2019-2020学年浙江省杭州市八年级（下）期中数学试卷

2019-2020学年浙江省杭州市八年级（下）期中数学试卷

第 1页（共 18页） 2019-2020 学年浙江省杭州市八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．线段 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．等边三角形 2．（3分）计算 的结果为（ ） A．±3 B．﹣3 C．3 D．9 3．（3分）下面是甲、乙两人 10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是 （ ） A．甲比乙的成绩稳定 B．乙比甲的成绩稳定 C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定谁的成绩更稳定 4．（3分）如图，在▱ ABCD中，AC与 BD交于点 O，下列说法正确的是（ ） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AO＝CO D．AB＝BC 5．（3分）已知关于 x的方程（m+1）x2﹣3＝0是一元二次方程，则 m的取值范围是（ ） A．m＞﹣1 B．m≠0 C．m≤﹣1 D．m≠﹣1 6．（3分）点点同学对数据 26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个 位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 第 2页（共 18页） 7．（3分）某超市一月份的营业额为 200万元，三月份的营业额为 288万元，如果每月比上 一个月增长的百分数相同，则每月的平均增长率为（ ） A．10% B．15% C．20% D．25% 8．（3分）设 ，则 可以表示为（ ） A． B． C． D． 9．（3 分）如图，在平行四边形 ABCD中，点 O是对角线 AC上一点，连结 BO，DO，△ COD，△AOD，△AOB，△BOC的面积分别是 S1，S2，S4，下列关于 S1，S2，S3，S4的 等量关系式中错误的是（ ） A．S1+S3＝S2+S4 B． C．S3﹣S1＝S2﹣S4 D．S2＝2S1 10．（3分）已知一元二次方程 a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程 dx+e ＝0有一个公共解 x＝x1，若一元二次方程 a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0有两个相等 的实数根，则（ ） A．a（x1﹣x2）＝d B．a（x2﹣x1）＝d C．a（x1﹣x2）2＝d D．a（x2﹣x1）2＝d 二、填空题：本大题有 6 个小题，每小题 3 分，共 24 分 11．（3分）若二次根式 有意义，则 a的取值范围是 ． 12．（3分）已知多边形的内角和等于外角和的两倍，则这个多边形的边数为 ． 13．（3分）在平行四边形 ABCD中，∠D＝65°，过点 C作 CE⊥AB于 E，则∠BCE的度 数为 ． 14．（3分）据统计，某车间 10名员工的日平均生产零件个数为 8 个，方差为 2.5 个 2．引 入新技术后，每名员工每天都比原先多生产 1 个零件，则现在日平均生产零件个数为 个，方差为 个 2． 15．（3 分）已知一元二次方程 2x2+bx+c＝0 的两个根为 x1＝1 和 x2＝2，则 b＝ c 第 3页（共 18页） ＝ ． 16．（3分）若 ，则 a3﹣a+1＝ ． 三、解答题：本大题有 7 个小题，共 66 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算： （1）4 ； （2） ． 18．（12分）用适当方法解下列方程： （1）（3x﹣1）2＝9； （2）x（2x﹣4）＝（2﹣x）2； （3） ＝0． 19．（10分）某学校抽查了某班级某月 5天的用电量，数据如下表（单位：度）： 度数 9 10 11 天数 3 1 1 （1）求这 5天的用电量的平均数； （2）求这 5天用电量的众数、中位数； （3）学校共有 36个班级，若该月按 22天计，试估计该校该月的总用电量． 20．（10分）设实数 的整数部分为 a，小数部分为 b． （1）计算： ； （2）求（2a+b）（2a﹣b）的值． 21．（10分）为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了 如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请 x个好友转发，每个好友转 发之后，又邀请 x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有 111个人参与了 本次活动． （1）x的值是多少？ （2）再经过几轮转发后，参与人数会超过 10000人？ 22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点 B为圆心，BC长为半径画弧，交线 段 AB于点 D，连结 CD．以点 A为圆心，AC长为半径画弧，交线段 AB于点 E，连结 CE． 第 4页（共 18页） （1）求∠DCE的度数． （2）设 BC＝a，AC＝b． ①线段 BE的长是关于 x的方程 x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由． ②若 D为 AE的中点，求 的值． 23．（10分）在平行四边形 ABCD中，对角线 AC，BD交于点 O，且分别平分∠DAB，∠ABC． （1）请求出∠AOB的度数，写出 AD，AB，BC之间的等量关系，并给予证明． （2）设点 P为对角线 AC上一点，PB＝5，若 AD+BC＝16，四边形 ABCD的面积为 ， 求 AP的长． 第 5页（共 18页） 2019-2020 学年浙江省杭州市八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．线段 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．等边三角形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、线段是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找 对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后两 部分重合． 2．（3分）计算 的结果为（ ） A．±3 B．﹣3 C．3 D．9 【分析】根据 ＝|a|进行计算即可． 【解答】解： ＝3， 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简，关键是掌握 ＝|a|． 3．（3分）下面是甲、乙两人 10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是 （ ） 第 6页（共 18页） A．甲比乙的成绩稳定 B．乙比甲的成绩稳定 C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定谁的成绩更稳定 【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越 小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【解答】解：通过观察条形统计图可知：乙的成绩更整齐，也相对更稳定， 故选：B． 【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表 明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组 数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 4．（3分）如图，在▱ ABCD中，AC与 BD交于点 O，下列说法正确的是（ ） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AO＝CO D．AB＝BC 【分析】由平行四边形的性质容易得出结论． 【解答】解：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角线互相平分是解决问题 的关键． 5．（3分）已知关于 x的方程（m+1）x2﹣3＝0是一元二次方程，则 m的取值范围是（ ） A．m＞﹣1 B．m≠0 C．m≤﹣1 D．m≠﹣1 第 7页（共 18页） 【分析】根据一元二次方程定义可得 m+1≠0，再解可得答案． 【解答】解：由题意得：m+1≠0， 解得：m≠﹣1， 故选：D． 【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三 个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是 2． 6．（3分）点点同学对数据 26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个 位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断． 【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第 4个数有关，而这组数据的中位 数为 46，与第 4个数无关． 故选：B． 【点评】本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数 据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数． 7．（3分）某超市一月份的营业额为 200万元，三月份的营业额为 288万元，如果每月比上 一个月增长的百分数相同，则每月的平均增长率为（ ） A．10% B．15% C．20% D．25% 【分析】利用关系式：一月份的营业额×（1+增长率）2＝三月份的营业额，设出未知数 列出方程解答即可． 【解答】解：设这两个月的营业额增长的百分率是 x． 200×（1+x）2＝288， 解得：x1＝﹣2.2（不合题意舍去），x2＝0.2， 答：每月的平均增长率为 20%． 故选：C． 【点评】此题考查一元二次方程的应用；得到三月份营业额的关系式是解决本题的关键． 8．（3分）设 ，则 可以表示为（ ） A． B． C． D． 第 8页（共 18页） 【分析】首先把小数化为分数，为便于开方根据分数基本性质，分子分母同时扩大 10倍， 再根据二次根式的性质与化简，即可求得结论． 【解答】解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ； 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是二次根式化简时把小数 化为分数，注意尝试怎样拆分数据可简便运算． 9．（3 分）如图，在平行四边形 ABCD中，点 O是对角线 AC上一点，连结 BO，DO，△ COD，△AOD，△AOB，△BOC的面积分别是 S1，S2，S4，下列关于 S1，S2，S3，S4的 等量关系式中错误的是（ ） A．S1+S3＝S2+S4 B． C．S3﹣S1＝S2﹣S4 D．S2＝2S1 【分析】根据平行四边形的性质和三角形的面积公式解答即可． 【解答】解：∵平行四边形 ABCD， ∴S2：S1＝OA：OC，S3：S4＝OA：OC，S1+S3＝S2+S4，S3﹣S1＝S2﹣S4， 即 ， 但不能得出 S2＝2S1， 故选：D． 【点评】此题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质和三角形的面积公式解 答是关键． 10．（3分）已知一元二次方程 a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程 dx+e ＝0有一个公共解 x＝x1，若一元二次方程 a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0有两个相等 的实数根，则（ ） A．a（x1﹣x2）＝d B．a（x2﹣x1）＝d 第 9页（共 18页） C．a（x1﹣x2）2＝d D．a（x2﹣x1）2＝d 【分析】由 x＝x1是方程 a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0 与 dx+e＝0的一个公共解，可得 x＝x1 是方程 a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0的一个解．根据根与系数的关系得出 x1+x1＝﹣ ，整理后即可得出结论． 【解答】解：∵关于 x的一元二次方程 a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0与关于 x的一元一次方程 dx+e＝0有一个公共解 x＝x1， ∴x＝x1是方程 a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0的一个解． ∵一元二次方程 a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0， ∴ax2﹣（ax1+ax2﹣d）x+ax1x2+e＝0， ∵有两个相等的实数根， ∴x1+x1＝﹣ ， 整理得：d＝a（x2﹣x1）． 故选：B． 【点评】本题考查了方程的解与一元二次方程的根与系数的关系，明确方程的解的含义 及根与系数的关系是解题的关键． 二、填空题：本大题有 6 个小题，每小题 3 分，共 24 分 11．（3分）若二次根式 有意义，则 a的取值范围是 a＜ ． 【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：∵二次根式 有意义， ∴1﹣2a＞0， 解得：a＜ ． 故答案为：a＜ ． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键． 12．（3分）已知多边形的内角和等于外角和的两倍，则这个多边形的边数为 6 ． 【分析】任何多边形的外角和是 360°，内角和等于外角和的 2 倍则内角和是 720°．n 边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数 的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【解答】解：根据题意，得 第 10页（共 18页） （n﹣2）•180＝720， 解得：n＝6． 故这个多边形的边数为 6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可 以转化为方程的问题来解决，难度适中． 13．（3分）在平行四边形 ABCD中，∠D＝65°，过点 C作 CE⊥AB于 E，则∠BCE的度 数为 25° ． 【分析】首先利用三角形内角和定理得出∠B的度数，再利用平行四边形的对角相等， 进而得出答案， 【解答】解： ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝65°， ∵CE⊥AB， ∴∠EBC＝90°， ∴∠BCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°， 故答案为：25°． 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及平行四边形的性质，正确掌握平行四边 形的性质是解题关键． 14．（3分）据统计，某车间 10名员工的日平均生产零件个数为 8 个，方差为 2.5 个 2．引 入新技术后，每名员工每天都比原先多生产 1个零件，则现在日平均生产零件个数为 9 个，方差为 2.5 个 2． 【分析】根据方差和平均数公式计算． 【解答】解：日平均生产零件个数 ＝ ＝9（个）， S'2＝ [（x1+1﹣9）2+（x2+1﹣9）2+…+（x10+1﹣9）2] ＝ [（x1﹣8）2+（x2﹣8）2+…（x10﹣8）2 第 11页（共 18页） ＝2.5（个 2） 故答案为 9，2.5 【点评】本题考查了方差，熟练运用方差公式是解题的关键． 15．（3分）已知一元二次方程 2x2+bx+c＝0 的两个根为 x1＝1 和 x2＝2，则 b＝ ﹣6 c＝ 4 ． 【分析】根据根与系数的关系即可求解． 【解答】解：∵一元二次方程 2x2+bx+c＝0的两个根为 x1＝1和 x2＝2， ∴﹣ ＝1+2， ＝1×2， 解得 b＝﹣6，c＝4． 故答案为：﹣6；4． 【点评】考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经 常使用的解题方法．一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝ ﹣ ，x1•x2＝ ． 16．（3分）若 ，则 a3﹣a+1＝ ． 【分析】将 a的值代入原式＝a（a2﹣1）+1＝a（a+1）（a﹣1）+1，再进一步计算可得． 【解答】解：当 时， 原式＝a（a2﹣1）+1 ＝a（a+1）（a﹣1）+1 ＝ × × +1 ＝ +1 ＝ ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的有关运算法 则和性质． 三、解答题：本大题有 7 个小题，共 66 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算： 第 12页（共 18页） （1）4 ； （2） ． 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用完全平方公式和二次根式的除法法则运算． 【解答】解：（1）原式＝4 ﹣3 ﹣ ＝ ； （2）原式＝12﹣4 +1+ ＝13﹣4 +2 ＝13﹣2 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行 二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵 活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 18．（12分）用适当方法解下列方程： （1）（3x﹣1）2＝9； （2）x（2x﹣4）＝（2﹣x）2； （3） ＝0． 【分析】（1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得； （3）整理后利用公式法求解可得． 【解答】解：（1）∵（3x﹣1）2＝9， ∴3x﹣1＝±3， 解得 ； （2）∵x（2x﹣4）＝（2﹣x）2， ∴（x﹣2）（2x﹣x+2）＝0， ∴（x﹣2）（x+2）＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣2； ， 第 13页（共 18页） 则 b2﹣4ac﹣88＞0， ∴ ， ∴ ． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方 法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的 方法是解题的关键． 19．（10分）某学校抽查了某班级某月 5天的用电量，数据如下表（单位：度）： 度数 9 10 11 天数 3 1 1 （1）求这 5天的用电量的平均数； （2）求这 5天用电量的众数、中位数； （3）学校共有 36个班级，若该月按 22天计，试估计该校该月的总用电量． 【分析】（1）用加权平均数的计算方法计算平均用电量即可； （2）分别利用众数、中位数及极差的定义求解即可； （3）用班级数乘以日平均用电量乘以天数即可求得总用电量． 【解答】解：（1）平均用电量为：（9×3+10×1+11×1）÷5＝9.6度； （2）9度出现了 3次，最多，故众数为 9度； 第 3天的用电量是 9度，故中位数为 9度； （3）总用电量为 22×9.6×36＝7603.2度． 【点评】本题考查了统计的有关概念及用样本估计总体的知识，题目相对比较简单，属 于基础题，解题时注意有关的统计量都应带单位． 20．（10分）设实数 的整数部分为 a，小数部分为 b． （1）计算： ； （2）求（2a+b）（2a﹣b）的值． 第 14页（共 18页） 【分析】（1）首先确定 a、b的值，然后再利用绝对值的性质计算即可； （2）利用平方差计算，然后再代入 a、b的值计算即可． 【解答】解：∵2＜ ＜3， ∴a＝2，b＝ ﹣2， （1）|b﹣ |＝| ﹣2 |＝| ﹣2 |＝| |， ∵（ ）2＝7，（ ）2＝ ， ∴ ， ∴|b﹣ |＝ ﹣ ； （2）（2a+b）（2a﹣b）， ＝4a2﹣b2， ＝4×4﹣（ ﹣2）2， ＝16﹣（7+4﹣4 ） ＝16﹣11+4 ， ＝5+4 ． 【点评】此题主要考查了实数的计算，以及实数的比较大小，关键是确定 的整数部分 和小数部分． 21．（10分）为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了 如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请 x个好友转发，每个好友转 发之后，又邀请 x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有 111个人参与了 本次活动． （1）x的值是多少？ （2）再经过几轮转发后，参与人数会超过 10000人？ 【分析】（1）一轮转发之后有（x+1）人参与，两轮转发之后有（1+x+x2）人参与，根据 经过两轮转发后共有 111个人参与了本次活动，即可得出关于 x的一元二次方程，解之 取其正值即可得出结论； （2）分别求出三轮转发及四轮转发之后参与活动的人数，将其与 10000比较后即可得出 结论． 第 15页（共 18页） 【解答】解：（1）依题意，得：1+x+x2＝111， 整理，得：x2+x﹣110＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣11（不合题意，舍去）． 答：x的值为 10． （2）三轮转发之后，参与人数为 1+10+100+1000＝1111（人）， 四轮转发之后，参与人数为 1+10+100+1000+10000＝11111（人）． ∵11111＞10000， ∴再经过两轮转发后，参与人数会超过 10000人． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题 的关键． 22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点 B为圆心，BC长为半径画弧，交线 段 AB于点 D，连结 CD．以点 A为圆心，AC长为半径画弧，交线段 AB于点 E，连结 CE． （1）求∠DCE的度数． （2）设 BC＝a，AC＝b． ①线段 BE的长是关于 x的方程 x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由． ②若 D为 AE的中点，求 的值． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案； （2）①直接利用勾股定理得出 AB的长，再利用配方法解方程得出答案； ②直接利用勾股定理得出等式求出答案． 【解答】解：（1）∵BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC， ∵AC＝AE， ∴∠ACE＝∠AEC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACE﹣∠DCE＝90°， 第 16页（共 18页） 又∵在△DCE中，∠BDC+∠AEC+∠DCE＝180°， 则 90°+2∠DCE＝180°， ∴∠DCE＝45°． （2）①线段 BE的长是关于 x的方程 x2+2bx﹣a2＝0的一个根． 理由如下： 由勾股定理得： ， ∴ 解关于 x的方程 x2+2bx﹣a2＝0， （x+b）2＝a2+b2， 得 ， ∴线段 BE的长是关于 x的方程 x2+2bx﹣a2＝0的一个根； ②∵D为 AE的中点， ∴ ， 由勾股定理得： ， 则 b2﹣ab＝0， 故 b﹣a＝0， 整理得： ． 【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、一元二次方程的解等知识点．解决 本题的关键是熟练掌握和运用等腰三角形的性质及勾股定理． 23．（10分）在平行四边形 ABCD中，对角线 AC，BD交于点 O，且分别平分∠DAB，∠ABC． （1）请求出∠AOB的度数，写出 AD，AB，BC之间的等量关系，并给予证明． （2）设点 P为对角线 AC上一点，PB＝5，若 AD+BC＝16，四边形 ABCD的面积为 ， 第 17页（共 18页） 求 AP的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义得出 AD，AB，BC之间的等量关 系即可； （2）分两种情况进行解答即可． 【解答】解：（1）∵四边形 ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°． ∵AC，BD分别平分∠DAB，∠ABC， ∴ ， ∴∠AOB＝90°， AD，AB，BC之间的等量关系为 AD＝AB＝BC． 证明如下：∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， 又∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠ACB＝∠BAC， ∴AB＝BC， ∴四边形 ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC， ∴AD＝AB＝BC； （2）∵AD＝BC，AD+BC＝16， ∴AD＝BC＝AB＝8， ①∠ABC＞90°时， 如图 1，过点 D作 DE⊥AB， ∵四边形 ABCD的面积为 ， ∴ ， ∴ ， 第 18页（共 18页） ∴点 E为 AB的中点， ， ∴AD＝BD＝AB， ∴△ABD为等边三角形， ∴∠DAB＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴ ，而 PB＝5， ∴OP＝3， ∴ 或 ②当∠ABC＜90°时， 如图 2，按照上面的推理发现 ， 所以这样的点 P不存在，故排除． 综上所述 AP的长为 ． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质解答．