2020人教版八年级上数学第十三章轴对称单元全套课件

2020人教版八年级上数学第十三章轴对称单元全套课件

[ 人教版 ] 八年级年级数学上册优质课件 [ 教育部审定教材 ] RJ· 数学 第十三章 轴对称 目 录 使用说明：点击对应课时，就会跳转到相应章节内容，方便使用。 13.1.1 轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 13.2 画轴对称图形 13.3.1 等腰三角形 13.3.2 等边三角形 13.4 课题学习 最短路径问题 13.1 轴对称 13.1.1 轴 对称 人教 版 数学 八 年级 上册 　　　 对称现象无处不 在，从 自然景观到艺术 作品，从 建筑物到交通标 志，甚 至日常生活用 品，都可以 找到对称的例 子，对 称给我们带来美 的享受 ！ 导入新知 素养目标 1. 了解 轴对称图形 和两个图形 关于某直线对称 的概 念， 了 解轴对称图形与两个图形关于某直线对称的区别和联系 . 2 . 能 识别简单的 轴对称图形 及其对称轴（直线 ），能 找出两个图形关于某直线对称的对称点 . 3. 了解线段垂直平分线的定义 . 4. 掌握图形 轴对称 的性质 . 如图，把 一张纸对 折，剪 出一个图案（ 折痕 处不要完全剪断 ），再 打开这张对折的 纸，就 得到 了美丽 的 窗花． 观察得到的窗 花，你 能发现它们有什么 共同 的特点吗？ 轴对称图形的定义 探究新知 知识点 1 【 思考 】 你 能举出一些轴对称图形的例子吗？ 　　 如果一个平面图形沿一条直线折 叠，直 线两旁的 部分 能够 互相重 合 ，这 个图形就叫做 轴对称图 形 ，这 条 直线 就是它的 对称轴 ．这 时，我 们也说这个图形关于这 条直线 （成轴）对称 ． 探究新知 归纳总结 下面这些图形是不是轴对称图形？ 是 是 是 不是 探究新知 1. 下面四幅图中是 轴对称图形的 有几个？ √ √ √ 巩固练习 共同 特征： 　　每一对图形沿着虚线折 叠，左 边的图形都能与右边的图形重合． 观察 下面每对图形（如图 ），你 能类比 前面 的内容概括出它们的共同特征吗？ 轴对称的定义 探究新知 知识点 2 A C B 【 思考 】 你 能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？ 　　 把一个图形沿着某一条直线折 叠，如 果它能够与 另一 个图形 重 合 ，那 么就说这两个图形 关于这条直线（ 成轴 ）对 称 ，这 条直线叫做 对称 轴 ，折 叠后重合的点是 对应点，叫 做 对称点 ． 探究新知 归纳总结 两者 的联系： 　　把成轴对称的两个图形看成一个整 体，它 就是一 个轴对称 图形．把一个轴对称图形沿对称轴分成两个 图形，这 两个图形关于这条轴对称． 　　 你 能结合具体的图形说明轴对称图形和轴对称的区别和联系吗？ 两者的区别： 　　 轴对称图形 指的是 一个图形 沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重 合，而 两个图形成 轴对称 指的是 两个图形 之间的位置关 系，这 两个图形沿对称轴折叠后能够重合． 探究新知 轴对称图形 两个图形成轴对称 区别 ＿个图形 ＿个图形 联 系 1. 沿 一条直线折 叠，直 线两旁的部分能够 ＿＿＿＿ _ ． 2. 都 有 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ________________________________________ ． 3. 如果 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图 形，那 么这两个图形关于这条直线＿＿＿；如果把两个成轴对称的图形看成一个图 形，那 么这个图形就是 ＿＿＿＿ __ ． 一 两 互相重合 对称 轴，轴 对称图形可能不止一条对称 轴，轴 对称只有一条 对称 轴对称图形 探究新知 比较 归纳 2 . 下面这些图形是轴对称图形吗？如果 是，有 几条对称轴？ 巩固练习 1 条 2 条 4 条 无数条 巩固练习 你 能说明 其中的 道理吗？ 如图，△ ABC 和△ A ′ B ′ C ′ 关于直线 MN 对称，点 A ′ ， B ′ ， C ′ 分别是点 A ， B ， C 的对称 点，线段 AA ′ ， BB ′ ， CC ′ 与直线 MN 有什么关系？ A B C M N P A ′ B ′ C ′ 垂直平分线的定义 探究新知 知识点 3 想一想 【 思考 】 上面 的问题说明“如果△ ABC 和△ A ′ B ′ C ′ 关于直线 MN 对 称，那么，直 线 MN 垂直于线段 AA ′ ， BB ′ 和 CC ′ ，并 且直线 MN 还平分 线段 AA ′ ， BB ′ 和 CC ′” ． 如果 将其中的“三角形” 改为“四边形” “五边形” …… 其他 条件不 变，上 述结论还 成立 吗？ A B C M N P A ′ B ′ C ′ 探究新知 　　 经过线段 中点并且 垂直于 这条线段的直 线， 叫 做 这条 线段的 垂直平分线． A B C M N P A ′ B ′ C ′ 探究新知 归纳总结 成 轴对称的两个图形的性质： 　　 如果两个图形关于某 条直线 对 称，那 么 对称轴 是 任何 一对对应点所连线段 的 垂直平分线 ．即 对称点所连 线段 被对称轴垂直平分； 对称轴 垂直平分对称点所连线段． A B C M N P A ′ B ′ C ′ 探究新知 归纳总结 结论 ： 　　 直线 l 垂直于线段 AA ′ ， BB ′ ，直线 l 平分线段 AA ′ ， BB ′ （或 直线 l 是线段 AA ′ ， BB ′ 的 垂直平分线 ）． 【 思考 】 下 图是一个轴对称图 形，你 能发现什么 结论 ？能说明理由吗？ A B l A ′ B ′ 探究新知 轴对称 图形的性质： 轴对称图形的 对称 轴， 是任何一对 对应点所连线段的垂直平分线． A B l A ′ B ′ 探究新知 归纳总结 　　 3 . 下列图形 是轴对称图形吗？ 如果是，指 出它的对称轴． 是，一 条 是，一 条 是，一 条 不是 是，四 条 巩固练习 4. 下列图形 中的两个图案是 轴对称的 吗？如果 是，试 着找出它们的对称 轴，并 找出 一对对称点 ． 是 不是 是 巩固练习 1 . 下列 图形具有两条对称轴的是（　　） A ．等边三角形 B ． 平行四边形 C ． 矩形 D ．正方形 连接中考 A B C D 2 . 下列 四个图案 中 ， 不 是轴对称图案的是（　　） C B 巩固练习 1 . 被 誉为 全国第三大露天碑林的“浯溪碑林 ” ， 摩 崖上铭刻着500多方古今名家碑 文 ， 其 中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价 值 ， 下 面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（　　） A． B ． C ． D ． 基础巩固题 2 . 如 图所示的五角星是轴对称图 形 ， 它 的对称轴共有（　　 ） A．1条 B ．3条 C．5条 D ．无数条 C C 课堂检测 3. 下面是我们熟悉的四个交通标志图 形 ， 请 从几何图形的性质考虑哪一个与其他三个不同？请指出这个图 形 ， 并 说明理由 . 答：这个图形 是 ______ （写出序号即可 ）， 理 由是 ______________________. ④ 只有它不是轴对称图形 课堂检测 基础巩固题 1. 下面的图形 是否是轴对称图 形 ， 如 果 是 ， 有 几条对称轴？画画看 . 能力提升题 课堂检测 2. 英文 26 个大写字母中哪些是轴对称图形？ 解： A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 H 、 I 、 K 、 M 、 O 、 T 、 U 、 V 、 W 、 X 、 Y 是轴对称图形 . 3. 你能 列 举出三个是轴对称图形的几何图形吗？ 解： 正方形、长方形、圆 . （答案不唯一） 课堂检测 能力提升题 小 强站在镜子 前 ， 从 镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子 钟 ， 其 读数如图所 示 ， 则 电子钟的实际时刻是 ________. 10 ： 21 拓广探索题 课堂检测 轴对称 轴对称图形 两个图形成轴对称 垂直平分线 区别 联系 对称轴是任何一对 对应点 所连线段的垂直平分线 课堂小结 A C B 13.1 轴对称 13.1.2 线 段的垂直平分线的性质 人教 版 数学 八 年级 上册 第一课时 第二课时 第 一 课 时 线段的垂直平分线的性质 某区 政府为了方便居民的生 活，计 划在三个住宅小区 A 、 B 、 C 之间修建一个购物中 心，试问，该 购物中心应建于何 处，才 能使得它到三个小区的距离 相等？ A B C 实际问题 1 导入新知 A B L 实际问题 2 在 成渝高速公路 L 的同 侧，有 两个化工厂 A 、 B ，为 了便于两厂的工人看 病，市 政府计划在公路边上修建一所医 院，使 得两个工厂的工人都没意 见，问 医院的院址应选在何处？ 成 渝 高 速 公 路 导入新知 3. 会用尺 规经过 已知直线外一点作这条直线的垂 线，了 解作图的道理 . 1. 理解 线段垂直平分线 的性质和判定 ． 2. 能 运用 线段垂直平分线的性质和判定 解决实际问题 ． 素养目标 　　 你能用不同的方法 验证这 一结论吗？ 如图，直 线 l 垂直平分线 段 AB ， P 1 ， P 2 ， P 3 …… 是 l 上的 点，请 猜想点 P 1 ， P 2 ， P 3 …… 到点 A 与点 B 的 距离 之间的数量 关系 . 相等 ． A B l P 1 P 2 P 3 线段的垂直平分线的性质定理 探究新知 知识点 1 猜想： “线段垂直平分线上的点到线段两端点的 距离 相等 ．” 　　 已知： 如 图，直 线 l ⊥ AB ，垂 足为 C ， AC = CB ，点 P 在 l 上． 　　 求证： PA = PB ． A B P C l 探究新知 猜想与证明 用符号语言表示为 ： ∵ CA = CB ， l ⊥ AB ，∴ PA = PB ． 证明： ∵ 　 l ⊥ AB ， ∴ ∠ PCA =∠ PCB ． 　　 又 AC = CB ， PC = PC ， 　　 ∴ △ PCA ≌△ PCB （ SAS ） ． 　　 ∴ PA = PB ． A B P C l 探究新知 线段 垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等 ． 探究新知 归纳总结 1. 如图，在 △ ABC 中， BC =8 ， AB 的 垂直平分线交 BC 于 D ， AC 的垂直平分线 交 BC 与 E ，则 △ ADE 的周长 等于 ___ ． A B C D E 8 巩固练习 解 ： ∵　 AD ⊥ BC ， BD = DC ， ∴　 AD 是 BC 的垂直平分 线 ， ∴　 AB = AC ． ∵ 　 点 C 在 AE 的 垂直平分线上 ， ∴ 　 AC = CE ． 2. 如图， AD ⊥ BC ， BD = DC ，点 C 在 AE 的垂直平分线上， AB ， AC ， CE 的 长度有什么关系 ？ AB + BD 与 DE 有 什么关系？ A B C D E 巩固练习 　 ∴ AB = AC = CE ． ∵ 　 AB = CE ， BD = DC ， ∴ 　 AB + BD = CD + CE ． 即 　 AB + BD = DE ． 　　反过 来，如 果 PA = PB ，那 么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线 上呢？ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 已知 ： 如 图 ， PA = PB ． 求证 ： 点 P 在线段 AB 的垂直平 分线上． P A B C 线段的垂直平分线的判定定理 探究新知 知识点 2 证明： 过点 P 作线段 AB 的垂线 PC ， 垂足为 C ． 则 ∠ PCA = ∠ PCB =90° ． 在 Rt△ PCA 和 Rt△ PCB 中 ， ∵　 PA = PB ， PC = PC ， ∴ Rt△ PCA ≌Rt△ PCB （ HL ）． ∴ AC = BC ． 又 PC ⊥ AB ， ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 ． P A B C 探究新知 用 数学符号表示为： ∵ 　 PA = PB ， ∴　点 P 在 AB 的垂直平分线上． 　　到一条线段两个端点距离 相等 的 点，在 这条线段的 垂直平分线 上． P A B C 探究新知 这些 点能组成什么几何图形？ 　　 你 能再找一些到线段 AB 两端点的距离相等的点吗 ？能 找到多少个到线段 AB 两端点距离相等的点？ 　　在线段 AB 的 垂直平分线 l 上 的点 与 A ， B 的距离都相等 ；反过 来， 与 A ， B 的距离相等的点都在直线 l 上 ，所 以直线 l 可以看成与两点 A 、 B 的距离相等的所有点的集合． P A B C l 探究新知 试一试： 例 1 如图，已 知：在△ ABC 中， AB ＝ AC ， O 是△ ABC 内一 点，且 OB ＝ OC ，求 证： AO ⊥ BC . 证明： ∵ OB ＝ OC ， ∴ 点 O 在 BC 的垂直平分线 上 ， 又 AB ＝ AC ， ∴ 点 A 在 BC 的垂直平分线 上 ， 即 A ， O 均在 BC 的垂直平分线 上， ∴ AO ⊥ BC 线段垂直平分线的判定定理的应用 探究新知 素养考点 1 3. 如图，已 知在△ ABC 中， ON 是 AB 的垂直平分 线，并 且 OA = OC ． 求证：点 O 在 BC 的垂直平分线上 . A B C O N 巩固练习 ∴ 点 O 在 BC 的垂直平分线上 . （ 到一条线段的两个端点距离相等的 点，在 这条线段的垂直平分线 上） A B C O N 证明： 连结 OB . ∵ ON 是 AB 的垂直平分线（已知） ∴ OA = OB （线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等） ∵ OA = OC （已知） ∴ OB = OC （等量代换） 巩固练习 　　如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知 直线的 垂线？ C A B D K F E 过直线外一点作已知直线的垂线 作法： （ 1 ）任意取一点 K ，使 点 K 和点 C 在 AB 的两旁 . （ 2 ）以点 C 为圆 心， CK 长为半径作 弧，交 AB 于点 D 和 E . （ 3 ）分别以点 D 和点 E 为圆 心，大于 的长 为 半径作 弧，两 弧相交于点 F. （ 4 ）作直线 CF . 直线 CF 就是所求作的垂线 . 探究新知 知识点 3 （ 1 ）为什么任意取一点 K ， 使 点 K 与点 C 在直线两旁？ （ 2 ）为什么要以大于 的 长为半径作弧？ （ 3 ）为什么直线 CF 就是所求作的垂线？ 探究新知 想一想 4 . 如图，求 作点 P ，使 PA ＝ PB ，且 点 P 到∠ MON 两边的距离相等． 解： (1) 作∠ MON 的角平分 线； 　 ( 2) 作线段 AB 的垂直平分线与∠ MON 的平分线交于点 P ，那么，点 P 即为所求作的 点 . 巩固练习 连接中考 1 . 如图 ， 在 △ ABC 中 ， DE 是 AC 的垂直平分 线 ， 且 分别交 BC ， AC 于点 D 和 E ， ∠ B =60 ° ， ∠ C =25 ° ， 则 ∠ BAD 为（　　） A．50° B．70° C．75° D．80° 2 . 如图 ， 在 △ ABC 中 ， AF 平分∠ BAC ， AC 的垂直平分线交 BC 于点 E ， ∠ B =70 ° ， ∠ FAE =19 ° ， 则 ∠ C = 　 　 度． B 24 巩固练习 1 ． 如 图，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 20 cm ， DE 垂直平分 AB ，垂 足为 E ，交 AC 于点 D ，若 △ DBC 的周长为 35 cm ，则 BC 的长为 ( 　　 ) A ． 5 cm 　　 B ． 10 cm 　　 C ． 15 cm 　　 D ． 17.5 cm 基础巩固题 C 课堂检测 2. 如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边 上，那 么这个三角形是 ( 　　 ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 C C 课堂检测 基础巩固题 3 ． 如 图， CD 是 AB 的垂直平分 线，若 AC ＝ 1.6 cm ， BD ＝ 2.3 cm ，则 四边形 ACBD 的周长为 cm. 7.8 4 . 如图，在 △ ABC 中， D 为 BC 上一 点，且 BC ＝ BD ＋ AD ，则 点 D 在线段 __________ 的垂直平分线上． AC 解析： ∵ BC = BD + AD ， 又 ∵ BC = BD + DC ， ∴ AD = DC . ∴ 点 D 在线段 AC 的垂直平分线上 . 课堂检测 基础巩固题 1. 如图，点 A ， B ， C 表示某公司三个车间的位 置，现 要建一个仓 库，要 求它到三个车间的距离相 等，则 仓库应建在什么位置？ 能力提升题 答： △ ABC 三边垂直平分线的交点 上 . 课堂检测 2. 如 图，已 知 E 为∠ AOB 的平分线上一 点， EC ⊥ OA ， ED ⊥ OB ，垂 足分别为 C ， D . 求证： OE 垂直平分 CD . 证明： ∵ E 在∠ AOB 的平分线 上， ED ⊥ OB 于 D . EC ⊥ OA 于 C ， ∴ ED ＝ EC 在 Rt△ EDO 和 Rt△ ECO 中， ED ＝ EC ， OE ＝ OE ∴Rt△ EDO ≌Rt△ ECO （ HL ） ∴ OD ＝ OC ∴ O ， E 都在 CD 的垂直平分线 上， ∴ OE 垂直平分 CD . 课堂检测 能力提升题 如图，已 知 AB 比 AC 长 2 cm ， BC 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交 BC 于点 E ，△ ACD 的周长是 14 cm ，求 AB 和 AC 的长． 拓广探索题 课堂检测 解： ∵ DE 垂直平分 BC ， ∴ DB ＝ DC . ∵ AC ＋ AD ＋ DC ＝ 14 cm ， ∴ AC ＋ AD ＋ BD ＝ 14 cm. 即 AC ＋ AB ＝ 14 cm. 设 AB ＝ x cm ， AC ＝ y cm. 根据题 意，得 解得 ∴ AB 长为 8 cm ， AC 长为 6 cm. 线段的垂直平分线 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 相等 . 判定 与一条线段两个端点距离相等的 点，在 这条线段的垂直平分线 上 . 集合 定义 线段的垂直平分线的集合定义： 线段 的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的 集合 . 关系 PA=PB 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 与一条线段两个端点距离相等的 点，在 这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 课堂小结 第二课 时 作线 段的垂直平分 线 如图， A ， B 是路边两个新建小 区，要 在公路边增设一个公共汽车 站，使 两个小区到车站的路程一样 长，该 公共汽车站应建在什么地方？ A B 公路 导入新知 素养目标 3. 能够 运用尺规作图的方法解决简单的 作图 问题． 1. 能 用尺规作已知线段的 垂直平分线 ． 2. 进一步 了解尺规作图的一般步骤和作图语 言，理 解作图的依据． 线段垂直平分线的画法 有时 我们感觉一（两）个平面图形是轴对称 的，如 何验证呢？ A B C A ′ B ′ C ′ 通过 折 叠，如 果这（两）个图形能够互相重 合，则 这（两）个图形是轴对称图形 . 不 折叠图 形，你 能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？ 探究新知 知识点 1 问题1： 问题 2 ： 如图，点 A 和点 B 关于某条直线成轴对 称，你 能作出这条直线吗？ A B 分析： 我们只要连接点 A 和点 B ， 作 出 线段 AB 的垂直平分 线 ，就 可得到点 A 和点 B 的对称轴 . 为此作出 到点 A ， B 的距离相等的两 点 ，即 线段 AB 的垂直平分线上的两 点，从 而 作出线段 AB 的垂直平分线 . 探究新知 画一画 A B C D 作法： （ 1 ）分别以点 A ， B 为圆 心，以 大于 AB 的长为半径 作 弧，两 弧交于 C ， D 两点 . （ 2 ） 作直线 CD . CD 即为所求 . 特别说明： 这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作 图，我 们也可以用这种方法确定线段的中点 . 探究新知 如图， A ， B 是路边两个新建小 区，要 在公路边增设一个公共汽车站 . 使两个小区到车站的路程一样 长，该 公共汽车站应建在什么地方？ A B 分析： 增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样 长，应 在线段 AB 的垂直平分线 上，又 要在公路边 上，所 以 找到 AB 垂直平分线与公路的交点 即可 . 公共汽车站 探究新知 例 1 如 图，已 知点 A 、点 B 以及直线 l . (1) 用尺规作图的方法在直线 l 上求作一点 P ，使 PA ＝ PB . ( 保留作图痕 迹，不 要求写出作法 ) ； (2) 在 (1 ) 所 作的图 中，若 AM ＝ PN ， BN ＝ PM ，求 证： ∠ MAP ＝ ∠ NPB . M N A B l 利用线段的垂直平分线的性质作图 探究新知 素养考点 1 解： (1) 如图所示： (2) 在 △ AMP 和 △ BNP 中， ∵ AM = PN ， AP ＝ BP ， PM ＝ BN ， ∴△ AMP ≌△ PNB (SSS ) ， ∴∠ MAP ＝ ∠ NPB . M N A B l P 探究新知 1. 如 图，在 △ ABC 中，分 别以点 A ， B 为圆 心，大 于 AB 长为半径画 弧，两 弧分别交于点 D ， E ，则 直线 DE 是（　　） A．∠ A 的平分线 B． AC 边的中线 C． BC 边的高线 D． AB 边的垂直平分线 D 巩固练习 例 2 如 图，某 地有两所大学和两条交叉的公路．图中点 M ， N 表示大 学， OA ， OB 表示公 路，现 计划修建一座物资仓 库，希 望仓库到两所大学的距离 相 等 ，到 两条公路的距离也 相 等 ，你 能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计． ( 尺规作 图，不 写作 法，保 留作图痕迹 ) O N M A B 利 用作图解决实际问 题 探究新知 素养考点 2 O N M A B 方法总结： 到角两边距离相等的点在角的平分线 上，到 两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上 . 两线的交点即为所求 . 解： 如图所示： P 巩固练习 2. 电信部门要修建一座电视信号发射 塔 ， 如图 ， 按 照设计要 求 ， 发 射塔到两个城镇 A ， B 的距离必须相 等 ， 到 两条高速公路 m 和 n 的距离也必须相 等 ， 发 射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置 . 解： 如图所 示 ， 两 条高速公路相交的角的角平分线和 AB 的垂直平分线的交点 P 1 与 P 2 点 . 巩固练习 作轴对称图形的对称轴 下 图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？ A B 作法 ： （ 1 ）找出五角星的一对 对称点 A 和 B ，连 接 AB ． （ 2 ）作出线段 AB 的 垂直 平分线 l ．则 l 就是这个五角星的一条对称轴． l 用 同样的方 法，可 以找出 五条 对称 轴，所 以五角星有 五条对称轴 ． 探究新知 知识点 2 探究新知 归纳总结 方法总结： 对于轴对称图 形，只 要找到任意一组对称 点，作 出对 称 点所连线段的垂直平分 线，即 能得此图形的对称轴 . 例 3 如 图，△ ABC 和△ A′B′C′ 关于直线 l 对 称，请 用无刻度的直尺作出它们的对称轴 . 解： 延长 BC 、 B'C ' 交于点 P ，延长 AC ， A ' C ' 交于点 Q ，连接 PQ ，则直线 PQ 即为所要求作的直线 l . 作 轴对称图形的 对称轴 探究新知 A B C A ′ B ′ C ′ l P Q 素养考点 3 探究新知 归纳总结 方法总结 ： ① 过成轴对称图形的两组 对应点的连线（或延长线） 交点的直线是这个轴对称图形的对称轴 . ② 如果成轴对称的两个图形对称点连 线（ 或延长线）相 交，那 么 交点必定在对称轴上 . 3. 作出下列图形的一条对称轴 . 和同学比较一 下，你 们作出的对称轴一样吗？ 巩固练习 连接中考 如图 ， 在 △ ABC 中 ， 分 别以点 A 和点 C 为圆 心 ， 大于 AC 长为半径画 弧 ， 两 弧相交于点 M ， N ， 作 直线 MN 分别交 BC ， AC 于点 D ， E ．若 AE =3cm ， △ ABD 的周长为 13cm ， 则 △ ABC 的周长为（　 ） A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm B 巩固练习 1 . 尺 规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作 图： 则 正确的配对是（　　） A．①﹣ Ⅳ ， ② ﹣ Ⅱ ， ③ ﹣ Ⅰ ， ④ ﹣Ⅲ B ．①﹣ Ⅳ ， ② ﹣ Ⅲ ， ③ ﹣ Ⅱ ， ④ ﹣Ⅰ C．①﹣ Ⅱ ， ② ﹣ Ⅳ ， ③ ﹣ Ⅲ ， ④ ﹣Ⅰ D ．①﹣ Ⅳ ， ② ﹣ Ⅰ ， ③ ﹣ Ⅱ ， ④ ﹣Ⅲ D 基础巩固题 课堂检测 ① ② ③ ④ 2. 如 图，已 知线段 AB 的垂直平分线 CP 交 AB 于点 P ，且 AP =2 PC ，现 欲在线段 AB 上求作两点 D ， E ，使 其满足 AD = DC = CE = EB ，对 于以下甲、乙两种作法： 甲：分别作∠ ACP 、∠ BCP 的平分 线，分别 交 AB 于 D 、 E ，则 D 、 E 即为所求； 乙：分别作 AC 、 BC 的垂直平分 线，分 别交 AB 于 D 、 E ，则 D 、 E 两点即为所求． 下列说法正确的是（　　） A．甲、乙都正确 B ．甲、乙都错误 C．甲正 确，乙 错误 D ．甲错 误，乙 正确 D 课堂检测 基础巩固题 A P B C 3. 如 图，与 图形 A 成轴对称的是哪个图形？画 出对称轴 ． A B C D 课堂检测 基础巩固题 4. 如 图，角 是轴对称图形吗？如果 是，它 的对称轴是什么？ 角 是 轴对称图 形， 角 平分线所在的直线 就是角的对称轴. 课堂检测 基础巩固题 如图，有 A ， B ， C 三个村 庄，现 准备要建一所希望小 学，要 求学校到三个村庄的距离相 等，请 你确定学校的位置 . B C 学校 在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处 . A 能力提升题 课堂检测 如图，在 4×3 的正方形网格 中，阴 影部分是由 4 个正方形组成的一个图 形，请 你用两种方法分别在如图方格内填涂 2 个小正方 形，使 这 6 个小正方形组成的图形是轴对称图 形，并 画出其对称轴． 拓广探索题 课堂检测 线段的垂直 平分线的 有关作图 尺规作图 作对称轴的常见方法 属于基本作图之 一，必 须熟熟练 掌握 . (1) 将图形对折； (2) 用尺规作图； (3) 用刻度尺先取一对对称点连线的中 点，然 后作 垂线 . 课堂小结 13.2 画轴对称 图形 人教 版 数学 八 年级 上册 第一课时 第二课时 第 一 课 时 画轴对称图形 导入新知 我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质 . 如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法 . 导入新知 素养目标 3. 通 过 画轴对称图形 ，增强学生学习几何的趣味感 . 1. 能 够按要求画简单平面图形经过一次对称后的图形 . 2. 掌 握 作轴对称图形的方法 . 轴对称变换的应用 在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印，这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点得到的线段被对称轴垂直平分 . 类似地，请你再画一个图形做一做，看看能否得到同样的结论 . 探究新知 知识点 1 （ 1 ）认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？ （ 2 ）对称轴是折痕所在的直线，即直线 l ，它与图中的线段 PP ′ 是什么关系？ 成轴对称 直线 l 垂直平分线段 PP ′ 探究新知 做一做 由 一个平面图形可以得到与它关于一条直线 l 对称的图形，这个图形与原图形的 形状、大小完全相同 ；新图形上的 每一点都是原图形上的某一点关于直线 l 的对称点 ； 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 . 探究新知 归纳总结 例 1 将一张正方形纸片按如图 ① ，图 ② 所示的方向对折，然后沿图 ③ 中的虚线剪裁得到图 ④ ，将图 ④ 的纸片展开铺平 ，得到 的图案 是（ ） B 动手剪一剪 利用轴对称识别图形变化 探究新知 素养考点 1 1. 下面是四位同学 作的△ ABC 关于直线 MN 的轴对称图形，其中正确的 是（ ） B 巩固练习 例 2 如图，将长方形 ABCD 沿 DE 折叠，使 A 点落在 BC 上的 F 处，若 ∠ EFB ＝ 50° ，则 ∠ CFD 的度数 为（ ） A ． 20° B ． 30° C ． 40° D ． 50° C 利用轴对称求角或线段的值 探究新知 素养考点 2 A B D C E F 方法点拨 ： 折叠 是一种轴对称变换，折叠前后的图形形状和大小不变，对应边和对应角相等． 2 ． 如图，小红把一张含 30° 角的直角三角形纸片 ABC 沿较短边的垂直平分线翻折，则∠ BOC ＝ ． 60° 巩固练习 作轴对称图形 如何 画一个点的轴对称图形？ 画出点 A 关于直线 l 的对称点 A ′. ﹒ l A ﹒ A ′ O 作法： （ 1 ）过点 A 作 l 的垂线，垂足为点 O . （ 2 ）在垂线上截取 OA ′ ＝ OA . 点 A ′ 就是点 A 关于直线 l 的对称点 . 探究新知 知识点 2 问题1： 如何 画一条线段的对称图形？ 已知线段 AB ， 画出 AB 关于直线 l 的对称线段 . 探究新知 问题 2 ： A B ( 图 1 ) ( 图 2 ) ( 图 3 ) A B l l A B l A ′ A ′ A ′ B ′ ( B ′) B ′ 【 思考 】 如果 有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？ 例 3 如图，已知 △ ABC 和直线 l ，作出与 △ ABC 关于直线 l 对称的图形 . A B C 分析： △ ABC 可以由三个顶点的位置确定，只要能 分别画出这三个顶点关于直线 l 的对称点 ，连接这些对称点，就能得到要画的图形 . 探究新知 作法 ： （ 1 ） 过点 A 画直线 l 的垂线，垂足为点 O ，在垂线上截取 OA ′= OA ， A ′ 就是点 A 关于直线 l 的对称点 . （ 3 ） 连接 A ′ B ′ ， B ′ C ′ ， C ′ A ′ ，得到 △ A ′ B ′ C ′ 即 为所求 . （ 2 ） 同理，分别画出 点 B ， C 关于直线 l 的对称点 B ′ ， C ′ . A B C A′ B ′ C ′ O 探究新知 作轴对称图形的 方法： 几何图形都可以看作由点组成 . 对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的 对称点 ，连接这些对称点，就可以得到原图形的 轴对称图形 . 探究新知 归纳总结 例 4 在 3×3 的正方形格点图中，有格点 △ ABC 和 △ DEF ，且 △ ABC 和 △ DEF 关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出 4 个这样的 △ DEF . A B C A B C A B C A B C ( F ) ( D ) E ( E ) F D ( F ) D E ( D ) ( E ) F 利用轴对称作图 素养考点 3 探究新知 作 一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键是作出图形上 一些点关于这条直线的对称点 ，然后再根据已知图形将这些点连接起来． 探究新知 方法点拨 3 . 如何画线段 AB 关于直线 l 的对称线段 A′B′ ? A B A’ 作法 ： 1. 过 点 A 作直线 l 的垂线，垂足为点 O ，在垂线上截 OA = O A ′ ， 点 A ′ 就 是点 A 关于直线 l 的对称点 ； 2. 类似 地，作出点 B 关于直线 l 的对称点 B ′ ； 3. 连接 A ′ B ′ . ∴ 线段 A ′ B ′ 即 为所 求 . A B 巩固练习 O 连接中考 如 图，矩形纸片 ABCD 中， AB =6cm， BC =8cm．现将其沿 AE 对折，使得点 B 落在边 AD 上的点 B 1 处，折痕与边 BC 交于点 E ，则 CE 的长为（ ） A．6cm B ．4cm C ．3cm D ．2cm D 巩固练习 1. 作已知点关于某直线的对称点的第一步是（　　） A．过已知点作一条直线与已知直线相交 B．过已知点作一条直线与已知直线垂直 C．过已知点作一条直线与已知直线平行 D．不确定 B 基础巩固题 课堂检测 2. 如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后， B ， D 两点落在 B ′， D ′点处，若得∠ AOB ′= 70°， 则∠ B ′ OG 的度数为 ________. 55 ° 课堂检测 基础巩固题 3. 如图，把下列图形补成关于直线 l 的对称图形 . 课堂检测 基础巩固题 如 图给出了一个图案的一半，虚线 l 是这个图案的对称轴 . 整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半 . B A C D E F G H l 能力提升题 课堂检测 如 图，画△ ABC 关于直线 m 的对称图形 . m A B C ( A ′) C ′ B ′ 拓广探索题 课堂检测 画轴对称图形 作图原理 作图方法 对称轴是 对称点连接的线段 的垂直平分线 . (1) 找特殊点 ； (2) 作垂线； (3) 截取等长； ( 4 ) 依次 连线 . 课堂小结 第二课 时 坐标中的轴对称 一 位外国游客在天安门广场询问小明西直门的位置，但他只知道东直门的位置，聪明的小明想了想，就 准确地告诉 了他，你能猜到小明是怎么做的吗？ 猜一猜 导入新知 如 图，是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的 . 如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系 . 根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？ 导入新知 素养目标 1. 理 解在平面直角坐标系中，已知 点关于 x 轴或 y 轴对称的点的坐标的变化规律 ． 2. 掌握在 平面直角坐标系 中作出 一个 图形的 轴对称图形 的方法． 平面直角坐标系中的轴对称 已知 点 A 和一条直线 MN ，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗 ? A A ′ M N ∴ A ′ 就是点 A 关于直线 MN 的对称点 . O （ 2 ） 延长 AO 至 A ′, 使 OA ′= AO . （ 1 ） 过点 A 作 AO ⊥ MN ，垂足 为点 O . 探究新知 知识点 1 问题1： x y O 如 图，在平面直角坐标系中你能画出点 A 关于 x 轴的对称点吗 ? A (2,3) A ′ (2 ,–3 ) 你能说出点 A 与点 A ' 坐标的关系吗？ 探究新知 问题 2 ： x y O 在 平面直角坐标系中画出下列各点关于 x 轴的对称点 . C (3 ,–4 ) C '(3,4) B (–4,2 ) B '(–4,–2 ) ( x , y ) 关于 x 轴 对称 ( , ) x –y 探究新知 做一做 : 关于 x 轴对称的点的坐标的特点是 : 横坐标相等 , 纵坐标互为相反数 . （简称： 横同纵反） 1 . 点 P (–5 , 6) 与点 Q 关于 x 轴对称，则点 Q 的坐标为 __________. 2. 点 M ( a , –5 ) 与点 N (–2 , b ) 关于 x 轴对称，则 a =_____, b =_____. (– 5 , –6 ) –2 5 探究新知 归纳总结 练一练 如 图，在平面直角坐标系中你能画出点 A 关于 y 轴的对称点吗 ? x y O A (2,3) A ′ (–2,3 ) 你能说出点 A 与点 A ' 坐标的关系吗？ 探究新知 问题 3 ： x y O 在 平面直角坐标系中画出下列各点关于 y 轴的对称点 . C (3 ,–4 ) C '(3,4) B (–4,2 ) B '(–4,–2 ) ( x , y ) 关于 y 轴 对称 ( , ) –x y 探究新知 做一做 : 关于 y 轴对称的点的坐标的特点是 : 横坐标互为相反数 , 纵坐标相等 . （简称 ：横反纵同） 1 . 点 P (–5 , 6) 与点 Q 关于 y 轴对称，则点 Q 的坐标为 __________. 2. 点 M ( a , –5 ) 与点 N (–2 , b ) 关于 y 轴对称，则 a =_____, b =_____. (5 , 6 ) 2 –5 探究新知 归纳总结 练一练 例 1 如图，四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A (–5,1), B (–2,1), C (–2,5 ), D (–5,4 ), 分别画出与四边形 ABCD 关于 y 轴和 x 轴对称的图形 . x y A B C D A ′ ′ B ′ ′ C ′ ′ D ′ ′ A ′ B ′ C ′ D ′ O 在平面直角坐标系内作轴对称图形 探究新知 素养考点 1 方法点拨 对于这类问题 , 只要先求出已知图形中的一些特殊点 ( 如多边形的顶点 ) 的对称点的坐标 , 描出并连接这些点 , 就可以得到这个图形的轴对称图形 . ( 一找二描三连） 探究新知 1. 平面直角坐标系中， △ ABC 的三个顶点坐标分别为 A （ 0,4 ）， B （ 2,4 ）， C （ 3 ， –1 ） . （ 1 ）试在平面直角坐标系中，标出 A 、 B 、 C 三点； （ 2 ）若 △ ABC 与 △ A ' B ' C ' 关于 x 轴对称，画出 △ A ' B ' C ' ，并 写出 A ' 、 B ' 、 C ' 的坐标 . 巩固练习 解： 如图所示： 巩固练习 x y O A (0,4) B (2,4) C (3 ,–1 ) A ' (0 ,–4 ) B ' (2 ,–4 ) C ' (3,1) 例 2 已知点 A (2 a – b ， 5 ＋ a ) ， B (2 b –1 ， – a ＋ b ) ． (1) 若点 A 、 B 关于 x 轴对称，求 a 、 b 的值； (2) 若 A 、 B 关于 y 轴对称，求 (4 a ＋ b ) 2016 的值． 解 ： (1) ∵ 点 A 、 B 关于 x 轴对称 ， ∴2 a – b ＝ 2 b –1 ， 5 ＋ a – a ＋ b ＝ 0 ， 解 得 a ＝ –8 ， b ＝ –5 ； (2) ∵ A 、 B 关于 y 轴对称， ∴2 a – b ＋ 2 b –1 ＝ 0 ， 5 ＋ a ＝ – a ＋ b ， 解 得 a ＝ –1 ， b ＝ 3 ， ∴ (4 a ＋ b ) 2016 ＝ 1. 解决此类题可根据关于 x 轴、 y 轴对称的点的特征列方程 ( 组 ) 求解． 利用轴对称在平面直角坐标系内求字母的值 素养考点 2 探究新知 2. 已知点 A (2 a ＋ 3 b ， –2 ) 和点 B (8 ， 3 a ＋ 2 b ) 关于 x 轴对称，则 a ＋ b ＝ ． 3. 若 M ( a ， – ) 与 N (4 ， b ) 关于 y 轴对称，则 a ， b 的值分别为 ， MN ＝ ． 2 –4 ， 8 巩固练习 例 3 已知点 P ( a ＋ 1 ， 2 a –1 ) 关于 x 轴的对称点在第一象限，求 a 的取值范围． 解： 依题意得 P 点在第四象限， 解得 即 a 的取值范围是 利用轴对称在平面直角坐标系内求字母的取值范围 探究新知 素养考点 3 方法总结： 解决此类题，一般先写出对称点的坐标或判断已知所在的象限，再由各象限内点的坐标的符号，列不等式 ( 组 ) 求解． 5. 如图，在平面直角坐标系中，△ PQR 是△ ABC 经过某种变换后得到图形，观察点 A 与点 P ，点 B 与点 Q ，点 C 与点 R 的坐标之间的关系，在这种变换下，如果△ ABC 内任意一点 M ( a ， b ) ，那么它的对应 点 N 的坐标为 ． 4. 已知点 M (1– a ， 2 a ＋ 2) ，若点 M 关于 x 轴的对称点在第三象限，则 a 的取值范围是 ． a >1 (– a ， b ) 巩固练习 连接中考 1 . 如 图，点 A 的坐标 （ – 1，2 ），点 A 关于 y 轴的对称点 的坐标 为（ ） A ．（1，2） B．（ – 1， – 2 ） C ．（1 ， – 2 ） D ．（2 ， – 1 ） A 巩固练习 巩固练习 2 . 在 平面直角坐标系中，点 B 的坐标是（4 ， – 1 ），点 A 与点 B 关于 x 轴对称，则点 A 的坐标是（　　 ） A ．（4，1） B．（ – 1，4 ） C．（ – 4， – 1 ） D ．（ – 1， – 4 ） A 连接中考 1. 平面直角坐标系内的点 A （ – 1，2 ）与点 B （ – 1， – 2 ）关于（　　 ） A ． y 轴对称 B． x 轴对称 C ．原点对称 D ．直线 y=x 对称 2 . 若 点 A （1+ m ，1 – n ）与点 B （ – 3，2 ）关于 y 轴对称，则 m + n 的值是（　　） A． – 5 B． – 3 C ． 3 D ．1 D B 基础巩固题 课堂检测 3 . 在 平面直角坐标系中，将点 A （ – 1， – 2 ）向右平移3个单位长度得到点 B ，则点 B 关于 x 轴的对称点 B ′的坐标为（　　） A ．（ – 3， – 2）B ．（2，2）C ．（ – 2，2）D ．（2 ， – 2 ） B 4. 如图，在平面直角坐标系中，点 P （ – 1，2 ）关于直线 x =1的对称点的坐标为（　　） A．（1，2） B ．（2，2） C．（3，2） D ．（4，2） C 课堂检测 基础巩固题 5. 已知点 P (2 a + b ,–3 a ) 与点 P ′ （ 8, b +2). 若点 P 与点 P ′ 关于 x 轴对称，则 a =_____ ， b =_______. 若点 P 与点 P ′ 关于 y 轴对称，则 a =_____ ， b =_______. 2 4 6 –20 6. 若| a – 2 |+ ( b – 5 ) 2 =0，则点 P ( a ， b ) 关于 x 轴对称的点的坐标为 ________. ( 2 ,–5 ) 课堂检测 基础巩固题 1. 已 知△ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A (–3 ， 5), B (– 4 ， 1 ), C (–1 ， 3) ，作出△ ABC 关于 y 轴对称的图形 . 3 1 4 2 5 –2 –4 –1 –3 O 1 2 3 4 5 –4 –3 –2 –1 A C B B ′ A ′ C ′ x y 能力提升题 解： 点 A (–3,5 ), B (–4,1 ), C (–1,3) 关于 y 轴的对称点分别 为 A ′(3,5), B ′(4,1), C ′(1,3). 依次连接 A ′ B ′, B ′ C ′, C ′ A ′, 就 得到 △ ABC 关于 y 轴对称 的△ A ′ B ′C′. 课堂检测 2. 已 知点 A （2 a + b ， – 4 ）， B （3， a – 2 b ）关于 x 轴对称，求点 C （ a ， b ）在第几象限？ 解： ∵点 A （2 a + b ， – 4 ）， B （3， a – 2 b ）关于 x 轴对称， ∴2 a + b =3， a – 2 b =4 ， 解 得 a =2， b = – 1 ． ∴ 点 C （2 ， – 1 ）在第四象限． 课堂检测 能力提升题 在 平面直角坐标系中，规定把一个正方形先沿着 x 轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换．如图，已知正方形 ABCD 的顶点 A 、 B 的坐标分别是 （ – 1， – 1）、（ – 3， – 1 ），把正方形 ABCD 经过连续7次这样的变换得到正方形 A ′ B ′ C ′ D ′，求 B 的对应点 B ′的坐标 . 拓广探索题 课堂检测 解： ∵正方形 ABCD ，点 A 、 B 的坐标分别是 (– 1， – 1 ) 、 (– 3， – 1 ) ， ∴根据题意，得第 1 次变换后的点 B 的对应点的坐标为 (– 3+2，1 ) ，即 (– 1，1 ) ， 第 2 次变换后的点 B 的对应点的坐标为 (– 1+2， – 1 ) ，即 ( 1 ， – 1 ) ， 第 3 次变换后的点 B 的对应点的坐标为 ( 1+2，1 ) ，即 ( 3，1 ) ， 第 n 次变换后的点 B 的对应点的为：当 n 为奇数时为 ( 2 n – 3，1 ) ，当 n 为偶数时为 ( 2 n – 3， – 1 ) ， ∴把正方形 ABCD 经过连续7次这样的变换得到正方形 A ′ B ′ C ′ D ′，则点 B 的对应点 B ′的坐标是 ( 11，1 ) ． 课堂检测 拓广探索题 用坐标表示轴对称 关于坐标轴对称的点的坐标特征 在坐标系中作已知图形的对称图形 关于 x 轴对称，横同纵反；关于 y 轴对称，横反纵 同 . 关键 要明确点关于 x 轴、 y 轴对称点的坐标变化规律， 然后 正确画出 对称点的 位置 . 课堂小结 13.3 等 腰三角形 13.3.1 等腰三角形 人教 版 数学 八 年级 上册 第一课时 第二课时 第一课 时 等腰三角形 的性质 导入新知 看到下面三角形 了吗，它有何特点呢 ？ 腰 腰 顶角 底角 底角 底边 导入新知 我们今天来探讨一下等腰三角形的性质 . 1. 探 索并掌握 等腰三角形的两个性质 ． 2. 会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题 . 素养目标 等腰三角形的性质 把 一张长方形的纸按图中 的虚线 对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形 ABC 有 什么特点？ 探究新知 知识点 1 A B C AB=AC 等腰三角形 探究新知 【 思考 】 △ ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 折痕 所在的直线 是它的对称轴 . 等腰三角形是轴对称图形 . 探究新知 把 剪出的 等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角 . 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB 与 AC BD 与 CD AD 与 AD ∠ B 与∠ C ∠ BAD 与∠ CAD ∠ ADB 与∠ ADC 【 思考 】 由 这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗 ？ 说一说 你的猜想 . 探究新知 A B C 已知： △ ABC 中 ， AB = AC , 求证： ∠ B = C . 【 思考 】 如何 构造两个全等的三角形？ 猜想 : 等腰三角形的两个底角相 等 . 如何证明两个角相等呢？ 可以运用全等三角形的性质 “ 对应角相等 ” 来 证 . 探究新知 已知： 如图，在△ ABC 中， AB = AC . 求证： ∠ B = ∠ C . A B C D 证明： 作底边的中线 AD ， 则 BD = CD . AB = AC ( 已知 ) ， BD = CD ( 已作 ) ， AD = AD ( 公共边 ) ， ∴ △ BAD ≌ △ CAD (SSS). ∴ ∠ B = ∠ C ( 全等三角形的对应角相等 ). 在△ BAD 和△ CAD 中 方法一： 作底边上的中 线 . 还有其他的证法吗？ 探究新知 已知： 如图，在△ ABC 中， AB = AC . 求证： ∠ B = ∠ C . A B C D 证明： 作顶角的平分线 AD ， 则 ∠ BAD =∠ CAD . AB = AC ( 已知 ), ∠ BAD =∠ CAD ( 已作 ) , AD = AD ( 公共边 ), ∴ △ BAD ≌ △ CAD (SAS). ∴ ∠ B = ∠ C ( 全等三角形的对应角相等 ). 方法二： 作顶角的平分线 在 △ BAD 和 △ CAD 中 探究新知 由 △ BAD ≌ △ CAD ，除了可以得到∠ B = ∠ C 之外，你还可以 得到哪些 相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？ 解： ∵ △ BAD ≌ △ CAD ， 由全等三角形的性质易得 B D = C D, ∠ ADB =∠ ADC ， ∠ BAD =∠ CAD . 又 ∵ ∠ ADB +∠ ADC =180 °， ∴ ∠ ADB =∠ ADC = 90 ° ， 即 AD 是等腰△ ABC 底边 BC 上的中线、顶角 ∠ BAC 的角平分线、底边 BC 上的高线 . A B C D 探究新知 【 想一想 】 性质 1: 等腰三角形的两个底角相等 ( 等边对等角 ). A C B 如图 , 在△ ABC 中 , ∵ AB = AC ( 已知 ), ∴∠ B =∠ C ( 等边对等角 ). 性质 2: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 ( 三线 合一 ） . 即：等腰三角形 顶角平分线 底边上的高线 底边上的中线 具备其中一条 另外两条成立 探究新知 归纳总结 A C B D 1 2 ∵ AB = AC , ∠1=∠2 ( 已知 ) ， ∴ BD = CD , AD ⊥ BC （等腰三角形三线合一 ） ∵ AB = AC , BD = CD ( 已知 ) ， ∴ ∠1=∠2 , AD ⊥ BC （等腰三角形三线合一 ） ∵ AB = AC , AD ⊥ BC ( 已知 ) ， ∴ BD = CD , ∠1=∠2 （等腰三角形三线合一 ） 数学语言： 如图 , 在 △ ABC 中 , 探究新知 画 出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 三线合一 探究新知 不重合 【 思考 】 为什么不一样？ （ 1 ）等腰三角形 的顶角一定是锐角 . （ 2 ）等腰三角形 的底角可能是 锐角，也可能是直角、钝角 . （ 3 ）钝角三角形 不可能是等腰三角形 . （ 4 ）等腰三角形 的顶角平分线一定垂直底边 . （ 5 ）等腰三角形 的角平分线、中线和高互相重合 . （ 6 ）等腰三角形 底边上的中线一定平分顶角 . （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 1. 明辨是非 . （ ） 巩固练习 × × × √ × √ A B C D 例 1 如图，在 △ ABC 中 ， AB = AC ， 点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD ， 求 △ ABC 各角的度数 . 分析 ： （ 1 ）找出图中所有相等的角； （ 2 ）指出图中有几个等腰三角形？ ∠ A =∠ ABD , ∠ C =∠ BDC =∠ ABC ； △ ABC , △ ABD , △ BCD . 等 腰三角形性质的应 用 探究新知 素养考点 1 A B C D x ⌒ 2 x ⌒ 2 x ⌒ ⌒ 2 x （ 3 ）观察∠ BDC 与∠ A 、∠ ABD 的关系，∠ ABC 、∠ C 呢？ ∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD =2 ∠ A =2 ∠ ABD , ∠ ABC = ∠ BDC =2 ∠ A , ∠ C = ∠ BDC =2 ∠ A . （ 4 ）设∠ A = x , 请把△ ABC 的内角和用含 x 的式子表示出来 . ∵ ∠ A + ∠ ABC + ∠ C =180 ° ， ∴ x +2 x +2 x =180 °, 探究新知 A B C D 解： ∵ AB=AC ， BD=BC=AD ， ∴∠ ABC=∠C=∠BDC ， ∠ A=∠ABD . 设 ∠ A = x ， 则 ∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD =2 x , 从而 ∠ ABC =∠ C =∠ BDC =2 x . 于是 在△ ABC 中， 有 ∠ A +∠ ABC +∠ C = x +2 x +2 x =180 ° . 解得 x =36 ° . 所以， 在 △ ABC 中 ，∠ A =36 ° ，∠ ABC =∠ C =72°. x ⌒ 2 x ⌒ 2 x ⌒ ⌒ 2 x 探究新知 探究新知 方法点拨 在 含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用 方程思想 ，通过 内角、外角之间的关系 进行转化求解 . 2 . 如图，在△ ABC 中， AB = AD = DC ，∠ BAD =26° ，求∠ B 和∠ C 的度数 . 解 ： ∵ AB = AD = DC ∴ ∠ B = ∠ ADB ，∠ C = ∠ DAC . 设 ∠ C = x ，则 ∠ DAC = x ， ∠ B = ∠ ADB = ∠ C + ∠ DAC =2 x ， 在 △ ABC 中， 根据三角形内角和定理，得 2 x + x +26 ° + x =180 °， 解 得 x =38.5 ° . ∴ ∠ C = x =38.5° ， ∠ B =2 x =77 °. 巩固练习 例 2 等腰三角形的一个内角是 50 ° ，则这个三角形的底角的大小是 ( 　　 ) A ． 65 ° 或 50 ° B ． 80 ° 或 40 ° C ． 65 ° 或 80 ° D ． 50 ° 或 80 ° A 等腰三角形的分类讨论问题 探究新知 素养考点 2 方法点拨： 等腰三角形 的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论． 3 . 等腰三角形一个底角为 75°, 它的另外两 个角 为 _______ ； 4. 等腰三角形一个角为 70°, 它的另外两个 角为 ___________________ ； 5. 等腰三角形一个角为 110°, 它的另外两个 角为 ________ . 75°, 30° 70°,40° 或 55°,55° 35°, 35° 巩固练习 例 3 已知点 D 、 E 在 △ ABC 的边 BC 上， AB ＝ AC . ( 1 ) 如图 ① ， 若 AD ＝ AE ，求证： BD ＝ CE ； ( 2 ) 如图 ② ，若 BD ＝ CE ， F 为 DE 的中点，求证： AF ⊥ BC . 图 ② 图 ① 利用等腰三角形的性质证明线段间的关系 探究新知 素养考点 3 证明 ： ( 1 ) 如图 ① ，过 A 作 AG ⊥ BC 于 G . ∵ AB ＝ AC ， AD ＝ AE ， ∴ BG ＝ CG ， DG ＝ EG ， ∴ BG – DG ＝ CG – EG ， ∴ BD ＝ CE ； ( 2 ) ∵ BD ＝ CE ， F 为 DE 的中点 ， ∴ BD ＋ DF ＝ CE ＋ EF ， ∴ BF ＝ CF . ∵ AB ＝ AC ， ∴ AF ⊥ BC . 图 ② 图 ① G 探究新知 探究新知 方法点拨 在 等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其 顶角平分线 、 底边上的高 、 底边上的中线 是常见的辅助线． 6 . 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 是 BC 边上的 中线，∠ ABC 的平分线 BG 交 AC 于点 G ，交 AD 于点 E ， EF ⊥ AB ，垂足为 F . ( 1 ) 若∠ BAD ＝ 25° ，求∠ C 的度数； ( 2 ) 求证： EF ＝ ED . 巩固练习 ( 1 ) 解： ∵ AB ＝ AC ， AD 是 BC 边上的中线， ∴∠ BAD ＝∠ CAD ，∴∠ BAC ＝ 2∠ BAD ＝ 50°. ∵ AB ＝ AC ， ∴ ∠ C ＝∠ ABC ＝ (180°– ∠ BAC ) ＝ ( 180 °– 50 °) ＝ 65°. ( 2 ) 证明： ∵ AB ＝ AC ， AD 是 BC 边上的中线 ， ∴ ED ⊥ BC ， 又 ∵ BG 平分∠ ABC ， EF ⊥ AB ， ∴ EF ＝ ED . 巩固练习 1 . 等腰三角形 的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 _____ ． 连接中考 80° 2 . 如 图， AD ， CE 分别是△ ABC 的中线和角平分线．若 AB = AC ，∠ CAD =20°，则∠ ACE 的度数是（　　） A．20° B．35° C．40° D．70° B 巩固练习 2. 如图，在△ ABC 中， AB = AC ，过点 A 作 AD∥BC ，若∠1=70°，则∠ BAC 的大小为（　　） A．40° B．30° C．70° D．50° A 1. 等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是 （ 　） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° B 基础巩固题 课堂检测 3. ( 1 ) 等腰三角形一个底角为 45°, 它的另外两个角 为 _______ ； ( 2 ) 等腰三角形一个角为 36°, 它的另外两个角为 ____________________ ； ( 3 ) 等腰三角形一个角为 120°, 它的另外两个角为 ________ . 45°, 90° 72°,72° 或 36°,108° 30° ， 30° 基础巩固题 课堂检测 4. 在△ ABC 中， AB = AC ， AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线 相交所得的 锐角为 50° ，则底角的大小为 ___________ ． A B C A B C 70° 或 20 ° 基础巩固题 课堂检测 1. 如图，在 △ ABC 中， AB = AC ， D 是 BC 边上的中点 ， ∠ B = 30° ，求 ∠ BAD 和 ∠ ADC 的度数 . A B C D 解： ∵ AB = AC ， ∴ ∠ C = ∠ B =30 ° ， ∵ BD = CD ， ∴ AD ⊥ BC , ∴∠ ADB =∠ ADC = 90°. ∴∠ BAD =90 °– ∠ B = 60°. 能力提升题 课堂检测 2. 如图，已知 △ ABC 为等腰三角形， BD 、 CE 为底角的平分线，且 ∠ DBC ＝ ∠ F ，求证： EC∥DF . ∴∠ DBC ＝ ∠ ECB . ∵∠ DBC ＝ ∠ F ， ∴∠ ECB ＝ ∠ F ， ∴ EC∥DF . 证明 ： ∵△ ABC 为等腰三角形 ， AB ＝ AC ， ∴∠ ABC ＝ ∠ ACB . 又 ∵ BD 、 CE 为底角的平分线， ∴ 能力提升题 课堂检测 A 、 B 是 4×4 网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为 1 ，请在图中标出使以 A 、 B 、 C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点 C 的位置． A B 分别以 A 、 B 、 C 为顶角 顶点来分类讨论！ 8 个 这样分类就不会漏啦！ C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 拓广探索题 课堂检测 等腰三角形 的性质 等边对等角 三线合一 注意是指 同一个三角形 中 . 注意是指 顶角的平分线 , 底边上的高和中线 才有这一性质 . 而腰 上的高和 中线与底角的平分线不具有这一性质 . 易错点拨 （ 1 ）求 等腰三角形角的度数时 ，如果没有明确是 底角还是 顶角必须 分类讨论 . （ 2 ）等腰三角形 “ 三线合一 ” 定理，角平分线指的是 “ 顶角平分线 ”. 课堂小结 第二课 时 等腰三角形的判定 A B C 如 图，位于海上 B 、 C 两处的两艘救生船接到 A 处遇险船只的报警，当时测得∠ B =∠ C . 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 探究新知 素养目标 1. 掌握 等腰三角形的 判定方法 ， 并运用其进行证明和计算 . 2. 通过学习 等腰三角形 的 判定方法 ，使学生能从正反两个方面认识等腰三角形，养成科学的思维习惯 . 如 图，在△ ABC 中 , ∠ B =∠ C , 那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系 ? C A B 请同学用直尺和量角器，画 一个△ ABC ，其中 ∠ B =∠ C =30 °，请你量一量 AB 与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？ AB = AC 你能验证你的结论吗？ 探究新知 小活动 等腰三角形的判定 知识点 1 在△ ABD 与△ ACD ， ∠ 1=∠2 ， ∴ △ ABD ≌ △ ACD （ AAS ） . ∠ B = ∠ C ， AD = AD ， ∴ AB=AC. 过 A 作 AD 平分 ∠ BAC 交 BC 于点 D . 证明： C A B 2 1 D （ （ △ ABC 是等腰三角形 . 探究新知 ∴ AC=AB . ( ) 即△ ABC 为等腰三角形 . ∵ ∠ B=∠C ， ( ) 等腰三角形的判定 方法： 如果 一个三角形有两个角相等 , 那么 这两个角所对的边也相等 （ 简写成“等角对等边”，这又是一个判定两条线段相等的根据 之一） . 已知 等角对等边 在△ ABC 中， B C A ( ( 归纳总结 应用格式： 探究新知 A B C D 2 1 ∵∠ 1=∠2 , ∴ BD=DC （ 等角对等边 ） . ∵ ∠ 1= ∠2, ∴ DC=BC A B C D 2 1 （ 等角对等边 ） . 错，因为都不是在同一个三角形中 . 【 思考 】 如 图 , 下列推理正确吗 ? 探究新知 例 1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知： 如图， ∠ CAE 是 △ ABC 的外角， ∠ 1=∠2 ， AD∥BC ． 求证： AB=AC ． 证明： ∵ AD∥BC ， ∴∠ 1=∠ B （ 两直线平行，同位角相等 ）， ∠ 2=∠ C （ 两直线平行，内错角相等 ）． 又 ∵∠ 1=∠2 ， ∴∠ B =∠ C ， ∴ AB = AC （ 等角对等边 ）． A B C E （ （ 1 2 D 利用等腰三角形的判定定理判定三角形的形状 素养考点 1 探究新知 1. 已知：如图， AB = DC , BD = CA , BD 与 CA 相交于点 E . 求证：△ AED 是等腰三角形 . 证明： ∵ AB = DC ， BD = CA ， AD = DA , ∴△ ABD ≌ △ DCA (SSS), ∴∠ ADB = ∠ DAC ( 全等三角形的对应角相 等 ) , ∴ AE = DE ( 等角对等边） , ∴ △ AED 是等腰三角形 . 巩固练习 例 2 已知：如图， AD ∥ BC ， BD 平分∠ ABC. 求证： AB = AD. B A D C 证明： ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ ADB =∠ DBC . ∵ BD 平分 ∠ ABC ， ∴∠ ABD =∠ DBC ， ∴∠ ABD =∠ ADB ， ∴ AB = AD . 总结 ： 平分角 + 平行 = 等腰三角形 由平行及角平分线识别等腰三角形 探究新知 素养考点 2 2. 如图，已知 OC 平分 ∠ AOB ， CD∥OB ，若 OD ＝ 3cm ，则 CD 等于 _______. 3cm 巩固练习 3. 如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠 ，重合 部分是一个等腰三角形吗？为什么？ B C A D E 答： 是 . 由 折叠可知 ， ∠ EBD =∠ CBD . ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ EDB =∠ EBD ， ∴ BE = DE ，△ EBD 是等腰三角形 . ∴∠ EDB =∠ CBD ， 例 3 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CD 是 AB 边上的高， AE 是∠ BAC 的平分线， AE 与 CD 交于点 F ，求证：△ CEF 是等腰三角形． 证明： ∵ 在 △ ABC 中， ∠ ACB ＝ 90° ， ∴∠ B ＋ ∠ BAC ＝ 90 °. ∵ CD 是 AB 边上的高， ∴∠ ACD ＋ ∠ BAC ＝ 90° ， ∴∠ B ＝ ∠ ACD . ∵ AE 是 ∠ BAC 的平分线， ∴∠ BAE ＝ ∠ EAC ， ∴∠ B ＋ ∠ BAE ＝ ∠ ACD ＋ ∠ EAC ，即 ∠ CEF ＝ ∠ CFE ， ∴ CE ＝ CF ， ∴△ CEF 是等腰三角形． 通过 计算角 相等来证明等腰三角形 探究新知 素养考点 3 探究新知 方法点拨 “ 等角对等边 ” 是判定等腰三角形的重要依据，它的前提条件是 “ 在同一个三角形中 ” ． 4. 如图所示 , 在△ ABC 中 , AB = AC , 点 D , E 在 BC 边上 ,∠ ABD = ∠ DAE = ∠ EAC =36°, 则图中共有等腰三角形的个数是 ( 　　 ) 　　 　　　　　 　　　　　 A.4 B.5 C.6 D.7 C 解析 : ∵ AB = AC ， ∠ ABC =36 ° ， ∴∠ BAC =108°, ∴∠ BAD =∠ DAE =∠ EAC =36 ° ， ∴ 等腰三角形有 △ ABC ,△ ABD ,△ ADE ,△ ACE , △ ACD ,△ ABE , 共有 6 个 . 巩固练习 例 4 已知等腰三角形底边长为 a , 底边上的高的长为 h ，求作等腰△ ABC . 使底边 BC = a ，底边上的高为 h . a h 作法 ： 1 . 作线段 AB = a . 2. 作线段 AB 的 垂直平分线 MN ，交 AB 于 点 D . 3. 在 MN 上取一点 C ，使 DC = h . 4. 连接 AC ， BC ，则△ ABC 即为所求 . A B C M N D 利用尺规作图作等腰三角形 探究新知 素养考点 4 例5 如图，在 △ ABC 中， AB = AC ， ∠ ABC 和 ∠ ACB 的平分线交于点 O . 过 O 作 EF∥BC 交 AB 于 E ，交 AC 于 F . 探究 EF 、 BE 、 FC 之间的关系 . O A B C E F 解： EF = BE + CF . 理由如下 ： ∵ EF ∥ BC , ∴ ∠ EOB =∠ CBO ， ∠ FOC= ∠ BCO . ∵ BO 、 CO 分别平分 ∠ ABC 、 ∠ ACB ， ∴∠ CBO ＝ ∠ ABO ，∠ BCO ＝ ∠ ACO ， ∴∠ EOB ＝ ∠ ABO ，∠ FOC ＝ ∠ ACO ， ∴ BE ＝ OE ， CF = OF ， ∴ EF = EO + FO ＝ BE + CF . A B C O E F 若 AB ≠ AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？ 利用等腰三角形的判定证明线段之间的关系 探究新知 素养考点 5 探究新知 方法点拨 判定 线段之间的数量关系，一般做法是通过证明线段所在的 两个三角形全等 或利用同一个三角形中 “ 等角对等边 ”，运用转化思想，解决问题 . ∴ MN = O A B C M N 1 2 3 4 5 6 5. 在 Δ ABC 中, OB 平分∠ ABC ， OC 平分∠ ACB ，过 O 点作 MN ∥ BC . Δ AMN 的周长= AB + AC 吗？为什么？ ∵ Δ AMN 的周长= AM + MN + AN BM + CN = AM + BM + CN + AN = AB + AC 解： ∵ OB 平分∠ ABC ， ∴∠ 1= ∠ 2 ， 又 ∵ MN ∥ BC ， ∴∠ 2=∠3 ，∴∠ 1= ∠ 3 ∴ OM = BM . 同理得： ON=CN MN = OM + ON 巩固练习 在 Rt△ ABC 中，∠ ACB =90°， CD ⊥ AB 于 D ， CE 平分∠ ACD 交 AB 于 E ，则下列结论一定成立的是（　 　 ） A ． BC = EC B． EC = BE C． BC = BE D． AE = EC 连接中考 解析 ： ∵∠ ACB =90°， CD ⊥ AB ， ∴∠ ACD +∠ BCD =90°，∠ ACD +∠ A =90°， ∴∠ BCD =∠ A ． ∵ CE 平分 ∠ ACD ， ∴∠ ACE =∠ DCE ． 又 ∵∠ BEC =∠ A +∠ ACE ，∠ BCE =∠ BCD +∠ DCE ， ∴∠ BEC =∠ BCE ， ∴ BC = BE ． C 巩固练习 1. 如图，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， ∠ A ＝ 36° ， BD 、 CE 分别是 ∠ ABC 、 ∠ BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形 有（ ） 　 A ． 5 个 B ． 4 个 C ． 3 个 D ． 2 个 2. 一个三角形的一个外角为 130° ，且它恰好等于一个不相邻的内角的 2 倍 . 这个三角形是（ ） A ．钝角三角形 　 B ．直角三角形 　 C ．等腰三角形 　 D ．等边三角形 C A 基础巩固题 课堂检测 3. 如图，直线 a 、 b 相交于点 O ，∠1=50°，点 A 在直线 a 上，直线 b 上存在点 B ，使以点 O 、 A 、 B 为顶点的三角形是等腰三角形，这样的 B 点有（　　） A．1个 B．2个 C．3 个 D．4 个 D 1 O a b A 基础巩固题 课堂检测 4. 如图，已知∠ A =36° ，∠ DBC =36° ，∠ C =72° ，则∠ DBC =_____ ，∠ BDC =_____ ，图中的等腰三角形有 _______________________. 36° 72° △ ABC 、 △ DBA 、 △ BCD 5. 如图，在 △ ABC 中， ∠ ABC 和 ∠ ACB 的平分线交于点 E ，过点 E 作 MN∥BC 交 AB 于 M ，交 AC 于 N ，若 BM ＋ CN ＝ 9 ，则线段 MN 的长为 _____. 9 第 5 题图 A B C D 第 4 题图 基础巩固题 课堂检测 1. 如 图 ， 上午 10 时，一条船从 A 处出发以 20 海里每小时的速度向正北航行，中午 12 时到达 B 处，从 A 、 B 望灯塔 C ，测得 ∠ NAC =40°，∠ NBC =80° . 求从 B 处到灯塔 C 的距离 . 解 ： ∵∠ NBC =∠ A +∠ C ， ∴∠ C =80 ° – 40°= 40°， ∴ ∠ C = ∠ A ， ∴ BA = BC ( 等 角对等 边 ) . ∵ AB =20 × ( 12 – 10 ) = 40 ( 海里 ), ∴ BC =40 海里 . 答： B 处 距离 灯塔 C 为 40 海里 . 80° 40° N B A C 北 能力提升题 课堂检测 2. （ A类）已知如图，四边形 ABCD 中， AB = BC ， AD = CD ，求证：∠ A =∠ C ． （B类）已知如图，四边形 ABCD 中， AB = BC ，∠ A =∠ C ， 求证 ： AD = CD ． 课堂检测 能力提升题 证明： （ A类） 连接 AC ， ∵ AB = B C ， AD = CD ， ∴∠ BAC =∠ BCA ，∠ DAC =∠ DCA ， ∴∠ BAC +∠ DAC =∠ BCA +∠ DCA ， 即 B A D =∠ B C D ； （B类 ） 连接 AC ， ∵ AB = B C ， ∴∠ BAC =∠ BCA ， 又 ∵∠ B A D =∠ B C D ， 即 ∠ BAC +∠ DAC =∠ BCA +∠ DCA ， ∴∠ DAC =∠ DCA ，∴ AD = CD ． 能力提升题 课堂检测 在 △ ABC 中， AB=AC ，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边 BC 和一个底角∠ C ，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ A B C 3 种“补出”方法： 方法 1 ： 量出∠ C 度数，画出∠ B ＝∠ C ， ∠ B 与 ∠ C 的边相交得到顶点 A ． 方法 2 ： 作 BC 边上的垂直平分线，与∠ C 的一边相交得到顶点 A ． 方法 3 ： 对折 ． 拓广探索题 课堂检测 等腰三角形的判定 等角对等边 定义 注意是指同一个三角形中 有两边相等的三角形是等腰三角形 课堂小结 13.3 等 腰三角形 13.3.2 等边三角形 人教 版 数学 八 年级 上册 第一课时 第二课时 第一课 时 等边三 角形的性 质和判定 　　下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出 此图形 的名称吗？ 导入新知 素养目标 1. 掌握 等边三角形 的定义，等边三角形与等腰三角形的关系 . 2. 探索 等边三角形的性质和判定 ． 3 . 能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明． 小 明想制作一个三角形的相框，他有四根 木条，长度 分别为 10cm ， 10cm ， 10cm ， 6cm ， 你能帮他设计出几种形状的三角形？ 等边 三角形的性质 探究新知 知识点 1 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 在 等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是 底与腰 相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形 叫做 等边三角形 . 探究新知 名称 图 形 定 义 性 质 判 定 等 腰 三 角 形 等边对等角 三线合一 等角对等边 两边相等 两腰相等 轴对称图形 A B C 有 两条边相等的三角形叫做等腰三角形 探究新知 A B C A B C 等边三角形 的三个内角之间有什么关系？ 等腰三角形 AB=AC ∠ B =∠ C 等边三角形 AB=AC=BC AB=AC ∠ B =∠ C AC=BC ∠ A =∠ B ∠ A =∠ B =∠ C 内角和为 180 ° =60 ° 探究新知 问题1： 结论 ： 等边三角形 的三个内角都相等，并且每 一个 角都等于 60 ° . 已知： AB = AC = BC ， 求证：∠ A = ∠ B =∠ C = 60°. 证明： ∵ AB = AC . ∴∠ B =∠ C . ( 等边对等角 ) 同理 ∠ A =∠ C . ∴∠ A =∠ B =∠ C . ∵ ∠ A +∠ B +∠ C =180°, ∴ ∠ A = ∠ B = ∠ C =60 °. 探究新知 A B C A B C 等边三角形 有“三线合一”的性质吗 ? 等边三角形有几条对称轴？ 结论 : 等边三角形 每条边上的 中线 、 高和所 对角的平分线 都“三线合一” . 顶角的平分线、底边的高 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 探究新知 问题 2 ： 图形 等腰三角形 　 性 质 每条边上 的中线、高和 这条边 所对的角的平分线互相重合 三个角都相等， 对称 轴 （ 3 条） 等边三角形 对称 轴 （ 1 条） 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 且都是 60º 两条边相等 三条边都相等 探究新知 归纳总结 例 1 如图， △ ABC 是等边三角形， E 是 AC 上一点， D 是 BC 延长线上一点，连接 BE ， DE ，若 ∠ ABE ＝ 40° ， BE ＝ DE ，求 ∠ CED 的度数． 解： ∵△ ABC 是等边三角形 ， ∴∠ ABC ＝ ∠ ACB ＝ 60°. ∵∠ ABE ＝ 40° ， ∴∠ EBC ＝ ∠ ABC –∠ ABE ＝ 60 °– 40 ° ＝ 20°. ∵ BE ＝ DE ， ∴∠ D ＝ ∠ EBC ＝ 20° ， ∴∠ CED ＝ ∠ ACB –∠ D ＝ 40°. 等 边三角形的性质应 用 探究新知 素养考点 1 探究新知 解决 与等边三角形有关的计算问题， 关键是注意 “ 每个内角都是 60° ” 这一隐含条件，一般需结合 “ 等边对等角 ” 、三角形的内角和与外角的性质解答 . 方法点拨 1. 如图， △ ABC 是等边三角形， BD 平分 ∠ ABC ，延长 BC 到 E ，使得 CE=CD ．求证： BD=DE ． 证明： ∵△ ABC 是等边三角形， BD 是角平分线 ， ∴∠ ABC =∠ ACB =60°，∠ DBC= 30°． 又 ∵ CE = CD ， ∴∠ CDE =∠ CED ． 又 ∵∠ BCD =∠ CDE +∠ CED ， ∴∠ CDE =∠ CED =30°． ∴∠ DBC =∠ DEC ． ∴ DB = DE （等角对等边）． 巩固练习 例 2 △ ABC 为等边三角形 ，点 M 是 BC 边上任意一点，点 N 是 CA 边上任意一点，且 BM ＝ CN ， BN 与 AM 相交于 Q 点， ∠ BQM 等于多少度？ 解： ∵△ ABC 为等边三角形 ， ∴∠ ABC ＝ ∠ C ＝ ∠ BAC ＝ 60° ， AB ＝ BC . 又 ∵ BM ＝ CN ， ∴△ AMB ≌△ BNC (SAS) ， ∴∠ BAM ＝ ∠ CBN ， ∴∠ BQM ＝ ∠ ABQ ＋ ∠ BAM ＝ ∠ ABQ ＋ ∠ CBN ＝ ∠ ABC ＝ 60°. 探究新知 探究新知 方法点拨 此 题属于等边三角形与全等三角形的综合运用， 一般先利用 等边三角形的性质 判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等 . 2. 如图，已知△ ABC 为等边三角形，点 D 、 E 分别在 BC 、 AC 边上，且 AE = CD ， AD 与 BE 相交于点 F ． （1）求证：△ ABE ≌△ CAD ； （2）求∠ BFD 的度数 ． 巩固练习 （1） 证明： ∵△ ABC 为等边三角形 ， ∴∠ BAC =∠ C =60°， AB=CA ， 即 ∠ BAE =∠ C =60°， 在 △ ABE 和 △ CAD 中 ， ∴△ ABE ≌△ CAD （SAS）． （2） 解： ∵∠ BFD =∠ ABE +∠ BAD ， 又 ∵△ ABE ≌△ CAD ， ∴∠ ABE =∠ CAD ． ∴∠ BFD =∠ CAD +∠ BAD =∠ BAC =60°． 等边三角形的判定 图形 等腰三角形 判 定 三 个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形 从角看： 两个角相等的三角形是等腰三角形 从边看： 两条边相等的三角形是等腰三角形 三 条边都相等的三角形是等边三角形 小明认为还有第三种方法 “ 两条边相等且有一个角是 60 ° 的三角形也是等边三角形 ” ，你同意吗？ 等边三角形的判定方法： 有一个角是 60° 的 等腰三角形 是等边三角形 . 探究新知 知识点 2 3 . 根据 条件判断下列三角形是否为等边三角形 . （ 1 ） （ 2 ） （ 6 ） （ 5 ） 不 是 是 是 是 是 （ 4 ） （ 3 ） 不一定 是 巩固练习 例 3 如 图 ， 在 等边三角形 ABC 中， DE ∥ BC ， 求证 ： △ ADE 是等边三角形 . A C B D E 证明： ∵ △ ABC 是等边三角形 ， ∴ ∠ A = ∠ B = ∠ C . ∵ DE//BC , ∴ ∠ ADE = ∠ B , ∠ AED = ∠ C . ∴ ∠ A = ∠ ADE = ∠ AED. ∴ △ ADE 是等边三角形 . 等 边三角形的判定的应 用 探究新知 素养考点 2 本题 还有其他证法吗？ 　证明： ∵ 　 △ ABC 是等边三角形 ， ∴ 　 ∠ A =∠ ABC =∠ ACB =60° ． ∵ 　 DE∥BC ， ∴ 　 ∠ ABC =∠ ADE ， ∠ ACB =∠ AED . ∴ 　 ∠ A =∠ ADE =∠ AED . ∴ 　 △ ADE 是等边三角形 . 若 点 D 、 E 在边 AB 、 AC 的延长线上，且 DE ∥BC ，结论还成立吗？ A D E B C 巩固练习 变式训练 若 点 D 、 E 在边 AB 、 AC 的反向延长线上 ，且 DE∥BC ，结论依然成立吗？ 证明 ： ∵ 　 △ ABC 是等边三角形， ∴ 　 ∠ BAC =∠ B =∠ C =60° ． ∵ 　 DE∥BC ， ∴ 　 ∠ B =∠ D ， ∠ C =∠ E ． ∴ 　 ∠ EAD =∠ D =∠ E ． ∴ 　 △ ADE 是等边三角形 ． A D E B C 巩固练习 变式训练 上 题中 , 若将条件 DE ∥ BC 改为 AD=AE , △ ADE 还是等边三角形吗 ? 试说明理由 . A C B D E 证明： ∵ △ ABC 是等边三角形 ， ∴ ∠ A = ∠ B = ∠ C . ∵ AD=AE , ∴ ∠ ADE = ∠ B , ∠ AED = ∠ C . ∴ ∠ A = ∠ ADE = ∠ AED. ∴ △ ADE 是等边三角形 . 巩固练习 变式训练 例 4 等边 △ ABC 中，点 P 在 △ ABC 内，点 Q 在 △ ABC 外，且 ∠ ABP ＝ ∠ ACQ ， BP ＝ CQ ，问 △ APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论． 解： △ APQ 为等边三角形 ． 证明如下 ： ∵△ ABC 为 等边三角形 ， ∴ AB ＝ AC . ∵ BP ＝ CQ ， ∠ABP ＝ ∠ACQ ， ∴△ ABP ≌△ ACQ (SAS) ， ∴ AP ＝ AQ ， ∠ BAP ＝ ∠ CAQ . ∵∠ BAC ＝ ∠ BAP ＋ ∠ PAC ＝ 60° ， ∴∠ PAQ ＝ ∠ CAQ ＋ ∠ PAC ＝ 60° ， ∴△ APQ 是等边三角形 ． 探究新知 探究新知 方法点拨 判定 一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形 三条边 相等；二是证明三角形 三个内角 相等；三是先证明三角形是 等腰三角 形，再证明 有一个内角等于 60°. 证明： ∵△ ABC 为等边三角形，且 AD = BE = CF ∴ AF = BD = CE ，∠ A =∠ B =∠ C =60°， ∴△ ADF ≌△ BED ≌△ CFE （SAS）， ∴ DF = ED = EF ， ∴△ DEF 是等边三角形． 4. 如图，等边△ ABC 中， D 、 E 、 F 分别是各边上的一点，且 AD = BE = CF ．求证 ：△ DEF 是等边三角形． 巩固练习 连接中考 解析： ∵△ ABC 是等边三角形 ， ∴∠ BAC =60°， AB = AC ． 又点 D 是边 BC 的中点 ， ∴∠ BAD = ∠ BAC =30°． 如 图，在等边三角形 ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，则∠ BAD = ______ 　． 30° 巩固练习 A C B D 2. 如图，等边三角形 ABC 的三条角平分线交于点 O ， DE∥BC ，则这个图形中的等腰三角形共有 （ ） A. 4 个 B. 5 个 C. 6 个 D . 7 个 D A C B D E O 1. 等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（　　） A．105° B．120° C．135° D．150° B 基础巩固题 课堂检测 3. 在等边△ ABC 中， BD 平分∠ ABC ， BD = BF ，则∠ CDF 的度数是（　　） A．10° B．15 ° C．20 ° D．25° 4. 如图 ,△ ABC 和△ ADE 都是等边三角形，已知△ ABC 的周长为 18cm, EC =2cm, 则△ ADE 的周长是 cm. A C B D E 12 B 课堂检测 基础巩固题 5. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB =90°，∠ CAB =30°，以 AB 为边在△ ABC 外作等边△ ABD ， E 是 AB 的中点，连接 CE 并延长交 AD 于 F ．求证：△ AEF ≌△ BEC ． 证明： ∵△ ABD 是等边三角形 ， ∴∠ DAB =60°， ∵∠ CAB =30°，∠ ACB =90°， ∴∠ EBC =180 ° – 90° – 30 °=60 °，∴∠ FAE =∠ EBC ． ∵ E 为 AB 的中点 ， ∴ AE = BE ． 又 ∵ ∠ AE F ＝∠ BEC ， ∴△ AEF ≌△ BEC （ASA）． 课堂检测 基础巩固题 如 图， A 、 O 、 D 三点共线，△ OAB 和△ OCD 是两个全等的等边三角形，求∠ AEB 的大小 . 解： ∵△ OAB 和△ OCD 是两个全等的等边三角形 . ∴ AO = BO , CO = DO , ∠ AOB =∠ COD =60°. ∵ A 、 O 、 D 三点共线， ∴ ∠ DOB =∠ COA =120° ∴ △ COA ≌△ DOB (SAS). ∴ ∠ DBO =∠ CAO. 设 OB 与 EA 相交于点 F , ∵ ∠ EFB =∠ AFO ， ∴ ∠ AEB =∠ AOB =60°. C B O D A E F 能力提升题 课堂检测 图 ① 、图 ② 中，点 C 为线段 AB 上一点， △ ACM 与 △ CBN 都是等边三角形． ( 1 ) 如图 ① ，线段 AN 与线段 BM 是否相等？请说明理由； ( 2 ) 如图 ② ， AN 与 MC 交于点 E ， BM 与 CN 交于点 F ，探究 △ CEF 的形状，并证明你的结论． 图 ① 图 ② 拓广探索题 课堂检测 解： (1) AN ＝ BM . 理由 ： ∵△ ACM 与 △ CBN 都是等边三角形 ， ∴ AC ＝ MC ， CN ＝ CB ， ∠ ACM ＝ ∠ BCN ＝ 60°. ∴∠ ACN ＝ ∠ MCB . ∴△ ACN ≌△ MCB (SAS) ． ∴ AN ＝ BM . 图 ① 课堂检测 拓广探索题 (2) △ CEF 是等边三角形 ． 证明： ∵∠ ACE ＝ ∠ FCM =60 °， ∴∠ ECF =60 ° . ∵△ ACN ≌△ MCB ， ∴∠ CAE ＝ ∠ CMB . ∵ AC ＝ MC ， ∴△ ACE ≌△ MCF (ASA) ， ∴ CE ＝ CF . ∴△ CEF 是等边三 角形 ． 图 ② 课堂检测 拓广探索题 等边 三角形 定义 底 = 腰 特殊性 性质 特殊性 边 三边相等 角 三个角都等于 60 ° 轴对称性 轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质 判定 特殊性 三边都相等 三角都相等 有一个角是 60 °的等腰三角形 课堂小结 第二课 时 直角三角形的性质 2. 这个 特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？ 1. 等边三角形 是轴对称图形，若沿着其中 一条 对称轴折叠，能产生什么特殊图形？ 导入新知 想一想 素养目标 1. 探索含 30° 角的直角三角形的性质 ． 2. 会运用 含 30° 角的直角三角形的性质 进行有关的证明和 计算 . 如 图，将两个相同的 含 30° 角的三角尺摆放在一起，你能借助这个 图形找到 Rt△ ABC 的直角 边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？ 分离 拼接 A C B 含 30 °角的直角三角形的性质 探究新知 知识点 1 问题1： 将 一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？ 探究新知 问题 2 ： 性质： 在直角三角形中， 如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . A B C D 如图，显然，△ ADC 与△ ABC 关于 AC 成轴对称图形， 因此 AB=AD , ∠ BAD =2×30°=60° ， 从而△ ABD 是一个 等边三角形 . 再由 AC ⊥ BD , 可得 BC = CD = AB . 探究新知 你还能用其他方法证明吗？ 证明： 延长 BC 到 D ，使 BD = AB ， 连接 AD . 在△ ABC 中，∵　∠ C =90° ，∠ A =30°, ∴ 　∠ B =60° ．∴△ ABD 是等边三角形． 又∵ AC ⊥ BD , 已知：如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C =90° ，∠ A =30°. 求证： BC = AB ． A B C D 证明方法： 倍长法 ∴ BC = AB ． 　　 ∴ BC = BD ． 　　 探究新知 方法一： 探究新知 方法点拨 倍 长法 就是延长得到的线段是原线段的正整数倍，即 1 倍 、 2 倍 …… 倍 长法 E A B C 证明： 在 BA 上截取 BE = BC ，连接 EC . ∵ ∠ B = 60° ， BE =BC . ∴ △ BCE 是等边三角形， ∴ ∠ BEC = 60°， BE = EC . ∵ ∠ A = 30°， ∴ ∠ ECA =∠ BEC – ∠ A =60 ° – 30 ° = 30° . ∴ AE = EC ， ∴ AE = BE = BC ， ∴ AB = AE + BE =2 BC . ∴ 　 BC = AB ． 　　 证明方法： 截半法 探究新知 方法二： 探究新知 方法点拨 在 证明中，在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是 截半 法 . 截 半法 含 30° 角的直角三角形的 性质： 在 直角三角形 中，如果 一个锐角等于 30° ，那么它 所对的直角边等于斜边的一半 . ∵　在 Rt△ ABC 中 ，∠ C =90° ，∠ A =30° ， 探究新知 归纳总结 应用格式： ∴ 　 BC = AB ． 　　 A B C 例 1 如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB ＝ 90° ， ∠ B ＝ 30° ， CD 是斜边 AB 上的高， AD ＝ 3cm ，则 AB 的长度是 ( 　　 ) A ． 3cm B ． 6cm C ． 9cm D ． 12cm 注意： 运用含 30° 角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． D 解析： 在 Rt△ ABC 中 ， ∵ CD 是斜边 AB 上的高 ， ∴∠ ADC ＝ 90° ， ∴∠ ACD ＝ ∠ B ＝ 30°. 在 Rt△ ACD 中 ， AC ＝ 2 AD ＝ 6cm ， 在 Rt△ ABC 中 ， AB ＝ 2 AC ＝ 12cm. ∴ AB 的长度是 12cm . 利用含 30 °角的直角三角形的性质求线段的值 探究新知 素养考点 1 A B C D 1 . △ ABC 中， AB = AC ， ∠ C =30°, DA ⊥ BA 于 A ， BD =9.6cm ，则 AD = . B C D 4.8cm B C D A A 巩固练习 2 . 如图 ∠ C =90° ， D 是 CA 的延长线上的 一点， ∠ BDC =15° ，且 AD = AB ，则 BC = AD. 例 2 如图， ∠ AOP ＝ ∠ BOP ＝ 15° ， PC∥OA 交 OB 于 C ， PD ⊥ OA 于 D ，若 PC ＝ 3 ，则 PD 等于 ( 　　 ) A ． 3 B ． 2 C.1.5 D ． 1 解析： 如图，过点 P 作 PE ⊥ OB 于 E ， ∵ PC∥OA ， ∴∠ AOP ＝ ∠ CPO ， ∴∠ PCE ＝ ∠ BOP ＋ ∠ CPO ＝ ∠ BOP ＋ ∠ AOP ＝ ∠ AOB ＝ 30 °. 又 ∵ PC ＝ 3 ， ∴ PE ＝ 1.5 . ∵∠ AOP ＝ ∠ BOP ， PD ⊥ OA ， ∴ PD ＝ PE ＝ 1.5 . E C 探究新知 探究新知 归纳总结 含 30 ° 角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是 寻找或作辅助线构造含 30° 角的直角三角形 ． 3 . 如图，在△ ABC 中，∠ ACB =90° ， CD 是高，∠ A =30° ， AB =4 ．则 BD = . 1 A B C D 解析： 在△ ABC 中 ， ∵∠ ACB =90 °，∠ A =30 °， ∴ BC = AB =4 × =2. 同理可得 ： BD = BC =2× =1 巩固练习 4 . 已知 : 等腰三角形的底角为 15 °, 腰长为 20. 求腰上的高 . 解 : 过 C 作 CD ⊥ BA , 交 BA 的延长线于点 D. ∵∠ B =∠ ACB =15 ° ( 已知 ), ∴∠ DAC = ∠ B + ∠ ACB = 15 ° +15 ° =30 ° ， A C B D 15 ° 15 ° 20 ) ) ∴ CD = AC = ×20=10. 巩固练习 例 3 如图，在 △ ABC 中， ∠ C ＝ 90° ， AD 是 ∠ BAC 的平分线，过点 D 作 DE ⊥ AB . DE 恰好是 ∠ ADB 的平分线． CD 与 DB 有怎样的数量关系？请说明理由． 解： 理由如下 ： ∵ DE ⊥ AB ， ∴∠ AED ＝ ∠ BED ＝ 90°. ∵ DE 是 ∠ ADB 的平分线 ， ∴∠ ADE ＝ ∠ BDE . 又 ∵ DE ＝ DE ， ∴△ AED ≌△ BED (ASA) ， 探究新知 在 Rt△ ACD 中 ， ∵∠ CAD ＝ 30° ， ∴ AD ＝ BD ， ∠ DAE ＝ ∠ B . ∵∠ BAD ＝ ∠ CAD ＝ ∠ BAC ， ∴∠ BAD ＝ ∠ CAD ＝ ∠ B . ∵∠ BAD ＋ ∠ CAD ＋ ∠ B ＝ 90° ， ∴∠ B ＝ ∠ BAD ＝ ∠ CAD ＝ 30°. ∴ CD ＝ AD ＝ BD ， 即 CD ＝ DB . 探究新知 探究新知 归纳总结 含 30° 角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段 倍分关系 的结论时，要联想此性质． 5 . Rt △ ABC 中，∠ C =90° ，∠ B =2∠ A ，∠ B 和∠ A 各是多少度？边 AB 与 BC 之间有什么关系？ 　　　 证明： ∵∠ B + ∠ A =180 ° – ∠ C =90 °， ∠ B =2 ∠ A ， ∴∠ B =60 °，∠ A =30 ° . ∴ AB= 2 BC . 巩固练习 例 4 　如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC ， DE 垂直于横梁 AC ， AB =7.4 cm ，∠ A =30° ， 立柱 BC 、 DE 有 多 长 ？ A B C D E 利用直角三角形的性质解决实际问题 探究新知 素养考点 2 图 中 BC 、 DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ A B C D E 解： ∵ DE ⊥ AC , BC ⊥ AC , ∠ A =30 ° ， ∴ BC = AB , DE = AD . ∴ BC = AB = ×7.4=3.7(m). 又 AD = AB , ∴ DE = AD = ×3.7=1.85 (m). 答 ： 立柱 BC 的长是 3.7m ， DE 的长是 1.85m. 探究新知 连接中考 如 图，∠ AOE =∠ BOE =15°， EF ∥ OB ， EC ⊥ OB 于 C ，若 EC =1，则 OF = 　 ． 解： 作 EH ⊥ OA 于 H ， ∵∠ AOE =∠ BOE =15°， EC ⊥ OB ， EH ⊥ OA ， ∴ EH = EC =1，∠ AOB =30°， ∵ EF ∥ OB ， ∴∠ EFH =∠ AOB =30°，∠ FEO =∠ BOE ， ∴ EF =2 EH =2，∠ FEO =∠ FOE ， ∴ OF = EF =2． 2 巩固练习 H 1. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面 3 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30° 角，这棵树在折断前的高度为 ( ) A ． 6 米 B ． 9 米 C ． 12 米 D ． 15 米 2. 某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的 △ ABC 空地上种植 草皮优化 环境，已知 ∠ A ＝ 150° ，这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要 ( ) A ． 300 a 元 B ． 150 a 元 C ． 450 a 元 D ． 225 a 元 B B 基础巩固题 课堂检测 3 . 在△ ABC 中,∠ A : ∠ B : ∠ C =1:2:3,若 AB =10,则 BC = . 5 4. 如图， Rt△ ABC 中，∠ A = 30° ， AB + BC =12cm ，则 AB =______cm. 8 A C B 第 4 题图 基础巩固题 课堂检测 1. 在△ ABC 中，∠ C =90°，∠ B =15°， DE 是 AB 的垂直平分线， BE =5，则求 AC 的长． 解： 连接 AE ， ∵ DE 是 AB 的垂直平分线 ， ∴ BE = AE ，∴∠ EAB =∠ B =15°， ∴∠ AEC = ∠ EAB + ∠ B =30°． ∵∠ C =90° ， ∴ AC = AE = BE= 2.5． 能力提升题 课堂检测 2. 在 △ ABC 中 ， AB = AC ， ∠ BAC =120 ° ， D 是 BC 的中点， DE ⊥ AB 于 E 点，求证： BE =3 EA . 证明： ∵ AB = AC ， ∠ BAC =120 °， ∴∠ B =∠ C =30 ° . ∵ D 是 BC 的中点 ， ∴ AD ⊥ BC ∴∠ ADC =90° ， ∠ BAD =∠ DAC =60 ° . ∴ AB =2 AD . ∵ DE ⊥ AB ， ∴∠ AED =90 °， ∴∠ ADE =30 °， ∴ AD =2 AE . ∴ AB =4 AE ， ∴ BE =3 AE . 能力提升题 课堂检测 如 图，已知 △ ABC 是等边三角形， D , E 分别为 BC 、 AC 上的点，且 CD = AE ， AD 、 BE 相交于点 P ， BQ ⊥ AD 于点 Q , 求证 : BP =2 PQ . ∴△ ADC ≌△ BEA . 证明： ∵△ ABC 为等边三角形 ， ∴ AC = BC = AB ,∠ C= ∠ BAC =60° ， ∵ CD = AE ， 拓广探索题 课堂检测 ∴∠ CAD =∠ ABE . ∵ ∠ BAP +∠ CAD =60° ， ∴∠ ABE +∠ BAP =60°. ∴∠ BPQ =60°. 又 ∵ BQ ⊥ AD ， ∴ BP =2 PQ . ∴∠ PBQ =30 ° ， ∴∠ BQP =90 ° ， 课堂检测 拓广探索题 内容 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的 一半 . 使用要点 含 30° 角的直角三角形的性质 ①分清 30 ° 的角所在的直角边 . ② 作辅助线，构造直角三角形 . 注意 前提条件：直角三角形中 证题方法 倍长法 截半法 课堂小结 人教 版 数学 八 年级 上册 13.4 课题学习 最短路径问题 1. 如图，连接 A 、 B 两点的所 有线 中，哪条最短 ？为什么 ？ A B ① ② ③ ② 最短，因为两点之间，线段最 短 . 2. 如图，点 P 是直线 l 外一点，点 P 与该直线 l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ PC 最短，因为垂线段最 短 . 导入新知 P l A B C D 3. 在以前学习过哪些有关线段 大小的 结论？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边 . 4. 如图，如何做点 A 关于直线 l 的对称点？ A l A ′ 导入新知 1. 能利用轴对称解决简单的 最短路径问题 . 2. 体 会 图形的变化 在解决 最值问题 中的作用，感悟转化思想． 素养目标 利用对称知识解决最短路径问题 “两点的所有连线中， 线段最短 ”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短 ”等的问题，我们称之为最短路径问题 . A B ① ② ③ P l A B C D 探究新知 知识点 1 现实 生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题” . 如 图，牧马人 从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ C 抽象成 A B l 数学问题 作图问题： 在直线 l 上求作一点 C , 使 AC + BC 最短问题 . 实际问题 A B l 探究新知 现在 假设点 A,B 分别是直线 l 异侧 的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A ，点 B 的距离的和最短？ 根据“ 两点之间，线段最短 ”，可知这个交点即为所求 . 解 ： 连接 AB , 与直线 l 相交于一点 C . 探究新知 问题1： A l B C 如果 点 A,B 分别是直线 l 同侧 的两个点，又应该如何 解决所走路径最短的问题？ 【 思考 】 对于 问题 2 ，如何将点 B “ 移”到 l 的另一侧 B ′ 处，满足直线 l 上的任意一点 C ，都保持 CB 与 CB ′ 的长度相等？ A B l 利用轴对称，作出点 B 关于直线 l 的对称点 B ′. 探究新知 问题 2 ： 作法： （ 1 ） 作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′ ； （ 2 ） 连接 AB ′ ，与直线 l 相交于点 C ． 则点 C 即为所求． 探究新知 A B l B ′ C 你 能用所学的知识证明 AC +BC 最短吗？ 证明： 如图，在直线 l 上任取一点 C ′ ( 与点 C 不重合 ) ，连接 AC′ ， BC′ ， B′C′ ． 由轴对称的性质知， BC =B′C ， BC′=B′C′ ． ∴ 　 AC +BC = AC +B′C = AB′ ， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′ ． 在△ AB′C′ 中 ， AB ′ ＜ AC′+B′C′ ， ∴　 AC +BC ＜ AC′+BC′ ． 即　 AC +BC 最短． 探究新知 问题 3 ： A B l B ′ C C ′ 例 1 如图，已知点 D 、点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC 、 AB 边的中点， AD =5，点 F 是 AD 边上的动点，则 BF + EF 的最小值为（　　） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 解析： △ ABC 为等边三角形，点 D 是 BC 边的中点，即 点 B 与点 C 关于直线 AD 对称 . ∵ 点 F 在 AD 上，故 BF=CF. 即 BF + EF 的最小值可转化为求 CF + EF 的最小值， 故连接 CE 即可， 线段 CE 的长即为 BF + EF 的最小值 . 而 CE = AD . B 最 短路径问题的应 用 探究新知 素养考点 1 探究新知 方法点拨 此 类求 线段和的最小值问题 ，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长 ，再 根据已知条件求解 . 1. 如图，直线 l 是一条河， P 、 Q 是两个村庄 . 欲在 l 上的某处修建一个水泵站，向 P 、 Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ） D 巩固练习 P Q l A M P Q l B M P Q l C M P Q l D M 2 . 如图， A 、 B 是两个蓄水池，都在河流 a 的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到 A 、 B 两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹） . 解： 如图 ， P 点即为该点 . 巩固练习 例 2 如图，在直角坐标系中，点 A ， B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A ， B ， C 三点不在同一条直线上，当△ ABC 的周长最小时点 C 的坐标是（　　） A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0） 解析： 作 B 点关于 y 轴 对称点 B′ ，连接 AB ′ ，交 y 轴于点 C ′，此时△ ABC 的周长最小，然后依据点 A 与点 B ′的坐标可得到 BE 、 AE 的长，然后证明△ B ′ C ′ O 为等腰直角三角形即可． B′ C ′ E A 探究新知 探究新知 方法点拨 求 三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线， 连线与动点所在直线的交点 即为三角形周长最小时动点的位置 . 3. 如图，已知牧马营地在 P 处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线 . 解： 如图 AP + AB 即为最短的放牧路线 . 巩固练习 如图， A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN . 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） ？ B A A B N M 利用平移知识解决造桥选址问题 探究新知 知识点 2 B A ● ● ? N M N N M 如 图假定任选位置造桥 MN ，连接 AM 和 BN ，从 A 到 B 的路径是 AM + MN + BN ，那么怎样确定桥的位置，才能使 A 到 B 的路径最短呢？ 探究新知 M 【 思考 】 我们 能否在不改变 AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？ 1. 把 A 平移到岸边 . 2. 把 B 平移到岸边 . 3. 把桥平移到和 A 相连 . 4. 把桥平移到和 B 相连 . B A Ｍ Ｎ 探究新知 B A Ｍ Ｎ A' B' 1. 把 A 平移到岸边 . AM + MN + BN 长度改变 了 . 2. 把 B 平移到岸 边 . AM + MN + BN 长度改变 了 . 探究新知 B A Ｍ Ｎ 3. 把桥平移到和 A 相连 . 4. 把桥平移到和 B 相连 . AM + MN + BN 长度有没有改变呢？ 探究新知 B A A 1 M N 如 图，平移 A 到 A 1 ，使 AA 1 等于河宽，连接 A 1 B 交河岸于 N 作桥 MN ，此时路径 AM + MN + BN 最短 . 理由 : 另任作桥 M 1 N １ ，连接 AM １ ， BN １ ， A １ N １ . Ｎ １ Ｍ １ 由平移性质可知， AM ＝ A １ N ， AA １ ＝ MN ＝ M １ N １ ， AM １ ＝ A １ N １ . AM+MN+BN 转化 为 AA 1 ＋ A 1 B ， 而 AM 1 + M 1 N 1 +BN 1 转化为 AA 1 ＋ A 1 N 1 + BN 1. 在△ A １ N １ B 中，因为 A 1 N 1 + BN 1 ＞ A 1 B. 因此 AM 1 +M 1 N 1 +BN 1 ＞ AM+MN+BN. 探究新知 A· B M N E C D 证明： 由平移的性质，得 BN∥ EM 且 BN=EM, MN=CD , BD∥CE, BD=CE , 所以 A 到 B 的路径长 为 AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN , 若桥的位置建在 CD 处，连接 AC , CD , DB , CE , 则 A 到 B 的路径长为 AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN , 在△ ACE 中，∵ AC+CE ＞ AE , ∴ AC+CE+MN ＞ AE+MN , 即 AC+CD+DB ＞ AM+MN+BN ， 所以桥的位置建在 MN 处， A 到 B 的路径 最短 . 探究新知 解决最短路径问题的方法 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择 . 探究新知 方法点拨 4 . 牧马人从 A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到 B 处，请画出最短路径 . A ´ B ´ P Q . . . . 巩固练习 连接中考 如 图，在正方形 ABCD 中， E ， F 分别为 AD ， BC 的中点， P 为对角线 BD 上的一个动点，则下列线段的长等于 AP + EP 最小值的是（　　 ） A． AB B． DE C． BD D． AF 解析： 如图，连接 CP ，由 AD = CD ，∠ ADP =∠ CDP =45° ， DP = DP ，可得△ ADP ≌△ CDP ， ∴ AP = CP ，∴ AP + PE = CP + PE ， ∴ 当点 E ， P ， C 在同一直线上时， AP + PE 的最小值为 CE 长 ， 此时，由 AB = CD ，∠ ABF= ∠ CDE ， BF = DE ， 可 得△ ABF ≌△ CDE ， ∴ AF = CE ，∴ AP + EP 最小值等于线段 AF 的 长． D 巩固练习 1. 如图，直线 m 同侧有 A 、 B 两点， A 、 A′ 关于直线 m 对称， A 、 B 关于直线 n 对称，直线 m 与 A′B 和 n 分别交于 P 、 Q ，下面的说法正确的是（　　 ） A． P 是 m 上到 A 、 B 距离之和最短 的点， Q 是 m 上到 A 、 B 距离相等的点 . B． Q 是 m 上到 A 、 B 距离之和最短 的点， P 是 m 上到 A 、 B 距离相等的 点 . C． P 、 Q 都是 m 上到 A 、 B 距离之和 最短 的 点 . D． P 、 Q 都是 m 上到 A 、 B 距离 相等的 点 . A 基础巩固题 课堂检测 . 2. 如图，∠ AOB =30°，∠ AOB 内有一定点 P ，且 OP =10 ．在 OA 上有一点 Q ， OB 上有一点 R ．若△ PQR 周长最小，则最小周长是（　　） A．10 B．15 C．20 D．30 A 基础巩固题 课堂检测 3. 如图，牧童在 A 处放马，其家在 B 处， A 、 B 到河岸的距离分别为 AC 和 BD ，且 AC = BD , 若点 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 米，则牧童从 A 处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米 . A C B D 河 1000 基础巩固题 课堂检测 4. 如图，边长为1的正方形组成的网格中，△ AOB 的顶点均在格点上，点 A 、 B 的坐标分别是 A （3，2）， B （1，3）．点 P 在 x 轴上，当 PA + PB 的值最小时，在图中画出点 P ． x y O B A B' P 解析： 作出点 B 关于 x 轴的对称点 B′ ，连接 AB ′ 交 x 轴于点 P ，点 P 就是所求的点 . 课堂检测 如 图，荆州古城河在 CC ′ 处直角转弯，河宽相同，从 A 处到 B 处，须经两座桥： DD ′, EE ′ （桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使 ADD ′E ′EB 的路程最短？ A D D ′ C C′ E E′ B 能力提升题 课堂检测 解： 作 AF ⊥ CD , 且 AF = 河宽，作 BG ⊥ CE ，且 BG = 河宽，连接 GF , 与河岸相交于 E ′, D ′. 作 DD ′, EE ′ 即为桥 . 理由： 由作图法可知， AF // DD ′ ， AF=DD ′ ， 则四边形 AFD ′ D 为平行四边形， 于是 AD = FD ′, 同理， BE = GE ′ ， 由两点之间线段最短可知， GF 最小 . A D ′ C C′ E E′ B F G D 课堂检测 能力提升题 （ 1）如图①，在 AB 直线一侧 C 、 D 两点，在 AB 上找一点 P ，使 C 、 D 、 P 三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由． （2）如图②，在∠ AOB 内部有一点 P ，是否在 OA 、 OB 上分别存在点 E 、 F ，使得 E 、 F 、 P 三点组成的三角形的周长最短，找出 E 、 F 两点，并说明理由． （3）如图③，在∠ AOB 内部有两点 M 、 N ，是否在 OA 、 OB 上分别存在点 E 、 F ，使得 E 、 F 、 M 、 N ，四点组成的四边形的周长最短，找出 E 、 F 两点，并说明理由． A B C D P O A B N O A B M 图① 图 ② 图 ③ 图① 图② 图③ 拓广探索题 课堂检测 A B C D M' C' P 图① P O A B P' P'' E F 图② N O A B M N' E F 图③ 课堂检测 原理 线段公理和垂线段最短 最短路径问题 解题方法 造桥选址问题 关键是将固定线段“桥”平移 最短路径问题 轴对称知识 + 线段公理 解题方法 课堂小结