北师大版八年级下册数学同步练习课件-第1章-4 角平分线（一）

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DE=DF C. 2DF=DB D. ∠BDE=∠BDF 课前预习 C 2. 如图1-4-2，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB， 垂足为点D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 A 3. 如图1-4-3，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的 大小关系，下列说法正确的是（ ） A. 一定相等 B. 一定不相等 C. 当BD=CD时相等 D. 当DE=DF时相等 D 课堂讲练 新知1：角平分线的性质定理 典型例题 【例1】如图1-4-4，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC于点F，EF交AD于点O.求证：OE=OF. 证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. 在Rt△AED和Rt△AFD中， AD＝AD， DE＝DF， ∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL). ∴AE=AF. ∴AD是EF的垂直平分线. ∴OE=OF. 模拟演练 1. 如图1-4-5，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，点E为垂足， DF⊥AC，点F为垂足，求证：DE=DF. AB=AC, 证明：在△ABD和△ACD中， BD=CD, AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(SSS). ∴∠BAD=∠CAD. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. 【例2】如图1-4-6，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC于点F，AB=6，AC=4. 若S△ABD=9，求 S△ACD. 典型例题 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC， ∴DE=DF. ∵S△ABD=9，AB=6， ∴DE=3. ∴DF=3. ∵AC=4， ∴S△ACD= AC·DF=6. 2. 如图1-4-7，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平 分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，求△BCE的面积. 模拟演练 解：如答图1-4-2,过点E作EF⊥BC于点F. ∵CD是AB边上的高， ∴ED⊥AB. ∵BE平分∠ABC， ∴DE=EF=2. ∵BC=5， ∴S△BCE= BC·EF= ×5×2=5. 【例3】如图1-4-8，在△ABC中，点D，E，F在边BC上， 点P在线段AD上.已知PE∥AB，∠PFD=∠C，点D到AB和AC 的距离相等.求证：点D到PE和PF的距离相等. 典型例题 新知2：角平分线性质定理的逆定理 证明：如答图1-4-1，作DM⊥AB于点M，交PE于点G， 作DN⊥AC于点N，交PF于点H. ∵DM⊥AB，DN⊥AC，且DM=DN， ∴∠BAD=∠CAD. ∵PE∥AB， ∴∠EPD=∠BAD，DG⊥PE. ∵∠PFD=∠C，∴PF∥AC. ∴∠FPD=∠CAD，DH⊥DF. ∴∠EPD=∠FPD. ∴DG=DH，即点D到PE和PF的距离相等. 3. 如图1-4-9,BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD,CE相 交于点F，CF＝BF. 求证：点F在∠A的平分线上. 模拟演练 证明：如答图1-4-3,连接AF. ∵BD⊥AM,CE⊥AN, ∴∠FDC=∠FEB=90°. 又∵∠CFD=∠BFE,CF=BF, ∴△CDF≌△BEF(AAS). ∴FD=FE. ∵BD⊥AM,CE⊥AN, ∴∠CAF＝∠BAF. ∴AF平分∠BAC,即点F在∠A的平分线上. 分层训练 A组 1. 如图1-4-10，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距 离相等，则点P是（ ） A. 线段CD的中点 B. OA与OB的中垂线的交点 C. OA与CD的中垂线的交点 D. CD与∠AOB的平分线的交点 D 2. 如图1-4-11，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离 PE为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为 （ ） A. PN＜3 B. PN＞3 C. PN≥3 D. PN≤3 C 3. 如图1-4-12，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC 的角平分线. 若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABC的面积 为（ ） A. 48 B. 50 C. 54 D. 60 C 4. 如图1-4-13，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于 点E，△ABC的面积为15，AB=6，DE=3，则AC的长是 （ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 D B组 5. 如图1-4-14，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上 的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则 下列结论错误的是（ ） A. AD+BC=AB B. ∠AOB=90° C. 与∠CBO互余的角有2个 D. 点O是CD的中点 C 6. 如图1-4-15，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F， BE，CF交于点D，则以下结论：①△ABE≌△ACF； ②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上,正确的是 （ ） A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ D 7. 已知：如图1-4-16，OC是∠AOB的平分线，P是OC上 的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，点F是 OC上的另一点，连接DF，EF. 求证：DF=EF. 证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE. 在Rt△OPD和Rt△OPE中， OP=OP, PD=PE， ∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）. ∴OD=OE. ∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOF=∠EOF. OD=OE, 在△ODF和△OEF中，∠DOF=∠EOF, OF=OF， ∴△ODF≌△OEF（SAS）. ∴DF=EF. 8. 如图1-4-17，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是 △ABC的角平分线. 点O是BD上一点，过点O分别作AC， B C 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 点 F ， E ， 连 接 O C ， O A ， ∠FCO=45°.求证：点O在∠BAC的平分线上. 证明：如答图1-4-4，过点O作OH⊥AB于点H. ∵BD是△ABC的角平分线，OE⊥BC，OH⊥AB， ∴OE=OH. ∵∠ACB=90°，∠FCO=45°， ∴CO平分∠ACB. ∵OE⊥BC，OF⊥AC， ∴OE=OF. ∴OF=OH. ∴点O在∠BAC的平分线上. C组 9. 如图1-4-18,在△ABC中，∠C=90°,AD是∠BAC的平 分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF. 求证： （1）CF=EB； （2）AB=AF+2EB. 证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE=DC. 在Rt△DCF和Rt△DEB中， DF=DB, DC=DE， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）. ∴CF=EB. （2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴CD=ED. 在△ADC和△ADE中， AD=AD， CD=ED, ∴△ADC≌△ADE（HL）. ∴AC=AE. ∴AB=AE+EB=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.