第十三章轴对称13-1轴对称13-1-2线段的垂直平分线的性质第1课时线段垂直平分线的性质和判定教学课件新版 人教版

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13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第十三章 轴对称 第 1 课时 线段的垂直平分线的性质和判定 学习目标 1. 理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法． ( 重点） 2 .会用尺规过一点 作 已知直线的垂线. 3. 能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．（难点） 导入新课 问题引入 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A 、 B 、 C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C 讲授新课 线段垂直平分线的性质 一 如图，直线 l 垂直平分线段 AB ， P 1 ， P 2 ， P 3 ， … 是 l 上的点，请你量一量线段 P 1 A ， P 1 B ， P 2 A ， P 2 B ， P 3 A ， P 3 B 的长，你能发现什么？请猜想点 P 1 ， P 2 ， P 3 ， … 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系 ． A B l P 1 P 2 P 3 探究发现 P 1 A ____ P 1 B P 2 A ____ P 2 B P 3 A ____ P 3 B ＝ ＝ ＝ 猜想： 点 P 1 ， P 2 ， P 3 ， … 到点 A 与点 B 的距离分别 相等． 命题 ：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 . 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 已知：如图，直线 l ⊥ AB ，垂足为 C ， AC =CB ，点 P 在 l 上． 求证： PA =PB ． 　 证明： ∵　 l ⊥ AB ， ∴ ∠ PCA =∠ PCB ． 　　 又 AC = CB ， PC = PC ， 　　∴ △ PCA ≌ △ PCB （ SAS ）． 　　∴ PA =PB ． P A B l C 验证结论 例 1 如图，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 20cm ， DE 垂直平分 AB ，垂足为 E ，交 AC 于 D ，若 △ DBC 的周长为 35cm ，则 BC 的长为 ( 　　 ) A ． 5cm B ． 10cm C ． 15cm D ． 17.5cm 典例精析 C 解析： ∵△ DBC 的周长为 BC ＋ BD ＋ CD ＝ 35cm ，又 ∵ DE 垂直平分 AB ， ∴ AD ＝ BD ，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm， ∴BC＝35－20＝15 ( cm ) .故选C. 方法归纳： 利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 练一练： 1. 如图①所示，直线 CD 是线段 A B 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA =5 ，则线段 PB 的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 如图②所示，在 △ ABC 中， BC =8cm, 边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交边 AC 于点 E , △ BCE 的周长等于 18cm, 则 AC 的长是 . B 10cm P A B C D 图 ① A B C D E 图 ② 例 2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线 . A B C D E K 已知：直线 AB 和 AB 外一点 C . 求作： AB 的垂线，使它经过点 C . 作法 ： （ 1 ） 任意取一点 K ， 使 点 K 和 点 C 在 AB 的两旁 . （ 2 ） 以点 C 为圆心， CK 长为半径作弧，交 AB 于点 D 和点 E . （ 4 ） 作直线 CF . 直线 CF 就是所求作的垂线 . （ 3 ） 分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F . F （ 1 ）为什么任意取一点 K ， 使点 K 与点 C 在直线两旁？ （ 2 ）为什么要以大于 的长为半径作弧？ （ 3 ）为什么直线 CF 就是所求作的垂线？ 想一想： 例 3 已知 : 如图 , 在 ΔABC 中 , 边 AB ， BC 的垂直平分线交于 P. 求证： PA=PB=PC. B A C M N M' N' P PA=PB=PC PB=PC 点 P 在线段 BC 的垂直平分线上 PA=PB 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 解析： 证明： ∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线 MN 上， ∴ PA=PB. 同理 PB=PC. ∴ PA=PB=PC. 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等 . 现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？ 例 4 如图，在四边形 ABCD 中， AD∥BC ， E 为 CD 的中点，连接 AE 、 BE ， BE ⊥ AE ，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F . 求证： (1) FC ＝ AD ； (2) AB ＝ BC ＋ AD . 解析： (1) 根据 AD∥BC 可知 ∠ ADC ＝ ∠ ECF ，再根据 E 是 CD 的中点可得出 △ ADE ≌ △ FCE ，根据全等三角形的性质即可解答． (2) 先根据线段垂直平分线的性质得出出 AB ＝ BF ，再结合（ 1 ）即可解答． 证明： (1)∵ AD∥BC ， ∴∠ ADC ＝ ∠ ECF . ∵ E 是 CD 的中点， ∴ DE ＝ EC . 又 ∵∠ AED ＝ ∠ CEF ， ∴△ ADE ≌ △ FCE ， ∴ FC ＝ AD . (2)∵△ ADE ≌ △ FCE ， ∴ AE ＝ EF ， AD ＝ CF . ∵ BE ⊥ AE ， ∴ BE 是线段 AF 的垂直平分线， ∴ AB ＝ BF ＝ BC ＋ CF . ∵ AD ＝ CF ， ∴ AB ＝ BC ＋ AD . 线段垂直平分线的判定 二 想一想： 如果 PA = PB , 那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ P A B 合作探究 已知：如图， PA = PB ． 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 证明：过点 P 作 AB 的垂线 PC ， 垂足为点 C ． 则 ∠ PCA = ∠ PCB =90° ． 在 Rt△ PCA 和 Rt△ PCB 中， PA =PB ， PC =PC ， ∴ Rt△ PCA ≌ Rt△ PCB （ HL ）． ∴ AC = BC ． 又 PC ⊥ AB ， ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． P A B C 知识要点 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 应用格式： ∵ 　 PA =PB ， ∴　 点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 作用： 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 . 　 这些点能组成什么几何图形？ 你能再找一些到线段 AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段 AB 两端点距离相等的点？ 　 与 A ， B 的距离相等的点都在直线 l 上，所以直线 l 可以看成与 A 、 B 两点 的距离相等的所有点的集合 . P A B C l 应用格式： ∵　 AB =AC ， MB =MC ， ∴　直线 AM 是线段 BC 的垂直 平分线． A B C D M 这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法 . 例 5 已知：如图，点 E 是 ∠ AOB 的平分线上一点， EC ⊥ OA,ED ⊥ OB , 垂足分别为 C,D ， 连接 CD . 求证： OE 是 CD 的垂直平分线 . A B O E D C 证明： ∵ OE 平分 ∠ AOB,EC ⊥ OA,ED ⊥ OB , ∴ DE = CE . ∴ OE 是 CD 的垂直平分线 . 又 ∵ OE = OE ， ∴ Rt △ OED ≌ Rt △ OEC . ∴ DO = CO . 当堂练习 1. 如图所示， AC = AD , BC=BD , 则下列说法正确的是（　　　） A ． AB 垂直平分 CD ； B ． CD 垂直平分 AB ； C ． AB 与 CD 互相垂直平分； D ． CD 平分∠ ACB ． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ A 2. 在锐角三角形 ABC 内一点 P , ，满足 PA = PB = PC , 则点 P 是 △ ABC ( ) A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 D 4. 下列说法： ①若点 P 、 E 是线段 AB 的垂直平分线上两点，则 EA ＝ EB ， PA ＝ PB ； ②若 PA ＝ PB ， EA ＝ EB ， 则直线 PE 垂直平分线段 AB ； ③若 PA ＝ PB ， 则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的点； ④若 EA ＝ EB ，则经过点 E 的直线垂直平分线段 AB ． 其中正确的有 （填序号） . ① ② ③ 3. 已知线段 AB ，在平面上找到三个点 D 、 E 、 F ， 使 DA ＝ DB ， EA ＝ EB,FA ＝ FB ， 这样的点的组合共有 　　　　 种 . 无数 5. 如图， △ ABC 中， AB = AC , AB 的垂直平分线交 AC 于 E , 连接 BE ， AB + BC =16cm, 则 △ BCE 的周长是 cm . A B C D E 16 6. 如图所示，在 △ ABC 中， AD 平分 ∠ BAC ， DE ⊥ AB 于点 E ， DF ⊥ AC 于点 F ，试说明 AD 与 EF 的关系． 解： AD 垂直平分 EF . ∵ AD 平分 ∠ BAC ， DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ， ∴∠ EAD ＝ ∠ FAD ， ∠AED ＝ ∠AFD=90 ° . 又 ∵AD ＝ AD ， ∴△ ADE ≌ △ ADF ， ∴ AE ＝ AF ， DE ＝ DF . ∴ A 、 D 均在线段 EF 的垂直平分线上，即直线 AD 垂直平分线段 EF . A B C D E F 7. 如图，在四边形 ADBC 中， AB 与 CD 互相垂直平分，垂足为点 O . (1)找出图中相等的线段； (2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系． 解析： (1) 由垂直平分线的性质可得出相等的线段； (2) 由条件可证明 △ AOC ≌ △ AOD ，可得 AO 平分 ∠ DAC ，根据角平分线的性质可得 OE ＝ OF . 拓展提升： 解： (1)∵ AB 、 CD 互相垂直平分， ∴ OC ＝ OD ， AO ＝ OB ， 且 AC ＝ BC ＝ AD ＝ BD ； (2) OE ＝ OF ，理由如下： 在 △ AOC 和 △ AOD 中， ∵AC=AD ， AO ＝ AO ， OC ＝ OD ， ∴△ AOC ≌ △ AOD (SSS) ， ∴∠ CAO ＝ ∠ DAO . 又 ∵ OE ⊥ AC ， OF ⊥ AD ， ∴ OE ＝ OF . 课堂小结 线段的垂直平分的性质和判定 性质 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线上