八年级下册数学同步练习2-4 三角形的中位线2 湘教版

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八年级下册数学同步练习2-4 三角形的中位线2 湘教版

‎2.4 三角形的中位线 一、选择题(本大题共8小题)‎ ‎1. 如图,DE是△ABC的中位线,则△ABC与△ADE的周长的比是 ( )‎ ‎ A.1:2 B.2:1 C.1:3 D.3:1‎ ‎ ‎ 第1题图 第2题图 第3题图 ‎2. 如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,点D,E分别是直角边BC,AC的中点,则DE的长为(  )‎ A.1 B.2 C. D.1+‎ ‎3. 如图,DE是△ABC的中位线,过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F,则下列结论正确的是(  )‎ A.EF=CF B.EF=DE C.CF<BD D.EF>DE ‎4. 一个三角形的周长是36 cm,则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是 ( )‎ ‎ A.6 cm B.12 cm C.18 cm D.36 cm ‎5. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为(  )‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ ‎ ‎ 第5题图 第6题图 6. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为(  )‎ A.6 B.5 C.4 D.3[来源:Zxxk.Com]‎ ‎7. 如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,AF⊥BC,垂足为点F,∠ADE=30°,DF=4,则BF的长为(  )‎ A.4 B.8 C.2 D.4‎ ‎ ‎ 第7题图 第8题图 第9题图 ‎8. 在△ABC中,AB=3,BC=4,AC=2,D、E、F分别为AB、BC、AC中点,连接DF、FE,则四边形DBEF的周长是(  )‎ A.5 B.7 C.9 D.11‎ 二、填空题(本大题共6小题)‎ ‎9. 如图,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,BC=8,则DE=   .‎ ‎10. 如图所示,小明为了测量学校里一池塘的宽度AB,选取可以直达A、B两点的点O处,再分别取OA、OB的中点M、N,量得MN=20m,则池塘的宽度AB为      m.  ‎ ‎ ‎ 第10题图 第11题图 第12题图 ‎11. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,若CD=5cm,则EF=    cm.‎ ‎12. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD=BD,连接DM、DN、MN.若AB=6,则DN=   .‎ ‎13. 如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,且BN⊥AN,垂足为N,且AB=6,BC=10,MN=1.5,则△ABC的周长是 .‎ ‎ ‎ 第13题图 第14题图 ‎14. 如图,在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点,且AB=6cm,AC=8cm,则四边形ADEF的周长等于   cm.‎ 三、计算题(本大题共4小题)‎ ‎15. 如图,已知△ABC中,D为AB的中点.‎ ‎(1)请用尺规作图法作边AC的中点E,并连结DE(保留作图痕迹,不要求写作法);‎ ‎(2)在(1)的条件下,若DE=4,求BC的长.‎ ‎16. 如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.‎ ‎(1)求证:四边形ADEF是平行四边形;‎ ‎(2)求证:∠DHF=∠DEF.‎ ‎17. 如图,已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于点D,BC的中点为M,ME∥AD,交BA的延长线于点E,交AC于点F.‎ ‎(1)求证:AE=AF;‎ ‎(2)求证:BE=(AB+AC).‎ ‎18. 如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.‎ ‎(1)求证:BM=MN;‎ ‎(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.‎ 参考答案:‎ 一、选择题(本大题共8小题)‎ ‎1. B 分析:根据三角形中位线定理解答即可。‎ 解:已知DE是△‎ ABC的中位线,所以D,E分别是AB和AC的中点,根据中位线定理可知△ADE的每一条边都是△ABC的对应边的一半,那么周长也应该是△ABC的一半。故选B.‎ ‎2. A 分析:由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2.然后根据三角形中位线定理求得DE=AB.‎ 解:如图,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,‎ ‎∴AB=2BC=2.‎ 又∵点D、E分别是AC、BC的中点,‎ ‎∴DE是△ACB的中位线,‎ ‎∴DE=AB=1.‎ 故选:A.‎ ‎3.B 分析:首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC,然后根据CF∥BD得出∠ADE=∠F,继而根据AAS证得△ADE≌△CFE,最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE.‎ 解:∵DE是△ABC的中位线,‎ ‎∴E为AC中点,‎ ‎∴AE=EC,‎ ‎∵CF∥BD,‎ ‎∴∠ADE=∠F,‎ 在△ADE和△CFE中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△ADE≌△CFE(AAS),‎ ‎∴DE=FE.‎ 故选B.‎ ‎4. 解: 如图,点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,‎ ‎∴DE= BC,DF= AC,EF= AB,‎ ‎∵原三角形的周长为36,‎ 则新三角形的周长为=18.‎ 故答案为:18.[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ ‎5. B 分析:根据三角形中位线定理求出DE,得到DF∥BM,再证明EC=EF=AC,由此即可解决问题.‎ 解:在RT△ABC中,∵∠ABC=90°,AB=8,BC=6,‎ ‎∴AC===10,‎ ‎∵DE是△ABC的中位线,‎ ‎∴DF∥BM,DE=BC=3,‎ ‎∴∠EFC=∠FCM,‎ ‎∵∠FCE=∠FCM,‎ ‎∴∠EFC=∠ECF,‎ ‎∴EC=EF=AC=5,‎ ‎∴DF=DE+EF=3+5=8.‎ 故选B.‎ ‎6. D 分析:在Rt△ACB中,根据勾股定理求得BC边的长度,然后由三角形中位线定理知DE=BC.‎ 解:∵在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,‎ ‎∴BC=6.‎ 又∵DE垂直平分AC交AB于点E,‎ ‎∴DE是△ACB的中位线,‎ ‎∴DE=BC=3.‎ 故选:D.‎ ‎7.D 分析:先利用直角三角形斜边中线性质求出AB,再在RT△ABF中,利用30角所对的直角边等于斜边的一半,求出AF即可解决问题.‎ 解:在RT△ABF中,∵∠AFB=90°,AD=DB,DF=4,‎ ‎∴AB=2DF=8,‎ ‎∵AD=DB,AE=EC,‎ ‎∴DE∥BC,‎ ‎∴∠ADE=∠ABF=30°,‎ ‎∴AF=AB=4,‎ ‎∴BF===4.‎ 故选D.‎ ‎8. B 分析:先根据三角形中位线性质得DF=BC=2,DF∥BC,EF=AB=,EF∥AB,则可判断四边形DBEF为平行四边形,然后计算平行四边形的周长即可.‎ 解:∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点,‎ ‎∴DF=BC=2,DF∥BC,EF=AB=,EF∥AB,‎ ‎∴四边形DBEF为平行四边形,‎ ‎∴四边形DBEF的周长=2(DF+EF)=2×(2+)=7.‎ 故选B.‎ 二、填空题(本大题共6小题)‎ ‎9. 分析:根据三角形的中位线定理得到DE=BC,即可得到答案.‎ 解:∵D、E分别是边AB、AC的中点,BC=8,‎ ‎∴DE=BC=4.故答案为:4.‎ ‎10. 分析:根据题意知MN是△ABO的中位线,所以由三角形中位线定理来求AB的长度即可.‎ 解:∵点M、N是OA、OB的中点,‎ ‎∴MN是△ABO的中位线,‎ ‎∴AB=AMN.‎ 又∵MN=20m,‎ ‎∴AB=40m.‎ 故答案是:40.‎ ‎11. 分析:已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线,那么AB=2CD;EF是△ABC的中位线,则EF应等于AB的一半.‎ 解:∵△ABC是直角三角形,CD是斜边的中线,‎ ‎∴CD=AB,‎ 又∵EF是△ABC的中位线,‎ ‎∴AB=2CD=2×5=10cm,‎ ‎∴EF=×10=5cm.故答案为:5‎ ‎12. 分析:连接CM,根据三角形中位线定理得到NM=CB,MN∥BC,证明四边形DCMN是平行四边形,得到DN=CM,根据直角三角形的性质得到CM=AB=3,等量代换即可.‎ 解:连接CM,‎ ‎∵M、N分别是AB、AC的中点,‎ ‎∴NM=CB,MN∥BC,又CD=BD,‎ ‎∴MN=CD,又MN∥BC,‎ ‎∴四边形DCMN是平行四边形,‎ ‎∴DN=CM,‎ ‎∵∠ACB=90°,M是AB的中点,‎ ‎∴CM=AB=3,[来源:学。科。网]‎ ‎∴DN=3,‎ 故答案为:3.[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ ‎13. 分析:延长线段BN交AC于E,从而构造出全等三角形,(△ABN≌△AEN),进而证明MN是中位线,从而求出CE的长.‎ 解:延长线段BN交AC于E.‎ ‎∵AN平分∠BAC,‎ ‎∴∠BAN=∠EAN,AN=AN,∠ANB=∠ANE=90°,‎ ‎∴△ABN≌△AEN,‎ ‎∴AE=AB=6,BN=NE,‎ 又∵M是△ABC的边BC的中点,‎ ‎∴CE=2MN=2×1.5=3,‎ ‎∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25。‎ ‎14.分析:首先证明四边形ADEF是平行四边形,根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题.‎ 解:∵BD=AD,BE=EC,‎ ‎∴DE=AC=4cm,DE∥AC,‎ ‎∵CF=FA,CE=BE,‎ ‎∴EF=AB=3cm,EF∥AB,‎ ‎∴四边形ADEF是平行四边形,‎ ‎∴四边形ADEF的周长=2(DE+EF)=14cm.‎ 故答案为14.‎ 三、计算题(本大题共4小题)‎ ‎15. 分析:(1)作线段AC的垂直平分线即可.‎ ‎(2)根据三角形中位线定理即可解决.‎ 解:(1)作线段AC的垂直平分线MN交AC于E,点E就是所求的点.‎ ‎(2)∵AD=DB,AE=EC,‎ ‎∴DE∥BC,DE=BC,‎ ‎∵DE=4,‎ ‎∴BC=8.‎ ‎16.分析:(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB,DE∥AC,再根据平行四边形的定义证明即可;‎ ‎(2)根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD,FH=AF,再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA,∠FAH=∠FHA,然后求出∠DHF=∠BAC,等量代换即可得到∠DHF=∠DEF.‎ 证明:(1)∵点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,‎ ‎∴DE、EF都是△ABC的中位线,‎ ‎∴EF∥AB,DE∥AC,‎ ‎∴四边形ADEF是平行四边形;‎ ‎(2)∵四边形ADEF是平行四边形,‎ ‎∴∠DEF=∠BAC,‎ ‎∵D,F分别是AB,CA的中点,AH是边BC上的高,‎ ‎∴DH=AD,FH=AF,‎ ‎∴∠DAH=∠DHA,∠FAH=∠FHA,‎ ‎∵∠DAH+∠FAH=∠BAC,‎ ‎∠DHA+∠FHA=∠DHF,‎ ‎∴∠DHF=∠BAC,‎ ‎∴∠DHF=∠DEF.‎ ‎17.分析:(1)欲证明AE=AF,只要证明∠AEF=∠AFE即可.‎ ‎(2)作CG∥EM,交BA的延长线于G,先证明AC=AG,再证明BE=EG即可解决问题.‎ 证明:(1)∵DA平分∠BAC,‎ ‎∴∠BAD=∠CAD,‎ ‎∵AD∥EM,‎ ‎∴∠BAD=∠AEF,∠CAD=∠AFE,‎ ‎∴∠AEF=∠AFE,‎ ‎∴AE=AF.‎ ‎(2)作CG∥EM,交BA的延长线于G.‎ ‎∵EF∥CG,‎ ‎∴∠G=∠AEF,∠ACG=∠AFE,‎ ‎∵∠AEF=∠AFE,‎ ‎∴∠G=∠ACG,‎ ‎∴AG=AC,‎ ‎∵BM=CM.EM∥CG,‎ ‎∴BE=EG,‎ ‎∴BE=BG=(BA+AG)=(AB+AC).‎ ‎18. 分析:(1)根据三角形中位线定理得MN=AD,根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC,由此即可证明.‎ ‎(2)首先证明∠BMN=90°,根据BN2=BM2+MN2即可解决问题.‎ 解:(1)证明:在△CAD中,∵M、N分别是AC、CD的中点,‎ ‎∴MN∥AD,MN=AD,‎ 在RT△ABC中,∵M是AC中点,‎ ‎∴BM=AC,‎ ‎∵AC=AD,‎ ‎∴MN=BM.‎ ‎(2)解:∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,[来源:Z+xx+k.Com]‎ ‎∴∠BAC=∠DAC=30°,‎ 由(1)可知,BM=AC=AM=MC,‎ ‎∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°,‎ ‎∵MN∥AD,‎ ‎∴∠NMC=∠DAC=30°,‎ ‎∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°,‎ ‎∴BN2=BM2+MN2,‎ 由(1)可知MN=BM=AC=1,‎ ‎∴BN=‎
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