精品人教版八年级数学上册第十一章11.1与三角形有关的 线段

精品人教版八年级数学上册第十一章11.1与三角形有关的 线段

第十一章 三角形 11.1与三角形有关的 线段 第1课时 1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角 形分类. 2.掌握三角形的三边关系.（难点） 3.运用三角形三边关系解决有关的问题.（重点） 学习目标 导入新课 埃及金字塔 氨 气 分 子 结 构 示 意 图 飞机机翼 问题： （1）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑 物到微小的分子结构，都有什么样的形象？ （2）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例. 问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形? 定义：由不在同一条直线上的三条线段 首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 问题2：三角形中有几条线段?有几个角? A B C 边：线段AB，BC，CA是三角形的边. 顶点：点A，B，C是三角形的顶点， 角：∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角，简称三角 形的角. 有三条线段，三个角 讲授新课 三角形的概念 记法：三角形ABC用符号表示________. 边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字 母分别表示为________. △ABC c，a，b 边c 边b 边a 顶点C 角 角 角 顶点A 顶点B B C A 在△ABC中， AB边所对的角是： ∠A所对的边是： ∠C B C 再说几个对边与对角的关系试试. 三角形的对边与对角： 辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？ 不符合 不符合 不符合 ①位置关系：不在同一直线上； ②联接方式：首尾顺次相接. u三角形应满足以下两个条件： 要点提醒 u表示方法： 三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作 “三角形ABC”，除此△ABC还可记作△BCA, △ CAB, △ ACB等. u基本要素： 三角形的边：边AB、BC、CA； 三角形的顶点：顶点A、B、C； 三角形的内角(简称为三角形的角）：∠ A、 ∠ B、 ∠ C. u特别规定： 三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作 a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c. 5个，它们分别是△ABE,△ABC, △BEC,△BCD,△ECD. 找一找：(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三 角形？ A B C D E(2)以AB为边的三角形有哪些？ △ABC、△ABE. （3）以E为顶点的三角形有哪些？ △ ABE 、△BCE、 △CDE. （4）以∠D为角的三角形有哪些？ △ BCD、 △DEC. （5）说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边. △BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B所 对应的边为DC，顶点C所对应的边为BD，顶点D所 对应的边为BC. A B C D E 问题1：观察下列三角形，说一说，按照三角形内角 的大小，三角形可以分为哪几类？ 锐角三角形、 直角三角形、 钝角三角形. 三角形的分类 腰 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 底边 顶角 底角 问题2：你能找出下列三角形各自的特点吗？ 三边均 不相等 有两条 边相等 三条边 均相等 Ø三条边各不相等的三角形叫做不等边三角形 ； Ø有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； Ø三条边都相等的三角形叫做等边三角形． 思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？ 总结归纳 三角形按边 分类 不等边三角形 等腰三角形 我们可以把三角形按照三边情况进行分类 腰和底不等的 等腰三角形 等边三角形 （三边都相等 的三角形） 判断： （2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ） （1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ ） √ × （3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ）× （4）等边三角形是锐角三角形.（ ） （5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ ）× √ 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它 选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？ C BA AC+CB>AB（两点之间线段最短） 三角形的三边关系 A B C 路线1：从A到C再到B的路线走； 路线2：沿线段AB走. 请问：路线1、路线2 哪条路程较短，你能 说出根据吗？ 解：路线2较短；两点之间线段最短. 由此可以得到： ABBCAC  BCABAC  ACBCAB  归纳总结 三角形两边的和大于第三边. 三角形两边的差小于第三边. 议一议 1.在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么 大小关系? 2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么 大小关系? 3.三角形三边有怎样的不等关系? 通过动手实验同学们可以得到哪些结论?理由是什么？ 例1 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度 为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长 度为13cm的木棒呢？ 判断三条线段是否可以组成三角形，只需 说明两条较短线段之和大于第三条线段即可. 解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7<8，出现了两边 之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形.取长 度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于 第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形. 归纳 典例精析 例2 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么 x的取值范围是(　　) A．3＜x＜11 B．4＜x＜7 C．－3＜x＜11 D．x＞3 判断三角形边的取值范围要同时运用两边 之和大于第三边，两边之差小于第三边． 归纳 解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x， ∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11. A 例3 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么 ？ 解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm, x+2x+2x=18. 解得 x=3.6. 所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm. (2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边， 所以需要分情况讨论. ①若底边长为4cm，设腰长为xcm,则有 4+2x=18. 解得 x=7. ②若腰长为4cm,设底边长为xcm，则有 2×4+x=18. 解得 x=10. 因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边， 所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形. 由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形. 例4 如图，D是△ABC 的边AC上一点，AD=BD， 试判断AC 与BC 的大小. 解：在△BDC 中， 有 BD+DC >BC（三角形的 任意两边之和大于第三边）. 又因为 AD = BD， 则BD+DC = AD+DC = AC， 所以 AC >BC. 当堂练习 1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1） 3，4，8 （ ） （2） 2，5，6 （ ） （3） 5，6，10 （ ） （4） 3，5，8 （ ） 不能 能 能 不能 4.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm, 则这个等腰三角形的周长为______________. 3.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm, 则这个等腰三角形的周长为______________. 2.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以 其中三条线为边长可以构成________个三角形.3 22cm 18cm或21cm 5.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求 第三边的长. 解：设第三边长为x,根据三角形的三边关系，可得， 7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9， 又x为奇数，则第三边的长为7. 6.若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c| ＋|b－c－a|＋|c＋a－b|. 解：根据三角形的三边关系，两边之和 大于第三边，得 a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0. ∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b| ＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b ＝3c＋a－b. 拓展提升 课堂小结 三角形 定义及其 基本要素 顶点、角、边 分 类 按角分类 按边分类分类 不重不漏 三边关系 原理 两点之间线段最短 内容 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 |a-b|b,x为 第三边） 应用 第十一章 三角形 11.1与三角形有关的 线段 第2课时 学习目标 1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点） 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点） 复习回顾导入新课 定义 图示 垂线 线段 中点 角平 分线 O B A A B 当两条直线相交所成的四个角中，有 一个角是直角时，就说这两条直线互 相垂直，其中一条直线叫做另一条直 线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 一条射线把一个角分成两个相等的 角，这条射线叫做这个角的平分线 你还记得 “过一点画已 知直线的垂线” 吗? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 放、靠、过、 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 画. 思考：过三角形的一个顶点， 你能画出它的对边的垂线吗? 复习导入 导入新课 三角形的高的定义 A 从三角形的一个顶点， B C 向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足 D 之间的线段 叫作三角形的高线， 简称三角形的高. 如右图, 线段AD是BC边上的高. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 讲授新课 和垂足的字母. 注意 标明垂直的记号 三角形的高 思考：你还能画出一条高来吗？ 一个三角形有三个顶点， 应该有三条高. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O 锐角三角形的三条高交于同一点； 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形的三条高 如图所示； 直角边BC边上的高是 ; 直角边AB边上的高是 ; (2) AC边上的高是 ; 直角三角形的三条高 A B C (1) 画出直角三角形的三条高, AB BC 它们有怎样的位置关系？ D 直角三角形的三条高交于直角顶点. BD 钝角三角形的三条高 A B CD E F (2) AC边上的高呢？AB边上呢？ BC边上呢？ BF CE AD (3)钝角三角形的三条高 交于一点吗？ (4)它们所在的直线交于 一点吗？ 钝角三角形的三条高 不相交于一点； 钝角三角形的三条高所在直线交于一点. 例1 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正 确的是(　　) 典例精析 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边 所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． D 例2 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5， BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在 边AC上移动，则BP的最小值为____． 方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积) 求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”． 24 5 例3 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE 是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°， 求∠ADB的度数． 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝∠BAD＝30°. ∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°， ∴∠B＝50°， ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－30°－50°＝100°. 在三角形中，连接一个顶 点与它对边中点的线段，叫作 这个三角形的中线(median). AE是BC边上的中线. 三角形的“中线” B A C A BE=EC E 三角形的中线 (1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线. 你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的 位置关系? 议一议 三条中线， 交于一点 (2)钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？ 折一折，画一画，并与同伴交流. 三角形的三条中线交于一点，这个交点 就是三角形的重心. 要点归纳 典例精析 例4 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的 中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm， 则BA＝________. 提示：将△ABD与△ADC的周长之差转化为 边长的差. 7cm 思考 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设 法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折 纸的方法得到它吗? 三角形的角平分线 B A C 用量角器画最简便，用圆规也能. 在一张纸上画出 一个一个三角形并剪 下，将它的一个角对 折，使其两边重合. 折痕AD即为三角形的∠A的平分线. A B C 三角形的角平分线的定义: 在三角形中，一个内 角的平分线与它的对边相 交，这个角的顶点与交点 之间的线段叫三角形的角 平分线. 1 2 A B CD 注意：“三角形的角平分线”是一条线段. ∠1=∠2 做一做 三角形的三条角平分线交于同一点. 三角形角平分线的性质 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°， ∴∠DAC＝∠BAD＝34°. 在△ABD中， ∠B+∠ADB+∠BAD＝180°， ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－36°－34°＝110°. 例5 如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°， AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数. A B D C D C B A D C B A 2 1 D C B A 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点 向它的对边所在的直 线作垂线,顶点和垂足 之间的线段 ∵AD是△ABC的高线. ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 三角形中,连结一个顶 点和它对边中的线段 ∵ AD是△ABC的BC上 的中线. ∴ BD=CD= ½BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平 分线与它的对边相交, 这个角顶点与交点之 间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC 的平分线 ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC 知识归纳 当堂练习 1．下列说法正确的是 （　　） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 B 2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在 以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE； ③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ D 3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作 为△ABC的高的有 （ ） （ A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 B D 5.填空： （1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则 AB= 2＿＿,BD= ＿＿，AE= ＿＿ (2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线， 则∠1= ＿＿， ∠3=_________， ∠ACB=2______. 图① 图② AF DC ∠2 2∠4 AC1 2 ∠ABC1 2 6.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC 的周长为25cm,求ΔADC的周长. A D B C 解：∵CD是△ABC的中线， ∴BD＝AD， ∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm， 则BD+CD＝25－BC. ∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC ＝BD＋CD＋AC ＝25-BC＋AC ＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm. 7.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°, ∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数. A B C E解：∵ＡE是△ABC的角平分线， ∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°, ∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－ 60°=75°，∴∠BAE=37.5°. ∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°， ∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°. ∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.1 2 8.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是 △ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°， 求∠DAE的大小. 解： ∵ AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°. ∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°， ∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C ) =180°－90°－40°=50°. ∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°， ∴∠CAE=41°， ∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°. B A CD E 课堂小结 三 角 形 重 要 线 段 高 钝角三角形两短边上的高的画法 中 线 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两 个三角形，这两个三角形的周长 差等于原三角形其余两边的差 角平分线 第十一章 三角形 11.1与三角形有关的 线段 第3课时 1.了解三角形的稳定性.（重点） 2.了解三角形的稳定性和四边形不稳定性的应用. （难点） 学习目标 生活小常识 盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先 在窗框上斜钉一根木条，如图，为什么要这样做呢？ 导入新课 动手做一做 1.将三根木条用钉子钉成一个三角形木架. 2.将四根木条用钉子钉成一个四边形木架. 讲授新课 三角形的稳定性 请同学们看看:三角形和四边形的模型, 扭一扭模型,它们的形状会改变吗? 不会 会 1.三角形具有稳定性. 2.四边形没有稳定性. 发现 u理解“稳定性” “只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形 状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做 “三角形的稳定性”. 这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动” 的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和 大小就确定了”. 你能举出一些现实生活中的应用了三角形 稳定性的例子吗? 观察上面这些图片，你发现了什么？ 这说明三角形有它所独有的性质，是什 么呢？我们通过实验来探讨三角形的特性. 发现这些物体都用到了三角形，为什么呢？ 讨论 具有稳定性 不具有稳定性 不具有稳定性 具有稳定性 具有稳定性不具有稳定性 练一练 下列图形中哪些具有稳定性. 四边形的不稳定性是我们常常需要克服的， 那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价 值呢？如果有，你能举出实例吗？ 想一想 四边形不稳定性的应用 四边形的不稳定性有广泛的应用 活 动 晾 衣 架 伸缩门 遮 阳 棚 将四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接 起来,然后再扭动它,这时木架的形状还会改变吗? 做一做 思考：四边形没有稳定性,怎样使它稳定呢? 1.牧民阿其木家用于圈羊的木栅门，由于年久 失修已经变成如图甲，为什么会变形？　 2.为了恢复成原样图乙，而且要保持形状不 变，他该怎么做呢？ (甲) (乙) 帮帮忙 盖房子时,在窗框未安装好之前,工人师傅常常先在窗 框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢? 三角形的稳定性 回顾情景引入问题: 钉子架容易转动,怎样做可以使它稳定? 例：要使四边形木架不变形,至少要钉上一根木条,把它分成 两个三角形使它保持形状,那么要使五边形,六边形木架,七边 形木架保持稳定该怎么办呢? 典例精析 方法总结：为了使多边形具有稳定性，一般需要用木条 将多边形固定成由一个一个的三角形组成的形式. 1.下列图中具有稳定性有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 当堂练习 2.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说 法正确的是 ( ) A.稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的 B.稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值 C.稳定性和不稳定性均有利用价值 D.以上说法都不对 C 3.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框 ABCD，使其不变形，这种做法的根据是( )D B A E F C D A.两点之间线段最短 B.三角形两边之和大于第三边 C.长方形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性 4.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是 为了 ( ) A.节省材料,节约成本 B.保持对称 C.利用三角形的稳定性 D美观漂亮 C 课堂小结 应用稳 定 性三 角 形 独 有 性 质 四边形具有不稳定性