人教版八年级数学上册第十四章14.2乘法公式

人教版八年级数学上册第十四章14.2乘法公式

第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2乘法公式 第1课时 1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差 公式的结构特征.（重点） 2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题. （难点） 学习目标 导入新课 复习引入 多项式与多项式是如何相乘的？ （x ＋ 3)( x＋5） =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15. (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 讲授新课 探究发现 面积变了吗？ a米 5米 5米a米 (a-5) 相等吗？ 平方差公式 ①（x ＋ 1)( x－1）； ②（m ＋ 2)( m－2）； ③（2m＋ 1)(2m－1）； ④（5y ＋ z)(5y－z）. 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 算一算：看谁算得又快又准. ②（m＋ 2)( m－2）=m2 －22 ③（2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 12 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2 ①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1， 想一想：这些计算结果有什么特点？ x2 － 12 m2－22 (2m)2 － 12 (5y)2 － z2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. u公式变形: 1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2 知识要点 平方差公式 平方差公式 (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2 相同为a 相反为b，-b 适当交换 合理加括号 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (0.3x-1)(1+0.3x) (1+a)(-1+a) a b a2-b2 1 x -3 a 12-x2 (-3)2-a2 a 1 a2-12 0.3x 1 ( 0.3x)2-12 a2-b2 a2-b2 b2-a2 b2-a2 典例精析 例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2)（-x+2y)(-x-2y). (2) 原式＝ (-x)2 - (2y)2 ＝x2 - 4y2. 解：（1）原式=(3x)2－22 =9x2－4； 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几 个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二 项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右 边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 利用平方差公式计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)． 针对训练 解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25； (2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2； (3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2； 例2 计算: (1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) . 解: (1) 102×98 （2）(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = 1002-22 =10000 – 4 =（100＋2）(100－2) =9996； = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1. 通过合理变形，利 用平方差公式，可 以简化运算. 不符合平方差公式运 算条件的乘法，按乘 法法则进行运算. 针对训练 计算: (1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) . 解: (1) 原式=（50＋1）(50－1) = 502-12 =2500 – 1 =2499； (2) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6) = 9x2-16-6x2-5x+6 = 3x2-5x-10. 例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y －x)，其中x＝1，y＝2. 原式＝5×12－5×22＝－15. 解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2. 当x＝1，y＝2时， 例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－ (3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？ 即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数． 解：原式＝9n2－1－(9－n2) ＝10n2－10. ∵(10n2－10)÷10=n2-1. n为正整数， ∴n2-1为整数 方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数， 也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数 问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结 果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系． 例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给 了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把 这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租 给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你 认为李大妈吃亏了吗？为什么？ ∵a2＞a2－16， 解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16， ∴李大妈吃亏了． 方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出 算式，然后根据公式化简算式，解决问题． 1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) 当堂练习 C 2.计算（2x+1）（2x-1）等于（　　） A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+1 A 3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那 么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面 积，差是________．10 （1）(a+3b)(a- 3b)； =4a2－9； =4x4－y2. 原式=(2a+3)(2a-3) =a2－9b2 ； =(2a)2－32 原式=(-2x2 )2－y2 原式=(a)2－(3b)2 （2）(3+2a)(－3+2a)； （3）(－2x2－y)(－2x2+y). 4.利用平方差公式计算： 5.计算： 20152 － 2014×2016. 解： 20152 － 2014×2016 = 20152 － (2015－1)(2015+1) = 20152－ （20152－12 ) = 20152 － 20152+12 =1 （1）（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4) =a4-16. (2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4). 解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8. 7.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3， 其中x＝2. 解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3 =2x2－1. 将x＝2代入上式， 原式=2×22-1=7. 8.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋ x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝ (1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn) ＝________；(n为正整数) (2)根据你的猜想计算： ①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________； ②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)； ③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________； 拓展提升 1－xn+1 -63 2n＋1－2　 x100－1　 (3)通过以上规律请你进行下面的探索： ①(a－b)(a＋b)＝________； ②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________； ③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________． a2－b2　 a3－b3　 a4－b4　 课堂小结 平方差 公 式 内 容 注 意 两个数的和与这两个数的差的 积，等于这两个数的平方差 1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2 2.紧紧抓住 “一同一反”这 一特征，在应用时，只有两 个二项式的积才有可能应用 平方差公式；对于不能直接 应用公式的，可能要经过变 形才可以应用