[精]2017-2018学年芜湖市无为县八年级上期末数学试卷(有答案)

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[精]2017-2018学年芜湖市无为县八年级上期末数学试卷(有答案)

‎2017-2018 学年安徽省芜湖市无为县八年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分)‎ ‎1.在式子 中,分式的个数有( )‎ A. 2 B.3 C.4 D.5 2.一个三角形的两边长分别为 3cm 和 8cm,则此三角形第三边长可能是( )‎ A. 3cm B.5cm C.7cm D.11cm 3.下列图案是几种名车的标志,请你指出,在这几个图案中是轴对称图形的共有( )‎ A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ‎4.下列运算正确的是( )‎ ‎2 2 4 2 3 5‎ A. x ‎+x = 2x ‎B.a ?a =a ‎2 4 6 2 2‎ C.(﹣ 2x )‎ ‎=16x ‎D.( x+3y)( x﹣3y)= x ‎﹣ 3y ‎5.用三个正多边形镶嵌成一个平面时,若前两种是正方形和正六边形,则第三种是( )‎ A.正十二边形 B.正十边形 C.正八边形 D.正三角形 ‎6.如图,△ ABC 中, AB=AC,D 是 BC 的中点, AC 的垂直平分线分别交 AC、AD、AB 于点 E、O、 F,则图中全等三角形的对数是( )‎ A. 1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 ‎7.如图,∠ AOB= 150°, OC 平分∠ AOB,P 为 OC 上一点, PD∥OA 交 OB 于点 D,PE⊥‎ OA 于点 E.若 OD=4,则 PE 的长为( )‎ A. 2 B.2.5 C.3 D.4‎ ‎8.某服装厂准备加工 400 套运动装,在加工完 160 套后,采用了新技术,使得工作效率比原 计划提高了 20%,结果共用了 18 天完成任务,问计划每天加工服装多少套?在这个问题中,‎ 设计划每天加工 x 套服装,则根据题意可得方程为( )‎ A. + =18‎ B. + =18‎ C. + = 18‎ D. + =18‎ ‎9.因式分解 x2+mx﹣ 12=( x+p)(x+q),其中 m、p、q 都为整数,则这样的 m 的最大值是 ‎( )‎ A. 1 B.4 C.11 D.12‎ ‎10.对于任意非零实数 a,b,定义运算“※”如下:“ a※b”= ,则 1※ 2+2※3+3※4+‎ ‎+2017※2018 的值为( )‎ A. B. C. D.﹣ 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)‎ ‎2 2‎ ‎11.分解因式: 3x ‎﹣12xy+12y = .‎ ‎12.水由氢原子和氧原子组成,其中氢原子的直径约为 0.0000000001 米,用科学记数法表示 为 米.‎ ‎13.如图,在长方形 ABCD 的边 AD 上找一点 P,使得点 P 到 B、C 两点的距离之和最短,则 点 P 的位置应该在 .‎ ‎14.将一副三角板按如图所示的方式摆放,其中△ ABC 为含有 45°角的三角板,直线 AD 是 等腰直角三角板的对称轴,且斜边上的点 D 为另一块三角板 DMN 的直角顶点, DM、DN 分别交 AB、AC 于点 E、F.则下列四个结论: ① BD=AD=CD;② △AED≌△ CFD ;③ BE+CF ‎2‎ ‎=EF; ④ S 四边形 AEDF = BC .其中正确结论是 (填序号).‎ 三、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分)‎ ‎﹣ 2 3 0‎ ‎15.( 1)计算:(﹣ )‎ ‎﹣2 ×0.125+2005 +|﹣1|;‎ ‎(2)解方程: = .‎ ‎2‎ ‎16.先化简,再求值: y( x+y)+(x+y)( x﹣y)﹣ x ‎,其中 x=﹣ 2,y= .‎ 四、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分)‎ ‎17.如图 ① ,将一个长方形沿着对角线剪开即可得到两个全等的三角形,再把△ ABC 沿着 AC 方向平移,得到图 ② 中的△ GBH,BG 交 AC 于点 E,GH 交 CD 于点 F.在图 ② 中,除△ ACD 与△ HGB 全等外,你还可以指出哪几对全等的三角形(不能添加辅助线和字母)?请 选择其中一对加以证明.‎ ‎18.如图,在平面直角坐标系中,△ ABC 的三个顶点坐标分别为 A( 1,﹣ 4),B(3,﹣3), C( 1,﹣ 1).‎ ‎(1)画出△ ABC 关于 x 轴对称的△ A1B1C1;‎ ‎(2)写出△ A1B1C1 各顶点的坐标.‎ 五、(本大题共 2 小题,每小题 10 分,满分 20 分)‎ ‎19.任何一个正整数 n 都可以进行这样的分解: n=p×q(p、q 是正整数,且 p≤q).如果 p ‎× q 在 n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称 p×q 是 n 的最佳分解,并 且规定 F( n)= .例如 18=1×18=2×9=3×6,这时就有 F(18)= = .请解答下 列问题:‎ ‎(1)计算: F(24);‎ ‎2‎ ‎(2)当 n 为正整数时,求证: F(n3+2n ‎+n)= .‎ ‎20.保护环境、低碳出行已渐渐成为人们的习惯.最近无为县城又引进了共享单车,只需要交 点押金,就可以通过扫描二维码的方式解锁一辆停在路边的自行车,以极低的费用,轻松 骑到目的地.王老师家与学校相距 2km,现在每天骑共享单车到学校所花的时间比过去骑 电动车多用 4min.已知王老师骑电动车的速度是骑共享单车速度的 1.5 倍,则王老师骑共 享单车的速度是多少?‎ 六、(本题满分 12 分)‎ ‎21.如图,在等边△ ABC 中,点 D 在 BC 边上,点 E 在 AC 的延长线上, DE=DA.‎ ‎(1)求证:∠ BAD=∠EDC;‎ ‎(2)作出点 E 关于直线 BC 的对称点 M,连接 DM、AM,猜想 DM 与 AM 的数量关系,并说 明理由.‎ 七、(本题满分 12 分)‎ ‎22.北京奥运会开幕前, 某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,就用 32000 元购进了一 批这种运动服,上市后很快脱销,商场又用 68 000 元购进第二批这种运动服,所购数量是 第一批购进数量的 2 倍,但每套进价多了 10 元.‎ ‎(1)该商场两次共购进这种运动服多少套?‎ ‎(2)如果这两批运动服每套的售价相同,且全部售完后总利润率不低于 20%,那么每套售价 至少是多少元?(利润率= ×100%)‎ 八、(本题满分 14 分)‎ ‎23.如图,∠ ABC=90°,D、E 分别在 BC、AC 上,AD⊥DE,且 AD=DE,点 F 是 AE 的中 点, FD、AB 的延长线相交于点 M,连接 MC.‎ ‎(1)求证:∠ FMC=∠ FCM;‎ ‎(2)将条件中的 AD⊥DE 与( 1)中的结论互换,其他条件不变,命题是否正确?请给出理 由.‎ ‎2017-2018 学年安徽省芜湖市无为县八年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分)‎ ‎1.在式子 中,分式的个数有( )‎ A. 2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【分析】 判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母 则不是分式.‎ ‎【解答】 解:分式有: , ,9x+ 工 3 个. 故选: B.‎ ‎【点评】 本题主要考查分式的定义,注意 π不是字母,是常数,所以 不是分式,是整式.‎ ‎2.一个三角形的两边长分别为 3cm 和 8cm,则此三角形第三边长可能是( )‎ A. 3cm B.5cm C.7cm D.11cm ‎【分析】 根据已知边长求第三边 x 的取值范围为: 5<x<11,因此只有选项 C 符合.‎ ‎【解答】 解:设第三边长为 xcm, 则 8﹣3<x<3+8,‎ ‎5< x<11, 故选: C.‎ ‎【点评】 本题考查了三角形的三边关系,已知三角形的两边长, 则第三边的范围为大于两边差 且小于两边和.‎ ‎3.下列图案是几种名车的标志,请你指出,在这几个图案中是轴对称图形的共有( )‎ A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ‎【分析】 关于某条直线对称的图形叫轴对称图形. 绕一个点旋转 180 度后所得的图形与原图形 完全重合的图形叫做中心对称图形.‎ ‎【解答】 解:第一个是中心对称图形,但不是轴对称图形,其它三个是轴对称图形.故选 C.‎ ‎【点评】 轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合, 中心对称图形是要寻找 对称中心,旋转 180 度后两部分重合.‎ ‎4.下列运算正确的是( )‎ ‎2 2 4 2 3 5‎ A. x ‎+x = 2x ‎B.a ?a =a ‎2 4 6 2 2‎ C.(﹣ 2x )‎ ‎=16x ‎D.( x+3y)( x﹣3y)= x ‎﹣ 3y ‎【分析】 根据合并同类项,只把系数相加减,字母与字母的次数不变;同底数幂相乘,底数不 变指数相加;积的乘方,底数不变指数相乘;平方差公式,对各选项分析判断后利用排除 法求解.‎ ‎2 2‎ ‎【解答】 解: A、应为 x2+x ‎= 2x ‎,故本选项错误;‎ ‎2 3 5‎ B、 a ‎?a =a ‎,正确;‎ ‎2‎ C、应为(﹣ 2x ‎)4=16x6‎ ‎,故本选项错误;‎ ‎2‎ D、应为( x+3y)( x﹣ 3y)= x 故选: B.‎ ‎﹣3y2‎ ‎,故本选项错误;‎ ‎【点评】 本题考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、平方差公式,熟练掌握运算性质 和公式是解题的关键.‎ ‎5.用三个正多边形镶嵌成一个平面时,若前两种是正方形和正六边形,则第三种是( )‎ A.正十二边形 B.正十边形 C.正八边形 D.正三角形 ‎【分析】 分别求出各个正多边形的每个内角的度数,再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除 ‎360 即可作出判断.‎ ‎【解答】 解:正方形的每个内角是 90°,正六边形每个内角是 180°﹣ 360°÷ 6=120°, 正十二边形每个内角是 180°﹣ 360°÷ 12=150°,‎ ‎90°+120°+150°= 360°,‎ 故选: A.‎ ‎【点评】 本题考查一种正多边形的镶嵌问题. 用一种正多边形镶嵌, 只有正三角形, 正四边形, 正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案.‎ ‎6.如图,△ ABC 中, AB=AC,D 是 BC 的中点, AC 的垂直平分线分别交 AC、AD、AB 于点 E、O、 F,则图中全等三角形的对数是( )‎ A. 1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 ‎【分析】 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 OA= OC,然后判断出△ AOE 和△ COE 全等,再根据等腰三角形三线合一的性质可得 AD⊥BC,从而得到△ ABC 关 于直线 AD 轴对称,再根据全等三角形的定义写出全等三角形即可得解.‎ ‎【解答】 解:∵ EF 是 AC 的垂直平分线,‎ ‎∴OA=OC, 又∵OE=OE,‎ ‎∴Rt△AOE≌Rt△COE,‎ ‎∵AB=AC,D 是 BC 的中点,‎ ‎∴AD⊥BC,‎ ‎∴△ABC 关于直线 AD 轴对称,‎ ‎∴△AOC≌△AOB,△ BOD≌△ COD,△ABD≌△ ACD, 综上所述,全等三角形共有 4 对.‎ 故选: D.‎ ‎【点评】 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质, 全等三角形的判 定,等腰三角形三线合一的性质,熟练掌握各性质以及全等三角形的判定是解题的关键.‎ ‎7.如图,∠ AOB= 150°, OC 平分∠ AOB,P 为 OC 上一点, PD∥OA 交 OB 于点 D,PE⊥‎ OA 于点 E.若 OD=4,则 PE 的长为( )‎ A. 2 B.2.5 C.3 D.4‎ ‎【分析】 过 P 点作 PF⊥OD,利用平行线的性质和角平分线的性质解答即可.‎ ‎【解答】 解:过 P 点作 PF⊥OD,‎ ‎∵∠AOB=150°, OC 平分∠ AOB,‎ ‎∴∠DOP=∠ POE=75°,‎ ‎∵DP∥OA,‎ ‎∴∠DPO=∠ POE=75°,‎ ‎∴∠DOP=∠ DPO﹣ 75°,‎ ‎∴DP=OD=4,‎ ‎∴∠PDO=180°﹣ 75°﹣ 75°= 30°,‎ ‎∵PF⊥OD,‎ ‎∴∠PFD=90°,‎ ‎∴PF= DP=2,‎ ‎∵PE⊥OA,OC 平分∠ AOB,‎ ‎∴PE=PF= 2, 故选: A.‎ ‎【点评】 此题考查角平分线的性质,关键是利用平行线的性质和角平分线的性质解答.‎ ‎8.某服装厂准备加工 400 套运动装,在加工完 160 套后,采用了新技术,使得工作效率比原 计划提高了 20%,结果共用了 18 天完成任务,问计划每天加工服装多少套?在这个问题中, 设计划每天加工 x 套服装,则根据题意可得方程为( )‎ A. + =18‎ B. + =18‎ C. + = 18‎ D. + =18‎ ‎【分析】 关键描述语为:“共用了 18 天完成任务”,那么等量关系为:采用新技术前所用时 间+采用新技术后所用时间= 18 天.‎ ‎【解答】 解:设计划每天加工 x 套服装,那么采用新技术前所用时间为: ,采用新技术后 所用时间为: ,‎ 则所列方程为: + = 18.‎ 故选: A.‎ ‎【点评】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程,找出题目中的关键语, 找到相应的等量关系 是解决问题的关键.注意工作时间=工作总量÷工作效率.‎ ‎2‎ ‎9.因式分解 x +mx﹣ 12=( x+p)(x+q),其中 m、p、q 都为整数,则这样的 m 的最大值是 ‎( )‎ A. 1 B.4 C.11 D.12‎ ‎【分析】 根据十字相乘法的分解方法和特点可知 m= p+q,pq=﹣ 12.‎ ‎【解答】 解:﹣ 12 可以分成:﹣ 2× 6, 2×(﹣ 6),﹣ 1×12,1×(﹣ 12), 3×(﹣ 4),‎ ‎﹣ 3× 4,‎ 而﹣ 2+6= 4, 2+(﹣ 6)=﹣ 4,﹣ 1+12=11, 1+(﹣ 12)=﹣ 11, 3+(﹣ 4)=﹣ 1,﹣ 3+4‎ ‎= 1,‎ 因为 11>4>1>﹣ 1>﹣ 4>﹣ 11, 所以 m 最大=p+q=11.‎ 故选: C.‎ ‎【点评】 本题主要考查十字相乘法分解因式,对常数项的不同分解是解本题的关键.‎ ‎10.对于任意非零实数 a,b,定义运算“※”如下:“ a※b”= ,则 1※ 2+2※3+3※4+‎ ‎+2017※2018 的值为( )‎ A. B. C. D.﹣‎ ‎【分析】 根据已知将原式变形进而计算得出答案.‎ ‎【解答】 解:由题意可得: 原式= + + + +‎ ‎=﹣( 1﹣ + ﹣ + ﹣ + + ﹣ )‎ ‎=﹣( 1﹣ )‎ ‎=﹣ . 故选: D.‎ ‎【点评】 此题主要考查了实数运算,正确将原式变形是解题关键. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)‎ ‎2 2 2‎ ‎11.分解因式: 3x ‎﹣12xy+12y ‎= 3(x﹣2y) .‎ ‎【分析】 直接提取公因式 3,再利用完全平方公式分解因式得出答案.‎ ‎【解答】 解: 3x2﹣ 12xy+12y2=3(x2﹣ 4xy+4y2)‎ ‎=3(x﹣ 2y)2. 故答案为: 3(x﹣2y) 2.‎ ‎【点评】 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确应用公式是解题关键.‎ ‎12.水由氢原子和氧原子组成,其中氢原子的直径约为 0.0000000001 米,用科学记数法表示 为 1×10﹣ 10 米.‎ ‎【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a× 10﹣ n,与较大数的 科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面 的 0 的个数所决定.‎ ‎﹣ 10‎ ‎【解答】 解: 0.000 000 0001=1×10 ,‎ 故答案为: 1×10﹣ 10.‎ ‎﹣ n ‎【点评】 本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为 a× 10‎ 原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定.‎ ‎,其中 1≤|a|< 10,n 为由 ‎13.如图,在长方形 ABCD 的边 AD 上找一点 P,使得点 P 到 B、C 两点的距离之和最短,则 点 P 的位置应该在 AD 的中点 .‎ ‎【分析】 根据轴对称的性质作出 B 关于 AD 的对称点 B',再连接 CB',利用长方形的性质和全 等三角形的判定和性质解答即可.‎ ‎【解答】 解:作出 B 关于 AD 的对称点 B',连接 CB',如图;‎ ‎∵长方形 ABCD,‎ ‎∴AB=CD,∠B'AP=∠ PDC= 90°,‎ ‎∵AB'=AB,‎ ‎∴AB'=CD,‎ 在△B'AP 与△ CDP 中 ‎,‎ ‎∴△B'AP≌△ CDP(AAS),‎ ‎∴AP=PD, 故答案为: AD 的中点.‎ ‎【点评】 此题考查轴对称问题, 关键是根据轴对称的性质和矩形的性质以及全等三角形的判定 和性质解答.‎ ‎14.将一副三角板按如图所示的方式摆放,其中△ ABC 为含有 45°角的三角板,直线 AD 是 等腰直角三角板的对称轴,且斜边上的点 D 为另一块三角板 DMN 的直角顶点, DM、DN 分别交 AB、AC 于点 E、F.则下列四个结论: ① BD=AD=CD;② △AED≌△ CFD ;③ BE+CF ‎2‎ ‎=EF; ④ S 四边形 AEDF = BC .其中正确结论是 ①②④ (填序号).‎ ‎【分析】 根据等腰直角三角形的性质可得 AD=CD=BD,故① 正确,∠ CAD=∠ B= 45°,根 据同角的余角相等求出∠ CDF=∠ ADE,然后利用“角边角”证明△ ADE 和△ CDF 全等, 判断出 ② 正确,根据全等三角形对应边相等可得 DE=DF、 BE=AF,求出 AE=CF,根据 BE+CF=AF+AE,利用三角形的任意两边之和大于第三边可得 BE+CF>EF,判断出 ③ 错误;‎ ‎2‎ 根据全等三角形的面积相等可得 S△ ADF= S△ BDE,从而求出 S 四边形 AEDF=S△ ABD= BC ,判断 出④ 正确.‎ ‎【解答】 解:∵∠ B=45°, AB=AC,‎ ‎∴△ABC 是等腰直角三角形,‎ ‎∵点 D 为 BC 中点,‎ ‎∴AD=CD=BD,故 ① 正确;‎ AD⊥BC,∠ BAD=45°,‎ ‎∴∠EAD=∠C,‎ ‎∵∠MDN 是直角,‎ ‎∴∠ADF+∠ADE= 90°,‎ ‎∵∠CDF+∠ADF=∠ ADC=90°,‎ ‎∴∠ADE=∠CDF,‎ 在△ADE 和△ CDF 中, ,‎ ‎∴△ADE≌△CDF(ASA),故 ② 正确;‎ ‎∴DE=DF、BE=AF,‎ ‎∴△DEF 是等腰直角三角形;‎ ‎∵AE=AB﹣ BE, CF=AC﹣ AF,‎ ‎∵BE+CF=AF+AE ‎∴BE+CF>EF,故 ③ 错误;‎ ‎∵△BDE≌△ADF,‎ ‎∴S△ADF =S△ BDE,‎ ‎2 2 2‎ ‎∴S 四边形 AEDF= S△ ABD= AD ‎= AB ‎= BC 故④ 正确; 故答案为: ①②④ .‎ ‎【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质, 同角的余角相等的性 质,熟记三角形全等的判定方法并求出△ ADE 和△CDF 全等是解题的关键.‎ 三、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分)‎ ‎﹣ 2 3 0‎ ‎15.( 1)计算:(﹣ )‎ ‎﹣2 ×0.125+2005 +|﹣1|;‎ ‎(2)解方程: = .‎ ‎【分析】 (1)根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得;‎ ‎(2)分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到分式 方程的解.‎ ‎【解答】 解:( 1)原式= 4﹣ 8× 0.125+1+1‎ ‎=4﹣1+1+1‎ ‎=5.‎ ‎(2)两边同乘以 x( 2x﹣1),得 6(2x﹣ 1)= 5x, 解得 x= .‎ 经检验, x= 是原方程的解.‎ ‎【点评】 此题考查了实数的运算与解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分 式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.‎ ‎2‎ ‎16.先化简,再求值: y( x+y)+(x+y)( x﹣y)﹣ x ‎,其中 x=﹣ 2,y= .‎ ‎【分析】 先根据单项式乘多项式的法则,平方差公式化简,再代入数据求值.‎ ‎【解答】 解: y(x+y) +( x+y)( x﹣y)﹣ x2,‎ ‎2 2 2 2‎ ‎=xy+y ‎=xy,‎ ‎+x ﹣y ‎﹣x ,‎ 当 x=﹣ 2,y= 时,原式=﹣ 2× =﹣ 1.‎ ‎【点评】 本题考查了单项式乘多项式,平方差公式,关键是先把代数式化简,再把题目给定的 值代入求值,熟练掌握运算法则和公式是解题的关键.‎ 四、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分)‎ ‎17.如图 ① ,将一个长方形沿着对角线剪开即可得到两个全等的三角形,再把△ ABC 沿着 AC 方向平移,得到图 ② 中的△ GBH,BG 交 AC 于点 E,GH 交 CD 于点 F.在图 ② 中,除△ ACD 与△ HGB 全等外,你还可以指出哪几对全等的三角形(不能添加辅助线和字母)?请 选择其中一对加以证明.‎ ‎【分析】 由平移的性质得到 AG=CH,根据全等三角形的性质得到∠ A=∠ H,推出△ AGE≌‎ ‎△HCF(ASA);根据全等三角形的性质得到 EG=FC,AG=HC,根据线段的和差得到 BE ‎=DF, DG=BC,于是得到结论.‎ ‎【解答】 解:△ AGE≌△ HCF,△EBC≌△FDG; 证明过程如下:‎ 由平移可知 AG= CH,‎ ‎∵△ACD 与△ HGB 全等,‎ ‎∴∠A=∠ H,‎ 又 BG⊥AD,DC⊥BH,‎ ‎∴∠AGE=∠HCF=90°,‎ ‎∴△AGE≌△HCF(ASA);‎ ‎∴EG=FC,AG=HC,‎ ‎∵BG=CD,AD=HB,‎ ‎∴BE=DF,DG=BC,‎ ‎∵∠D=∠ B=90°,‎ ‎∴△EBC≌△FDG(SAS).‎ ‎【点评】 本题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平移的性质,掌握相关的判定 定理和性质定理是解题的关键.‎ ‎18.如图,在平面直角坐标系中,△ ABC 的三个顶点坐标分别为 A( 1,﹣ 4),B(3,﹣3),‎ C( 1,﹣ 1).‎ ‎(1)画出△ ABC 关于 x 轴对称的△ A1B1C1;‎ ‎(2)写出△ A1B1C1 各顶点的坐标.‎ ‎【分析】 (1)分别作出 A、B、C 关于 x 轴的对称点即可;‎ ‎(2)根据图中各点写出坐标即可.‎ ‎【解答】 解:( 1)△ A1B1C1 如图所示.‎ ‎(2)A1( 1,4), B1(3,3), C1(1,1).‎ ‎【点评】 本题考查轴对称变换知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 五、(本大题共 2 小题,每小题 10 分,满分 20 分)‎ ‎19.任何一个正整数 n 都可以进行这样的分解: n=p×q(p、q 是正整数,且 p≤q).如果 p ‎× q 在 n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称 p×q 是 n 的最佳分解,并 且规定 F( n)= .例如 18=1×18=2×9=3×6,这时就有 F(18)= = .请解答下 列问题:‎ ‎(1)计算: F(24);‎ ‎2‎ ‎(2)当 n 为正整数时,求证: F(n3+2n ‎+n)= .‎ ‎【分析】 (1)把 24 因式分解为 1×24,2×12,3×8,4×6,再由定义即可得 F(24)‎ ‎3 2 2 2 2‎ ‎(2)把 n ‎+2n ‎+n 因式分解得 n( n+1)‎ ‎,则可化为 1× n( n+1)‎ ‎, n×( n+1)‎ ‎,(n+1)×‎ n(n+1)‎ ‎2 2 2‎ 当 n 为正整数时, n( n+1)2﹣1= n3+2n ‎= n2﹣1‎ ‎+n﹣1,( n+1)‎ ‎﹣n=n ‎+n+1, n( n+1)﹣( n+1)‎ ‎2‎ 易得 n(n+1)与(n+1)得差绝对值最小, 且(n+1)≤n( n+1),得出 F(n3 +2n ‎+n)=‎ ‎【解答】 解:( 1)∵ 24= 1× 24=2×12=3×8=4×6,其中 4 与 6 的差的绝对值最小,‎ ‎∴F(24)= = .‎ ‎2 2‎ ‎(2)∵n3‎ ‎n +n=n(n+1) ,其中 n(n+1)与(n+1)的差的绝对值最小, 且(n+1)≤ n(n+1),‎ ‎+2‎ n ‎∴F(n3+2 2‎ ‎+n)= = .‎ ‎【点评】 此题是因式分解的应用,设计一个新题型来考察学生的因式分解能力,( 1)中直接 列出 24 的因式,( 2)中列出因式后仍需比较因数差的绝对值,找出差绝对值最小即可 ‎20.保护环境、低碳出行已渐渐成为人们的习惯.最近无为县城又引进了共享单车,只需要交 点押金,就可以通过扫描二维码的方式解锁一辆停在路边的自行车,以极低的费用,轻松 骑到目的地.王老师家与学校相距 2km,现在每天骑共享单车到学校所花的时间比过去骑 电动车多用 4min.已知王老师骑电动车的速度是骑共享单车速度的 1.5 倍,则王老师骑共 享单车的速度是多少?‎ ‎【分析】 设王老师骑共享单车的速度为 xkm/h,则王老师骑电动车的速度是 1.5xkm/h,根据时 间=路程÷速度结合骑共享单车到学校所花的时间比过去骑电动车多用 4min,即可得出关 于 x 的分式方程,解之经检验后即可得出结论.‎ ‎【解答】 解:设王老师骑共享单车的速度为 xkm/h,则王老师骑电动车的速度是 1.5xkm/h, 根据题意得: ﹣ = ,‎ 解得: x=10,‎ 经检验, x= 10 是原方程的解. 答:王老师骑共享单车的速度是 10km/h.‎ ‎【点评】 本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键. 六、(本题满分 12 分)‎ ‎21.如图,在等边△ ABC 中,点 D 在 BC 边上,点 E 在 AC 的延长线上, DE=DA.‎ ‎(1)求证:∠ BAD=∠EDC;‎ ‎(2)作出点 E 关于直线 BC 的对称点 M,连接 DM、AM,猜想 DM 与 AM 的数量关系,并说 明理由.‎ ‎【分析】 ( 1)根据等腰三角形的性质,得出∠ E=∠DAC,根据等边三角形的性质,得出∠‎ BAD+∠DAC=∠E+∠EDC=60°,据此可得出∠ BAD=∠ EDC;‎ ‎(2)根据轴对称作图,要证明 DA=AM,只需根据有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角 形,证△ ADM 是等边三角形即可.‎ ‎【解答】 解:( 1)如图 1,∵△ ABC 是等边三角形,‎ ‎∴∠BAC=∠ACB=60°.‎ 又∵∠ BAD+∠DAC=∠ BAC,∠ EDC+∠DEC=∠ACB,‎ ‎∴∠BAD+∠DAC=∠ EDC+∠DEC.‎ ‎∵DE=DA,‎ ‎∴∠DAC=∠DEC,‎ ‎∴∠BAD=∠EDC.‎ ‎(2)猜想: DM=AM.理由如下:‎ ‎∵点 M、E 关于直线 BC 对称,‎ ‎∴∠MDC=∠ EDC, DE=DM. 又由( 1)知∠ BAD=∠EDC,‎ ‎∴∠MDC=∠ BAD.‎ ‎∵∠ADC=∠BAD+∠B,‎ 即∠ADM+∠MDC =∠ BAD+∠B,‎ ‎∴∠ADM=∠ B= 60°. 又∵DA=DE=DM,‎ ‎∴△ADM 是等边三角形,‎ ‎∴DM=AM.‎ ‎【点评】 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、 轴对称变换以及三角 形外角性质等知识的综合应用.解题时注意运用等边三角形的三个内角都等于 60°,三条 边都相等.‎ 七、(本题满分 12 分)‎ ‎22.北京奥运会开幕前, 某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,就用 32000 元购进了一 批这种运动服,上市后很快脱销,商场又用 68 000 元购进第二批这种运动服,所购数量是 第一批购进数量的 2 倍,但每套进价多了 10 元.‎ ‎(1)该商场两次共购进这种运动服多少套?‎ ‎(2)如果这两批运动服每套的售价相同,且全部售完后总利润率不低于 20%,那么每套售价 至少是多少元?(利润率= ×100%)‎ ‎【分析】 (1)求的是数量,总价明显,一定是根据单价来列等量关系,本题的关键描述语是: 每套进价多了 10 元.等量关系为:第二批的每件进价﹣第一批的每件进价= 10;‎ ‎(2)等量关系为:(总售价﹣总进价)÷总进价≥ 20%.‎ ‎【解答】 解:( 1)设商场第一次购进 x 套运动服,由题意得:‎ ‎,( 3 分)‎ 解这个方程,得 x=200, 经检验, x= 200 是所列方程的根, 2x+x=2×200+200=600,‎ 所以商场两次共购进这种运动服 600 套;‎ ‎(2)设每套运动服的售价为 y 元,由题意得:‎ ‎,‎ 解这个不等式,得 y≥200, 所以每套运动服的售价至少是 200 元.‎ ‎【点评】 本题考查分式方程的应用,分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决 问题的关键.注意利润率= ×100%的应用. 八、(本题满分 14 分)‎ ‎23.如图,∠ ABC=90°,D、E 分别在 BC、AC 上,AD⊥DE,且 AD=DE,点 F 是 AE 的中 点, FD、AB 的延长线相交于点 M,连接 MC.‎ ‎(1)求证:∠ FMC=∠ FCM;‎ ‎(2)将条件中的 AD⊥DE 与( 1)中的结论互换,其他条件不变,命题是否正确?请给出理 由.‎ ‎【分析】( 1)想办法证明△ FAM≌△ FDC(AAS),即可推出 FM=FC,可得∠ FMC=∠FCM;‎ ‎(2)正确.只要证明△ AMF≌△ DCF( ASA),即可解决问题;‎ ‎【解答】 (1)证明:∵ AD=DE,点 F 是 AE 的中点,‎ ‎∴MF⊥AC,‎ ‎∴∠AMF+∠MAF=90°,‎ ‎∵∠ABC=90°,‎ ‎∴∠ACB+∠MAF= 90°,‎ ‎∴∠AMF=∠ ACB,‎ ‎∵AD⊥DE,AD=DE,‎ ‎∴△ADE 为等腰直角三角形,‎ ‎∠DAF= 45°, 又∵MF⊥AC,‎ ‎∴∠DFA=90°,‎ ‎∴∠ADF=180°﹣∠ DFA ﹣∠DAF=45°,‎ ‎∴∠ADF=∠DAF,‎ ‎∴FA=FD,‎ 在△FAM 和△ FDC 中,‎ ‎,‎ ‎∴△FAM≌△ FDC(AAS),‎ ‎∴FM=FC,‎ ‎∴∠FMC=∠ FCM.‎ ‎(2)解:正确. 理由如下:∵∠ FMC=∠ FCM,‎ ‎∴FM=FC.,‎ ‎∵AD=DE,点 F 是 AE 的中点,‎ ‎∴MF⊥AC,‎ ‎∴∠AFM=∠ DFC=90°,∠ AMF+∠MAC= 90°, 又∵∠ MAC+∠DCF=90°,‎ ‎∴∠AMF=∠ DCF. 在△AMF 和△ DCF 中,‎ ‎,‎ ‎∴△AMF≌△ DCF(ASA),‎ ‎∴AF=DF, 又∵∠ AFD=90°,‎ ‎∴∠DAF=∠ADF=45°, 又∵AD=DE,‎ ‎∴∠DEA=∠DAF=45°,‎ ‎∴∠ADE=180°﹣∠ DAF ﹣∠DEA=90°,‎ ‎∴AD⊥DE.‎ ‎【点评】 本题考查全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质, 直角三角形斜边 中线的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.‎
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