数学冀教版八年级上册教案12-4分式方程

数学冀教版八年级上册教案12-4分式方程

- 1 - 12.4 分式方程 教学目标 【知识与能力】 1.理解分式方程的概念及意义. 2.了解解分式方程的基本思路和解法. 3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根方法. 【过程与方法】 1.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,体会分式方程的模型. 2.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握可化 为一元一次方程的分式方程的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧. 【情感态度价值观】 通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程, 把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想. 教学重难点 【教学重点】 可化为一元一次方程的分式方程的解法. 【教学难点】 理解解分式方程时可能无解的原因. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 【课件 1】 小红家到学校的路程为 38 km.小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后再步 行 2 km,才能到学校,路途所用时间是 1 h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的 9 倍,求小 红步行的速度. 教师提出问题: (1)上述问题中有哪些等量关系? (2)根据你所发现的等量关系,设未知数并列出方程. (3)如果设小红步行的时间为 x h,又应该怎么列方程? 在活动中教师要关注: (1)学生是否能将实际问题转化为数学问题; (2)大部分学生能否将这个问题很好地分析出来?能否列方程? (3)基础较差的学生对于该题的理解是否有困难?如何适当加以个别引导? [设计意图] 先通过一个行程问题,引导学生从分析入手,列出含有未知数的式子表示有关 的量,并进一步根据等量关系列出方程,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.另外以生 活中的实际问题为背景,让学生感到数学贴近生活,激起了探究新知识的欲望. 导入二: - 2 - 【课件 2】 西天取经路上,唐僧给徒弟们出了一道天竺国的数学题目:某项工程要在规定的 期限内完成,甲队单独做正好能够按期完成,乙队单独做则需要延期 3 天完成.现在这两个队 合作 2 天后,再由乙队单独做,也正好按期完成.如果设规定的期限是 x 天,工程总量为 1,如 何列方程呢? 三 个 徒 弟 都 给 出 了 自 己 的 答 案 : 孙 悟 空 : 2 + +3 =1; 猪 八 戒 : 2 + 2 +3 =1; 沙 和 尚:2 1 + 1 +3 + - 2 +3 =1.师傅表扬了徒弟积极动脑,并说道:有一位徒弟的结论是错误的,你知 道谁的错了吗? 同学们分析这个问题列出的方程还是整式方程吗?该如何解呢? [设计意图] 创设故事情境导入,将所出现的方程与整式方程比较,为探索分式方程及分式 方程的解法做准备. 二、新知构建： 探究一:分式方程及其解法 思路一 1.分式方程 【课件 3】 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米/时,它沿江以最大航速顺流航行 90 千 米所用的时间与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等,江水的流速为多少? 教师提出问题.学生独立思考,根据“两次航行所用的时间相等”这一相等关系建立方程. 〔解析〕 设江水的流速为 v 千米/时,则轮船顺流航行的速度为(30+v)千米/时,逆流航行的 速度为(30-v)千米/时,顺流航行 90 千米所用的时间为 90 30+ 小时,逆流航行 60 千米所用的时 间为 60 30 - 小时.可列方程 90 30+ = 60 30 - . 教师提问:刚才我们所接触的方程 38 - 2 1 - =9 × 2 , 38 - 2 9 + 2 =1, 90 30+ = 60 30 - 与以前所学的整式方程有 何不同? 学生思考,议论后在全班交流. 归纳:该类方程分母含有未知数. 教师讲解并板书:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. [知识拓展] (1)理解分式方程要明确两点:①是方程;②分母中含有未知数(也可以看成方 程中含有分式).(2)整式方程和分式方程统称为有理方程. 2.分式方程的解法 【课件 4】 如何解分式方程 38 - 2 1 - =9 × 2 和 38 - 2 9 + 2 =1 呢? 在同学讨论的基础上分析:由于我们比较熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程转化为整 式方程,其关键是去掉含有未知数的分母. 引导学生进一步分析:把方程的两边乘最简公分母可将分式方程化为整式方程,解这个整式 方程可得方程的解. 说明:教师提出问题后,鼓励学生寻求解决问题的方法,引导学生将分式方程转化为整式方程, 学生自然会想到“去分母”来实现这种转变,求出方程的解,并要求验根. 在活动中教师要关注:(1)学生能否从所列方程中观察到它与整式方程的区别在于“分母中含 - 3 - 有未知数”; (2)学生能否有利用“转化思想”解决问题的意识; (3)学生是否能够认真倾听别人的见解,从中获取知识. [过渡语] 通过解上面的分式方程,你明白该如何解分式方程了吗? 归纳:解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程 两边乘最简公分母,这是解分式方程的一般方法. [设计意图] 怎样解分式方程?这是本节的核心问题.这里又一次让学生运用“转化”思想, 把待解决或未解决的问题,通过转化,划归到已经解决或比较容易解决的问题中去,最终使问 题得到解决. 思路二 1.分式方程 38 - 2 1 - =9 × 2 , 38 - 2 9 + 2 =1 有什么特点? 学生观察,回答:(1)分母含有未知数,(2)是方程. 教师引导学生概括:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的 未知数的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根). 提问:你还能举出一个分式方程吗? 【课件 5】 判断下列各式哪个是分式方程. (1)x+y=5; (2) +2 5 = 2 - 3 ; (3) 1 ; (4) +5 ; (5) 1 +2x=5. 根据相关定义可得:(1)(2)是整式方程,(3)(4)是分式,(5)是分式方程. 2.分式方程的解法 [过渡语] 如何解分式方程呢? 我们一起回顾几个问题: (1)解一元一次方程时是怎样去分母的?从中能否得到一点启发? (2)有没有办法可以去掉分式方程中的分母?把它转化为整式方程呢? 学生自主探索,并尝试选分式方程求解. 【课件 6】 解方程 1+ 5+ = 1 2 . 解:两边同乘最简公分母 2(x+5)得: 2(x+1)=5+x, 2x+2=5+x, x=3. 检验:把 x=3 代入原方程左边= 1+3 5+3 = 1 2 ,右边= 1 2 ,左边=右边.所以 x=3 是原分式方程的解. 学生尝试去分母,将分式方程转化为整式方程,再求整式方程的解. 结合解一元一次方程时检验的方法,教师提醒学生解完分式方程后进行检验. 【课件 7】 如何解课件 3 中所列出的分式方程? 解:方程的两边同乘(30+v)(30-v),得 90(30-v)=60(30+v),解得 v=6. 检验:将 v=6 代入分式方程中,左边= 5 2 ,右边= 5 2 ,左边=右边,因此 v=6 是原分式方程的解. 师生共同分析、求解,进一步归纳:解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程,具 体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般方法. - 4 - 【拓展延伸】 分式方程与整式方程的定义区分: 特点 说明 举例 整式 方程 方程里所有的 未知数都出现 在分子上,分 母只是常数而 没有未知数 有“元” 和“次” 的说法 3x+ 1 2 =-x 是一元一次方程; 2x+y=3 是二元一次方程 分式 方程 方程里分母中 含有未知数 x- 1 x =2, 1 y+2 +1=y 探究二:分式方程的增根 [过渡语] 刚才我们学习了分式方程和分式方程的解法,知道解分式方程时要验根.那 么为什么一定要验根呢?学习了下面的知识,同学们一定会迎刃而解. 【课件 8】 解分式方程 +1 - 1 = - 3 1 - +1. 教师提出问题,让学生解方程. 解:方程两边同乘 x-1,得 x+1=-(x-3)+(x-1), 解这个整式方程,得 x=1. 师:x=1 是方程的解吗?为什么? 说明:学生先独立解决,然后提出自己的看法,进行小组讨论.在学生讨论期间,教师应到学生 中,参与学生的数学活动,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并懂得在解分 式方程时一定要进行验根. 归纳:在解分式方程时,通过去分母将分式方程转化为整式方程,并解这个整式方程,再将整 式方程的根代入分式方程(或公分母)中检验.当分母的值不等于 0 时,这个整式方程的根就 是分式方程的根;当公分母的值为 0 时,分式方程无解,我们把这样的根叫做分式方程的增 根. 【课件 9】 解方程: 2 +2 - 2 - 2+ =3. 解:方程两边同乘 x+2, 得 2-(2-x)=3(x+2), 解这个整式方程,得 x=-3, 经检验,x=-3 是原分式方程的根. [知识拓展] (1)检验的方法有两种:①把未知数的值代入所乘最简公分母中,最简公分母为 0 是增根,舍去.最简公分母不为 0 的未知数的值就是原分式方程的解.②把未知数的值代入 原方程,若左右两边的值相等,则这个未知数的值就是原方程的根;若某个分式的分母为 0, 则这个未知数的值就是增根,舍去. (2)解分式方程时,必须注意以下几点:①若分式方程中的分母是多项式,应先对各分母因式 分解,再寻求最简公分母;②将一个分式方程的两边同时乘最简公分母时,每一个式子都应乘 到,不要漏乘,特别是不要漏乘没有分母的项;③解含字母系数的分式方程时,字母系数应视 为具体数处理;④解分式方程时,检验这一步必不可少,它是解分式方程的一个重要步骤. 三、课堂小结： 解分式方程的一般步骤: 1.在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程. - 5 - 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零;使最简公分母为零的根不是原方程的 根,必须舍去. [设计意图] 学生通过回顾,自己总结,实现了自我评价,让对本节知识学得不是很好的学生 有所收获.