2020八年级数学上册第14章勾股定理的应用第2课时勾股定理在数学中的应用作业

2020八年级数学上册第14章勾股定理的应用第2课时勾股定理在数学中的应用作业

‎ [14.2　第2课时　勾股定理在数学中的应用]‎ ‎　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 图K－42－1‎ ‎1．如图K－42－1，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是(　　)‎ A．19 B．‎13 C．31 D．35‎ ‎2．如果直角三角形的斜边长为‎20 cm，两条直角边长之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为(　　)‎ A．‎27 cm B．‎‎30 cm C．‎40 cm D．‎‎48 cm ‎3．如图K－42－2是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝‎6 cm，BC＝‎8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为(　　)‎ A．‎4 cm B．‎5 cm ‎ C．‎6 cm D．‎‎10 cm 图K－42－2‎ ‎4．如图K－42－3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD的长为正整数，则符合条件的点D共有(　　)‎ ‎　　　‎ 10‎ 图K－42－3‎ A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 ‎5．如图K－42－4，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的个数是(　　)‎ 图K－42－4‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 二、填空题 ‎6．2016·烟台如图K－42－5，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰三角形ABC，连结OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为________．‎ 图K－42－5‎ ‎7．如图K－42－6，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，连结AC，∠DAC＝∠BAC.若BC＝‎4 cm，AD＝‎5 cm，则AB＝________cm.‎ ‎　　　‎ 图K－42－6‎ ‎8．如图K－42－7，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E，D，若AC＝6，BC＝10，则DE的长为________．‎ 图K－42－7‎ 10‎ ‎9．如图K－42－8，正方形A1B1B‎2C1，正方形A2B2B‎3C2，正方形A3B3B‎4C3，…，正方形AnBnBn＋1Cn按图放置，使点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，B4，…，Bn在射线OB上．若∠AOB＝45°，OB1＝1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S1，S2，S3，S4，…，Sn，则Sn＝________．‎ ‎　　　‎ 图K－42－8‎ 三、解答题 ‎10．如图K－42－9所示，阴影(半圆)部分的面积是多少？(π取3)‎ 图K－42－9‎ ‎11．如图K－42－10，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形并涂上阴影．‎ ‎(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；‎ ‎(2)在图②、图③中，分别画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数(两个三角形不全等). 图K－42－10‎ 10‎ ‎12．如图K－42－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°.如果以此直角三角形三边为边，分别作三个等边三角形(如图K－42－11)，其面积分别为S1，S2，S3，那么S1，S2，S3之间有什么关系？‎ 图K－42－11‎ ‎13．如图K－42－12，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.‎ 求证：AB＝BC.‎ 图K－42－12‎ ‎14．把一张长方形纸片ABCD按如图K－42－13所示的方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝‎3 cm，BC＝‎5 cm，求重叠部分△DEF的面积. 10‎ 图K－42－13‎ ‎15．如图K－42－14，已知D，F分别是△ABC的边BC上两点，E是边AC上一点，∠BFE＝∠FEA，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AE＝10，DF＝4.‎ ‎(1)求证：AD⊥BC；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ 图K－42－14‎ ‎　　　　　　　　　　‎ 探究题如图K－42－15，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其底边长为‎8 cm，腰长为‎5 cm，一动点P在底边上从点B出发向点C以‎0.25 cm/s的速度移动，请你探究：当点P运动多长时间时，点P与顶点A的连线PA与腰垂直．‎ 图K－42－15‎ 10‎ 详解详析 ‎【课时作业】‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1．A ‎2．[解析] D　设两条直角边长分别为3x cm，4x cm，根据勾股定理，得(3x)2＋(4x)2＝202，解得x＝4，则两条直角边的长分别为‎12 cm，‎16 cm，所以这个直角三角形的周长为‎48 cm.‎ ‎3．B ‎4．[解析] C　如图，过点A作AE⊥BC于点E.‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴EC＝BE＝BC＝4，‎ ‎∴AE＝＝＝3.‎ ‎∵D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，‎ ‎∴3≤AD＜5.‎ ‎∵线段AD的长为正整数，‎ ‎∴AD＝3或4，‎ 当AD＝3时，点D就在点E的位置，‎ 当AD＝4时，点D在点E的两侧各有一个位置，‎ ‎∴符合条件的点D共有3个．故选C.‎ ‎5．[解析] C　从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中只有△ABD，△ADC，△ABC是直角三角形．‎ ‎6．[答案] 10‎ ‎[解析] ∵△ABC为等腰三角形，OA＝OB＝3，∴OC⊥AB.‎ 在Rt△OBC中，OC＝＝＝.‎ ‎∵以O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，‎ ‎∴OM＝OC＝，‎ ‎∴点M对应的实数为.‎ ‎7．8　8.14‎ ‎9．[答案] 22n－3‎ ‎[解析] ∵OB1＝1，△OB‎1A1是等腰直角三角形，‎ ‎∴A1B1＝1.‎ ‎∵四边形A1B1B‎2C1是正方形，∴A‎1C1＝1.‎ ‎∵△A‎1C1A2是等腰直角三角形，‎ ‎∴S1＝×1×1＝.‎ 同理A‎2C2＝2，A‎3C3＝22，A‎4C4＝23，…，AnCn＝2n－1，‎ ‎∴Sn＝×2n－1×2n－1＝22n—3.‎ ‎10．解：(1)(2)题答案直角三角形的斜边长为＝10，‎ 那么阴影部分的面积为×π×≈37.5.‎ ‎11．解：(1)(2)题答案如图，答案不唯一．‎ ‎12．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，‎ ‎∴AB2＝AC2＋BC2.‎ 根据等边三角形面积计算公式得S3＝AB2，‎ 10‎ S1＝AC2，S2＝BC2，‎ ‎∴S1＋S2＝(AC2＋BC2)＝AB2＝S3，‎ 故S1＋S2＝S3.‎ ‎13．证明：连结AC.‎ ‎∵∠ABC＝90°，‎ ‎∴AB2＋BC2＝AC2.‎ ‎∵CD⊥AD，‎ ‎∴AD2＋CD2＝AC2.‎ 又∵AD2＋CD2＝2AB2，‎ ‎∴AB2＋BC2＝2AB2，‎ 即BC2＝AB2.‎ ‎∵CB＞0，AB＞0，‎ ‎∴AB＝BC.‎ ‎14．解：由长方形纸片的折叠可得A′D＝AB，A′E＝AE.‎ 在Rt△A′DE中，‎ 由勾股定理，得A′D2＋A′E2＝DE2，AE＋DE＝AD.‎ 设DE＝x，‎ 则A′E＝AD－DE＝5－x.‎ 则32＋(5－x)2＝x2，‎ 解得x＝3.4，‎ 即DE＝3.4，‎ 所以S△DEF＝DE·AB＝×3.4×3＝5.1(cm2)．‎ 即重叠部分△DEF的面积是‎5.1 cm2.‎ 10‎ ‎15．解：(1)证明：∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，‎ ‎∴AB2＝BD2＋AD2，‎ ‎∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，‎ ‎∴AD⊥BC.‎ ‎(2)∵∠BFE＝∠FEA，‎ ‎∴∠CFE＝∠CEF，‎ ‎∴CF＝CE.‎ 设CE＝CF＝x.‎ ‎∵∠ADC＝90°，‎ ‎∴AD2＋CD2＝AC2，‎ 即122＋(x＋4)2＝(10＋x)2，‎ 解得x＝5，‎ ‎∴BC＝5＋4＋5＝14，‎ ‎∴S△ABC＝BC·AD＝84.‎ ‎[素养提升]‎ 解：过点A作AD⊥BC于点D.‎ ‎∵AB＝AC，BC＝‎8 cm，‎ ‎∴BD＝CD＝BC＝‎4 cm.‎ 由勾股定理，得AD＝＝3(cm)．‎ 分两种情况：(1)如图①，当点P运动t秒后有PA⊥AC时，‎ ‎∵AP2＝PD2＋AD2＝PC2－AC2，‎ ‎∴PD2＋32＝(PD＋4)2－52，∴PD＝‎2.25 cm，‎ ‎∴BP＝4－2.25＝1.75，‎ 10‎ ‎∴0.25t＝1.75，解得t＝7.‎ ‎(2)当点P运动t秒后有PA⊥AB时，如图②，同理可得PD＝2.25，∴BP＝4＋2.25＝6.25，‎ ‎∴0.25t＝6.25，解得t＝25.‎ 综上所述，当点P运动的时间为7 s或25 s时，点P与顶点A的连线与腰垂直．‎ 10‎