十字相乘法分解因式导学案

十字相乘法分解因式导学案

十字相乘法进行因式分解 ‎【学习目标】‎ ‎（1）理解二次三项式的意义；‎ ‎（2）理解十字相乘法的根据；‎ ‎（3）能用十字相乘法分解二次三项式；‎ ‎（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．‎ 学习重点：理解十字相乘法的根据。‎ 学习难点：能用十字相乘法分解二次三项式。‎ 学习过程：‎ ‎1．二次三项式 多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如，和都是关于x的二次三项式．‎ 在多项式中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．‎ 在多项式中，把ab看作一个整体，即，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．‎ 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．‎ ‎2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是：‎ ‎（1）对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 3‎ 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．‎ ‎（2）对于二次项系数不是1的二次三项式(a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数，使，，且，‎ 那么它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：‎ ‎3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．‎ ‎【典型例题】‎ 例1 把下列各式分解因式：‎ ‎（1）；（2）．‎ 例2 把下列各式分解因式：‎ ‎（1）；（2）．‎ 例3 把下列各式分解因式：‎ ‎（1）；‎ 3‎ ‎（2）；‎ ‎（3）．‎ 例4 分解因式：．‎ 例5 分解因式．‎ 例6 分解因式．‎ ‎．‎ 例7 分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．‎ 例8 已知有一个因式是，求a值和这个多项式的其他因式．‎ 例9 分解因式：．‎ 3‎