绝对值最小的数；②数轴上的所有点表示有理数或无理数；③无理数就是带根号的数；④一个正数的算术平方根有一个，该算术平方根大于零。其中正确的说法有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3、若a是一个无理数，则1-a是（ ） A.正数 B.负数 C.无理数 D.有理数 4、无理数是＿小数。 5、在数轴上离原点的距离是的点表示的是＿。 （八）拓展提高 1、已知a,b为两个连续整数，且a<查看更多